Ruch drgający i fale

Transkrypt

1 Ruch dgający i fale

2 Dgania Dgania są uchem w kóym układ wykonuje dgania wokół pewnego położenia (odpowiadającego najczęściej położeniu ównowagi) Ruch dgający jes uchem okesowym. Układ znajduje się w ym samym położeniu w jednakowych odsępach czasu ()(+T) dla dowolnego T- okes dgań f częsoliwość Ilość dgań w jednosce czasu f T Hz/s

3 Ruch ciężaka na spężynie. Dgania hamoniczne (pose) T okes dgań A ampliuda i ( π ) Acos f Acos Zależność wychylenia od położenia ównowagi () może być opisana pzy pomocy funkcji ygonomeycznej ω πf π T ( ) Acos ( ω) gdzie A-ampliuda moduł maksymalnego wychylenia z położenia ównowagi -częsość kołowa, f-częsoliwość dgań

4 Widać iż ( + T ) Acos( ω( + T )) Acos Acos ω + ( ω + π ) Acos( ω) ( ) π T T Zależność od czasu pędkości ( ) d ( ) Aω sin ma i pzyspieszenia ( ω ) sin ( ω ) d a( ) Aω cos ma d cos( b) Acos ( ω) a ai d sin( b) bsin( b) b cos( b) i ( ω ) a cos ( ω ) Można zauważyć iż i Ma. waość pędkości ma a ma Aω Ma. waość pzyspieszenia Aω a ω

5 Ruch ciężaka na spężynie A cos( ω) położenie pędkość ma sin ( ω) v ( πf ) ma v sin v ma - ma pzyspieszenie aa ma m Pędkość gdy maksymalne v ma a -a ma ( ω ) a ma cos D. Koymen Pzyspieszenie a gdy maksymalne

6 Siła w uchu hamonicznym F ki i -weko wodzący okeślający położenia ciała w układzie o i począku w położeniu ównowagi i i w kóym siła wypadkowa znika k- sała spężysości Siła jes skieowana zawsze w kieunku położenia ównowagi, a jej waość popocjonalna do odległości ciała od położenia ównowagi i F ozn. F k Zwykle samą wielkość okeśla się mianem wychylenia

7 Równanie uchu opisujące dgania hamoniczne wynikające z zasad dynamiki Newona ma ma F k ampliuda mai ki Zależność aka zachodzi dla analizowanego popzednio uchu gdy k mω Równanie óżniczkowe liniowe zędu o sałych współczynnikach jednoodne a k m częsość kołowa d a d Rozwiązanie ogólne ównania óżniczkowego ( ω + ) A cos ϕ a a ω +ϕ faza począkowa m-masa ciała d k + m -faza dgań ω k m

8 Spawdzenie iż ( ω + ) Acos ϕ d k m ównanie óżniczkowe dgań + d d ( ω ) Aω sin + ϕ ( ω ϕ ) ω cos + a A spełnia dla dowolnego d cos( b + c) d sin( b + c) bsin b cos ( b + c) ( b + c) k k A ω cos( ω + ϕ ) + Acos( ω + ϕ ) ω + Acos( ω + ϕ ) ω m m k m Widać iż zaposulowane ozwiązanie spełnia ównanie óżniczkowe opisujące dgania gdy częsość kołowa dgań spełnia elację ω k m

9 A ( ω + ) cos ϕ Posać ogólna ozwiązania ównania óżniczkowego zędu zawiea zawsze dwie sałe dowolne. W posaci ozwiązania podanej powyżej sałymi ymi są A (ampliuda dgań) i ϕ (faza począkowa dgań ). Sałe A, ϕ można okeślić w opaciu o waunki począkowe uchu np. położenie i pędkość w chwili czasu. W szczególności ϕ zależy od chwili wybou począku pomiau czasu. s, A, lub s,, > ϕ lub ϕ - π/ () [A]cos(ω) () -[Aω]sin(ω) lub () [A]sin(ω) () [Aω]cos(ω) Aω ( ) a() -[Aω ]cos(ω) a() -[Aω ]sin(ω) ma A ma Aω a ma Aω

10 Enegia poencjalna związana z siłą spężysości (hamoniczną) F ki E po k -odległość ciała od połoŝenia ównowagi F w kóym Układ, kóego enegia poencjalna wyaża się powyższym wzoem, podlegający dganiom hamonicznym, nazywamy oscylaoem hamonicznym. E p m Mas Selen Physics

11 Oscylao hamoniczny i poencjał kwadaowy Siły hamoniczne wysępują pomiędzy aomami wychylonymi z położeń ich ównowagi w cząseczkach i ciałach sałych, gdy enegia poencjalna ich oddziaływania jes popocjonalna do kwadau wychylenia z położenia ównowagi R-R eq R-odległość między aomami R eq odległość dla kóej enegia poencjalna jes minimalna Na pzykład, enegia poencjalna oddziaływań wysępujących pomiędzy aomami wodou H w cząseczce H wygląda ak: E po E po R eq R E E kin E po -A A

12 Enegia w uchu hamonicznym k kα cos ω Enegia kineyczna m mω Α sin ( ω + ϕ ) E kin Enegia poencjalna ( + ϕ ) E po Enegia całkowia EE kin +E po mω Α sin ( ω + ϕ ) + kα cos ( ω +ϕ ) ω k m [ ] E kα sin ( ω + ϕ ) + kα cos ( ω + ϕ ) [ ] ω ka m A Całkowia enegia ciała podlegającego uchowi hamonicznemu jes sała i popocjonalna do kwadau ampliudy dgań. m ma ( ω ) Aω sin + ϕ ( ω + ) Acos ϕ ma Aω

13 Enegia w uchu hamonicznym E E E E Ekin + E po m + k ka mma ( ) E ( ) po + kin E ( Enegia po E kin () ) E cons Całkowia enegia E po E kin -A A Enegia poencjalna jes maksymalna gdy ciało znajduje się w punkcie najdalej położonym od położenia ównowagi ±A i spada do zea gdy wychylenie ciała od położenia ównowagi. W punkach w kóych enegia poencjalna jes maksymalna enegia kineyczna spada do zea, zaś w punkach w kóych enegia poencjalna jes ówna zeu, enegia kineyczna jes maksymalna. - /A /( ω A ) T ϕ

14 Składanie dgań hamonicznych zachodzących z ą samą częsością kołową ω w ym samym kieunku ( ) A ( ω + ) ( ) ( ) A cos ω + ϕ cos ϕ Daganie wynikające ze złożenia ych dgań w ( ) A cos( ω + ϕ ) w w ( ) A cos( ω + ϕ ) A cos( ω) cos( ϕ ) A sin( ω) ( ϕ ) sin ( ) A cos( ω + ϕ ) A cos( ω) cos( ϕ ) A sin( ω) ( ϕ ) sin Na mocy zasady supepozycji ( ) ( ) + ( ) [ A ( ϕ ) + A cos( ϕ )] cos( ω) [ A sin( ϕ ) A sin( ϕ )] sin( ω) w w A cos + ( ) A cos( ω + ϕ ) A cos( ω) cos( ϕ ) A sin( ω) sin( ϕ ) w Z poównania (*) i (**) ( ϕ ) [ A cos( ϕ ) A ( ϕ )] w cos w + cos w w Aw sin( ϕ w ) [ A sin( ϕ ) + A sin( ϕ )] cos ( α + β ) cos( α ) cos( β ) sin( α ) sin( β ) w w w (*) (**)

15 A A ( ϕ ) [ A cos( ϕ ) A ( ϕ )] A sin( ϕ ) [ A sin( ϕ ) A ( ϕ )] w cos w + cos ( ϕ ) A sin g w A cos + ( ϕ ) + A sin( ϕ ) ( ϕ ) A cos( ϕ ) w w + sin [ ( ) ( )] cos ϕ + sin ϕ [ A cos( ϕ ) + A cos( ϕ )] + [ A sin( ϕ ) A sin( ϕ )] w w w + A w + [ A cos ( ϕ) + A A cos( ϕ) cos( ϕ ) + A cos ( ϕ )] sin ( ϕ) + A A sin( ϕ) sin( ϕ ) + A sin ( ϕ ) cos ( ϕ) + sin ( ϕ) + A cos ϕ + sin ϕ + + A + A A cos( ϕ ϕ ) [ A ] A [ ] [ ( ) ( )] A A cos( ϕ ) cos( ϕ ) + sin( ϕ ) sin( ϕ ) A A w + A + A cos ( ϕ ) A A ϕ [ ] ) Ampliuda dgań jes maksymalna i ówna A w A + A wedy gdy ϕ ϕ nπ n-liczba całkowia ) Ampliuda dgań jes minimalna i ówna A w A A wedy gdy ϕ ϕ ( n + )π n-liczba całkowia

16 Oś obou θ P C θ Wahadło fizyczne Ciało szywne o masie m i dowolnym kszałcie, może się obacać wokół. oś OZ d dowolnej osi OZ niepzechodzącej pzez śodek ciężkości (masy) ciała. Po odchyleniu od położenia ównowagi o ką θ, pojawia się momen siły ciężkości dążący do pzywócenia ównowagi o τ waości τ d τ τ z mgd ( θ ) sin( θ ) F c d sin mgd Rzu momenu siły na oś OZ posopadłą do płaszczyzny dgań sin ( θ ) Śodek ciężkości F c mg (masy) Znak gdyż momen siły ma zwo pzeciwny do zwou osi Oz ( usalonego pzez zwo wekoa pędkości kąowej w uchu w kóym θ ośnie) gdy sin( θ ) > < θ < π F c

17 Równanie uchu oboowego Pzyspieszenie kąowe Iε τ z I momen bezwładności względem osi obou Równanie uchu dla małych wychyleń gdy sin(θ) θ Ma ono aką samą posać jak dla ciężaka umieszczonego na spężynie d d θ I ( )θ mgd k m dω ε d θ gdy dokonamy zamiany ε ε z d θ I d θ dω mgd d ωk θ ω ωz sin mgd I θ k mgd, m I, ( θ ) θ

18 Spężyna d k m Wahadło fizyczne (dla małego ką maksymalnego wychylenia θ ma ) d θ mgd I θ A ( ω + ) cos ϕ ( ) θ + θ ma cos ω ϕ ω k m ω mgd I T π π ω m k T π π ω I mgd

19 O θ F s Wahadło maemayczne Punk maeialny o masie m zawieszony na nici o długości l pousza się po okęgu o pomieniu l. dl θ mg F c Momen bezwładności względem osi obou T I ml Odległość osi obou od śodka ciężkości d l Dla małego maksymalnego kaa wychylenia θ ma spełniającego elację sin(θ ma ) θ ma mamy do czynienia z uchem hamonicznym o okesie I ml π π π mgd mgl Pzy małych wychyleniach okes nie zaleŝy od masy m i ampliudy dgań l g

20 F Dgania hamoniczne łumione Opócz siły hamonicznej wysępuje siła łumiąca popocjonalna do waości pędkości i pzeciwnie skieowana do wekoa pędkości F b i a ai b-współczynnik łumienia Wypadkowa siła działająca na ciało wyp F + F ( k b )i Równanie uchu ma F wyp ma k b F b F ki i < b F ki F ki > > b F F d b d k + + m m d a d

21 Dgania łumione- ozwiązanie dla małego łumienia b β < ω m ω Wychylenie z położenia ównowagi ( ) ( ) β Ae cos ω + ϕ Ae cos( ω + ϕ ) Częsość kołowa dgań ω b m b m ω β gdzie ω β częsość dgań swobodnych bez łumienia k m b m Jeżeli łumienie jes małe o ciało wykonuje dgania, ale ampliuda dgań wykładniczo zanika. Częsość dgań jes nieznacznie mniejsza niż w pzypadku baku łumienia.

22 Wykes uchu hamonicznego łumionego +A A( ) Ae β < ω β /τ Ae Zmienna w czasie ampliuda dgań T β τ m b -sała czasowa łumienia dgań ( czas elaksacji) -A Ae β cos ( ω + ϕ ) Po czasie τ ampliuda maleje e-konie Uwaga: Gdy β > ω o uch ciała nie ma chaakeu dgań. Ciało wychylone z położenia ównowagi nie posiadające pędkości począkowej waca asympoycznie do położenia ównowagi najszybciej wówczas gdy β ω (uch pełzający kyyczny)

23 Dgania wymuszone Na układ o częsości własnej dgań swobodnych ω działa dodakowo peiodyczna siła wymuszająca F wyp Wypadkowa siła działająca na układ k b + F wyp ma F cosω F cosω k b d d + β Równanie uchu cosω cosω W sanie usalonym układ wykonuje dgania o częsości ównej częsości siły wymuszającej Acos( ω δ ). Ampliuda d + F + ω F m d m dgań A i faza δ zależy od częsości ω i ω F βω β b ω A δ acg ϕ accos acg accos mg ω ω G m mg ω ω G ( ) b ( ω ω ) + 4β ω ( ω ω ) + ω m β b m

24 Dgania wymuszone. Rezonans A F / m F / ( ω ω ) + 4β ω b ( ω ω ) + m ω m Dla β (b,bak łumienia) ω ω A ezonans β > 4 > β3 > β β W obecności łumienia ampliuda ezonansowa jes skończona i ym mniejsza im większe β (czyli eż b). Częsość ezonansowa (dla b kóej ampliuda osiąga waość maksymalną) wysępuje gdy β < m i jes okeślona wzoem ω Jes ona nieco mniejsza od ω. ω R b β ω m ω

25 Fale Falą nazywamy popagację zabuzenia w ośodku (ośodek jako całość nie pzemieszcza się). Ruch falowy związany jes zwykle z anspoem enegii pzez ośodek, kóemu nie owazyszy anspo maeii.

26 Fale pzenosząenegięa nie maeię. Fale na wodzie pzenosząenegie ale nie masę. Fale mogąisniećylko wedy gdy isnieje enegia, kóą pzenoszą

27 Typy fal. Fale mechaniczne (ozchodzą się w ośodku maeialnym np. woda, powieze, ciało sałe, w akcie ozchodzenia się fali cząseczki ośodka wykonują dgania wokół położenia ównowagi ) Pzykład: fala dźwiękowa, fale na sznuze, fale na powiezchni wody (np. fale moskie). Fale elekomagneyczne (dgania pola elekycznego i magneycznego) Pzykład: fale adiowe, mikofale, świało, pomienie engenowskie 3. Fale maeii Fale mechaniczne mogą ozchodzić się ylko w ośodku maeialnym Fale elekomagneyczne mogą ozchodzić się akże w póżni. Fale mogą ozchodzić się w ośodku jednowymiaowym ( np. fale na sznuze), dwuwymiaowym ( np. fale na powiezchni wody) lub ójwymiaowym ( np. fale akusyczne w powiezu)

28 Fala popzeczna (fale na sznuze) Cząseczki ośodka pouszają się posopadle do kieunku ozchodzenia się fali Fala podłużna (fala na spężynie, fala akusyczna) Cząseczki ośodka pouszają się ównolegle do kieunku ozchodzenia się fali W gazach i cieczach mogą ozchodzić się ylko mechaniczne fale podłużne, gdyż gazy i ciecze nie mają spężysości posaci

29 Fala hamoniczna, paczka falowa, impuls Fala hamoniczna wywazana jes pzez źódło wykonujące dgania hamoniczne (punky ośodka wykonują dgania hamoniczne z óżnymi fazami) Paczka falowa powsała w wyniku nałożenia się na siebie kilku fal hamonicznych o óżnych ampliudach i częsościach dgań Pojedynczy uch źódła może powodować powsanie impulsu falowego

30 Fale ozchodzące się w ośodku ójwymiaowym Fala płaska hamoniczna powiezchnia falowa jes płaszczyzną (powiezchnia falowa- powiezchnia łącząca wszyskie punky ośodka, dgające w ej samej fazie) Fala kulisa ozchodzi się we wszyskich kieunkach, wychodzących z jednego punku będącego źódłem fali. Powiezchnie falowe są sfeami.

31 Fala akusyczna po wybuchu pocisku jes falą sfeyczną Powiezchnie falowe Z dala od źódła fala może być pzybliżona pzez fale płaską

32 Wielkości opisujące falę hamoniczną Wychylenie z położenia ównowagi (oznaczenie D) W ogólnym pzypadku D może oznaczać zabuzenie wywołane pzez falę A ampliuda fali, π ω πf częsość kołowa dgań T Długość fali λ jes ówna odległości między punkami dgającymi w ej samej fazie.

33 Związki pomiędzy wielkościami opisującymi falę hamoniczną Powiezchnia falowa (gzbie fali) pzesuwa się w pawo z pędkością o waości. Podczas okesu dgań T pzebywa on dogę ówną długości fali. Pędkość ozchodzenia się fali doga λ λ λf ω czas T π π k -liczba falowa ω λ k ω k Częso pędkość nie zależy od k czyli akże długości fali. Wówczas ω jes liniową funkcją k. Isnieją jednak fale kóych pędkość zależy od k (np. świało ozchodzące się w ośodku óżnym od póżni, kiedy mamy do czynienia z dyspesjąświała)

34 Równanie fali płaskiej hamonicznej biegnącej wzdłuż osi O z pędkością o waości W dowolnym punkcie ośodka wychylenie jes ówne D ) Acos( ω +ϕ ) ( Faza począkowa ϕ zależy od położenia. Niech faza począkowa w punkcie będzie ówna δ. Tę samą fazę punk o współzędnej będzie miał po upływie czasu pozebnego na pzebycie pzez falę odległości z pędkością o waości, czyli po czasie / ω ϕ δ ϕ δ + ω (, ) cos( ω ω D A +δ ) D(, ) Acos( ω k + δ ) D, ) δ D(, ) Acos π ( ) λ T π D k ω k π λ Acos( k ω δ ) ( π λ λδ π λδ, ) Acos ( ) Acos ( ) λ T π λ π ( ω π T Równanie fali płaskiej hamonicznej

35 ), ( ), ( D D + λ Ławo można pokazać iż dla dowolnego czasu wychylenie cząsek ośodka z położenia ównowagi D(,) spełnia elacje czyli w dowolnej chwili czasu jes ono jednakowe w punkach odległych o długość fali. Dla fali płaskiej popagującej w ośodku ójwymiaowym ) cos( ), ( ω δ k A D k -weko falowy opisujący kieunek ozchodzenia się fali λ π / k k ), ( cos ) cos( ) cos( cos ), ( D T A A A π δ T A D T T π δ λ π δ δ π λ λ π λ π λ π π λ π ) ( cos ), ( π δ λ π T A D

36 ) ( ), ( f D + Ogólnie falę płaską popagującą wzdłuż osi O w kieunku pzeciwnym do zwou osi O z pędkością o waości można opisać funkcją Ogólnie falę płaską (niekoniecznie hamoniczną) popagującą wzdłuż osi O w kieunku zgodnym ze zwoem osi O z pędkością o waości opisuje funkcja ) ( ), ( f D Funkcję opisujące e fale spełniają ównanie falowe Opeao Laplace a (laplasjan) z y + + Równanie falowe w zech wymiaach ),,, ( ),,, ( z y D z y D f f f f f f f f f f -pochodna (cząskowa) funkcji f po zmiennej (czasie) f ) ( f -dowolna funkcja agumenu - ) ( cos ), ( π λδ λ π A D Np. dla ozważanej fali hamonicznej

37 Fala akusyczna podłużne pzemieszczenia cząsek powadzące do zmian ciśnienia Wychylenie cząsek od położenia ównowagi D(, ) Acos( k ω δ ) eq eq eq Fala a może się ozchodzić się w gazach, cieczach i ciałach sałych Zmiana ciśnienia w sosunku do ciśnienia śedniego p pam pma sin( keq ω δ ) pma cos( keq ω δ π / ) Zmiana ciśnienia jes ówna zeu w miejscach gdzie wychylenie cząsek jes maksymalne. Jes ono mała -5 Pa- Pa w sosunku do śedniego ciśnienia amosfeycznego 5 N Pa Pa m

38 Pędkość fali akusycznej ( dźwiękowej) Waość pędkości dźwięku w gazie B ρ κp ρ ρ- gęsość gazu p B- modułściśliwości B / p - ciśnienie gazu, κc p /c v ( sosunek ciepła molowego pzy sałym ciśnieniu do ciepła molowego pzy sałej objęości / -względna zmiana objęości wywołana pzez zmianę ciśnienia p

39 Naężenie fali I enegia fali pzenoszona w jednosce czasu (moc) pzez jednoskową powiezchnie posopadłą do kieunku ozchodzenia się fali -waość pędkości ozchodzenia się fali E ρ- gęsość ośodka w kóym fala się ozchodz I S Naężenie fali akusycznej ρω A Naężenie fali jes popocjonalne do kwadau ampliudy A i kwadau częsości kołowej ω. W pzypadku fali akusycznej zwykle ejesowanej pzez człowieka naężenie zawiea się w zakesie od - W/m do W/m (czemu odpowiada A z zakesu od - m do -5 m). Dowód. Pzez ozpaywaną powiezchnie o polu S pzedosanie się w ciągu czasu enegia związana z dganiami cząseczek zawaych w objęości S ob Sl S Enegia a jes ówna o masie E m ρ ob ρs mω A ρs ω A L

40 Poziom naężenia dźwięku Poziom en dla fali akusycznej o naężeniu I wyażony w decybelach można okeślić ze wzou: L log I I gdzie I W Dźwiękowi o naężeniu II - W/m (póg słyszalności ) odpowiada L db, zaś dźwiękowi o naężeniu IW/m odpowiada L db. m

41 Efek Dopplea dla fal akusycznych Odbieana częsość dźwięku zależy od wzajemnego uchu obsewaoa i źódła Źódło Z pousza się względem nieuchomego obsewaoa O- efek skócenia długości fali gdy źódło zbliża się do obsewaoa efek wydłużenia długości fali gdy źódło oddala się od obsewaoa Źódło wysyła falę kulisą. Okęgi obazują powiezchnie falowe oddalone o λ i pouszające się z pędkością o waości miezoną względem ośodka w kóym fala się ozchodzi O

42 Pzy baku uchu źódła względem obsewaoa długość fali λ T gdzie f Z - częsoliwość fali ówna częsoliwości dgań z fz źódła Efek Dopplea. Źódło pzybliża się do obsewaoa O Podczas jednego okesu dgań T z źódło pzesuwa się o odcinek T Z Z f Z Z gdzie z - pędkośćźódła miezona w układzie w kóym fala się ozchodzi Długość fali ulega skóceniu o en odcinek. Długość fali dochodzącej do nieuchomego w ozważanym układzie obsewaoa z λ' Odbieana pzez niego f fz fz Z fo f częsoliwość fali Z Z λ' Zbliżanie sięźódła dźwięku powoduje wzos częsoliwości ( Z >) (skócenie długości fali) Oddalanie sięźódła zmniejszenie częsoliwości ( Z <) (zwiększenie długości fali) Z

43 Efek Dopplea- Obsewao pousza się względem nieuchomego źódła Źódło wysyła falę kulisą. Okęgi obazują powiezchnie falowe (gupujące punky w kóych dgania zachodzą w ej samej fazie) oddalone o λ i pouszające się z pędkością. Jeśli obsewao by się nie pouszał o w ciągu czasu ejesowałby /λ powiezchni falowych (pzecinał by yle okęgów na ysunku) Ponieważ pousza się w sonęźódła z pędkością o w ym samym czasie ejesuje on /l dodakowych powiezchni falowych. Częsoliwość odbieana pzez obsewaoa jes ówna liczbie powiezchni falowych odbieanych w jednosce czasu f o ( λ + λ o + o ( + o )f z ) f ( + λ z o ) Gdy obsewao się zbliża częsoliwość odbieana jes większa, Gdy się oddala - mniejsza

44 Efek Dopplea dla fal akusycznych Jeżeli źódło się pousza w kieunku obsewaoa λ ulega skóceniu oddalając się od obsewaoa λ ulega wydłużeniu Obsewao pousza się w kieunku źódła λ ulega skóceniu f f o f z z f o f z + z + f Z oddala się od źódła λ ulega wydłużeniu f f Z z, f, f o z o, f, f o z z o, fo,99 f z, fo,9 f z

45 Zasada supepozycji Zabuzenie wywołane w dowolnym punkcie pzez dwie nakładające się fale jes ówne sumie zabuzeń wywołanych pzez każdą z fal. Zabuzenie wywołane pzez falę D( ) Acos( ω + φ) + D D ( ) A cos( ω + ) ϕ Zabuzenie wywołane pzez falę ( ) A cos( ω + ) ϕ Zabuzenie wypadkowe D ( ) D ( ) + D ( ) +

46 Supepozycja fal o jednakowych częsościach popagujących z jednakową pędkością w ym samym kieunku wywołujących dgania w ym samym kieunku Wypadkowe pzemieszczenie jes sumą pzemieszczeń wywołanych pzez obie fale D (, ) D (, ) + D(, ) ϕ ϕ ϕ nπ Fala Fala Fala Suma D +D ϕ ϕ ϕ ( n )π + n-liczba całkowia Inefeencja konsukywna Inefeencja desukywna Rysunek dla fal o ych samych ampliudach ównych A. W wyniku inefeencji ych fal powsaje fala o ej samej częsości i ampliudzie A W z zakesu od do A (ysunek pzedsawia syuacje gdy A w A i A w ) a wiec o ampliudzie większej od A (inefeencja konsukywna) lub mniejszej od A (inefeencja desukywna) w zależności od óżnicy faz dgań obu fal. Uwaga: W pzypadku gdy fale popagują w óżnych kieunkach óżnica faz może zależeć od położenia punków w kóych obsewujemy inefeencje fal.

47 Fale sojące D (,) Acos(k - ω) D (,) Acos(-k - ω) Acos(k + ω) Fala sojąca powsaje np. w wyniku inefeencji jednakowych fal i popagujących w pzeciwnych kieunkach Fala wypadkowa D w (,) D (,) + D (,) Acos(k - ω) + Acos(k + ω) Acos(k) cos(ω) ±A w cos(ω) k π λ D w λ A w A D D θ + φ θ φ cosθ + cosφ cos cos Wszyskie punky wykonują dgania w ej samej fazie. Fali sojącej nie owazyszy popagacja enegii, choć z falą ą jes związana enegia dgań punków ośodka

48 D w (,) Acos(k) cos(ω) ±A w cos(ω) ampliuda dgań w fali sojącej zależy od położenia punku w pzeszeni Cechą fali sojącej jes o, iż można wyóżnić punky, w kóych ampliuda dgań jes maksymalna i ówna A nazywane szałkami fali oaz punky, w kóych dgania nie wysępują nazywane węzłami fali. Odległość pomiędzy sąsiednimi węzłem i szałką fali jes ówna λ/4. λ / 4 szałka A π w Acos( k) A cos λ (*) węzeł węzeł Dla fali sojącej opisanej wzoem (*) szałki fali wysępują w punkach, λ w kóych: m, λ m + zaś węzły dla punków, w kóych:,gdzie m-liczba całkowia. ( ) 4

49 Fale sojące na sunie W sunie o długości L zamocowanej na dwóch końcach o może pojawić się fala sojąca o dużej ampliudzie, gdy na obu końcach suny znajdzie się węzeł fali sojącej. Wynika sąd waunek Zmiana fazy λ L n n,,3.. pzy odbiciu skąd wynika iż długości fali i częsość ozchodzących się fal muszą spełniać waunki L λ λn n f n T λ n L -waość pędkości fal ozchodzących się w sunie Dganie o n o dganie podsawowe n