ĆWICZENIE 2. BADANIE WAHADEŁ SPRZĘŻONYCH.

Transkrypt

1 ĆWICZENIE BADANIE WAHADEŁ SPRZĘŻONYCH Wahadło sprzężone Weźmy pod uwagę układ złożony z dwóch wahadeł o długościach połączonych sprężyną o współczynniku kierującym k Rys Na wahadło działa siła będąca składową siły ciężkości równoege do osi x, kórej warość (da małych wychyeń) jes proporcjonana do wychyenia F ~ x, ub w posaci równości F = x, oraz siła sprężysości pochodząca od sprężyny sprzęgającej oba wahadła F = k( y x) Na drugie wahadło działają odpowiednio siły F = y oraz F = k( x y) = k( y x) Różniczkowe równanie ruchu da pierwszego wahadła zapiszemy w posaci: m d x = x + k( y x ), // d a da drugiego w posaci m d y = y k( y x ) // d Orzymaiśmy układ dwóch iniowych, jednorodnych, zaeżnych równań różniczkowych Niech m = m = m, wówczas dodając sronami // i // dosaniemy m d x m d y + = ( x + y ), d d Wahadła sprzężone

2 ub m d ( x + y) = ( x + y ), d /3/ a odejmując sronami od równania // równanie // orzymamy: m d ( x y) = ( x y) k( x y ) d /4/ Wprowadźmy nowe oznaczenia: i V = ( x y ), U = ( x + y ) Wówczas równanie /3/ przejdzie w równanie m d U = U, d /5/ a równanie /4/ w równanie m d V = V kv d Po prosych przekszałceniach osani związek da się zapisać jako: d V g k = + d m V /6/ Niech g = ω g k, a + = ω, m /7/ wówczas d U + ω U = 0, d /8/ oraz d V + ω V = 0 d Są o różniczkowe równania oscyaorów harmonicznych prosych Rozwiązania ych równań możemy przedsawić związkami: U = A cos( ω + φ ), oraz /9/ V = A cos ω + φ, ( ) gdzie: A, A, φ, φ - sałe dowone, kóre możemy wyznaczyć z warunków począkowych, (A - ampiudy, φ - fazy począkowe) Funkcje przedsawione wyrażeniami /9/ opisują drgania własne wahadeł sprzężonych, a częsości ω i ω są częsościami własnymi Wracając do zmiennych wyjściowych orzymamy: x - y = A cos(ω + φ ), x + y = A cos(ω + φ ), sąd x = [ A cos( ω + φ ) + A cos( ω + φ )], /0/ Wahadła sprzężone

3 oraz y = [ A cos( ω + φ ) A cos( ω + φ )] // Ruch wahadeł sprzężonych przy małych wychyeniach jes superpozycją dwóch drgań normanych (własnych) o różnych częsościach własnych ω ω Układ aki jes układem niezdegenerowanym W przypadku układu zdegenerowanego ω = ω Niech w chwii począkowej A = 0, wówczas x = y = A cos ω + φ, // ( ) gdzie: ω = g Oba wahadła wykonują jednocześnie drgania o częsości własnej ω i fazie począkowej φ Jeżei w chwii począkowej A = 0, o x = y = A cos ω + φ, /3/ ( ) gdzie ω = g k + m Oba wahadła drgają z cząsością kołową ω i znajdują się w ej samej fazie φ Powyższe rozważania można uogónić Wahadło sprzężone sanowi układ o dwóch sopniach swobody, kórych ruch jes superpozycją dwóch, zachodzących równocześnie, niezaeżnych drgań harmonicznych Przypuśćmy, że częsości własne wahadeł sprzężonych nieco się różnią, a zaem jes spełniony warunek ω ω Możiwe jes o, gdy k g /3'/ m Da uproszczenia przyjmijmy, że ampiudy A = A = A, a fazy począkowe φ = φ = 0 Jak wcześniej pokazano ω = g a ω = g k + m Po prosych przekszałceniach g ω = + k, ae k + = k + Wahadła sprzężone 3

4 ponieważ k (z założenia słabe sprzężenie), o osanie wyrażenie można rozwinąć w szereg poęgowy Newona k k 3 + = k + k k + = + Z uwagi na warunek /3'/ odrzuciiśmy w rozwinięciu wyrazy wyższe od drugiego rzędu g k Zaem ω + ω m Obecnie wzory /0/ i // możemy zapisać w posaci: A ω ω + ω x = ( cosω + cosω ) = A cos cos, /4'/ A ω ω + ω y = ( cosω cosω ) = A sin sin Wprowadzając oznaczenia ω ω + ω = ω oraz = ω, osanie zaeżności możemy zapisać x = A cos cos ω ω, /4/ y = A sin sin ω ω Wyrażenia A cos ω i A sin ω są odpowiednio ampiudami pierwszego i drugiego wahadła, jak widać ze wzoru /4/, zaeżnymi od czasu Przebieg drgań przedswiono na wykresach poniżej Rys Wahadła sprzężone 4

5 Porównując oba wykresy, ławo zauważyć, że gdy jedno wahadło wykonuje drgania maksymane, drugie w ym czasie znajduje się w położeniu równowagi i odwronie Zaem energia drgań periodycznie przechodzi od jednego wahadła do drugiego i na odwró Obserwowane zjawisko sanowi dudnienia o częsości ω + ω = ω = πν gdzie :ν = - jes częsoiwością dudnienia o okresie T T Aby obiczyć energię przenoszoną z jednego wahadła na drugie we wzorach /4'/ podsawiamyω = ω + ω mod, oraz ω = ω mod wówczas x = [ A cos( ω + ω mod ) + A cos( ω mod ) ] Amod ( ) cosω, /5/ y = [ A cos( ω + ω mod ) A cos( ω mod ) ] Bmod ( ) sinω Drgania opisane powyższymi równaniami mają cechy drgań quasiharmonicznych Energia całkowia jes sumą energii kineycznej i poencjanej wahadeł ( jeżei sprężyna jes słaba, o i sprzężenie słabe i energię przekazywaną pomiędzy sprężyną sanowiącą słabe sprzężenie z wahadłem możemy pominąć) Energia wahadła mv E = E k + E p = + mω x = mω A Wahadło możemy porakować w ciągu jednego cyku "szybkich oscyacji" (parz wykresy wyżej) jako oscyaor harmoniczny o częsości własnej ω śr i sałej ampiudzie A mod, zaem: E = mω Amod = ma ω cos ω mod Widać sąd, że energia a jes równa podwojonej warości jego średniej energii kineycznej (uśrednionej po czasie równym okresowi "szybkiego" cyku) Podobnie da drugiego wahadła Po zsumowaniu E = mω Bmod = ma ω sin ω mod E = E + E = ma ω Różnica ych energii wyraża się wzorem = ( ) E E E cos ω ω Z dwóch osanich równań ławo orzymać zaeżność E = E[ + cos( ω ) ], Wahadła sprzężone 5

6 oraz /6/ E = E[ cos( ω ) ] Energia całkowia obu wahadeł jes sała i przepływa z jednego wahadła do drugiego z częsością równą częsości dudnień Rys3 "Zegar amoniakany" Słabo sprzężone oscyaory spoykamy częso w mikroświecie Opis maemayczny wykazuje duże podobieńswo do opisu słabo sprzężonych wahadeł o dwu sopniach swobody Zamias przepływu energii z częsoiwościami dudnień jak o obserwujemy w układach mechanicznych mamy u do czynienie z przepływem prawdopodobieńswa, ponieważ kwadra ampiudy da poszczegónego sopnia swobody daje prawdopodopodobieńswo, że en sopień swobody ma cała energię (zosał pobudzony) Ponado energia w mechanice kwanowej jes skwanowana Przykładem akiego oscyaora sprzężonego może być zegar amoniakany Zasadniczą częścią zegara amoniakanego jes cząseczka amoniaku NH 3 Trzy aomy wodoru worzą rójką równoboczny a aom azou może przyjmować dwa położenia w odpowiednich wierzchołkach czworościanu, kórego podsawę wyznaczają aomy wodoru Aom azou mogący wykonywać drgania wokół położeń równowagi w kórymkowiek wierzchołku zachowuje się jak wahadło Oba położenia odpowiadają dwu wahadłom Przejście z jednego położenia do drugiego urudnione jes barierą poencjału odgradzającą jedno położenie od drugiego W mechanice kwanowej isnieje możiwość przenikania przez barierę poencjału Niech w chwii = 0 cząseczka NH 3 znajduje się Wahadła sprzężone 6

7 Rys4 w akim sanie kwanowym, że aom azou wykonuje drgania wokół położenia równowagi // Począkowe prawdopodobieńswo Ψ =, a Ψ = 0 (w sanie // prawdopodobieńswo drgań aomu azou jes równe 0) Z rozwiązania równań Schrödingera wynika, że Ψ = [ ( ) ] + cos ω, Ψ = cos ω, [ ( ) ] gdzie: ω i ω - o częsości kołowe drgań normanych Ławo zauważyć, że całkowie prawdopodobieńswo (pobyu aomu N w sanie i ) Ψ = Ψ + Ψ = Jeżei ω > ω, o san cząseczki jes nierwały (odpowiada wzbudzeniu i cząseczka emiuje faę eekromagneyczną o częsoiwości równej częsoiwości dudnień ν= ν - ν przechodząc do sanu // (odpowiadającego sanowi podsawowemu) Przy czym ν 0 0 Hz co odpowiada długości fai λ,5 cm Przepuszczając przez gazowy amoniak wiązkę mikrofa o częsoiwości 0 0 Hz powodujemy wzbudzenia cząseczek do sanu // Nasępuje wymiana energii między wiązką mikrofa a gazowym amoniakiem i na odwró cząseczki amoniaku pozbywając się wzbudzeń przekazują foony do wiązki mikrofa Zbudowany na ej zasadzie zegar daje jeden z najdokładniejszych pomiarów czasu Układ obojęnych mezonów Κ Układ składa się mezonów Κ o i anyymezonów Κ o, posiada dwa sopnie swobody i zachowuje się podobnie do układu dwu słabo sprzężonych wahadeł Każdy z nich może oddziaływać z mezonami Π drogą słabego oddziaływania Wahadła sprzężone 7

8 Mezony Π sanowią u anaogię sprężyny Zaem mamy dwie posacie drgań o prosych mezon Κ i Κ o, przy czym en pierwszy podega sinemu łumieniu a en drugi jes słabo łumiony Jeżei prawdopodobieńswo w chwii = 0, że mezon Κ o jes sinie łumiony wynosi, o prawdopodobieńswo o zmniejsza się z czasem wykładniczo Ψ Κ o Ψ = e τ Tłumienie wynika z rozpadu mezonu na piony, a τ jes średnim czasem życia Κ o Jeżei w chwii = 0 = (prawdopodobieńswo znajdowania sie w sanie Κ o ) i jeżei nie było łumienia, o prawdopodobieńswo, że układ znaazł się w późniejszej chwii w ym samym sanie Κ o Ψ Κ o = + ( ) [ ] cos ω ω, a prawdopodobieńswo znaezienia się układu (bez łumienia) w sanie Κ o Ψ = Κ o [ ( ) ] cos ω Ponieważ wysępuje łumienie (rozpad mezonów Κ o i anyymezonów Κ o na piony - inne cząski eemenarne), o prawdopodobieńswo wyraża się wzorami: ( τ + τ τ ) τ Ψ Κ o = e + e + e ( ) 4 cos ω ω, ( τ + τ τ ) τ Ψ Κ o = e + e e ( ) 4 cos ω ω Wykonanie ćwiczenia Zesaw pomiarowy składa się dwu wahadeł, ekkiej sprężyny i ewenuanie częsościomierza (icznika) z fookomórką Rys5 Przebieg pomiarów Monujemy wahadło I o długości Mierzymy czas 00 wahnięć wahadła I i wyznaczamy częsość ω 0 Wahadła sprzężone 8

9 3 Monujemy wahadło II o długości 4 Mierzymy czas 00 wahnięć wahadła II i wyznaczamy częsość własną ω 0 5 Powarzamy pomiary z punku i 4 rzykronie Obiczamy średnią warość ω 0 i ω 0 6 Sporządzamy wahadło sprzężone i wyznaczamy czas 0 wahnięć wahadła II odchyając wahadło II o A przy ampiudzie wahadła I A = 0 Obiczamy częsość ω 7 Mierzymy czas 0 wahnięć wahadła I przy począkowym wychyeniu wahadła I o ampiudę A a wahadła II o A = 0 Obiczamy ω 8 Powarzamy pomiary z punku 6 i 7 dwukronie da akich samych wychyeń 9 Powarzamy pomiary z punku 6, 7 i 8 da różnych ampiud począkowych (rzech) 0Powarzamy pomiary z punków - 9 da 4 rożnych długości wahadeł ( = ) Wychyamy wahadła I i II o akie same ampiudy Mierzymy częsość dudnień Wyznaczamy czas 0 dudnień a nasępnie obiczamy częsość dudnień (da każdego układu sprzężonego) Obiczamy częsość dudnień ω = ω (da każdego układu sprzężonego) 4π 3Obiczamy sałą sprzężenia sprężyny k = ( ω ) 4Obiczamy prawdopodobieńswo przenoszenia energii E /E i E /E da każdej serii pomiarów da chwi odpowiadających wieokroności /4 okresu dudnień 5Sporządzamy wykresy E /E = f () i E /E = f () 6Powarzamy pomiary i obiczenia da układu wahadeł sprzężonych o długościach = 7Przeprowadzamy rachunek i dyskusję błędów 8Wyciągamy wnioski i przeprowadzamy dyskusję wyników LITERATURA RFeynman, RLeighon, MSands - Feynmana wykłady z fizyki I ci FCCrawford - Fae 3 JGiner, OGzowski i inni - Fizyka czii 4 red SKaiski - Drgania i fae Wahadła sprzężone 9