Siła sprężystości - przypomnienie

Transkrypt

1 Siła sprężystości - przypomnienie Pomiary siły sprężystości wykonane kilka wykładów wcześniej (z uwzględnieniem kierunku siły). F = kx = 0.13x 0 F x cm mg

2 Prawo Hooke a Ciało m na idealnie gładkiej powierzchni (brak tarcia) Prawo Hooke a F = kx k > 0 F x D.C. Giancoli, Physics for Scientists & Engineers

3 Zakres stosowalności prawa Hooke a F zerwanie x a

4 Sytuacja dynamiczna ruch oscylacyjny wokół położenia równowagi Ruch oscylacyjny F = kx x ma = kx m d 2 x dt 2 = kx m!! x = kx!! x + k m x = 0 D.C. Giancoli, Physics for Scientists & Engineers równanie różniczkowe zwane równaniem oscylatora harmonicznego

5 Symulator sprężyny zawieszonej pionowo Siła grawitacja nie wpływa na drgania, przesuwa jedynie położenie równowagi wokół którego występują drgania. Ruchem drgającym rządzi jedynie siła sprężystości (jeżeli pominiemy opory).

6 Jak wygląda rozwiązanie równania oscylatora harmonicznego

7 Rozwiązanie równania oscylatora harmonicznego faza x = Acos( ωt +ϕ) amplituda (m) częstość kołowa (kątowa) (rad/s) - nie mylić z prędkością kątową! faza początkowa okres drgań: t = T = 2π ω częstotliwość drgań: f = 1 T = ω 2π

8 Rozwiązanie równania oscylatora harmonicznego położenie: prędkość: przyspieszenie: x = Acos( ωt +φ)!x = Aω sin( ωt +φ) x!! = Aω 2 cos( ωt +φ) = ω 2 x Podstawiając do równania oscylatora harmonicznego: ω 2 x + k m x = 0 ω = k m T = 2π m k

9 Oscylatora harmoniczny - przykład Warunki początkowe: x = 0, t = 0, v = -3 m s, k = 10, m = 0.1 kg v ω = k m = 10 rad s T = 2π m k s f = 1 T x 1.6 Hz t = 0, x = 0 0 = Acos( φ) cos( φ) = 0 φ = π 2 lub φ = 3π 2 t = 0, v = 3 3 = A ω sin( φ) A = 0.3 m D.C. Giancoli, Physics for Scientists & Engineers

10 Oscylator harmoniczny - przykład x = 0.3cos( 10t + π 2)

11 Oscylator harmoniczny - przykład v = 3sin( 10t + π 2) a = 30cos( 10t + π 2)

12 Rozważania energetyczne w ruchu harmonicznym prostym E całkowita E k E p

13 Energia potencjalna i kinetyczna w funkcji położenia energia kinetyczna energia potencjalna, studnia potencjału F s F s

14 Wahadło matematyczne y x θ l R θ Rsinθ Rcosθ m!! x = R(θ)sinθ = R(θ) x l, m!!y = R(θ)cosθ mg Przybliżenie małego kąta: (1) θ 1 rad, cosθ 1 (2)!!y 0 R = mg!! x + g l x = 0 mg Rozwiązanie: x = Acos( ωt +φ) równanie oscylatora harmonicznego! ω = g l T = 2π l g Symulacja:

15 Symulator wahadła

16 Tłumiony oscylator harmoniczny F s F opór Siła grawitacji nie ma wpływu na oscylacje przesuwa tylko położenie równowagi. Rolę odgrywa tylko siła oporu i sprężystości: F opór = bv F s = kx Rozwiązanie: Równanie ruchu: b m!! x = bv kx m!! x + b!x + kx = 0 ( ) x = A 0 e 2m t cos ωt +φ x mg obwiednia amplitudy Fizyka dla szkół wyższych Tom 1 by OpenStax

17 Oscylator harmoniczny tłumiony z siłą wymuszającą, zjawisko rezonansu F s F opór Dla oscylacji rolę odgrywają tylko siły oporu, sprężystości i wymuszającą: F opór = bv F s = kx F wym = F 0 sin ωt Rozwiązanie: ( ) (w obszarze stabilnych drgań) A Równanie ruchu: ( ) x = Acos ωt +φ ( ) m!! x = bv kx + F 0 cos ωt m!! x + b!x + kx F 0 cos ωt, gdzie rezonans A = F 0 ( ) = 0 ( ) + b 2 ω 2 m ω 2 ω 0 2 x mg F 0 cos( ωt) Obracająca sie tarcza napędzana silnikiem wymusza ruch oscylatora tłumionego. ω 0 = k m częstość drgań własnych układu (naturalna częstotliwość dla układ) Fizyka dla szkół wyższych Tom 1 by OpenStax ω 0 ω

18 Przykłady rezonansu w przyrodzie W 1940 r. most w Tacoma w stanie Waszyngton uległ zniszczeniu. Przyczyną był wiejący od oceanu zmienny wiatr, który choc słabszy od huraganu, wprowadził most w oscylacje przy częstotliwości rezonansowej. Gdy kable nośne uległy zerwaniu, współczynnik tłumienia spadł, co spowodowało jeszcze większa amplitude oscylacji i doprowadziło do zawalenia całej konstrukcji. Fizyka dla szkół wyższych Tom 1 by OpenStax W 1850 roku w Angers we Francji 487 żółnierzy maszerujących po moście wiszącym wprawiło go w drgania rezonansowe powodując zniszczenie mostu i śmierć 226 ludzi. H. C. Ohanian, J. T. Markert, Physics for Engineers and Scientists

19 Przykłady rezonansu w przyrodzie Szklany kielich pęka pod wpływem oscylacji rezonansowych wywołanych falą dźwiękową emitowaną przez trąbkę. By mocno rozhuśtać osobę na huśtawce trzeba pchać z odpowiednią częstotliwością. D.C. Giancoli, Physics for Scientists & Engineers

20 Przykłady rezonansu w przyrodzie Rezonans w obwodzie RLC

21 Przykłady rezonansu w przyrodzie Słońce emituje ciągłe spektrum światła każdemu kolorowi odpowiada inna częstotliwość fali elektromagnetycznej (E-M). Jeżeli częstotliwość fali E-M odpowiada częstotliwości drgań własnych molekuł (rezonans), następuje intensywny przekaz energii (absorpcja tej energii przez molekuły) cząstki zaczynają wibrować bardziej intensywnie z większą amplitudą Pobudzone cząsteczki często mogą wyemitować pobraną energię w postaci fal E-M (światła) o częstotliwościach rezonansowych

22 Przykłady rezonansu w przyrodzie

23 Suplement: Nie mylić częstości kołowej z prędkością kątową x = Acos( ωt +ϕ) częstość kołowa prędkość kątowa θ l θ l v t ω = 2π T = const nie ma nic wspólnego z θ! ω t = dθ dt = v t l

24 Suplement: Nie mylić częstości kołowej z prędkością kątową Tylko w przypadku ruchu jednostajnego po okręgu prędkość kątowa jest równa częstości kołowej!