Laboratorium Mechaniki Technicznej

Transkrypt

1 Laboratorium Mechaniki Technicznej Ćwiczenie nr 5 Badanie drgań liniowych układu o jednym stopniu swobody Katedra Automatyki, Biomechaniki i Mechatroniki Łódź, ul. Stefanowskiego 1/15, budynek A22 tel , fax ,

2 Cel ćwiczenia Poznanie podstawowych pojęć związanych z układem drgającym o jednym stopniu swobody. Nabycie umiejętności wyznaczania częstości drgań własnych tłumionych i nietłumionych, współczynnika tłumienia oraz współczynnika sztywności dla układu drgającego o jednym stopniu swobody. Wstęp teoretyczny Drgania mechaniczne układów masowo dyssypacyjno sprężystych w zależności od liczby stopni swobody, równań opisujących ruch, sposobu wymuszenia ( wytrącenia z położenia równowagi ), modelu, charakteru sygnału przemieszczeń i kierunku ruchu możemy podzielić na : - drgania układów o jednym stopniu swobody lub o wielu stopniach swobody ciągłych ( o skończonej liczbie stopni swobody ) dyskretnych ( o nieskończonej liczbie stopni swobody ) - liniowe i nieliniowe - autonomiczne ( swobodne ) lub nieautonomiczne ( wymuszone zewnętrznie lub wewnętrznie ) - zachowawcze ( bez tłumienia ) lub niezachowawcze ( z tłumieniem lub dyssypacją energii ) - zdeterminowane ( stochastyczne ) - wzdłużne, poprzeczne, rotacyjne ( giętne, skrętne ) itp. Ogólne równanie opisujące drgania mechaniczne d (m) = - S(x,t) T(x,,t) + P(t) dt gdzie : S siły pozycyjne związane z przemieszczeniem T siły tłumiące ( funkcja prędkości ) P zewnętrzne siły wymuszające

3 Drgania swobodne układu liniowego bez tłumienia o jednym stopniu swobody 1. Model układu Układ stanowi punkt materialny o masie m połączony elementem sprężystym z nieruchomą podstawą. k współczynnik sprężystości [ N/m ] 2. Wiadomości teoretyczne 2.1. Równanie drgań równanie dynamiczne ruchu masy m. + kx = 0 lub + = 0 gdzie α 2.2. Równanie ruchu drgającego punktu. x(t) = cos(αt) + sin(αt) x(t) = A sin(αt + β) - postać ogólna - postać sinusowa 3. Parametry ruchu drgającego = x(0) [m], = (0) [m/s] - warunki początkowe α = [ ] - częstość drgań własnych T = [ s ] - okres drgań własnych A = [m] - amplituda drgań własnych β = arctg ) - kąt przesunięcia fazowego

4 gdzie =α 4. Równanie prędkości punktu (t) = v(t) = αsin(αt) + cos(αt) (t) = v(t) = cos(αt+β) =! " - postać ogólna - postać cosinusowa - amplituda prędkości Pytania kontrolne Drgania swobodne układu liniowego z tłumieniem o jednym stopniu swobody 1. Model układu Układ stanowi punkt materialny o masie m połączony elementem sprężystym i elementem tłumiącym z nieruchomą podstawą. k współczynnik sprężystości [ N/m ] c współczynnik tłumienia wiskotycznego [ Ns/m ]

5 2. Wiadomości teoretyczne 2.1. Równanie drgań równanie dynamiczne ruchu masy m. m + c + kx = 0 lub + 2h + x = 0 gdzie 2h = #, = Rozważamy przypadek tłumienia słabego tzn. drgań podkrytycznych, gdy spełniony jest warunek : c < $ % = 2 ' lub h < α 2.2 Równanie ruchu drgającego punktu. x(t) = e )* [ cos( λt ) + ) + sin( λt ) ], x(t) = e )* sin( λt + β ) - postać ogólna - postać sinusowa 3. Parametry ruchu drgającego. = x(0) [ m ], = (0) [ m/s ] - warunki początkowe λ = h [ ] - częstość drgań własnych tłumionych / *ł =, [ s ] - okres drgań własnych tłumionych e )* [ m ] - umowna amplituda drgań własnych tłumionych = 1 ) + 2 [ m ], β = arctg 1, 2 - kąt przesunięcia fazowego ) +

6 Miarą tłumienia w układzie jest dekrement tłumienia : = = lub logarytmiczny dekrement tłumienia : * 6 " * ł " =()7 8ł δ = ln = h/ *ł Pytania kontrolne Drgania układu liniowego z tłumieniem o jednym stopniu swobody wymuszone siłą P(t) = 9 : sin( ωt ) harmonicznie zmienne w czasie. 1. Model układu. Układ stanowi punkt materialny o masie m połączony elementem sprężystym i elementem tłumiącym z nieruchomą podstawą poddany działaniu siły wymuszającej P(t)=; sin(ωt).

7 k współczynnik sprężystości [ N/m ] c współczynnik tłumienia wiskotycznego [ Ns/m ] P(t) siła wymuszająca [ N ] ; - amplituda siły wymuszającej [ N ] 2. Wiadomości teoretyczne Równanie drgań równanie dynamiczne ruchu masy m. m + c + kx = P(t) lub +2h + x = < sin(ωt) lub + 2h + x = q sin(ωt) gdzie: 2h = # ; = ; q = < 2.2. Równanie ruchu masy m ( drgania wymuszone ) opisane są funkcją : x(t) = =" + =" gdzie: =" - drgania własne układu zanikające z czasem, spowodowane pojawieniem się siły P(t) w chwili t=0; proces zanikania drgań nazywamy procesem przejsciowym. =" - drgania ustalone wymuszone siłą P(t) = ; sin (ωt) =" = A sin (ωt ϕ) gdzie : A - amplituda drgań ustalonych wymuszonych

8 3. Parametry ruchu drgającego. Rozważmy przypadek siły P(t) zmieniającej się harmonicznie w czasie / > = > P(t) =? ; sin=" CDE = F0 0 CDE = H0 I ; - amplituda siły wymuszającej [ N ] ω - częstość siły wymuszającej [ ] / > - okres siły wymuszającej [ s ] A amplituda drgań ustalonych wymuszonych [ m ] A = J K! > " +L) > = M8 NO1 J P 2 Q +LR 1 J P 2 )> tgϕ = > S* = < ɤ = ) - kąt przesunięcia fazowego - ugięcie statyczne - współczynnik względnego tłumienia Pytania kontrolne.

9 Przebieg ćwiczenia

10