Drgania układu o wielu stopniach swobody

Transkrypt

1 Drgania układu o wielu stopniach swobody Rozpatrzmy układ składający się z n ciał o masach m i (i =,,..., n, połączonych między sobą i z nieruchomym podłożem za pomocą elementów sprężystych o współczynnikach sztywności k j oraz elementów tłumiących o współczynnikach tłumienia c j (j=,,..., n+. Na poszczególne ciała działają siły harmoniczne Pi ( t = P0 i sin( ωt + ϕi o jednakowych częstościach kołowych, gdzie: P 0 amplituda siły działającej na i-te ciało, ω częstość kołowa (częstość i-tej siły i wymuszającej, φ i kąt przesunięcia fazowego i-tej siły. Pomijamy tarcie oraz zakładamy, że m i, k j oraz c j są stałe. k m x k m x k 3 k n m n x n k n+ P ( t P ( t n n Pn ( t n+ n+ c c c 3 c n c n+ Układ złożony z n ciał układ o n stopniach swobody

2 Równania dynamiki układu stanowi układ n równań o postaci m && x = P + +, &&, (4.33 m x = P m && x = P + +, n n n n n n+ n+ gdzie: = kx, = cx& siły z jaką element sprężysty i element tłumiący działają na ciało nr ; j k j x j x j = (, j = j (& j & j siły z jaką element sprężysty i element tłumiący działają na ciało nr j (j =, 3,..., n-; n+ n+ n c x x = c x& siły z jaką element sprężysty i element tłumiący działają na ciało nr n. n+ n+ n Układ równań (4.33, po uporządkowaniu, można zapisać w postaci m && x + ( c + c x& c x& + ( k + k x k x = P, m && x c x& + ( c + c x& c x& k x + ( k + k x k x = P, ( m && x c x& + ( c + c x& k x + ( k + k x = P n n n+ n n n+ n n+ n n n+ 3 n lub w postaci macierzowej = k x,

3 M q&& + C q& + K q = p, (4.35 m m 0 M = = diag gdzie: ( m, m,..., mn 0 0 m n macierz bezwładności (mas, (4.36 c + c c 0 0 c c + c c C = 0 c3 c3 + c4 0, macierz bezwładności (mas, ( c + c c n n n c c + c n n n+ k + k k 0 0 k k + k k K = 0 k3 k3 + k4 0 macierz sztywności, ( k + k k n n n k k + k n n n+ q = ( x, x,..., x wektor współrzędnych uogólnionych, col n p = ( P, P,..., P wektor sił uogólnionych. col n

4 W przypadku szczególnym, dla układu o dwóch stopniach swobody, równania dynamiki upraszczają się do postaci: m && x + ( c + c x& c x& + ( k + k x k x = P, m && x c x& c x& k x k x, ( = 0 k m x k m x P ( t c c Przykładowy układ o stopniach swobody co w zapisie macierzowym ma postać (4.35, gdzie: m 0 M = 0 m, c + c c C = c c, q = col ( x, x, = col ( P, 0 k + k k K = k k, (4.40 p. (4.40

5 Gdyby dodatkowo przyjąć, że k = k = k, c = c = c, m = m = m, to uprości się do postaci: m 0 c c M = 0 m, C = c c, k k K = k k. (4.4 k =k m =m x m =m x k =k ( P t = P sinωt 0 Układ o -ch stopniach swobody wymuszany siłą harmoniczną o stałej amplitudzie

6 Rozwiązaniem równania (4.35, podobnie jak dla układu o stopniu swobody, jest suma całki ogólnej (p = 0 oraz całki szczególnej w rozpatrywanym przypadku przy wymuszeniach harmonicznych ( p = p 0 sinωt. Jest to zatem złożenie ruchu swobodnego oraz ruchu wymuszonego. Drgania swobodne otrzymuje się w wyniku rozwiązania równania (4.35, przy p = 0, skąd M q&& + C q& + K q = 0. (4.4 Przyjmując dalej, że pomijamy tłumienie (C = 0, otrzymujemy równanie drgań własnych (swobodnych nietłumionych o postaci M q&& + K q = 0. (4.43 Rozwiązanie powyższego równania zakładamy w postaci harmonicznej q q sinω t, (4.44 = 0 co po podstawieniu do (4.43 daje ( ω 0 ω K 0 M q0 sin 0t = 0. (4.45

7 Równanie (4.44 jest spełnione dla dowolnej chwili czasu, gdy ( ω 0 K M q0 = 0. (4.46 Powyższe równanie ma rozwiązania nietrywialne (niezerowe, gdy spełniony jest warunek ( ω ( 0 λ det K M = det K M = 0, (4.47 gdzie: λ = ω 0, ω0 - częstość drgań własnych układu. Równanie (4.47 przedstawia wielomian n-tego stopnia ze względu na λ, gdzie n liczba stopni swobody układu. Miejscami zerowymi (pierwiastkami tego wielomianu są λ, λ,..., λ n, którym odpowiadają częstości drgań własnych: ω0, ω0,..., ω 0n. Każdej częstości ω 0i, na podstawie (4.46, odpowiada wektor q 0i, nazywany wektorem postaci drgań własnych. Wektor postaci drgań własnych odpowiadający i-tej częstości własnej obliczamy z równania ( ω 0i Ze względu na fakt, iż ( ω0 i K M q0i = 0. (4.48 K M, wektor q 0i obliczany jest z dokładnością do stałego mnożnika. Oznacza to, że det = 0 wektor ten pomnożony przez dowolną stałą także spełnia równanie (4.48. Zwykle wektory te normuje się tak, aby pierwsza lub największa składowa tego wektora miała wartość.

8 Dla rozpatrywanego układu o -ch stopniach swobody (rys. 4.5 mamy: det ( K λm ( k + k k m 0 k + k λm k = det λ k k 0 m = = k k λm = ( k + k λm ( k λm k = m m λ + m k m ( k + k λ + k k =, ( skąd otrzymujemy: ( ( mk + m k + k mk + m k + k 4mm kk λ = ω0 =, m m λ m ( ( k + m k + k + mk + m k + k 4mm kk = ω =. ( m m Jeżeli przykładowo, dodatkowo założymy, że m m m = =, k k k = =, to otrzymamy: ( mk + mk mk + mk 4m k 3 5 k k λ = ω0 = = = 0,38 m m m λ ( mk + mk + mk + mk 4m k 3+ 5 k k = ω = = =,68, (4.5 0 m m m k k k k ω = =, ω 0 =, 68 =, 68. m m m m kąd: 0 0, 38 0, 68

9 Uwzględniając powyższe w (4.48, oraz przyjmując q 0 i, =, otrzymujemy: q 0, k k m 0, 38 = m =,68 k q, 0, k k m,68 = m = 0,68. (4.5a k Zatem wektory postaci drgań własnych są równe: q 0 =,68, q 0 = 0,68. (4.5b Oznacza to, że układ przy wzbudzonych częstościach drgań własnych drga jak na rysunku. Drgania własne układu o -ch stopniach swobody; częstości i postacie drgań

10 Drgania wymuszone sygnałem harmonicznym o postaci ( P0 i ( ωt ϕi ( P0 i, s ωt P0 i, c ωt p = col sin + = col sin + cos = ( 0 i, s ( 0 i, c = col P sinωt + col P cosωt = p sinωt + p cosωt, (4.53 0,s 0,c gdzie: p = col ( P = col ( P cosϕ, = col ( P = col ( P sinϕ 0,s 0 i, s 0i i przesunięcia fazowego wymuszenia, ω częstość wymuszenia. p 0,c 0 i, c 0i i, P 0i amplituda siły wymuszającej, i ϕ kąt Dla układów liniowych (macierze bezwładności, tłumienia i sztywności są stałe przewiduje się rozwiązania w postaci harmonicznej o postaci q = q0,s sinωt + q 0,c cosωt, (4.54 gdzie: q = col ( q = col ( q cosψ, q = col ( q = col ( q sinψ 0,s 0 i, s 0i i 0,c 0 i, c 0i i, q 0i amplituda i-tego przemieszczenia drgań wymuszonych, ψ i kąt przesunięcia fazowego i-tego przemieszczenia drgań wymuszonych, ω częstość drgań równa częstości wymuszenia. Po podstawieniu (4.53 i (4.54 do (4.35 otrzymujemy ( sin t ( K ω M q ωc q ω + K ω M q ωc q cosωt 0,s 0,c 0,c o,s = p sinωt + p 0,s 0,c cosωt (4.55

11 Równanie (4.55 jest spełnione wtedy i tylko wtedy, gdy lewe i prawe strony są tożsamościowo sobie równe, a więc gdy: ( ω ( ω K M q0,s ωc q0,c = p 0,s, ω K M q0,c + C q0,s = p 0,c. (4.56 Z rozwiązania powyższego układu równań macierzowych otrzymujemy wektory przemieszczeń: ( q ( q ψ q 0,s = col 0i,s = col 0icos i, q = col( q = col( q sinψ, 0,c 0i,c 0i i skąd: q0 i, s = q0i cos ψi, q0 i, c = q0i sin ψi, a zatem: 0i 0 i, s 0 i, c q = q + q, (4.57a q ψ i = arctg q 0 i, c 0 i, s. (4.57b

12 Dla analizowanego przykładu układu o -ch stopniach swobody (rys. 4.53, obciążonego siłą P = Po sin ωt, przy założeniu, że masy i współczynniki sztywności są równe oraz pomijamy tłumienie, mamy: P 0 = P 0, P 0 = 0, ϕ = 0, a więc P 0 0 ( 0, P sinωt ωt ωt p = col 0 = sin = p 0,s sin. Zatem równania (4.56 przyjmują postać: k k m ω ω = k k 0 m 0 0 q0,s q0,c p 0,s, (4.58a k k m ω ω k k = 0 m q0,c 0 0 q0,s 0. (4.58b Z (4.58b otrzymujemy skąd: zaś z (4.58a k k m 0 ω = k k 0 m q0,s 0,s p, (4.59a k ω m k q0,s = p 0,s, (4.59b k k ω m q0,c = 0. (4.59c

13 Równanie (4.59a można zapisać w postaci układu dwóch równań: ( ω k m q0, s kq0, s P0 =, ( ω kq + k m q =, 0, s 0, s 0 skąd, po przekształceniach, otrzymujemy: q q k ω m = P, (4.60a k + k m k m ( ω ( ω 0, s 0 k = P. (4.60b k + k m k m ( ω ( ω 0, s 0 Można wykazać, że pierwiastkami mianownika są częstości odpowiadające częstościom drgań własnych układu: ω 0, ω 0. Zatem wykres amplitud drgań ma dwie asymptoty pionowe, jak przedstawiono na rysunku. Dla częstości rezonansowych amplituda drgań rośnie do nieskończoności (w przypadku braku tłumienia.