Optyka. Wykład V Krzysztof Golec-Biernat. Fale elektromagnetyczne. Uniwersytet Rzeszowski, 8 listopada 2017

Transkrypt

1 Optyka Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Fale elektromagnetyczne Uniwersytet Rzeszowski, 8 listopada 2017 Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Optyka 1 / 17

2 Plan Swobodne równania Maxwella Fale elektromagnetyczne Wyprowadzenie równania falowego dla pola elektromagnetycznego Dowód poprzeczności fal elektromagnetycznych Polaryzacja fali elektromagnetycznej Spektrum fal elektromagnetycznych Widmo promieniowania ciała doskonale czarnego Fotony Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Optyka 2 / 17

3 Swobodne równania Maxwella W obszarze, gdzie nie ma ładunków i prądów, ρ = 0 i j = 0, swobodne równania Maxwella. E = 0 B = 0 E = B t B = µ 0ɛ 0 E t (prawo Gaussa) (magnetyczne prawo Gaussa) (prawo indukcji Faradaya) (prawo Ampera Maxwella) Człon na czerwono wprowadził Maxwell dla konsystencji swych równań. Dzięki niemu istnieją fale elektromagnetyczne. E = B t, B = µ 0ɛ 0 E t Zmienne w czasie pole magnetyczne wytwarza pole elektryczne, a zmienne pole elektryczne wytwarza pole magnetyczne. Samonapędzający się układ. Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Optyka 3 / 17

4 Fale elektromagnetyczne W obszarze bez prądów i ładunków, pola E i B spełniają równanie falowe gdzie współczynnik E = 1 2 E c 2 t, B = 1 2 B 2 c 2 t 2 c = 1 ɛ0µ m/s jest równy mierzonej eksperymentalnie prędkości światła. Światło to fala elektromagnetyczna! Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Optyka 4 / 17

5 Wyprowadzenie równania falowego dla pola E Licząc obustronnie rotację prawa Faradaya dostajemy E = B t ( E) = t ( B) Wykorzystując prawo Ampera-Maxwella otrzymujemy B = ɛ 0µ 0 E t ( E) = µ 0ɛ 0 2 E t 2 Z tożsamości dla operatorów rotacji mamy ( E) = ( E) E = µ 0ɛ 0 2 E t 2 Wykorzystując prawo Gaussa E = 0 otrzymujemy równanie falowe Podobny dowód dla pola B. E = 1 c 2 2 E t 2, c = 1 ɛ0µ 0 Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Optyka 5 / 17

6 Poprzeczność fal elektromagnetycznych Harmoniczne fale płaskie są rozwiązaniem równania falowego E( r, t) = E 0 e i( k r ωt), B( r, t) = B0 e i( k r ωt), ω = c k Podstawmy je do praw Gaussa E = i k E 0 e i( k r ωt) = 0 => E k B = i k B 0 e i( k r ωt) = 0 => B k Podstawmy je do prawa Faradaya E = B t i k E 0 e i( k r ωt) = iω B 0 e i( k r ωt) Stąd k E = ω B => B E Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Optyka 6 / 17

7 Fal elektromagnetyczne Fala elektromagnetyczna - prostopadłe do siebie pola E i B propagujące się wzdłuż prostopadłego do nich wektora falowego k. Fala elektromagnetyczna jest falą poprzeczną E k, B k Fala elektromagnetyczna przenosi energię i pęd. Natężenie fali I E 2 Fala na rysunku jest spolaryzowana liniowo. Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Optyka 7 / 17

8 Polaryzacja fali elektromagnetycznej Fala płaska z k ẑ. Pole E ma składowe tylko w płaszczyźnie (ˆx, ŷ) E(z, t) = E 0 e i(kz ωt) Składowe to zespolone fale płaskie z zespolonymi amplitudami E x(z, t) = E 0x e iδ 1 e i(kz ωt) = E 0x e i(kz ωt+δ 1) E y (z, t) = E 0y e iδ 2 e i(kz ωt) = E 0y e i(kz ωt+δ 2) Biorąc część rzeczywistą otrzymujemy E x(z, t) = E 0x cos(kz ωt + δ 1) E y (z, t) = E 0y cos(kz ωt + δ 2) Pole magnetyczne B jest zawsze prostopadłe do pola E i leży w płaszczyźnie (ˆx, ŷ) Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Optyka 8 / 17

9 Polaryzacja liniowa fali elektromagnetycznej Polaryzacja liniowa: δ 1 = δ 2 i wtedy E y (z, t) E x(z, t) = E0y E 0x = tg φ = const Wektor E(z, t) ma stałe nachylenie do osi ˆx pod kątem φ Dla φ = 0 polaryzacja liniowa wzdłuż osi ˆx E y (z, t) = 0 E x(z, t) = E 0x cos(kz ωt) φ = 0 φ = 45 Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Optyka 9 / 17

10 Polaryzacja kołowa fali elektromagnetycznej Polaryzacja kołowa prawoskrętna: δ 1 δ 2 = π/2. Dla δ 1 = 0 i δ 2 = π/2 E x(z, t) = E 0x cos(kz ωt + 0) = E 0x cos(kz ωt) E y (z, t) = E 0y cos(kz ωt π ) = E0y sin(kz ωt) 2 Zakładamy równe amplitudy E 0x = E 0y E 0. Wtedy [E x(z, t)] 2 + [E y (z, t)] 2 = E 2 0 Wektor E(z, t) porusza się po okręgu w płaszczyźnie (ˆx, ŷ) o promieniu E 0 Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Optyka 10 / 17

11 Polaryzacja kołowa fali elektromagnetycznej Polaryzacja kołowa lewoskrętna: δ 2 δ 1 = π/2. Dla δ 1 = 0 i δ 2 = π/2 E x(z, t) = E 0 cos(kz ωt + 0) = E 0 cos(kz ωt) E y (z, t) = E 0 cos(kz ωt + π ) = E0 sin(kz ωt) 2 Otrzymujemy także równanie okręgu [E x(z, t)] 2 + [E y (z, t)] 2 = E 2 0 Superpozycja fal spolaryzowanych prawo i lewoskrętnie i takiej samej amplitudzie jest falą spolaryzowaną liniowo. Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Optyka 11 / 17

12 Polaryzacja eliptyczna fali elektromagnetycznej Polaryzacja eliptyczna: E 0x E 0y. Wtedy [E x(z, t)] 2 + E 2 0x [Ey (z, t)]2 E 2 0y = 1 Wektor E(z, t) porusza się po elipsie w płaszczyźnie (ˆx, ŷ) o półosiach a = E 0x oraz b = E 0y x 2 a + y 2 2 b = 1 2 Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Optyka 12 / 17

13 Spektrum fal elektromagnetycznych źródło: Wikipedia Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Optyka 13 / 17

14 Rozkład energii promieniowania ciała doskonale czarnego Ciała o temperaturze T emituje promieniowanie o widmie energii u(λ, T ) Maksimum rozkładu widma promieniowania (prawo Wiena) λ max = b T, b = K m Całkowita moc promieniowania na jedn. pow. (prawo Stefana-Boltzmana) R = dλ u(λ, T ) = σt 4, σ = W/(m 2 K 4 ) 0 Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Optyka 14 / 17

15 Fotony Widmo promieniowania ciała doskonale czarnego wyjaśnił Planck (1900) u(λ, T ) = 2hc2 λ 5 1 e hc/λkt 1 Po raz pierwszy w historii pojawia się stała Plancka h = J s Promieniowanie emitowane w formie kwantów - fotonów o energii i pędzie E = hν, p = hc λ => E = cp ν to częstość fali elektromagnetycznej, a λ to jej długość Promieniowanie elektromagnetyczne ma własności falowe i korpuskularne Na zasadzie dualności korpuskularno-falowej jest zbudowana mechanika kwantowa Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Optyka 15 / 17

16 Spektrum w zakresie widzialnym źródło: Wikipedia Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Optyka 16 / 17

17 Zadania 1. Udowodnić relację ( E) = ( E) E 2. Wyprowadzić równanie falowe dla swobodnego pola magnetycznego B. 3. Pokazać, że superpozycja fal spolaryzowanych kołowo o przeciwnych skrętnościach jest falą o polaryzacji liniowej. 4. Ile wynoszą częstotliwości fali elektromagnetycznej, które odpowiadają skrajnym wartościom spektrum promieniowania widzialnego. 5 Oblicz energie fotonów dla skrajnych częstotliwości spektrum promieniowania widzialnego. Wynik wyraź w elektronowoltach (ev). 6. Oblicz λ max i R dla promieniowania z powierzchni Słońca. Ile wynosi moc promieniowania powierzchni Słońca? Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Optyka 17 / 17