Laboratorium Dynamiki Maszyn

Transkrypt

1 Laboratorium Dynamiki Maszyn Laboratorium nr 5 Temat: Badania eksperymentane drgań wzdłużnych i giętnych układów mechanicznych

2 Ce ćwiczenia:. Zbudować mode o jednym stopniu swobody da zadanego układu mechanicznego. Wyznaczyć częstość własną układu mechanicznego metodą energetyczną. 3. Opisać drgania swobodne tłumione układu. 4. Przeprowadzić badania doświadczane i wyznaczyć współczynnik tłumienia jednostkowego i częstość drgań własnych układu. A. Drgania wzdłużne. Mode układu mechanicznego Rozważmy układ mechaniczny w postaci ciężarka o masie m zamocowanego na dwóch sprężynach, którego mode pokazano na rys.. Rys.. Mode układu mechanicznego W przedstawionym modeu nie uwzgędniono oporów ruchu oraz pominięto masy sprężyn, gdyż są one niewiekie w porównaniu do masy m ciężarka. Wyznaczenie częstości drgań własnych metodą energetyczną Jeśi, zgodnie z modeem, pominiemy tłumienie w układzie, to możemy traktować go jako zachowawczy, czyi taki, w którym nie ma strat energii. Skorzystamy z zasady zachowania energii mechanicznej, która może być zapisana jako H = E + V = const., () i wynika z niej, że E max = V max. () W anaizowanym przypadku będzie: E = mz, (3) V = k z + k z = ( k + k ). (4) z Aby wyznaczyć maksimum energii kinetycznej i potencjanej, naeży opisać ruch masy. Zgodnie z teorią drgań, przemieszczenie masy w przypadku drgań swobodnych nietłumionych opisuje równanie ( ωt ) C sin( ωt) z = C cos +, (5) gdzie C, C to stałe całkowania zaeżne od warunków początkowych, ω to częstość własna v (drgań swobodnych nietłumionych) układu. Wartość stałych całkowania to C = z, C = ω

3 , gdzie z to początkowe wychyenie masy z położenia równowagi statycznej, v to początkowa prędkość masy. W anaizowanym przypadku rozwiązanie (5) zapisujemy jako. z = Acos( ωt ϕ ) () gdzie A = C + C to ampituda drgań, ϕ to kąt przesunięcia fazowego okreśony wzorem tg ϕ = C C. Prędkość masy uzyskamy różniczkując zaeżność () wzgędem czasu ( ϕ ) ż = Aω sin ωt. () Można teraz zapisać energię kinetyczną i potencjaną jako E = ma ω sin ( ωt ϕ ), (8) V = ( k + k ) A cos ( ωt ϕ ). (9) Maksima energii kinetycznej i potencjanej to E max = ma ω, () V max = ( k + k ) A. () Korzystając z () okreśimy częstość własną układu jako ω = k k m. () Aby wyznaczyć częstość drgań własnych naeży okreśić współczynniki sprężystości sprężyn oraz masę ciężarka. Innym sposobem okreśenia częstości własnej układu będzie identyfikacja modeu na podstawie badań eksperymentanych. Opis drgań swobodnych tłumionych układu Wiadomo, że w układach rzeczywistych drgania swobodne z czasem zanikają, ze wzgędu na występujące tłumienie. Gdyby chcieć dokładniej zamodeować układ rzeczywisty, naeży do modeu przedstawionego na rys. wprowadzić tłumik. Mode układu z tłumieniem przedstawiono poniżej. Rys.. Mode układu oscyacyjnego z tłumieniem Siły działające na masę m pokazano na poniższym rysunku

4 Rys.3. Siły działające na masę Różniczkowe równanie ruchu opisujące ruch masy to m z = P G G S S, (3) gdzie P = mg, G i G to siły reakcji tłumików, S i S to siły reakcji sprężyn. Zwyke przyjmuje się iniowa charakterystykę tłumienia i sprężystą, pokazane poniżej. Rys.4. Charakterystyka tłumienia i charakterystyka sprężysta Siły reakcji tłumików to G = cz i G = c z, gdzie c i c to współczynniki tłumienia wiskotycznego, siły reakcji sprężyn to S = k i S = k, gdzie k i k to współczynniki sprężystości sprężyn, Δ = z + λ to deformacja całkowita sprężyny i, λ to deformacja statyczna sprężyny i. Zatem równanie (3) zapiszemy teraz jako m z = P ( c + c ) z ( k + k ) z ( k + k )λ. (4) Deformację statyczną sprężyny λ okreśimy, rozważając układ będący w stanie równowagi statycznej, czyi P λ =. (5) k + k Uwzgędniając (5) w (4) otrzymamy m z + ( c + c ) z + ( k + k ) z =. () Powyższe równanie sprowadzimy do postaci z + hz + ω z =, () gdzie c c h = + to tzw. współczynnik tłumienia jednostkowego, m k k ω = + to częstość drgań własnych, m W przypadku małego tłumienia, tzn. gdy ω > h (to tzw. tłumienie podkrytyczne taki przypadek najczęściej występuje w technice), rozwiązanie równania różniczkowego () ma formę ht = e C cos ω t + C sin ω t, (8) [ ( ) ( ) ] z * *

5 gdzie C, C to stałe całkowania zaeżne od warunków początkowych, Wartość stałych v + hz całkowania to C = z, C =, gdzie z to początkowe wychyenie masy z ω * położenia równowagi statycznej, v to początkowa prędkość masy natomiast ω * oznacza częstość drgań tłumionych i jest ona wyrażona zaeżnością ω* = ω h. (9) W anaizowanym przypadku rozwiązanie (9) zapiszemy jako ht z = A e cos( ω* t ϕ ), () gdzie A = C + to ampituda drgań, ϕ to kąt przesunięcia fazowego okreśony wzorem C tg = C ϕ. C Przykładowy przebieg rozwiązania () przedstawiono poniżej. Ampituda tych drgań maeje, po pewnym czasie drgania zanikają Rys.5. Przebieg drgań swobodnych tłumionych Z równania () wynika, że drgania tłumione wygasają po nieskończenie długim czasie oraz że ich częstość ω * jest stała. Datego wprowadza się pojęcie okresu drgań tłumionych π π π T = = > T ω = *, () * ω h ω gdzie T to okres drgań swobodnych nietłumionych. Wprowadza się też pojęcie ogarytmicznego dekrementu tłumienia D, który jest zdefiniowany przez zaeżność

6 D A n e =, () A n + gdzie A n i A n+ to koejne ampitudy drgań, przy czym A n π D = n = ht* = h A. (3) n + ω* Znając ogarytmiczny dekrement tłumienia można okreśić współczynnik tłumienia jednostkowego. Badania doświadczane W ceu doświadczanego wyznaczenia współczynnika tłumienia i częstości drgań własnych układu, naeży na stanowisku pomiarowym dokonać pomiaru drgań swobodnych nietłumionych. Pomiar drgań będzie dokonywany przy pomocy akceerometru umieszczonego na cięzarku. W wyniku całkowania zmierzonego sygnału otrzymuje się przebieg prędkości i przemieszczenia masy. Z przebiegu przemieszczenia naeży odczytać okres drgań tłumionych T * i dwie koejne ampitudy A n i A n +. Następnie obiczyć częstość drgań tłumionych ω = π * T oraz okreśić ogarytmiczny dekrement tłumienia A n D = n * An + i D wyznaczyć współczynnik tłumienia jednostkowego h =, częstość drgań własnych T * ω + = ω * h. Przykładowy zarejestrowany przebieg drgań przedstawiono na poniższym rys..

7 Rys.. Przebieg drgań masy

8 Rys.. Charakterystyka fazowa B. Drgania giętne. Katedra Mechaniki Stosowanej i Robotyki Mode układu mechanicznego Rozważmy układ mechaniczny w postaci beki jednorodnej o długości i masie m, na końcu której znajduje się masa m > > m. Załóżmy, że w chwii początkowej beka była wychyona z położenia równowagi statycznej i została swobodnie puszczona. Układu pokazano na rys. 8. Rys.8. Układu rzeczywisty W przypadku, gdy m > > m, masę układu ciągłego, czyi beki, można pominąć ub uwzgędnić tyko jej część. Ta część masy m, która powinna być uwzgędniona, wyiczana jest z warunku, aby energia kinetyczna układu rzeczywistego i modeu w czasie drgań nie zmieniła się. Wyznaczmy zatem energię kinetyczną układu rzeczywistego. Wytnijmy myśowo z beki eement o długości dx w odegłości x od miejsca zamocowania. Przemieszczenie h tego eementu wyznaczymy z wzoru na inię ugięcia beki wspornikowej obciążonej na swobodnym końcu siłą skupioną, czyi x ( 3 x ) h = z, (4) 3 Jego prędkość wynosi x ( 3 x ) h = z. (5) 3 Wobec czego energia kinetyczna eementu to E = dmh, () gdzie dm to masa trójwymiarowego eementu beki o przekroju A i długości dx. Wobec tego masę eementu zapiszemy jako γ dm = Adx, () g gdzie γ to ciężar właściwy beki, A to przekrój poprzeczny beki, g to przyspieszenie ziemskie. Energię kinetyczną eementu zapiszemy teraz następująco 4 γ γ x ( 3 x) E = Ah dx = Az dx. (8) g g 4 Obiczmy teraz całkę = x 4 4 ( 3 x ) 4 5 dx = ( 9 x x + x ) = = dx = x 5 x + x = (9)

9 Podstawiając wynik całkowania do (8) otrzymamy γ 33 E = Az, (3) g 4 γ Uwzgędniając, że A = m otrzymamy g 33 E = mz. (3) 4 Energia kinetyczna masy m to E = m z. (3) Wobec tego energia kinetyczna całego układu to E = E + E = Mz, (33) 33 gdzie M = m + m. Ze wzoru (33) wynika, że uwzgędniając masę beki naeży dodać 4 33 do masy m tyko m. 4 Obiczając energię potencjaną układu pomijamy potencjał masy w pou ziemskim, jeżei w położeniu równowagi statycznej sprężyna jest zdeformowana siłą ciężkości, uwzgędnimy jedynie potencjał sił sprężystości. Współczynnik sprężystości na zginanie beki wspornikowej wyznaczymy ze wzoru na strzałkę ugięcia swobodnego końca pod wpływem siły skupionej Q przyłożonej na tym końcu, czyi 3 Q z =, (34) 3EJ gdzie, E to moduł sprężystości wzdłużnej, J to moment bezwładności przekroju beki. Z (34) wynika, że współczynnik sprężystości giętej beki Q 3EJ k = = 3. (35) z Potencjał modeu dyskretnego to V = kz. (3) W wyniku dokonanej dyskretyzacji układu rzeczywistego zamodeowano go w postaci masy zawieszonej na sprężynie, jak to przedstawiono na rys. 9. Rys.9. Mode układu rzeczywistego Wyznaczenie częstości drgań własnych metodą energetyczną

10 Sposób wyznaczania częstości drgań własnych będzie podobny jak poprzednio, gdyż drgania giętne beki zamodeowaiśmy drganiami wzdłużnymi. W efekcie otrzymamy k 3EJ ω = = M (3) m + m 4 Zakładając, że beka ma przekrój prostokątny o wymiarach b x h ( b > h ), moment 3 bh 4 bezwładności przekroju beki będzie wynosił J = [m ] jeśi drgania będą odbywać się w płaszczyźnie najmniejszej sztywności. Rys.. Przekrój poprzeczny beki Opis drgań swobodnych tłumionych układu Sposób opisu drgań swobodnych tłumionych będzie podobny jak poprzednio, gdyż drgania giętne beki zamodeowaiśmy drganiami wzdłużnymi. Przyjęto mode przedstawiony na rys.. Rys.. Mode układu oscyacyjnego z tłumieniem Siły działające na masę M pokazano na rys.. Rys.. Siły działające na masę Różniczkowe równanie ruchu opisujące ruch masy to M z = P G S, (38) gdzie P = Mg, G to siła reakcji tłumika, S to siła reakcji sprężyny. Postępując podobnie jak poprzednio można wyznaczyć deformację statyczną sprężyny λ = P/k oraz różniczkowe równanie ruchu masy w postaci z + hz + ω z =, (39) c k gdzie h =, oraz ω =. M M

11 Daszy opis drgań tłumionych jest anaogiczny jak poprzednio. Badania doświadczane W ceu doświadczanego wyznaczenia współczynnika tłumienia jednostkowego i częstości drgań własnych układu, naeży na stanowisku pomiarowym dokonać pomiaru drgań swobodnych nietłumionych. Pomiar drgań będzie dokonywany przy pomocy akceerometru umieszczonego na swobodnym końcu beki. W wyniku całkowania zmierzonego sygnału otrzymuje się przebieg prędkości i przemieszczenia końca beki. Z przebiegu przemieszczenia odczytać okres drgań tłumionych T * i dwie koejne ampitudy A n i A n +. Następnie obiczyć π częstość drgań tłumionych ω * = oraz okreśić ogarytmiczny dekrement tłumienia T A n D = n i wyznaczyć współczynnik tłumienia jednostkowego An + częstość drgań własnych ω = ω * + h. * h = D T *, a następnie Sprawozdanie z aboratorium powinno zawierać następujące eementy: A. Drgania wzdłużne.. Mode układu mechanicznego. Schemat układu pomiarowego. 3. Wyznaczenie częstości własnej układu na podstawie zapisów anaitycznych (równanie ()). 4. Wykresy przedstawiające przebiegi przyspieszenia, prędkości i przemieszczenia masy z zaznaczeniem charakterystycznych parametrów przebiegów koniecznych do przeprowadzenia identyfikacji układu. 5. Wyznaczenie współczynnika tłumienia jednostkowego i częstości drgań własnych układu. a) Wykres przedstawiający charakterystykę fazową układu. B. Drgania giętne. Mode układu mechanicznego. Schemat układu pomiarowego. 3. Wyznaczenie częstości własnej układu na podstawie zapisów anaitycznych (równanie (3)). 4. Wykresy przedstawiające przebiegi przyspieszenia, prędkości i przemieszczenia masy z zaznaczeniem charakterystycznych parametrów przebiegów koniecznych do przeprowadzenia identyfikacji układu. 5. Wyznaczenie współczynnika tłumienia jednostkowego i częstości drgań własnych układu. b) Wykres przedstawiający charakterystykę fazową układu. C. Wnioski.