PRZYKŁADY RUCHU HARMONICZNEGO. = kx

Transkrypt

1 RUCH HARMONICZNY; FALE

2 PRZYKŁADY RUCHU HARMONICZNEGO F d k F s k Gdowski F k Każdy ruch w którym siła starająca się przywrócić położenie równowagi jest proporcjonalna do wychylenia od stanu równowagi jest ruchem harmonicznym

3 RÓWNANIE RUCHU HARMONICZNEGO PROSTEGO (1) Siła sprężysta F s k Równanie ruchu, II zasada dynamiki: F k m d dt Fi d dt m k d ω ω dt k m Rozwiązanie (odgadnięte) Acos( ωt + ϕ) t Rozwiązaniem jest ruch harmoniczny prosty o częstości kołowej ω, amplitudzie A i fazie φ ruch harm

4 RÓWNANIE RUCHU HARMONICZNEGO PROSTEGO () ( t) Acos( ω t + ϕ) T a(t) V(t) ω k m f ω T π Faza określa warunki początkowe ruchu jeśli φ, (t )A 1 f ϕ t predkosc d(t) v(t) Aω sin( ωt + ϕ) v sin( ωt + ϕ) dt dv(t) a(t) Aω cos( ωt + ϕ) dt W ruchu harmonicznym prostym częstość nie zależy od amplitudy predkosc

5 ENERGIA RUCHU HARMONICZNEGO PROSTEGO Energia potencjalna k k U A cos ωt Energia kinetyczna 1 1 mv ma ω sin ω t ale E k ω k m E k k A sin ω t k (A ) Energia całkowita E 1 1 E c mv + k 1 ka E 1 ka 1 ka 1 T 4 1 T 3 T 4 T t A A W ruchu harmonicznym prostym całkowita energia jest zachowana

6 PRZYKŁADY RUCHU HARMONICZNEGO PROSTEGO Wahadło matematyczne F -mgsinθ Dla małych kątów sin θ θ F mgθ mg l mg l N θ l F k gdzie k mg l mgcosθ lθ mg mgsinθ ω k m ω g l T π l g Każdy ruch w którym siła starająca się przywrócić położenie równowagi jest proporcjonalna do wychylenia od stanu równowagi jest ruchem harmonicznym przyklady

7 OSCYLATOR HARMONICZNY TŁUMIONY 1 SIŁA OPORU I SIŁA SPRĘZYSTA Równanie ruchu d d t m k b d d t ROZWIĄZANIE: Słabe tłumienie A Ae -t/τ Ae -t/τ cosωt Ae t τ cos ω' t ω gdzie k m β b m 1 τ ω ' ω β -A -Ae -t/ τ t X ruch nadkrytyczny β>ω ROZWIĄZANIE: Silne tłumienie βω ruch krytyczny (t) βt (A + Bt)e t ruch harm

8 OSCYLATOR HARMONICZNY WYMUSZONY Okresowa siła wymuszająca F(t) F cosω w t d d t m + b d d t równanie ruchu + k F(t) rozwiązanie (t) Acos( ωwt + ϕ) α F m A Małe tłumienie ϕ π Większe tłumienie 1 π A ω ω 3 ω ω ω 3ω w [( ω ω w ) α + ( ω w / τ) ] 1/ w ω tg ωw / τ ϕ arc ( ω ω ) w ω

9 OSCYLATOR HARMONICZNY WYMUSZONY: REZONANS A Małe tłumienie Większe tłumienie ω ω 3ω ω w ω r ω 1 τ ω most rezonans

10 FALE MECHANICZNE Jeśli drgające masy połączone są ze sobą możliwe jest przekazanie drgań jednej z nich następnym: powstaje fala mechaniczna Ruch falowy związany jest z dwoma procesami: transportem energii przez ośrodek od cząstki do cząstki z ruchem drgającym poszczególnych cząstek dokoła ich położenia równowagi. Nie jest natomiast związany z ruchem materii jako całości. kulka na wodzie

11 CZY FALA PRZENOSI ENERGIĘ? 6 grudnia 4, największe od 4 lat trzęsienie ziemi wystąpiło na Oceanie Indyjskim pomiędzy płytami australijską i euroazjatycką I spowodowało przerwanie dna morskiego wzdłuż linii uskoku i powstanie fali tsunami niosącej zniszczenie na odległość 45 km w ciągu 7 godzin

12 CZY FALA PRZENOSI ENERGIĘ? Fale tsunami (jap. tsoo-nah-mee) wielkie fale portowe 1 3

13 CZY FALA PRZENOSI ENERGIĘ? Fala tsunami na głębokiej wodzie: mała amplituda, duża szybkość rozchodzenia się 8 km/h v g λ π Fala tsunami na płytkiej wodzie: mniejsza szybkość rozchodzenia się ale duża amplituda (nawet do 3 m) v gh dla h<<λ h głębokość

14 RODZAJE FAL: drgający ośrodek mechaniczne elektromagnetyczne y E z B fale na wodzie dźwięk Drgania atomów w ciele stałym Huragan Rita

15 RODZAJE FAL: kierunki ruchu Kierunek drgań cząstek może być Prostopadły Równoległy względem kierunku rozchodzenia się fali Prędkość cząstek ośrodka Prędkość fali V f fale poprzeczne (np. lina, struna) fale podłużne (np. sprężyna, dźwięk) poprzeczne podluzne

16 RODZAJE FAL: kształt powierzchni falowej fala płaska fala kulista Najłatwiej opisać falę płaską: zakładamy, że cała płaszczyzna drga identycznie V f V f Kierunek drgań cząstek ośrodka: y Kierunek ruchu fali:

17 FALE BIEGNĄCE y t y vt y f( - vt), t t y f(), t ogólne równanie fali biegnącej w prawo: y f( - vt) w lewo: y f( + vt) Np. fala sinusoidalna biegnąca w prawo λ t t k vt π λ ω π T λ vt v ω k y y y π Asin ( vt) λ A sin π( λ t T Asin(k ωt) ) Liczba falowa Częstość kołowa Prędkość fazowa

18 PRĘDKOŚĆ FALI y Asin(k ωt) v ω k Prędkość rozchodzenia się fali jest niezależna od amplitudy i częstotliwości, dla fal mechanicznych zależy od sprężystości ośrodka i jego bezwładności. v F µ

19 PRZENOSZENIE ENERGII PRZEZ FALE Od czego zależy energia przenoszona przez falę? P zależy od prędkości P zależy od masy P zależy od amplitudy P (1 ) µω A V

20 INTERFERENCJA FAL Co się dzieje jeśli w ośrodku porusza się kilka fal? Czy takie fale nie przeszkadzają sobie? Fale przechodzą przez siebie bez zmiany kształtu, jeśli odkształcenie ośrodka sprężystego jest małe: fale mogą się wtedy rozchodzić w ośrodku niezależnie od siebie. W takim wypadku całkowite odkształcenie ośrodka jest równe sumie odkształceń. Efekt nakładania się dwóch lub więcej ciągów falowych nazywa się interferencją fal.

21 INTERFERENCJA FAL Całkowite odkształcenie ośrodka jest równe sumie odkształceń. Efekt nakładania się dwóch lub więcej ciągów falowych nazywa się interferencją fal. dla fal sinusoidalnych y y A sin (k - ω t) 1 A sin (k - ω t + ϕ ) y y + y Acos( ϕ / )sin(k - ωt + ϕ 1 / ) interferencja

22 FALE STOJĄCE Fale biegnące w przeciwnych kierunkach y Asin(k - ωt) 1 y y + y 1 y Asin(k + ωt) t Asin t kcosωt λ/ Cząstki drgają ruchem harmonicznym prostym. Cząstki mają różną amplitudę zależną od położenia cząstki : Strzałki: k π/, 3π/, 5π/,... czyli λ/4, 3λ/4, 5λ/4... Węzły k π, π, 3π,...czyli λ/, λ, 3λ/... Fala stojąca

23 FALE STOJĄCE W STRUNACH I PRĘTACH Jeden koniec swobodny Odbicie bez zmiany fazy strzałki Odbicie ze zmianą fazy strzałki węzły węzły Oba końce zaczepione y(, t) Asin k cosωt v sin kl kl nπ v 3v L n λ f n v L most harmoniczne

24 FALE AKUSTYCZNE Fala akustyczna to rozchodzenie się stref zgęszczenia podwyższone ciśnienie obniżone ciśnienie ciśnienie atmosferyczne podluzne ruch cząsteczek związany z dźwiękiem propagacja fali dźwiękowej Amplituda przemieszczenia dla najgłośniejszego dźwięku, jaki może znieść γp γrt v ludzkie ucho, jest bardzo mała (ok.1 µm). ρ µ

25 CECHY DŹWIĘKU Wysokość częstotliwość słyszalne ok Hz Poniżej: infradźwięki, powyżej ultradźwięki częstość Hz ultradźwięki dźwięki słyszalne Głośność natężenie Natężenie I fali :moc przenoszona przez falę na jednostkową powierzchnię I W m A f Głośność odzwierciedla fizjologiczne właściwości ucha i zależy od częstotliwości: Największa czułość ucha przypada w zakresie -3 khz Barwa zawartość częstości Zawartość w dźwięku różnych dźwięków podstawowych

26 ULTRADŹWIĘKI Prędkość fali w różnych ośrodkach powietrze 331 m/s krew 157 woda 153 kości 5-47 Po wejściu do ciała ludzkiego fala trafia na granicę między różnymi strukturami anatomicznymi; część zostaje odbita i wraca do źródła. ULTRASONOGRAFIA Pomiar czasu od emisji fali do jej detekcji. Rozróżnienie głębokości warstwy w której wystąpiło odbicie i rodzaju tkanki: sonda: element piezoelektryczny ultrasono

27 GŁOŚNOŚĆ DŹWIĘKU Co prawda głośność jest związana z natężeniem (tj. mocą przenoszoną przez falę na jednostkę powierzchni), to jednak pomiar głośności w jednostkach natężenia jest niewygodny: dźwięk o natężeniu X większym niż inny dźwięk nie będzie odbierany jako X głośniejszy. Subiektywnie odczuwane natężenie dźwięku, czyli poziom natężenia dźwięku, określamy na podstawie prawa Webera i Fechnera. Zmiana intensywności subiektywnego wrażenia dźwiękowego wywoływanego przez dwa dźwięki jest proporcjonalna do logarytmu natężeń porównywanych dźwięków Λ ηlog I I o natężenie poziomu zerowego I 1-1 Wm - dla częstotliwości 1 khz η1 jednostką jest 1B (bel) η1 jednostką jest 1dB (decybel)

28 GŁOŚNOŚĆ DŹWIĘKU Próg bólu Subiektywne odczuwanie dźwięku zależy od częstotliwości Próg czułości Natężenie poziomu zerowego PRZYKŁAD: Jaka jest głośność dźwięku o natężeniu I 1-9 Wm - I 1-9 Wm - 1I b log(i/i ) log1 3 b 3 db próg słyszalności szum liści rozmowa koncert rockowy granica bólu silnik odrzutowy db 1 db 6 db 11 db 1 db 13 db

29 GŁOŚNOŚĆ DŹWIĘKU Głośność dźwięków o różnej częstotliwości porównujemy z głośnością dźwięku wzorcowego (1 khz). Wynik wyrażamy w fonach. Jeśli dany dźwięk wydaje się tak samo głośny jak dźwięk wzorcowy o głośności b db, to jego głośność określamy jako b fonów. Próg bólu Próg czułości kieliszek

30 BARWA DŹWIĘKU Ton t Dźwięk Widmo akustyczne dźwięku f 1 f f 3 f 4 f Barwa dźwięku to zawartość różnych dźwięków podstawowych (harmonicznych)

31 BARWA DŹWIĘKU Barwa dźwięku to zawartość różnych dźwięków podstawowych (harmonicznych) a) flet b) obój c) saksofon czas Każdy periodyczny przebieg zaburzenia (czyli dźwięk) da się złożyć z pewnej ilości dźwięków podstawowych: tonów oscylo Fourier