FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str

Transkrypt

1 FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str Funkcja kwadratowa to taka, której wykresem jest parabola. Definicja Funkcją kwadratową nazywamy funkcje postaci y = ax + bx + c, dla x R, gdzie a, b i c są stałymi, czyli liczbami. Przy czym a 0, gdyż inaczej mamy funkcję liniową. Zapis ten nazywa się zapisem ogólnym funkcji kwadratowej. Przykłady funkcji kwadratowych wzory. Wykonywanie wykresów funkcji kwadratowych postaci y = ax. Wzór Tabelka składająca się z pięciu punktów: -; -1; 0; 1;. Wykres Wykres funkcji kwadratowej y = a(x p) + q jest wykresem funkcji y = ax przesuniętej wzdłuż osi OX o wartość p i wzdłuż osi OY o wartość q. Ćw. 1 i 5 a) str. 178 i 179. Ćw. 1-3 a) str Zad. 1 a)-b) str Zad.. a) str Zad. 1 c)-d) str Zad. b i c) str Lekcja Przesunięcie funkcji kwadratowej wzdłuż osi OX i OY str Zapis funkcji kwadratowej w postaci y = a(x p) + q nazywa się zapisem funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej. Wartości p i q są współrzędnymi wierzchołka paraboli. Wierzchołek paraboli ma współrzędne: W = (p; q). Jednocześnie wartość p mówi o przesunięciu wykresu funkcji y = ax wzdłuż osi OX Jeśli p> 0 to w prawo Jeśli p<0 to w lewo Jednocześnie wartość q mówi o przesunięciu wykresu funkcji y = ax wzdłuż osi OY Jeśli q> 0 to w górę Jeśli q<0 to w dól Własności funkcji kwadratowej: Jeżeli a > 0, to ramiona paraboli są skierowane do góry. Funkcja ma najmniejszą wartość dla x = p i wówczas y = q (wierzchołek paraboli). Funkcja maleje dla x (- ;p), a rośnie dla x ( p; ) y q; ).. Natomiast zbiór wartości funkcji, czyli Jeżeli a < 0, to ramiona paraboli są skierowane w dół. Funkcja ma najmniejszą wartość dla x = p i wówczas y = q (wierzchołek paraboli). Funkcja rośnie dla x (- ;p), a maleje dla x ( p; ). Natomiast zbiór wartości funkcji, czyli y ( ; q. 1 / 8

2 Ćwiczenia 1,, 3 str Zad. 1, c) i d) str. 183 Zad. 1, a) i b) str. 183 Lekcja druga Zad. 3, 4 c) i d) str. 183 Powtórzenie Zad. c) i d) str. 183 Zad. 3, 4 a) i b) str. 183 Lekcja Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowe str Kartkówka z przesuwania funkcji kwadratowych Funkcję kwadratową nazywa się też trójmianem kwadratowym. Postać ogólna y = ax + bx + c i postać kanoniczna y = a(x p) + q funkcji kwadratowej, to w sumie ta sama funkcja. Zatem między liczbami a, b, c, p i q muszą być określone związki. Związki między wartościami: p, q, a, b, i c: = b 4 a c - wyróżnik funkcji kwadratowej (trójmianu kwadratowego); p = - współrzędna x wierzchołka paraboli. Zatem x w = p = ; q = - współrzędna y wierzchołka paraboli. Zatem y w = f ( xw ) = q =. 4a 4a Miejsca zerowe funkcji, to punkty przecięcia jej wykresu z osią OX, czyli wartość funkcji wynosi zero (ax + bx + c = 0). Mamy równanie kwadratowe, a jego rozwiązania opisane są wzorami: Jeżeli > 0 wówczas funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe: + =, x =, czyli przecina oś OX w dwóch x1 różnych punktach. Jeżeli = 0 wówczas funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe: x o =, jest styczna do osi OX. Jeżeli < 0 wówczas funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych, jej wykres leży nad osią OX, gdy a > 0 lub pod osią OX, gdy a < 0. Ćw. -3 a)-b) str Ćw. 1- a)-b) str Ćw. 3-4 a)-b) str. 190 Zad. 1-3 a)-b) str / 8

3 Lekcja druga Powtórzenie. Zad. 1- c)-f) str Zad. -4 a)-b) str Powtórzenie Zad. 1 c)-f) str Powtórzenie Zad. 1 a)-b) str Powtórzenie Zad. 1 a)-b) str. 191 Lekcja 83. Szkic funkcji kwadratowe (trójmianu kwadratowego) str Postać ogólna funkcji kwadratowej..(y = ax + bx + c, gdzie a 0 ) Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, a jej przebieg zależy od dwóch parametrów: współczynnika a wyróżnika Przebiegi te są przedstawione w podręczniku str W związku z tym by naszkicować przebieg paraboli funkcji kwadratowej wystarczy obliczyć: współrzędne jej wierzchołka W=(p; q) = (x w ; y w ) miejsca zerowe punkt przecięcia z osią OY i punkt symetryczny. Pamiętając, że prosta x = x w = p jest osią symetrii tej paraboli. Zad. 1 str zad. 3 str Powtórzenie. Zad. 1 a) i str. 04. Powtórzenie Zad. 1- b)-c) str. 04. Lekcja 84. Przekształcanie funkcji kwadratowej względem osi OX i OY. Zad. 1 str zad. 3 str Powtórzenie. Zad. 1 a) i str. 04. Powtórzenie Zad. 1- b)-c) str. 04. Lekcja 85. Wartości ekstremalne dla funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym. str Przez wartości ekstremalne funkcji w przedziale domkniętym rozumiemy takie wartości argumentu należące do tego przedziału, dla których wartości funkcji są największe lub najmniejsze. Wyznaczanie największej i najmniejszej wartości funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym m; n polega na: obliczeniu wartości funkcji na granicach przedziału, czyli dla f(m) i f(n); obliczeniu współrzędnej x wierzchołka paraboli x w = -b/ i sprawdzeniu, czy obliczona wartość należy do przedziału. Jeżeli tak, to dodatkowo obliczamy f(x w ). 3 / 8

4 analizujemy otrzymane wartości funkcji dwie lub trzy (f(m); f(n); f(x w )) i odpowiadamy na postawione pytanie. Ćw. a)-b) str. 08. Zad. i 3 str. 09. Zad. 4-7 str. 010 Powtórzenie. Zad. 1 a)-c) str. 10. Lekcja Funkcja kwadratowa w zadaniach praktycznych str Kartkówka z funkcji kwadratowych Twierdzenie Jeżeli dla dwóch różnych argumentów x 1 i x funkcja kwadratowa przyjmuje tą x1 x sama wartość, czyli f(x 1 ) = f(x ), to prosta opisana równaniem x = + jest osią symetrii paraboli będącej wykresem tej funkcji. Zad. 6 i 7 str Narysuj wykres położenia od czasu dla hamującego ciała. Położenie to od czasu opisane jest wzorem: s = 80t 0t. Ćw. 1-4 str. 11. Ćw. 5-6 str. 1 Zad. 1 i str. 13. Lekcja druga Zad. 3-6 str. 13. Powtórzenie. Zad. 1- str. 13 Zestaw I. Zad. 6-7 a) str. 16. Zad. 9-1 a) str. 17 Zad. 1-9 str. 0. Zestaw I. Zad. 6-8 b) str Lekcja 88. Przygotowanie do sprawdzianu z funkcji kwadratowych str , Zestaw II. Zad str Test. Zad str Narysuj wykres funkcji f(x) = x - 4x + 5, przez przesunięcie wykresu funkcji y = x i określ przedziały monotoniczności dla tej funkcji oraz przeciwdziedzinę, czyli zbiór wartości tej funkcji. 4 / 8

5 . Napisz współrzędne punktu będącego wierzchołkiem paraboli opisanej przez trójmian kwadratowy 3 y = -3 x Oblicz miejsca zerowe funkcji 7 1 f(x) = x + x Oblicz, dla jakiego argumentu x funkcja y = x x 5 przyjmuje wartość Oblicz wartości współczynników funkcji kwadratowej y = x + bx + c, że wierzchołek paraboli będącej wykresem tej funkcji ma współrzędne W=(-; 3). 1. Narysuj wykres funkcji f(x) = -x - 4x + 5, przez przesunięcie wykresu funkcji y = -x i określ przedziały monotoniczności dla tej funkcji oraz przeciwdziedzinę, czyli zbiór wartości tej funkcji.. Napisz współrzędne punktu będącego wierzchołkiem paraboli opisanej przez trójmian kwadratowy 5 y = -3 x Oblicz miejsca zerowe funkcji 3 1 f(x) = x + x Oblicz, dla jakiego argumentu x funkcja y = x 3x 15 przyjmuje wartość Zapisz funkcję kwadratową y = ax + 6x 8 w postaci kanonicznej, jeżeli współrzędna x wierzchołka tej paraboli ma wartość 1 (W=(1; y w )). Lekcja 89. Sprawdzian z funkcji kwadratowych str , , Lekcja 90. Omówienie sprawdzian z funkcji kwadratowych str , , Lekcja 91. Pojęcie równania kwadratowe z jedną niewiadomą str Równanie kwadratowe, to równanie postaci. (ax +bx+c=0, gdzie a jest różne od zera). Przykłady. Równanie kwadratowe dzielimy na:. (zupełne i niezupełne). Przykłady Metody rozwiązywania równań kwadratowych. Rozkład na czynniki (wzory skróconego mnożenia). Korzystając ze wzorów delta ( ) Metoda graficzna, jako miejsca zerowe funkcji. Ćw., 3, 4 str Zad. 1 i a)-c) str Zad. 1- e)-f) str / 8

6 Lekcja 9. Rozwiązywanie równań kwadratowych z jedną niewiadomą str Wzory na rozwiązywanie równań kwadratowych Twierdzenie Jeżeli dane jest równanie kwadratowe ax + bx + c = 0, gdzie a 0 1. Jeżeli > 0 wówczas równanie ma dwa różne rozwiązania + (dwa różne pierwiastki): x1 =, x =. Jeżeli = 0 wówczas równanie ma jedno rozwiązanie (jeden pierwiastek): x = Uwaga. Pierwiastek ten nazywa się podwójnym, gdyż wynika z sytuacji x = x1 = x =, ponieważ delta jest zero. 3. Jeżeli < 0 wówczas równanie nie ma rozwiązań (nie ma pierwiastków). Uwaga. Deltę obliczamy ze wzoru: = b 4 a c i nazywa się wyróżnikiem równania kwadratowego. Ćw. 1, a)-c) str Zad. 1 i a)-c) str Zad. 1- e)-g) str Lekcja Ćwiczenia w rozwiązywaniu równań kwadratowych str Powtórzenie. Zad. 1 i a) str Powtórzenie. Zad. 1 str Zadanie 1 str. 0. Zadania ze zbioru zadań. Zad. 1- e)-f) str Lekcja druga 1. Rozwiąż równania kwadratowe. a) -5z = 3z b) (t 3)(t + 3) = 16 c) 3x 13x 3 = 0. Rozwiąż równania pierwszego stopnia a) 3k + 15 = 3 (k + 5) b) 3z 7 = 3 (z ) c) (m -3)(m + 3) = -m( m) + 1m d) 4(x - 1) -,5(x - 3) = 3, + x 3 x e) + =1 3 6 f) 3(m + 1)² + m - 3 = (m -1)(m + 1) + m², to 6 / 8

7 Lekcja 95. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej str Kartkówka z równań kwadratowych Postać ogólna funkcji kwadratowej..(y = ax + bx + c, gdzie a 0 ) Postać kanoniczna funkcji kwadratowej.. (y = a(x p) + q, gdzie a 0 ) Postać iloczynowa funkcja kwadratowa występuje tylko wówczas, gdy dana funkcja kwadratowa y = ax + bx + c, gdzie a 0 ma miejsca zerowe i ma ona postać: + Jeżeli > 0, to x1 =, x = i wówczas daną funkcję kwadratową można zapisać w postaci: y = a(x x 1 )(x x ). Jeżeli = 0, to x o = i wówczas daną funkcję kwadratową można zapisać w postaci: y = a(x x o )(x x o ) = a(x x o ). Ćw. 1 str. 00. Ćw. 4-6 a)-b) str. 01. Ćw. 1-3 a)-b) str. 03. Zad. 1-3 a)-b) str. 0. Powtórzenie Zad. 1- a)-b) str. 0. Lekcja 96. Nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą str Nierówność kwadratowa, to nierówność postaci. (ax +bx+c>0, gdzie a jest różne od zera). Przykłady. Rozwiązywanie nierówności kwadratowych. Rozwiązujemy równanie kwadratowe. Rozwiązania zaznaczamy na osi. Rysujemy wężyk. Uwaga. Wężyk rysujemy od prawej strony od góry, gdy przy x współczynnik jest dodatni, a od dołu, gdy ten współczynnik jest ujemny. Ćw. 1, str. 06. Zad. 1-3 a)-c) str. 07. Zad. 1 i 3 e)-f) str. 07. Lekcja Ćwiczenia w rozwiązywaniu nierówności kwadratowych str Zad. 8 i 9 str. 18. Zad. 10 str. 18 Zad. 4 i 5 str. 16, ale zamiast = wstawiamy znaki nierówności. Lekcja druga rozwiązywanie zadań ze zbioru lub listy. 7 / 8

8 Lekcja 99. Powtórzenie wiadomości do sprawdzianu z równań i nierówności kwadratowych Str , Rozwiąż równania kwadratowe. a) (n + 4) = -(n - 1) = 17 b) x 3 64 = (x - 4) 3 c) 3(u - 3) - (13 - u) - 3u(u - 1) = 14 + u d) x 3 + 4x = -3x(x - ) + 7x e) 4z z = 5z + f) (m - 1) + (m + ) = 5. Rozwiąż nierówności kwadratowe. a) (k 3) -4k 4 +3k < 4k- b) x > 5x + c) 1 u u 4 4 d) 3w 10 (3w - 4)(3w + 4) Lekcja 100. Sprawdzian z równań i nierówności kwadratowych. Str , 16-0 Lekcja 101. Omówienie sprawdzianu z równań i nierówności kwadratowych. Str , / 8