Elementy metod numerycznych

Transkrypt

1 Wykład nr 5 i jej modyfikacje. i zera wielomianów Założenia metody Newtona Niech będzie dane równanie f (x) = 0 oraz przedział a, b taki, że w jego wnętrzu znajduje się dokładnie jeden pierwiastek α badanego równania (ewentualnie dokładnie jeden pierwiastek nieparzystej krotności w przypadku funkcji wielomianowej). Ponadto załóżmy, że f C 2 ( a, b ), f (a) f (b) < 0 oraz f i f mają stały znak na przedziale a, b.

2 Opis metody Newtona W metodzie Newtona (inaczej stycznych) przybliżenie x 1 jest miejscem zerowym prostej stycznej do wykresu funkcji f w punkcie A = (a, f (a)) (jeżeli f (a)f (a) > 0) lub B = (b, f (b)) (jeżeli f (b)f (b) > 0). Kolejne przybliżenia wyznacza się jako miejsca zerowe stycznych do wykresu funkcji f w punktach wyznaczonych przez poprzednie przybliżenia. Wzory metody Newtona Twierdzenie 5.1. (wzory ogólne metody Newtona) Wzór na kolejne przybliżenie w metodzie Newtona może być zapisany nastepująco: gdzie: x n+1 = x n f (x n) f, n = 0, 1, 2,..., (x n ) 1) jeżeli f (a)f (a) > 0, to x 0 = a; 2) jeżeli f (b)f (b) > 0, to x 0 = b. Powyższy wzór posiada bardzo prostą interpretację geometryczną.

3 Interpretacja geometryczna metody Newtona Zbieżność i oszacowanie błędu metody Newtona Twierdzenie 5.2. (zbieżność metody Newtona) Przy przyjętych założeniach ciąg przybliżeń z metody Newtona jest zbieżny i jego granicą jest szukany pierwiastek α. Dla metody Newtona prawdziwe są oszacowania błędu podane w twierdzeniach 4.4 i 4.5 (poprzedni wykład).

4 Przybliżanie pochodnej Niech będzie dana funkcja f klasy C 1. Ponieważ funkcja f jest określona wzorem: f f (x + h) f (x) (x) = lim, h 0 h więc jeśli przyjmiemy h 0, to wtedy otrzymujemy f (x) f (x + h) f (x). h Im mniejsza zastosowana wartość parametru h, tym lepsze uzyskane przybliżenie wartości f (x). Wzory metody Steffensena Załóżmy, że są spełnione założenia metody Newtona dla równania nieliniowego f (x) = 0 i przedziału izolacji pierwiastka a, b. W metodzie Steffensena wprowadzamy funkcję pomocniczą g: g (x) = f (x + f (x)) f (x). f (x) Jeśli x jest przybliżeniem pierwiastka naszego równania nieliniowego, to wtedy f (x) 0 i g(x) f (x).

5 Wzory metody Steffensena Następnie za pomocą funkcji g modyfikujemy wzory metody Newtona: x n+1 = x n f (x n), n = 0, 1, 2,... g (x n ) 1 W metodzie Steffensena punkt początkowy x 0 jest taki sam jak w metodzie Newtona. 2 Wzór na kolejne przybliżenie metody Steffensena nie zawiera pochodnej funkcji f. 3 Wraz z kolejnymi iteracjami metody Steffensena dokładność przybliżenia funkcji f przez funkcję g poprawia się. Wzory metody Halleya Załóżmy, że są spełnione założenia metody Newtona dla równania nieliniowego f (x) = 0 i przedziału izolacji pierwiastka a, b. W metodzie Halleya wprowadzamy funkcję pomocniczą g: g (x) = f (x) f (x). Funkcje f i g mają takie same pierwiastki.

6 Wzory metody Halleya Następnie stosujemy metodę Newtona do równania g(x) = 0 i otrzymujemy następujące wzory: x n+1 = x n f (x n )f (x n ) (f (x n )) 2 f (x n)f (x n ) 2, n = 0, 1, 2,... 1 W metodzie Halleya punkt początkowy x 0 jest taki sam jak dla metody Newtona. 2 Wzór na kolejne przybliżenia metody Halleya zawiera drugą pochodną funkcji f. Pierwiastek wielokrotny równania Definicja 3.1. (pierwiastek wielokrotny) Niech k 2. Liczbę α nazywamy k-krotnym pierwiastkiem równania f (x) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona (k 1)-krotnym pierwiastkiem równania f (x) = 0.

7 Pierwiastki nieparzystej i parzystej krotności 1) Jeżeli pierwiastek α ma nieparzystą krotność, to metody połowienia, regula falsi, siecznych i Newtona w dalszym ciągu działają, przy czym metody siecznych i Newtona są wtedy wolniej zbieżne. 2) Jeżeli pierwiastek α ma parzystą krotność, to metody połowienia, regula falsi i siecznych zawodzą. pozostaje zbieżna pod warunkiem, że istnieje odpowiednie lewostronne lub prawostronne domknięte otoczenie pierwiastka α (spełniające warunki na stały znak pierwszej i drugiej pochodnej). W tym przypadku również obniża się szybkość zbieżności metody Newtona. Przyspieszanie zbieżności dla pierwiastków wielokrotnych Jeżeli α jest pierwiastkiem rzędu k (k 1), to wprowadzamy funkcję pomocniczą g(x) = (f (x)) 1 k, a następnie stosujemy metodę Newtona do równania g(x) = 0 i otrzymujemy następujące wzory: x n+1 = x n k f (x n) f, n = 0, 1, 2,.... (x n ) Na ogół nie znamy a priori krotności pierwiastka.

8 Przyspieszanie zbieżności dla pierwiastków wielokrotnych Jeżeli nie znamy krotności pierwiastków wielokrotnych, to wprowadzamy funkcję pomocniczą g(x) = f (x) f (x), a następnie stosujemy metodę Newtona do równania g(x) = 0 i otrzymujemy następujące wzory: x n+1 = x n f (x n ) f (x n ) f (x n ) f (x n ) f (x, n = 0, 1, 2,.... n) i klasyczne metody Wszystkie opisane wczesniej metody (tj. połowienia, regula falsi, siecznych, Newtona, Steffensen a i Halley a) oraz ich modyfikacje dla pierwiastków wielokrotnych mogą służyć do znajdowania przyblizonych wartości rzeczywistych zer wielomianów o współczynnikach rzeczywistych. Ponadto na ogół można je zmodyfikować w taki sposób, aby działały również dla zer zespolonych. Zatem stosunkowo wazniejsze jest zagadnienie lokalizacji takich zer. Omówimy kilka twierdzeń zajmujących się tym problemem.

9 Ciągi Sturma Definicja 5.1. (ciąg Sturma) Niech będzie dany wielomian f o współczynnikach rzeczywistych. Definiujemy skończony ciąg wielomianów {f i } p i=0 rekurencyjnie: f 0 (x) = f (x), f 1 (x) = f (x), f i+1 (x) = reszta z dzielenia f i 1 przez f i wzięta z przeciwnym znakiem, i = 1,..., p, gdzie f p jest ostatnią niezerową resztą. Ciąg ten nazywamy ciągiem Sturma. Ciągi Sturma Jeżeli reszta f p jest niezerową liczbą rzeczywistą, to wtedy wielomian f 0 = f nie ma zer wielokrotnych. Jeżeli natomiast f p jest wielomianem stopnia k, to jego miejsca zerowe są (k + 1)-krotnymi zerami wielomianu f 0.

10 Ciągi Sturma Niech N(x 0 ) oznacza liczbę zmian znaku w ciągu Sturma dla x = x 0 (z pominięciem zer). 1) Jeżeli x 0 = ±, to wtedy N(± ) definiujemy jako liczbę zmian znaku w ciągu {lim x ± f i (x)} p i=0 (z pominięciem zer). 2) Jeżeli x 0 jest jednokrotnym zerem wielomianu f, to wtedy N(x 0 ) definiujemy jako liczbę zmian znaku w ciągu {f i (x 0 )} p i=1 (z pominięciem zer). 3) Przy wyznaczania kolejnych wyrazów ciągu Sturma często pojawiają się ułamkowe współczynniki. Interesują nas jedynie znaki tych wielomianów (a nie ich dokładne wartości). Aby otrzymać wielomiany o współczynnikach całkowitych należy każdy z nich przemnożyć przez pewną liczbę dodatnią. Twierdzenie Sturma Twierdzenie 5.3. (Sturma o liczbie zer wielomianu) Niech f będzie wielomianem o współczynnikach rzeczywistych. Jeżeli f (a) f (b) 0, to liczba różnych zer rzeczywistych wielomianu f leżących w przedziale (a, b) jest równa N(a) N(b). Przykład 5.1. (zastosowanie twierdzenia Sturma) Zbadać za pomocą twierdzenia Sturma liczbę i lokalizację pierwiastków wielomianu f (x) = x 4 + x 3 x 2 x.

11 Ciągi Fouriera Definicja 3.2. (ciąg Fouriera) Niech będzie dany wielomian f stopnia n o współczynnikach rzeczywistych. Definiujemy skończony ciąg wielomianów {f i } n i=0 następująco: f 0 (x) = f (x), f i (x) = f (i) (x), i = 1,..., n. Ciąg ten nazywamy ciągiem Fouriera. Niech M(x 0 ) oznacza liczbę zmian znaku w ciągu Fouriera dla x = x 0. Twierdzenie Fouriera Twierdzenie 5.4. (Fouriera o liczbie zer wielomianu) Niech f będzie wielomianem stopnia n o współczynnikach rzeczywistych. Jeżeli f (a) f (b) 0, to liczba zer rzeczywistych wielomianu f leżących w przedziale (a, b) jest równa M(a) M(b) lub jest od tej liczby mniejsza o liczbę parzystą. Przykład 5.2. (zastosowanie twierdzenia Fouriera) Zbadać za pomocą twierdzenia Fouriera liczbę i lokalizację pierwiastków wielomianu f (x) = x 4 + x 3 x 2 x.

12 Ciągi Laguerre a Definicja 5.3. (ciąg Laguerre a) Niech będzie dany wielomian f (x) = a n x n +a n 1 x n a 1 x +a 0 stopnia n o współczynnikach rzeczywistych. Definiujemy skończony ciąg wielomianów {f i } n i=0 następująco: f i (x) = a n x i + a n 1 x i a n (i 1) x + a n i, i = 0,..., n. Ciąg ten nazywamy ciągiem Laguerre a. Niech L(x 0 ) oznacza liczbę zmian znaku w ciągu Laguerre a dla x = x 0. Twierdzenie Laguerre a Twierdzenie 5.5. (Laguerre a o liczbie zer wielomianu) Niech f będzie wielomianem stopnia n o współczynnikach rzeczywistych. Jeżeli f (a) f (b) 0, to liczba zer rzeczywistych wielomianu f leżących w przedziale (a, b) jest równa L(a) L(b) lub jest od tej liczby mniejsza o liczbę parzystą. Przykład 5.3. (zastosowanie twierdzenia Laguerre a) Zbadać za pomocą twierdzenia Laguerre a liczbę i lokalizację pierwiastków wielomianu f (x) = x 4 + x 3 x 2 x.

13 Reguła Kartezjusza Twierdzenie 5.6. (reguła Kartezjusza) Liczba dodatnich zer wielomianu f (x) = a n x n a 1 x + a 0 stopnia n o współczynnikach rzeczywistych (z uwzględnieniem ich krotności) jest równa liczbie zmian znaków w ciągu współczynników a n, a n 1,..., a 0 lub jest od tej liczby mniejsza o liczbę parzystą Aby znaleźć liczbę ujemnych zer wielomianu f wystarczy zbadać liczbę zer dodatnich wielomianu g(x) = f ( x). Przykład 5.4. (zastosowanie reguły Kartezjusza) Zbadać za pomocą reguły Kartezjusza liczbę dodatnich i ujemnych pierwiastków wielomianu f (x) = x 4 + x 3 x 2 x.