RACHUNEK RÓŻNICZKOWY- sprawdziany i kartkówki. klasa II 2018/19. Adam Stachura

Transkrypt

1 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY- sprawdziany i kartkówki klasa II 08/9 Adam Stachura

2 Sprawdzian. Granice funkcji- przykładowe zadania ) 8 ZADANIE. Obliczyć granicę Rozwiazanie. Dziedzina funkcji, której granice obliczamy, czyli funkcji f)= *) jest tutaj zbiór D=, ), ) ),+, ponieważ mianownik we wzorze *) równy jest zeru dla = i dla =. Stwierdzamy to rozwiazuj acrównanie: =0metodamiteoriitrójmianów kwadratowych). Liczba 0 = nie należy do dziedziny D, lecz jest jej punktem skupienia, więc można mówić o granicy funkcji w tym punkcie. Mianownikrównyjestzeruwpunkcie.Skorojednakliczniktakżezerujesięw tym punkcie: 8 ) =0, możemy zapisać licznik i mianownik w wyrażeniu*) w postaci iloczynu, w którym jednym z czynników jest ) i uprościć iloraz. Korzystajac ze wzoru skróconego mnożenia: otrzymujemy: a b =a b) a +ab+b ) 8 =) = ) 4 ++ ) = ) 4 ++ ). Ponadto =4 ) +)

3 tzw. postać iloczynowa trójmianu kwadratowego). Wobec tego ) 8 ) 4 ++) = ) = +) Teraz mamy: = [ ] 4 ++ = +) ). ) 4 ++ = +4 4 ) + + = ) 8 Odpowiedź: = ) ZADANIE. Obliczyć granicę Rozwiazanie. Dziedzina funkcji, której granice obliczamy, czyli funkcji f)= 49 *) jest tutaj zbiór D=,7) 7,+ ) musza być spełnione warunki: ze względu na istnienie pierwiastka, 7 ze względu na mianownik). Liczba 0 = 7 nie należy do dziedziny D, lecz jest jej punktem skupienia, więc można mówić o granicy funkcji w tym punkcie. Zarówno licznik, jak też mianownik we wzorze *) jest równy zeru w punkcie 0 =7,cosugerujesposóbrozwi azywaniajakwzadaniu. Jednaktymrazemnie chodzi o wielomianyw każdym razie licznik wyrażenia*) nie jest wielomianem). Przekształcamy więc najpierw wzór*) pamiętajac o wzorze skróconego mnożenia a b)a+b)=a b.

4 4 Mamy: f)= 49 ) = 49 ) + + = = ) 7)+7) + )= = Teraz obliczamy granicę: [ f)= 7 7 7) 7)+7) + )= +7) + ) ) Odpowiedź: = ) 7)+7) + ) = ] = +7) + ). 7+7) + 7 )= 56. ) ZADANIE. Obliczyć granicę. Rozwiazanie. Zadanie upodobni się do poprzednich, gdy wprowadzimy nowa zmienna: =t 6, pamiętajacprzytymotym,że wtedyitylkowtedy,gdyt.mamywięc: ) ) t6 t )= t = = t6 t t = t [ ] t )t +t+) = t )t+) t ) t +t+ = t+ skorzystaliśmyzewzorówskróconegomnożeniadlaróżnica b oraza b ). Odpowiedź: )=.

5 5 ) 6 ZADANIE 4. Zbadać granicę Rozwiazanie. Dziedzina funkcji, której granicę obliczamy, czyli funkcji f)= *) jest tutaj zbiór D=, ), ) ),+, ponieważ mianownik we wzorze *) równy jest zeru dla = i dla =. Stwierdzamy to rozwiazuj acrównanie: =0metodamiteoriitrójmianów kwadratowych). Liczba 0 = nie należy do dziedziny D, lecz jest jej punktem skupienia, więc można mówić o granicy funkcji w tym punkcie. Istotna różnica pomiędzy tym zadaniem a poprzednimi polega na tym, że tutaj tylkomianownikwyrażenia4*)zerujesięwpunkcie 0 =,alicznikjestdodatni: 6 ) =9. Oznacza to, że zastosowanie będzie mieć tu twierdzenie 5 o działaniach na granicach niewłaściwychdwa ostatnie podpunkty), zob. tekst Teoria, w połaczeniu z wnioskiem, zob. tekst Teoria. Spodziewamy się tu granicy w sensie niewłaściwym - ±. Należy tylko ustalić znak. Warto pamiętać też o tym, że w takich sytuacjach, jak ta, granice jednostronne - lewostronna i prawostronna - moga być różne! Skoro licznik we wzorze 4*) jest dodatni w punkcie 0 =, to na podstawie wniosku, tekst Teoria, dla argumentów z odpowiednio dobranegoo małym promieniu) sasiedztwa punktu 0 = ten licznik jest liczb a dodatni a, czyli 6 >0.Codomianownika,czylitrójmianukwadratowego w)=4 +6 4, 5*) to dla argumentów z odpowiednio dobranegoo małym promieniu) lewostronnego s asiedztwapunktu 0 = tenmianownikjestliczb adodatni a,czyli4 +6 4>0. Można to łatwo zauważyć po narysowaniu wykresu tego trójmianu, czyli odpowiedniej paraboliipoprzyjrzeniusię,cosiędziejews asiedztwielewostronnympunktu 0 =. Można też niczego nie rysować, tylko zapisać trójmian5*) w postaci iloczynowej w)=4+) )

6 6 izauważyć,żegdynależydolewostronnegosasiędztwapunktu,to<,więc +<0oraz <0,noa minusrazyminusdajeplus,więcw)>0. Wynikast ad,żeobliczaj ac granicę lewostronnafunkcjif)wpunkcie 0 = dziey liczby dodatnie przez dodatnie, co prowadzi do wniosku, że ) 6 = W podobny sposób stwierdzamy, że dla argumentów z odpowiednio dobranego o małym promieniu) prawostronnego sasiedztwapunktu 0 = mianownikwe wzorze 4*) jest liczb aujemn a, czyli <0. Wynikast ad, żeobliczaj ac granicę prawostronna funkcji f) w punkcie 0 = dziey liczby dodatnie przez ujemne, co prowadzi do wniosku, że ) 6 = Granice- lewostronna i prawostronna saróżne,cooznacza,żegranica f)nie istnieje nawet w niewłaściwym sensie. Odpowiedź: Granica +f)=. f) nie istnieje, natomiast f) = + i ) +6+9 ZADANIE 5. Zbadać granicę. 9 Rozwiazanie. Ponieważ licznik i mianownik we wzorze f)= zerujesięwpunkcie 0 =,więczaczynamyjakwzadaniu: f)= = +) ) ) ) = +. Terazzauważamy,żedla 0 =mianownik zerujesię, =0, zaślicznik jestdodatni,+=6>0.dlategoodtegomiejscarozumujemyjakwzadaniu4, stwierdzajac, żeszczegóły pomijam): ) ) + + =, =+. +

7 Odpowiedź: Granica 9 ) =, ) nie istnieje, natomiast + ) +6+9 =+. 9 ) +5 ZADANIE 6. Obliczyć granicę Rozwiazanie. Tego typu granice w nieskończoności obliczamy w sposób niemal identyczny jak granice ciagów liczbowych. Dzielac licznik i mianownik we wzorze f)= przez w potędze o najwyższym wykładniku spośród występujacych w mianowniku, czyliprzez,otrzymujemy: ) ponieważprzy mamy: = = =, 0, 5 0, 4 0, 0 zobacz tekst Teor pożyteczne wzory ). ) +5 Odpowiedź: = ) = + 5 ) = ZADANIE 7. Obliczyć granicę + f),gdzie f)= ) +) +).

8 8 Rozwiazanie. Tego typu granice w nieskończoności obliczamy w sposób niemal identyczny jak granice ciagów liczbowych. Mamy: f)= *) Dzielac licznik i mianownik we wzorze 6*) przez w potędze o najwyższym wykładniku spośród występujacych w mianowniku, czyli przez, otrzymujemy: ) + 4+ = ) ) = = ponieważprzy + mamy: = = 4, 0, 0, 9 0 zobacz tekst Teor pożyteczne wzory ). Odpowiedź: + f)= 4. ZADANIE 8. Obliczyć granicę + f),gdzie f)= *) Rozwiazanie. Tego typu granice w nieskończoności obliczamy w sposób niemal identyczny jak granice ciagów liczbowych. Dzielac licznik i mianownik we wzorze7*) przezikorzystaj aczreguływł aczania pod pierwiastek otrzymujemy: ) +4 = + ) 4 = + 4 = = = = 7,

9 9 ponieważprzy + mamy: 4 0, 0 zobacz tekst Teoria pożyteczne wzory ). Odpowiedź: + f)= 7. ZADANIE 9. Obliczyć granicę f),gdzie f)= *) Rozwiazanie. Zadanie wyglada na niemal identyczne z poprzednim - i takie jest, z jedn a modyfikacja. Mianowicie, skoro obliczamy granicę przy, to argument jest teraz liczb a ujemn a, a w takim razie obowi azuje inna reguła przy wł aczaniu pod pierwiastek. Dla ujemnych -ów , apoprawnewł aczanie pod pierwiastek wykonujemy zgodnie z reguła: = = ) =. Uwzględniajactoorazdziel aclicznikimianownikwewzorze8*)przezotrzymujemy: ) +4 = + ) 4 + = 4 = = 4 +0 = = =, ponieważprzy mamy: 4 0, 0

10 0 zobacz tekst Teoria pożyteczne wzory ). Odpowiedź: + f)=. ) ZADANIE 0. Obliczyć granicę Rozwiazanie. Dzielac licznik i mianownik we wzorze f)= przez w potędze o najwyższym wykładniku sposród występujacych w mianowniku, czyliprzez 4,otrzymujemy: = = + 5 = = ) + 5 = Korzystajac z twierdzenia o działaniach na granicach skończonych zob. tekst Teoria, twierdzenie ) oraz z odpowiedniego podpunktu twierdzenia o działaniach na granicach niewłaściwychzob. tekst Teoria, twierdzenie 4) otrzymujemy: [ )] =, 4 ponieważprzy + mamyoczywiście natomiast gdyżprzy + mamy: + =+, ) = =, 4 ). 0, 0, 0, 5 0, 4 0 zobacz tekst Teor pożyteczne wzory ).

11 ) Odpowiedź: = granica niewłaściwa) ) +9 ZADANIE *. Na podstawie definicji zbadać granicę. +6 Rozwiazanie. Dziedzina funkcji jest tutaj zbiór D = 6,+ ) musi być spełnionywarunek: +6>0zewzględunaistnieniepierwiastka, atakżezuwagi nato,żeniemożebyćzerawmianowniku). Liczba 0 =należydozbiorudijest jego punktem skupienia. Wybieramyzobacz tekst Teoria0, Definicja ) dowolny ci ag n ),n N,taki,że: n Ddlakażdegon N, n dlakażdegon N, n=. n Obliczamy: ) f n +9 n)= = +9 =4 n n n zewzględunaznanewłasnościgranicci agów zbieżnych. +9 Odpowiedź: Granica istnieje i )=4. +6 ZADANIE *. Na podstawie definicji zbadać granicę f),gdzie f)=, gdy>, +, gdy. *) Rozwiazanie. DziedzinafunkcjijesttutajzbiórD=Rwszystkichliczbrzeczy- wistych. Obliczamy najpierw granicę prawostronn a na podstawie definicjizob. tekst Teoria0, Definicja ). Wybieramy dowolny ciag n ),n N,taki,że: n >dlakażdegon N, n=. n Warunek: n Ddlakażdegon N jesttuspełniony,skorod=r.)obliczamy granicę pamiętajacotym,żeskoro n >,to działa pierwszyzewzorów*): n f n)= n n =.

12 Zatem +f)=. Obliczamy teraz granicę lewostronn a na podstawie definicjizob. tekst Teoria0, Definicja ). Wybieramy dowolny ciag n ),n N,taki,że: n <dlakażdegon N, n=. n Obliczamy granicę pamiętajacotym,żeskoro n <,to działa drugizewzorów *): f n n)= n n n+ = + = 5. Zatem Oczywiście 5,czyli f)= 5. +f) f), co świadczy o tym, że badana granica nie istniejezob. tekst Teoria, Fakt ). Odpowiedź: Granica nie istnieje. ZADANIE *. Dla jakiej wartości parametru p R funkcja określona wzorami: 4 f)= dla >, 9*) +p dla jestci agła w zbiorze R liczb rzeczywistych? Rozwiazanie. Funkcja jest ciagławkażdympunkcieróżnymodpunktu 0 =. Wystarczy więc znaleźć takawartośćparametrup,dlaktórejfunkcjabędzieci agław punkcie 0 =.Zgodniezdefinicj aci agłości funkcji w punkciezob. tekst Teoria0, definicja 4) będzie tak wtedy, gdy będzie istnieć granica funkcji w punkcie, równa wartości funkcji w tym punkcie. Jakwynikazdrugiegozewzorów9*),wartośćfunkcjiwpunkciejestrówna f)=+p.

13 Granicę lewostronnafunkcjifwpunkcietakżewyznaczamykorzystaj ac z drugiego zewzorów9*): f)= +p)=+p. Granicę prawostronnafunkcjifwpunkciewyznaczamykorzystaj ac z pierwszego zewzorów9*): ) ) [ ] 4 4 )+) +f)= = = = = ++)=+=4. Skoro ma istnieć granica f),totegranicepowinnybyćrównezob. tekst Teoria, fakt ), czyli powinna zachodzić równość: sk adotrzymujemy: p=. +p=4, Odpowiedź: Funkcja jest ciagławzbiorzerdlap=.

14 4 Kartkówka 4. Obliczanie pochodnych, styczne do wykresu- przykładowe zadania ZADANIE. Wyznaczyć pochodnafunkcjif)= + +. Rozwiazanie. Zaczynamy od przedstawienia funkcji w postaci sumy funkcji potęgowych,czyliskładnikówpostaci: c a awięcbezużyciasymbolupierwiastka). Ponieważ = = + 5 =, =, więc + = + = + 0 = +, = + 0 = ) f)= = 5 +. Możemy teraz skorzystać ze wzoru na pochodna funkcji potęgowej: a ) =a a zob. tekstteoria5,wzór5)),atakżeztwierdzeniaopochodnejsumyiróżnicyi ze wzoru cf)) =c f ) zob. tekst Teoria4, Twierdzenie ). Mamy: więc f )= ) = = 5, ) =, = ) = =, ) = =, 5 + ) =

15 = 5 + ) = = Możnaale nie jest to konieczne) zapisać wynik używajac symboli pierwiastków i wtedywygl adaontakoto: Odpowiedź: Pochodna funkcji f jest równa 5 f )= ZADANIE. Wyznaczyć pochodnafunkcjif)= sin. Rozwiazanie. Rozważana funkcja jest iloczynem dwóch innych funkcji, więc zastosowanie znajdzie tu wzór na pochodna iloczynuzob. tekst Teoria4, Twierdzenie ). Z niego, a także z tabeli pochodnych funkcji elementarnychzob. tekst Teoria5) otrzymujemy: f )= sin ) = ) sin+ sin) = = sin+ cos= sin + cos. Odpowiedź: f )= sin + cos. ZADANIE. Wyznaczyć pochodnafunkcjif)= + +. Rozwiazanie. Rozważana funkcja jest ilorazem dwóch innych funkcji, więc zastosowanie znajdzie tu wzór na pochodna ilorazuzob. tekst Teoria4, Twierdzenie ). Z niego, a także z tabeli pochodnych funkcji elementarnychzob. tekst Teoria5) otrzymujemy: ) f + )= = +) +) +) +) + +) =

16 6 = +)+) +) +) = ) Odpowiedź: f )= ++ +). = ) = = ++ +). ZADANIE 4. Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji f) = sin w punkcieoodciętej 0 =π. Rozwiazanie. Jedyne, co tu trzeba zrobić, to zastosować wzór z tekstu Teoria6 -równaniestycznejdowykresufunkcjiy=f)wpunkcieoodciętej 0 : y=f 0 ) 0 )+f 0 ), *) oraz skorzystać z tabelki pochodnych funkcji elementarnychtekst Teoria5)). Ustalamy dane: 0 =π, więc ze wzoru*) otrzymujemy: czyli odpowiedż wyglada następujaco: f)=sin, f 0 )=sinπ=0, f )=cos, f 0 )=cosπ=, y= ) π)+0, Odpowiedź: Szukanerównaniemapostać: y= +π. ZADANIE 5. Pod jakim k atem styczna do wykresu funkcji f) = + w punkcieoodciętej 0 =przecinaośox? Rozwiazanie. Poza wzorem z tekstu Teoria6 jedyne, co trzeba uwzględnić, to fakt,żeprostaorównaniuy=a+btworzyzosi aox,adokładniej-zjejdodatni a częściatakik atϕ,któregotangensjestrównya: tgϕ=a.

17 7 Potocznie mówi się, że prostaprzecina oś OX pod k atemϕ, i o ten k at chodzi w zadaniu.) Dane do napisania równania stycznej ustalamy jak w zadaniu 4, przy czym pochodnafunkcjif obliczamyjakwzadaniu: ) f )= = ) +) +) + +) = Wobec tego mamy: = + +) = 0 =, +). f)= +, f 0)=, f )= więc ze wzoru*) otrzymujemy: +), f 0 )= 4, y= 4 )+ = Wynikast ad odpowiedź. Odpowiedź: Styczna do wykresu funkcji f) = + 0 =przecinaośoxpodtakimk atemϕ,żetgϕ= 4. w punkcie o odciętej