7. WYZNACZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W BELKACH

Transkrypt

1 7. WYZNCZNIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W ELKCH Zadanie 7.1 Dla belki jak na rysunku ułożyć równania sił wewnętrznych i sporządzić ich wykresy. Dane: q, a, M =. Rys Rys.7.1. W zależności od rodzaju podpór zakładamy w nich odpowiednie niewiadome podporowe. Chcąc ułożyć równania sił wewnętrznych musimy wyznaczyć wartości tych niewiadomych podporowych które wystąpią w równaniach sił wewnętrznych. W naszym przypadku wystarczyłoby wyznaczyć reakcję R, ale sprawdzenia wyznaczymy wszystkie niewiadome. Dla płaskiego dowolnego układu sił mamy trzy równania, plus jedno równanie momentów względem przegubu. Rozpoczynamy od równania momentów względem przegubu D po prawej stronie z którego wyliczmy niewiadomą R. R M p id = 0; = F F ix iy = 0; = 0; R R M + R x y = 0 + R a R y = R = + = = 0 5 = 0; = R a

2 l M id = 0; M R ya + = 0 M = R y a = = 5 1 Ostatecznie: R x = 0; R y =,5; R = ; M = Równania sił wewnętrznych, czyli (w naszym przypadku) momentów gnących i sił tnących, układamy dla poszczególnych przedziałów belki. Jak wiadomo przegub nie stanowi granicy przedziału, więc mamy dwa przedziały. Rozpoczynamy od strony lewej: 1) 0 < x 1 < a M g1 = M = T 1 = 0 przedział drugi a < x < 3a q( x a) M g = M + R ( x a) = q( x a) ( x a) Jest to równanie paraboli, które na granicach przedziału przyjmuje wartości: dla x = a; M g = ; dla x = 3a; M g = = T = -R + q (x -a) = + q( x a) 5 dla x = a; T = -R b = /; dla x = 3a; T = + q a = Przystępujemy teraz do rysowania wykresów sił wewnętrznych. W pierwszym przedziale wartość momentu gnącego jest stała. Wykres jest linią prostą równoległą do osi x.. W drugim przedziale wykresem jest parabola, a druga pochodna jej równania względem zmiennej x

3 d M g = q < 0, czyli funkcja ta ma maksimum, (przegięcie skierowane w stronę dodatniego zwrotu osi M g w naszym przypadku w dół). Sprawdzamy dla jakiej wartości zmiennej x moment osiąga ekstremum, czyli przyrównujemy pierwszą pochodną równania M g (x) do zera. dm g = qx + = qx = 0 a x = Pamiętać musimy również, że wykres momentów musi zerować się w przegubie. Rys Wykres sił tnących w pierwszym przedziale jest zerowy, w drugim jest prostą ukośną do osi x przechodzącą przez wyznaczone wyżej punkty na granicy przedziału.

4 Zadanie 7. Dla belki jak na rysunku 7..a ułożyć równania sił wewnętrznych i sporządzić ich wykresy Dane: a, q, F =, M =. Rys.7. Rozwiązanie Przyjmujemy układ współrzędnych i zaznaczamy niewiadome podporowe (rys.7.b). Układamy równania równowagi 1) F = 0; R = 0 ix ) F = 0; R + R q a F = 0 iy x y 3) Mi = 0; M + R 3a 1,5a F a = 0; z równania (3) po podstawieniu za F i M R ( a + 1,5a ) 0,5 1 =, 3a = z równania () R = + 0,5 = 1,5

5 Równania sił wewnętrznych, czyli momentów gnących i sił tnących (siły normalne w tym przypadku nie występują), układamy dla poszczególnych przedziałów belki. Mamy tu trzy przedziały. Rozpoczynamy od strony lewej: 0 x 1 a M g1 = R x M g1(x=0) = 0; M g1(x=a) = 1,5, T = R = 1,5, przedział drugi a x a M g = R q(x a) x F(x a) M g(x=a) = 1,5 ; M g(x=a) = 1,5, q(x a) = 1,5x (x a) Uwaga: W punkcie x = a wartość momentu gnącego jest taka sama jak wyznaczona w przedziale sąsiednim, ale tylko w przypadku, gdy w tym punkcie nie jest przyłożony moment skupiony. Można go więc nie wyliczać po raz drugi, chyba, że dla sprawdzenia. W przedziale drugim równanie momentów gnących jest równaniem paraboli która na granicach przedziału przechodzi przez wyżej wymienione punkty. by narysować wykres momentów gnących (rys.7.c) musimy zbadać czy funkcja ta posiada maksimum czy minimum. d Mg W naszym przypadku = q < 0, czyli funkcja ma maksimum. Wykres kierujemy wypukłością w dół, ponieważ oś dodatnia Mg skierowana do dołu. by narysować wykres dokładnie trzeba policzyć maksymalną wartość momentu gnącego w tym przedziale. Wymaga to wyznaczenia wartości x przy której występuje ekstremum. Liczymy pierwszą pochodną równania momentów gnących w tym przedziale;

6 dmg = 1,5 qx + = 1,5 qx, i przyrównujemy ją do zera 1,5 qx = 0; stąd x = 1,5a dla tej wartości x musimy wyznaczyć wartość momentu gnącego. q Mg (x=1,5a) = 1,5 1,5a - 0,5a - ( 0,5a ) = 1,65 Pierwsza pochodna równania momentów gnących jest jak wiemy równaniem siły tnącej w tym przedziale; T = 1,5 q(x a) = 1,5 qx, T (x=a) = 1,5 = 0,5; T (x=a) = - 0,5 W trzecim przedziale będziemy równania sił wewnętrznych pisali od strony prawej 0 x 3 a Mg 3 = M + R x = + 0,5 x Mg 3(x=0) = ; Mg 3(x=a) = 1,5 T 3 = -R = -0,5 Możemy teraz narysować wykresy sił wewnętrznych (rys.7.c i d). Zadanie 7.3 Dla belki opartej na dwóch podporach i obciążonej jak na rysunku 7.3a wyznaczyć wielkości podporowe, sporządzić wykresy sił wewnętrznych i określić maksymalny moment gnący. Dane: a, l, q, F = 0,5, l = 4a. Rozwiązanie Przyjmujemy układ współrzędnych i zaznaczamy niewiadome podporowe (rys 7.3b). Układamy równania równowagi 1) F = 0; R = 0 ix ) F = 0; R + R q 5a F = 0 iy x y

7 3) M = 0; q 5a,5a F a R y 4a i = 0; z równania (3) 1 R y = = 4 ( 1,5 0,5) 3, z równania () R = 0, =,5 Rys.7.3

8 Równania sił wewnętrznych, czyli momentów gnących i sił tnących (siły normalne w tym przypadku nie występują), układamy dla poszczególnych przedziałów belki. Mamy tu trzy przedziały. Rozpoczynamy od strony lewej: 0 x 1 a Momenty gnące M g1 = x1 q x = 1 qx Jest to równanie paraboli z wypukłością skierowaną w stronę dodatnich wartości momentów gnących (rys.5.3c) i przechodzącą przez punkty: M g1(x=0) = 0; M g1(x=a) =, Siły tnące T 1 = q x1 T 1(x=0) = 0; T 1(x=a) = -q a przedział drugi a x 3a M g q x = + R q x (x a) = + 3 (x a) M g(x=a) =; M g(x=5a) = = Wykres momentów jest parabolą, druga pochodna podług x jest ujemna wiec wypukłość skierowana jest w stronę dodatniego zwrotu osi Mg. by narysować dokładnie wykres momentów gnących w tym przedziale należy wyznaczyć miejsca zerowe tej funkcji, oraz współrzędną x dla której występuje ekstremum Mg. Następnie liczmy maksymalny moment gnący w tym przedziale. dmg = qx + 3 = 0 x = 3

9 Mg max(x=3) = = 1,5 q x q x + R (x a) = q x 6 x + 6 = (x a) = 0 x = 1,7a; x = 4,73a siły tnące T = q x + R = q x + 3 T (x=a) = -+R = ; T (x=5a) = - przedział trzeci od strony prawej 0 x 3 a Mg 3 = -F x = -0,5 x Mg 3(x=a) = -0,5 T 3 = F = 0,5 Mając wyznaczone wartości momentów gnących i sił tnących na granicach przedziałów belki możemy narysować odpowiednie wykresy tych sił wewnętrznych, (rys. 7.3c i d). Zadanie 7.4 Dla belki z dwoma przegubami w punktach D i C obciążonej i podpartej jak na rysunku 7.4.a wyznaczyć niewiadome podporowe, napisać równania momentów gnących i sił tnących i sporządzić ich wykresy. Dane: l, q, F = ql, M = ql. Rozwiązanie: Przyjmujemy układ współrzędnych i zaznaczamy niewiadome podporowe w punktach i, rys. 7.4.b. (Pomijamy składowe w kierunku osi poziomej ponieważ są one nieoznaczone i nie wpływają na szukane wielkości). Ponieważ w naszym zadaniu występują dwa przeguby układamy trzy równania momentów względem tych przegubów i jedno równanie rzutów na oś pionową.

10 1) F = 0; R + R ql F = 0 iy l ql ) M id = 0; M R l + = 0; p 3) M = 0; R l M + M = 0 ic l 4) M = 0; M R l + F l + ql l = 0 ic Rys.7.4 rozwiązujemy ten układ równań ql ql M = R l ; R l R l + ql l + ql l = 0 R =,5ql M = ql R M = 3ql R = M + R = 0,5ql l = ql + ql = ql R =,5ql; R = 0,5ql; M = ql ; M = ql.

11 Równania sił wewnętrznych: przedział pierwszy (od strony lewej). 0 x 1 l Mg = R x M qx =,5ql x ql qx, jest to równanie paraboli, wyliczamy wartości na granicy przedziału Mg x= 0) = M = ql ; Mg(x= l) ( = 0 wyliczamy wartości x przy której wystąpi ekstremum dmg = 0;,5ql qx = 0 x =,5l, co jest poza naszym przedziałem d Mg druga pochodna podług x jest ujemna; = q, a więc parabola posiada maksimum. Możemy teraz narysować wykres momentów gnących w pierwszym przedziale. Siła tnąca w pierwszym przedziale: T= R qx =,5ql qx wykresem jest prosta, wyliczamy wartości na granicy przedziału T (x=0) = R =,5ql; T (x=l) = 1,5ql Rysujemy wykres w pierwszym przedziale. Przedział drugi (od strony lewej). l x l Mg = R x M qx F(x l) =,5ql x ql qx ql(x l), wyliczamy wartości na granicy przedziału Mg x= l) = 0; Mg(x= l) ( = 0

12 wyliczamy wartości x przy której wystąpi ekstremum dmg = 0;,5ql qx ql = 0 x = 1,5l, ekstremum wystąpi więc w połowie tego przedziału Wyznaczamy wartość momentu gnącego w tym punkcie Mg = ( x= 1,5l) = 3,75ql ql 1,15ql 0,5ql 0,15 ql Rysujemy wykres Siła tnąca w drugim przedziale T = R x q x ql wyliczamy wartości na granicy przedziału T (x=l) = R = 0,5ql; T (x=l) = -0,5ql rysujemy prostą która musi przecinać oś x przy x = 1,5l, gdyż tam występuje maksimum funkcji momentów gnących przedział trzeci (od strony prawej) 0 x 3 l Mg = R x M = 0,5ql x ql Mg (x=0) = -M = -ql ; Mg (x=l) = -1,5ql,, Siła tnąca T = -R = -0,5ql ma wartość stałą przedział czwarty (od strony prawej) l x 4 l Mg = R x M + M = 0,5ql x ql + ql = 0,5ql x ql Mg (x=l) = -0,5ql Mg (x=l) = 0 Równanie siły tnącej pozostaje takie samo jak w trzecim przedziale (nie pojawiła się żadna nowa siła poprzeczna). Możemy teraz wykonać wykresy sił wewnętrznych, rys. 7.4.c.,