Lista 3 Funkcje. Środkowa częśd podanej funkcji, to funkcja stała. Jej wykresem będzie poziomy odcinek na wysokości 4.

Transkrypt

1 Lista 3 Funkcje. Zad 1. Narysuj wykres funkcji. Przykład 1:. Zacznijmy od sporządzenia tabelki dla każdej części podanej funkcji, uwzględniając podany zakres argumentów (dziedzinę): Weźmy na początek funkcję, wybierzmy kilka argumentów ( )i policzmy wartośd funkcji dla tych argumentów: x -3-2, ,25 4 Środkowa częśd podanej funkcji, to funkcja stała. Jej wykresem będzie poziomy odcinek na wysokości 4. Sporządźmy jeszcze tabelkę do ostatniej części wykresu x , wybierając kilka argumentów Teraz nanieśmy otrzymane punkty na układ współrzędnych (1 jednostka = 1 kratka): Zauważmy jeszcze, że z lewej strony wykres kooczy zamalowane kółko ( przedział lewostronnie domknięty), a z prawej strony wykres jest nieograniczony ( ). Przykład2: Ponownie zaczniemy od sporządzenia tabelek dla poszczególnych części podanej funkcji, uwzględniając podany zakres argumentów (dziedzinę): Pierwsza częśd podanej funkcji, to funkcja stała. Jej wykresem będzie poziomy odcinek na wysokości -2. Teraz weźmy funkcję, wybierzmy kilka argumentów z przedziału i policzmy wartośd funkcji dla tych argumentów: x Sporządźmy jeszcze tabelkę do ostatniej części wykresu x 1 2 3, wybierając kilka argumentów z przedziału

2 Teraz nanieśmy otrzymane punkty na układ współrzędnych (1 jednostka = 1 kratka): Przykład 3: Przypomnijmy, że: Jeżeli wykres funkcji przesuniemy o wektor, to otrzymamy wykres funkcji. Funkcję a nazywamy funkcja podstawową, wektorem przesunięcia, w którym: określa przesunięcie w poziomie (wzdłuż osi X: w prawo gdy p>0 lub w lewo gdy p <0) określa przesunięcie w pionie (wzdłuż osi Y: w górę gdy q>0 lub w dół gdy q<0). Odczytajmy zatem funkcję podstawową i wektor przesunięcia dla podanej funkcji f: Funkcja podstawowa to:, a wektor przesunięcia. Oznacza to, że aby otrzymad wykres funkcji należy narysowad wykres funkcji, a następnie przesunąd go o 1 jednostkę w prawo i 3 jednostki w dół. Sporządźmy tabelkę dla funkcji, a następnie narysujmy jej wykres w układzie współrzędnych i przesuomy zgodnie z wektorem przesunięcia (1 jednostka = 1 kratka). x Przykład 4:

3 Odczytajmy funkcję podstawową i wektor przesunięcia dla podanej funkcji f: Funkcja podstawowa to:, a wektor przesunięcia. Oznacza to, że aby otrzymad wykres funkcji należy narysowad wykres funkcji, a następnie przesunąd go o 3 jednostki w lewo i 2 jednostki w górę. Sporządźmy tabelkę dla funkcji, a następnie narysujmy jej wykres w układzie współrzędnych i przesuomy zgodnie z wektorem przesunięcia (1 jednostka = 1 kratka). x ,5-2 -0,5 0-0,5-2 -4,5-8 Ćwiczenia: a) f) b) g) h) c) i) j) d) e) Zad 2. Wiedząc, że punkt P należy do wykresu funkcji f, wyznacz a. Przykład 1: Przypomnijmy, że jeżeli punkt należy do wykresu funkcji tzn., że jego współrzędne spełniają jej równanie.

4 W związku z tym należy wstawid współrzędne punktu P do wzoru funkcji i wyliczyd wartośd niewiadomej a. Nasz punkt ma współrzędne (oczywiście w naszym przykładzie f(x) oznacza to samo co y ) Ponieważ interesuje nas środkowa częśd wzoru. Zatem. Przykład 2: Wstawmy współrzędne punktu P do wzoru funkcji i wyliczmy wartośd niewiadomej a. Nasz punkt ma współrzędne. Ponieważ interesuje nas pierwsza częśd wzoru. Zatem. Przykład 3: Wstawmy współrzędne punktu P do wzoru funkcji i wyliczmy wartośd niewiadomej a. Nasz punkt ma współrzędne. Po podstawieniu otrzymujemy więc Zatem. Ćwiczenia: a) e) b) f) c) g) h) d) i) j) k) Zad 3. Wyznacz dziedzinę funkcji f.

5 Zanim przejdziemy do przykładów przypomnijmy dwa ważne warunki, o których warto pamiętad przy określaniu dziedziny: 1) Pierwiastki parzystego stopnia obliczamy z liczb nieujemnych, czyli 2) Nie dzielimy przez 0!, czyli Przykład 1: W funkcji występuje pierwiastek, więc interesuje nas pierwszy warunek: zatem Zatem dziedziną tej funkcji są wszystkie liczby rzeczywiste niewiększe od 6,5 Przykład 2: W funkcji występują dwa pierwiastki, więc interesuje nas pierwszy warunek: Oczywiście będziemy rozpatrywad równolegle oba pierwiastki zatem Zaznaczmy nasze rozwiązanie na osi liczbowej: Ponieważ oba warunki muszą byd spełnione interesuje nas częśd wspólna ich rozwiązao (iloczyn narysowanych przedziałów) Zatem dziedziną tej funkcji jest przedział obustronnie domknięty od 3 do 0 Przykład 3: W funkcji występuje ułamek, więc interesuje nas drugi warunek:, zauważmy, że z lewej strony możemy zastosowad wzór skróconego mnożenia Więc (jeśli wstawimy w miejsce x liczbę 3 to w mianowniku będziemy mieli 0!) Zatem dziedziną tej funkcji są wszystkie liczby rzeczywiste oprócz 3 Przykład 4:

6 W funkcji występuje jednocześnie ułamek i pierwiastek, więc interesują nas oba warunki: Ponieważ pierwiastek w tym przykładzie występuje w mianowniku możemy oba warunki zapisad w formie jednego: (mianownik nie może byd równy 0) Więc Zatem dziedziną tej funkcji są wszystkie liczby rzeczywiste większe od 4 Przykład 5: W funkcji występuje jednocześnie ułamek i pierwiastek, więc interesują nas oba warunki: Będziemy rozpatrywad je równolegle: Więc Zatem Zaznaczmy nasze rozwiązanie na osi liczbowej: Zauważmy, że chcemy aby nasze argumenty (x) były niewiększe niż 1,4 i jednocześnie nie może to byd 1,4 i 1,4 albo równoznacznie Przykład 6: W funkcji występują dwa ułamki, więc interesuje nas warunek: Oczywiście będziemy rozpatrywad równolegle mianowniki obu ułamków: Zatem Zatem dziedziną tej funkcji są wszystkie liczby rzeczywiste oprócz: 3; 2 i 1 Ćwiczenia: a) b) d) e) c) f)

7 g) i) h) j) Zad 4. Wyznacz miejsca zerowe i punkt przecięcia wykresu funkcji f z osią Y. Na początek przypomnijmy, że miejsce zerowe to argument (x), dla którego wartośd funkcji (y lub f(x)) wynosi 0. Należy pamiętad, że miejsce zerowe musi należed do dziedziny funkcji. Zatem zanim wyznaczymy miejsca zerowe musimy określid dziedzinę funkcji. Przykład 1: Wyznaczamy dziedzinę funkcji: Zatem dziedziną tej funkcji są wszystkie liczby rzeczywiste niewiększe od 8. Teraz możemy wyznaczyd miejsca zerowe: A zatem. Argument ten należy do dziedziny naszej funkcji ( ) Zatem miejsce zerowe naszej funkcji to Wyznaczymy jeszcze punkt przecięcia wykresu z osia OY. Wiemy, że każdy punkt leżący na osi y ma pierwszą współrzędną równą 0. Wstawiamy zatem Zatem punkt do wzoru naszej funkcji: to miejsce przecięcia wykresu naszej funkcji z osią OY. Przykład 2: Wyznaczamy dziedzinę funkcji: (patrz Przykład 3, zad. 3) Zatem dziedziną tej funkcji są wszystkie liczby rzeczywiste oprócz 3 Teraz możemy wyznaczyd miejsca zerowe: A zatem Wiemy, że ułamek jest równy 0 tylko wtedy, gdy jego licznik jest równy 0. Więc Korzystając z wzoru na różnicę kwadratów ( ) otrzymujemy.

8 A zatem Oba argumenty należą do dziedziny naszej funkcji Zatem miejsca zerowe naszej funkcji to Wyznaczymy jeszcze punkt przecięcia wykresu z osia OY. Wstawiamy Zatem punkt do wzoru naszej funkcji: to miejsce przecięcia wykresu naszej funkcji z osią OY. Przykład 3: Wyznaczamy dziedzinę funkcji: (patrz Przykład 4, zad. 3) Zatem dziedziną tej funkcji są wszystkie liczby rzeczywiste większe od 4 Teraz możemy wyznaczyd miejsca zerowe: A zatem Wiemy, że ułamek jest równy 0 tylko wtedy, gdy jego licznik jest równy 0. Więc Korzystając z wzoru na kwadrat różnicy ( ) otrzymujemy. A zatem Argument ten nie należy do dziedziny naszej funkcji Zatem nasza funkcja nie ma miejsc zerowych. Wyznaczymy jeszcze punkt przecięcia wykresu z osia OY. nie należy do dziedziny naszej funkcji (nie możemy wstawid 0 w miejsce x do wzoru naszej funkcji) Zatem wykres podanej funkcji nie przecina osi OY. Przykład 4: Wyznaczamy dziedzinę funkcji: (patrz Przykład 5, zad. 3) Zatem Teraz możemy wyznaczyd miejsca zerowe: A zatem Wiemy, że ułamek jest równy 0 tylko wtedy, gdy jego licznik jest równy 0. Więc A zatem Argument ten nie należy do dziedziny naszej funkcji

9 Zatem nasza funkcja nie ma miejsc zerowych. Wyznaczymy jeszcze punkt przecięcia wykresu z osia OY. Wstawiamy Zatem punkt do wzoru naszej funkcji: to miejsce przecięcia wykresu naszej funkcji z osią OY. Przykład 5: Wyznaczamy dziedzinę funkcji: Zatem (patrz Przykład 6, zad. 3) Zatem dziedziną tej funkcji są wszystkie liczby rzeczywiste oprócz: 3; 2 i 1 Teraz możemy wyznaczyd miejsca zerowe: A zatem Mnożąc na krzyż otrzymamy Liczymy wyróżnik trójmianu: zatem nasze równanie ma dwa pierwiastki: Oba argumenty należą do dziedziny naszej funkcji Zatem to miejsca zerowe naszej funkcji. Wyznaczymy jeszcze punkt przecięcia wykresu z osia OY. Wstawiamy do wzoru naszej funkcji: Zatem punkt to miejsce przecięcia wykresu naszej funkcji z osią OY. Ćwiczenia: a) b) c) d) e) f) g)

10 h) i) Zad 5. Dany jest wzór funkcji f. Określ: Wartośd funkcji dla argumentu 2 Zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartośd 1 Zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie Zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości niewiększe niż 3 Przykład 1: Przypomnijmy, że x to argument funkcji a y = f(x), to wartośd funkcji dla podanego argumentu x. Wyznaczmy zatem: Wartośd funkcji dla argumentu 2 Wstawiamy do wzoru funkcji: Zatem dla argumentu -2 funkcja przyjmuje wartośd -10,5. Zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartośd 1 czyli Zatem. Funkcja przyjmuje wartośd 1 dla argumentu. Zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie czyli Zatem. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów. Zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości niewiększe niż 3 czyli Zatem. Funkcja przyjmuje wartości niewiększe niż 3 dla argumentów. Przykład 2: Zauważmy, że funkcje tą można zapisad w postaci: (patrz Lista 2 logika i zbiory, zad.4, przykład 2) Wyznaczmy zatem: Wartośd funkcji dla argumentu 2 Wstawiamy do wzoru funkcji: Zatem dla argumentu -2 funkcja przyjmuje wartośd 1,5. Zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartośd 1 czyli Wyłączając wspólny czynnik przed moduł otrzymamy

11 odczytujemy równanie w języku odległości: odległośd x od 4 wynosi 4 Oczywiście odległośd nie może byd wyrażona liczbą ujemną Zatem funkcja nie przyjmuje wartości 1 dla żadnego argumentu ( ). Zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie czyli Zauważmy, że wartośd bezwzględna jest zawsze liczba nieujemną( ) dla Zatem funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla dowolnego argumentu. Zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości niewiększe niż 3 czyli Wyłączając wspólny czynnik przed moduł otrzymamy odczytujemy równanie w języku odległości: odległośd x od 4 jest mniejsza lub równa 12 (patrz Lista 2 logika i zbiory, zad.5 i 6) Zatem funkcja przyjmuje wartości niewiększe niż 3 dla argumentów. Ćwiczenia: a) g) b) c) h) d) i) e) j) f) Zad 6. Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f. Odczytaj z wykresu: Dziedzinę funkcji Zbiór wartości Miejsca zerowe Punkt przecięcia wykresu z osią OY Przedziały monotoniczności Zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie Zbiór rozwiązao nierówności Przykład 1: (1 jednostka = 1kratka)

12 Dziedzina funkcji dziedzinę odczytujemy patrząc na zakres wykresu na osi OX Oczytajmy zatem dziedzinę naszej funkcji (na naszym wykresie zaznaczono dziedzinę kolorem pomaraoczowym) Zbiór wartości - odczytujemy patrząc na zakres wykresu na osi OY Oczytajmy zatem zbiór wartości naszej funkcji (na naszym wykresie zaznaczono go kolorem zielonym) Miejsca zerowe to argumenty punktu przecięcia wykresu z osią OX Nasza funkcja ma 2 miejsca zerowe: Punkt przecięcia wykresu z osią OY Funkcja przecina oś OY w punkcie Przedziały monotoniczności odczytujemy dla jakich argumentów(x) funkcja rośnie, maleje, a dla jakich jest stała. Przedziały monotoniczności odczytujemy na osi OX. Odczytajmy z wykresu przedziały monotoniczności naszej funkcji: - funkcja rośnie w przedziałach - funkcja maleje w przedziale - funkcja jest stała w przedziałach: Zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie (czyli zbiór tych x, dla których y jest dodatni) odczytujemy dla jakich x wykres funkcji leży powyżej osi OX (częśd wykresu zaznaczona kolorem czerwonym)

13 Zatem nasza funkcja przyjmuje wartości dodatnie * ] dla Zbiór rozwiązao nierówności - to znaczy, że mamy znaleźd takie argumenty (x), dla których wykres naszej funkcji leży poniżej lub na prostej (ta częśd wykresu została zaznaczona na rysunku kolorem różowym). Warto zacząd od narysowania przerywaną linią prostej. Teraz już możemy odczytad, że Przykład 2: (1 jednostka = 1kratka) Dziedzina funkcji dziedzinę odczytujemy patrząc na zakres wykresu na osi OX

14 Oczytajmy zatem dziedzinę naszej funkcji (na naszym wykresie zaznaczono dziedzinę kolorem pomaraoczowym) Zbiór wartości - odczytujemy patrząc na zakres wykresu na osi OY Oczytajmy zatem zbiór wartości naszej funkcji (na naszym wykresie zaznaczono go kolorem zielonym) Miejsca zerowe to argumenty punktu przecięcia wykresu z osią OX Nasza funkcja ma 2 miejsca zerowe: Punkt przecięcia wykresu z osią OY Funkcja przecina oś OY w punkcie Przedziały monotoniczności odczytujemy dla jakich argumentów(x) funkcja rośnie, maleje, a dla jakich jest stała. Przedziały monotoniczności odczytujemy na osi OX. Odczytajmy z wykresu przedziały monotoniczności naszej funkcji: - funkcja rośnie w przedziałach - funkcja maleje w przedziale - funkcja jest stała w przedziałach: Zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie (czyli zbiór tych x, dla których y jest dodatni) odczytujemy dla jakich x wykres funkcji leży powyżej osi OX (częśd wykresu zaznaczona kolorem czerwonym) Zatem nasza funkcja przyjmuje wartości dodatnie [ ] dla Zbiór rozwiązao nierówności - to znaczy, że mamy znaleźd takie argumenty (x), dla których wykres naszej funkcji leży poniżej lub na prostej (ta częśd wykresu została zaznaczona na rysunku kolorem różowym).

15 Warto zacząd od narysowania przerywaną linią prostej. Teraz już możemy odczytad, że Ćwiczenia:

16 Anna Wołoszyn