FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI"

Mirosław Białek
6 lat temu
Przeglądów:

1 FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI DEFINICJA (funkcji elementarnych) Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe wykładnicze logarytmiczne trygonometryczne Funkcje, które można otrzymać z podstawowych funkcji elementarnych za pomocą skończonej liczby działań arytmetycznych oraz operacji złożenia funkcji nazywamy funkcjami elementarnymi.

2 FUNKCJA LINIOWA Funkcją liniową nazywamy funkcję określoną wzorem: =+ dla, gdzie i są danymi liczbami. Wykresem funkcji liniowej jest prosta. Liczbę nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej. Liczbę nazywamy wyrazem wolnym. Jeżeli 0, to funkcja liniowa = + jest funkcją pierwszego stopnia. Jej przeciwdziedziną jest zbiór. Jeżeli =0, to funkcja liniowa = + jest funkcją stałą. Jej przeciwdziedziną jest zbiór jednoelementowy {}.

3 Wykresem funkcji liniowej = + jest prosta przecinająca oś w punkcie o rzędnej. Jeżeli jest kątem, jaki prosta o równaniu = + tworzy z osią, to =. Współczynnik kierunkowy prostej == gdzie oznacza kąt między styczną do wykresu funkcji w punkcie!,! i dodatnią częścią osi. Funkcja liniowa określona wzorem = + jest: rosnąca dla >0 malejąca dla <0 stała dla =0 Proste = % + % i = & + & są: równoległe, % = & prostopadłe, % & = 1

4 Równanie +=0, w którym jest niewiadomą, zaś i są to liczby dane, nazywamy równaniem liniowym z jedną niewiadomą. Jeżeli 0, to równanie +=0 jest równaniem pierwszego stopnia z jedną niewiadomą. Równanie pierwszego stopnia ma dokładnie jedno rozwiązanie. += = = Jeżeli =0 i =0, to każda liczba spełnia równanie +=0, jest wiec ono w tym przypadku tożsamościowe. Jeżeli =0 i 0, to żadna liczba nie spełnia równania +=0, jest wiec ono sprzeczne.

5 Równaniem liniowym z dwiema niewiadomymi nazywamy równanie postaci: ++=, gdzie, i - są danymi liczbami a i - niewiadomymi. Układ równań liniowych: nazywamy:. / + / + =, / =, 0 1 oznaczonym, gdy ma dokładnie jedno rozwiązanie nieoznaczonym, gdy ma nieskończenie wiele rozwiązań sprzecznym, gdy nie ma rozwiązań.

6 Dany jest układ równań liniowych:. % + % = - % & + & = - & 1 Liczbę 2 =3 % % & & 3= % & % & nazywamy wyznacznikiem głównym. Liczbę 2 4 =3 - % % - & & 3=- % & % - & nazywamy wyznacznikiem niewiadomej x. Liczbę 2 5 =6 % - % & - & 6= % - & - % & nazywamy wyznacznikiem niewiadomej y.

7 ROZWIĄZALNOŚĆ UKŁADU RÓWNAŃ LINIOWYCH 1. Jeśli 2 0, to układ równań ma jedno rozwiązanie = 7 8 i 7 =7 9 7 (wzory te nazywamy wzorami Cramera). 2. Jeśli 2 =2 =2=0, to układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań (jest nieoznaczony). 3. Jeśli 2 =0 i (2 4 0 lub 2 5 0), to układ równań nie ma rozwiązań (jest sprzeczny). PRZYKŁAD Dla jakich : układ. : 5 = = 1 1 ma rozwiązanie?

8 FUNKCJA KWADRATOWA Funkcję = 0 ++, określoną dla, gdzie,,- są danymi liczbami rzeczywistymi i 0, nazywamy funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym. Wykres funkcji kwadratowej nazywamy parabolą. Znak współczynnika decyduje o tym, czy ramiona paraboli o równaniu = & + +- są skierowane w górę (>0), czy w dół (<0). Wykres funkcji = & + +- otrzymujemy przez przesunięcie wykresu funkcji = & o wektor [:,?]. Wyróżnikiem trójmianu kwadratowego nazywamy liczbę = & 4-. Miejsca zerowe funkcji kwadratowej:

9 Jeśli >0, to funkcja ma dwa różne miejsca zerowe: % = CDC, &F & = CDG &F Jeśli =0, to funkcja ma jedno miejsce zerowe:! = 2 (nazywamy je pierwiastkiem podwójnym) Jeśli <0, to funkcja nie ma miejsc zerowych. PRZYKŁADY Znajdź miejsca zerowe funkcji: a) =3 & b) =2 & 4

10 Postać ogólna: WZÓR FUNKCJI KWADRATOWEJ = & + +- Wierzchołek paraboli ma współrzędne H, H =I CD &F,C JF K Postać kanoniczna: = : & +? gdzie :,? są współrzędnymi wierzchołka paraboli: := 2,? = 4 Postać iloczynowa: 1. jeśli >0, to = % &, gdzie % i & są miejscami zerowymi 2. jeśli =0, to =! &, gdzie! jest miejscem zerowym.

11 UWAGA Funkcja kwadratowa w zależności od współczynnika a jest funkcją ograniczoną: a) z dołu dla >0 b) z góry dla <0. W przypadku >0 funkcja kwadratowa posiada wartość najmniejszą (która znajduje się w wierzchołku paraboli), zaś dla <0 posiada wartość największą (która znajduje się w wierzchołku paraboli). UWAGA Monotoniczność funkcji kwadratowej zależy od współczynnika : a) dla >0 funkcja maleje w przedziale, H, rośnie zaś w przedziale H,+, b) dla <0 funkcja rośnie w przedziale, H, maleje zaś w przedziale H,+.

12 WZORY VIETE A Jeśli równanie kwadratowe & + +- =0 ma pierwiastki % i & 0, to: / + 0 = C, / 0 =,. Liczby %, & są dodatnie. % + & > 0 % & > 0 1, Liczby %, & są ujemne. % + & < 0 % & > 0 1 Liczby %, & mają różne znaki % & < 0 PRZYKŁAD: Oblicz sumę i iloczyn pierwiastków równania kwadratowego: 2 & =0.

13 DEFINICJA (wartości bezwzględnej z liczby rzeczywistej) Wartość bezwzględna (moduł) liczby rzeczywistej a, którą oznaczamy symbolem, jest określona następująco:, O 0 =., O <0 1 UWAGA Dla P będącego liczbą naturalną parzystą i dla dowolnej liczby zachodzi związek: R Q =

14 Własności: 0 S =0 =0 OU = stąd = = 6 F D 6= F D OU,, OU, UWAGA Jeżeli = to:, O 0 =., O <0 1

15 POCHODNE FUNKCJI ELEMENTARNYCH =0, + = & =2 & + +- =2 +

16 PRZYKŁAD: Ciało o masie 2kg porusza się ruchem prostoliniowym określonym funkcją W= % & & ++1 gdzie s to droga w metrach, a t czas w sekundach. W której sekundzie ruchu energia kinetyczna ciała będzie wynosiła 4 J? Energia kinetyczna energia, którą posiada każde poruszające się ciało. Wartość tej energii zależy od masy ciała i jego prędkości. Przyjmijmy następujące oznaczenia: X masa ciała, W droga, Y Z energia kinetyczna, [ prędkość ciała. Dane: Szukane: X=2 [\], =? W= % & & ++1, Y Z =4 [^]

17 Y Z = 1 2 X[& [=W stąd Y Z = % & X_W `& W =a 1 2 & ++1b ROZWIĄZANIE: = =+1 Podstawiając do wzoru na energię kinetyczną otrzymujemy: Y Z = % & X+1& = % & X& +2+1 &c d e =& +2+1 Podstawiamy teraz wartości liczbowe: =& +2+1 & + 3=0 Stąd otrzymujemy: +3 1=0 [ { 3,1} >0] =1 Odp. W pierwszej sekundzie tego ruchu energia kinetyczna będzie wynosiła 4J.

18 PRZYKŁAD: Punkt g oddala się od nieruchomego punktu h po linii prostej tak, że odległość hg rośnie proporcjonalnie do kwadratu czasu. Po upływie 2 minut od chwili rozpoczęcia ruchu odległość hg wynosiła 12 m. Oblicz prędkość w 3 minucie ruchu. Przyjmujemy następujące oznaczenia: W % droga przebyta po czasie %, W droga przebyta przez punkt i po czasie, [ & prędkość w 3 minucie ruchu. Dane: Szukane: % =2 [XSP] [ & W % =12 [X] W=\ &, \ współczynnik proporcjonalności & =3 [XSP]

19 ROZWIĄZANIE: W % =\ % & \= j k l k m Po podstawieniu \= %& J =3 Zatem W=3 &, [ & =W n & =3 & & n =6 & Podstawiając do wzoru na prędkość chwilową otrzymujemy: [ & =6 & =6 3p X XSP q=18 60 px W q= 3 20 px W q Odp.: W trzeciej minucie ruchu prędkość będzie wynosić s &! pe j q.

Podobne dokumenty

1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)

1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 1) Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w początku układu współrzędnych i przechodząca przez punkt. Wobec tego funkcja f określona wzorem 2) Punkt należy do paraboli o równaniu. Wobec