Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Save this PDF as:
Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a"

Transkrypt

1 Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}. Jej wykresem jest parabola w wierzchołku w początku układu współrzędnych i ramionach skierowanych do góry dla a > 0, a do dołu dla a < 0. Jest to funkcja parzysta, zatem osią symetrii wykresu jest oś OY. Dla dowolnej funkcji kwadratowej mamy f(x) = ax + bx + c = a ( x + b ) a 4a, gdzie wyróżnik równania kwadratowego = b 4ac. Stąd wykres funkcji f(x) = ax + bx + c można otrzymać przesuwając wykres funkcji f(x) = ax o wektor [ b a, 4a ]. Ponadto wierzchołek paraboli ma współrzędne ( b a, b 4a ), a jej osią symetrii jest prosta o równaniu x = a. Łatwo zauważyć, że liczba miejsc zerowych omawianej funkcji (czyli liczba rozwiązań równania ax + bx + c = 0) zależy od jej wyróżnika: 1. Dla > 0 funkcja ma dwa miejsca zerowe x 1 = b a oraz x = b+ a. Mamy wtedy f(x) = a(x x 1 )(x x ).. Dla = 0 funkcja ma jedno miejsce zerowe x 1 = b a (jest to pierwiastek podwójny odpowiedniego równania) oraz f(x) = a(x x 1 ). 3. Dla < 0 funkcja nie ma miejsc zerowych. Funkcja kwadratowa nie jest różnowartościowa, nie jest też monotoniczna. Dla a > 0 jest malejąca w przedziale (, b b a ), rosnąca w przedziale ( a, ), a jej zbiorem wartości jest przedział [ 4a, ). Dla a < 0 jest rosnąca w przedziale (, b b a ), malejąca w przedziale ( a, ), a jej zbiorem wartości jest przedział (, 4a ]. Przykład 1. Narysuj wykres funkcji a) f(x) = x x 3, b) g(x) = 1 x 3x 5. Rozwiązanie. a) Wyróżnik = 16, więc wykresem funkcji f jest parabola o wierzchołku ( b a, 4a ) = ( 1, ) i miejscach zerowych x 1 = 4 4 = 1, x = +4 4 = 3. b) Dla funkcji g mamy = 1, zatem wierzchołkiem paraboli będącej wykresem tej funkcji jest punkt ( 3, 1 ), a ta funkcja nie ma miejsc zerowych. 1

2 Jeśli funkcja kwadratowa f(x) = ax + bx + c ma miejsca zerowe x 1 i x, to a(x x 1 )(x x ) = a[x (x 1 + x )x + x 1 x ] = ax a(x 1 + x )x + ax 1 x, zatem zachodzą równości są to wzory Viete a. x 1 + x = b a, x 1x = c a Rozwiązywanie równań i nierówności stopnia drugiego. Przykład. a) Rozwiąż równanie x 10x + 9 = 0. b) Rozwiąż nierówność x 10x Rozwiązanie. a) Wyróżnik tego równania jest równy = = 64, a więc szukane pierwiastki to x 1 = 1 i x = 9. b) Wykresem funkcji f(x) = x 10x + 9 jest parabola o miejscach zerowych 1 i 9 oraz ramionach skierowanych do góry. Możemy odczytać z wykresu, że nierówność jest spełniona dla x [1, 9]. Przykład 3. Napisz wzór funkcji f przyporządkowującej wartości parametru m liczbę różnych pierwiastków równania (m + 1)x + (m )x + 1 = 0. Rozwiązanie. Dane równanie 1 ma dwa pierwiastki dla m 1 i > 0; ma jeden pierwiastek dla m = 1 (wtedy rozważane równanie jest równaniem liniowym 3x+1 = 0) lub dla m 1 i = 0; 3 nie ma pierwiastków dla m 1 i < 0. Ponieważ = (m ) 4(m + 1) = m 8m = m(m 8), wykresem funkcji (m) jest parabola o miejscach zerowych 0 oraz 8 i ramionach skierowanych do góry. Stąd > 0 dla m (, 0) (8, ), a < 0 dla m (0, 8). Ostatecznie mamy dla m (, 1) ( 1, 0) (8, ), f(m) = 1 dla m { 1, 0, 8}, 0 dla m (0, 8).

3 Przykład 4. Zbadaj, dla jakiej wartości parametru m pierwiastki równania a) są różnych znaków, (m + 1)x + (m )x + 1 = 0 b) spełniają zależność 1 x 1 Rozwiązanie. + 1 x = 5. a) Równanie musi mieć dwa różne pierwiastki, więc m 1 oraz > 0. Pierwiastki równania są różnych znaków, gdy ich iloczyn jest ujemny. Z wzorów Viete a mamy x 1 x = 1 m+1. Musimy rozwiązać układ m 1 > 0. 1 m+1 < 0 Korzystając z obliczeń z poprzedniego przykładu otrzymujemy m 1 m (, 0) (8, ). m (, 1) Częścią wspólną tych warunków jest m (, 1). b) Równanie musi mieć dwa pierwiastki (niekoniecznie różne), więc m 1 oraz 0. Stąd ( ) m (, 1) ( 1, 0] [8, ). Przekształćmy lewą stronę równania. Mamy 1 x x = x 1 + x x 1 x = (x 1 + x ) x 1 x x. 1 x Dalej z wzorów Viete a możemy napisać Musimy więc rozwiązać równanie 1 x x = ( b a ) c a ( c a ) = b ac c. (m ) (m + 1) = 5. Pierwiastkami równania m 6m 3 = 0 są m 1 = 3 3, m = Tylko pierwszy z nich spełnia warunek ( ), więc tylko m = 3 3 jest rozwiązaniem zadania. Przykład 5. Znajdź wartości parametru m, dla których nierówność jest prawdziwa dla wszystkich x R. x mx + m + 3m + 0 Rozwiązanie. Wykresem funkcji f(x) = x mx + m + 3m + jest parabola o ramionach skierowanych do góry. Dana nierówność będzie spełniona dla każdego x, gdy funkcja f będzie miała co najwyżej jedno miejsce zerowe. Szukamy więc m spełniających warunek 0. Mamy = 4m 4(m + 3m + ) = 4m 1m 8. Stąd 0 4m 1m 8 0 m + 3m + 0 (m + 1)(m + ) 0 m [, 1]. Zatem nierówność jest prawdziwa dla każdego x R gdy m [, 1]. 3

4 Przypomnijmy szkolną definicję wielomianu. Dzielenie wielomianów z resztą. Definicja 1. Wielomianem jednej zmiennej stopnia n o współczynnikach rzeczywistych nazywamy wyrażenie postaci a 0 + a 1 x a n x n, gdzie a 0, a 1,..., a n R, a n 0, n N {0}. Liczby a 0, a 1,..., a n nazywamy współczynnikami wielomianu, a liczbę n stopniem wielomianu W (x). Wielomianem zerowym nazywamy wielomian W (x) = 0. Dodatkowo przyjmiemy, że stopień wielomianu zerowego to. Dwa wielomiany są równe, gdy są tego samego stopnia i mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach x. Twierdzenie 1. Niech W (x) i V (x) będą wielomianami o współczynnikach rzeczywistych i niech wielomian V (x) będzie różny od wielomianu zerowego. Istnieje wtedy dokładnie jedna para wielomianów Q(x), R(x) o współczynnikach rzeczywistych spełniająca warunki 1. W (x) = V (x)q(x) + R(x),. stopień wielomianu R(x) jest mniejszy od stopnia wielomianu V (x). Przykład 6. Oblicz iloraz i resztę z dzielenia wielomianu x 3 + 4x + 1 przez x +. czyli Rozwiązanie. Mamy x 3 + 4x + 1 = x (x + ) x + 4x + 1, x + 4x + 1 = x(x + ) + 6x + 1, 6x + 1 = 3(x + ) 5, x 3 + 4x + 1 = x (x + ) x(x + ) + 3(x + ) 5 = (x x + 3)(x + ) 5. Ten algorytm dzielenia można zapisać podobnie do dzielenia pisemnego liczb x x +3 (x 3 +4x +1) x 3 x x +4x +1 x +x 6x +1 6x 6 5 : (x + ) Ostatecznie iloraz jest równy Q(x) = x x + 3, a reszta wynosi R(x) = 5. Pierwiastki wielomianu. Krotność pierwiastka. Twierdzenie Bezoute a. Równania i nierówności wielomianowe. Niech W (x) = a 0 + a 1 x a n x n i niech a R. Przez W (a) będziemy oznaczali wartość a 0 + a 1 a a n a n R. Definicja. Liczbę rzeczywistą a nazywamy pierwiastkiem wielomianu W (x), jeśli W (a) = 0. Pierwiastek wielomianu a 0 + a 1 x a n x n jest więc rozwiązaniem równania a 0 + a 1 x a n x n = 0. 4

5 Twierdzenie. (Bézouta) Liczba rzeczywista a jest pierwiastkiem wielomianu W (x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W (x) dzieli się bez reszty przez x a. Definicja 3. Niech k N. Mówimy, że liczba a R jest k-krotnym pierwiastkiem wielomianu W (x), jeśli wielomian W (x) dzieli się bez reszty przez (x a) k, a przy dzieleniu W (x) przez (x a) k+1 reszta jest różna od zera. Np. liczba 1 jest k-krotnym pierwiastkiem wielomianu W (x) = (x + 1) k (x 1). Twierdzenie 3. Niech n N. Wielomian n-tego stopnia o współczynnikach rzeczywistych ma co najwyżej n pierwiastków. Stosunkowo proste jest szukanie całkowitych pierwiastków wielomianu. Fakt 1. Niech W (x) = a 0 + a 1 x a n x n będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych. Jeśli a Z jest pierwiastkiem wielomianu W (x), to a jest dzielnikiem współczynnika a 0. Zatem np. pierwiastków całkowitych wielomianu 6X 6 + X 5 X 4 6X X + należy szukać wśród liczb ±1, ±. Fakt. Niech W (x) = a 0 + a 1 x a n x n, a 0, a 1,..., a n Z. Jeśli ułamek nieskracalny p q Q jest pierwiastkiem wielomianu W (x), to p jest dzielnikiem a 0, a q jest dzielnikiem a n. Stąd np. wymierne pierwiastki wielomianu 3X 6 + X 5 X 4 6X X + należą do zbioru { p q : p {±1, ±}, q {±1, ±3}} = {±1, ±, ± 1 3, ± 3 }. Twierdzenie 4. Każdy wielomian W (x) o współczynnikach rzeczywistych stopnia n N można zapisać w postaci c(x x 1 )... (x x s )(x + a 1 x + b 1 )... (x + a t x + b t ), gdzie c, x 1,..., x s, a 1,..., a t, b 1,..., b t R, c 0 oraz s + t = n, a wielomiany x + a 1 x + b 1,..., x + a t x + b t nie mają pierwiastków rzeczywistych. Przedstawienie to jest jednoznaczne z dokładnością do kolejności czynników. W szczególności nie każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych ma pierwiastki rzeczywiste. Wniosek 1. Każdy wielomian rzeczywisty, którego stopień jest liczbą nieparzystą ma pierwiastek w R. Przykład 7. Dla jakiej wartości parametru a wielomian W (x) = 3x 4 1x 6x + a dzieli się bez reszty przez x? Rozwiązanie. Z twierdzenia Bézouta wynika, że liczba musi być pierwiastkiem wielomianu W (x), czyli W () = 0. Ponieważ W () = a = 1 + a, rozwiązaniem zadania jest a = 1. Przykład 8. Wiedząc, że wielomian W (x) przy dzieleniu przez x 1 daje resztę, a przy dzieleniu przez x 3 daje resztę 4, oblicz resztę z dzielenia tego wielomianu przez (x 1)(x 3). Rozwiązanie. Ponieważ W (x) = (x 1)Q 1 (x) + oraz W (x) = (x 3)Q (x) + 4 dla pewnych wielomianów Q 1 (x), Q (x), musi być W (1) = i W (3) = 4. Szukana reszta z dzielenia przez (x 1)(x 3) jest wielomianem stopnia co najwyżej pierwszego. Zatem szukamy liczb a, b R takich, że W (x) = (x 1)(x 3)Q(x) + ax + b dla pewnego wielomianu Q(x). Stąd mamy W (1) = a + b oraz W (3) = 3a + b. Rozwiązaniem układu równań { a + b = 3a + b = 4 są liczby a = 1, b = 1. Stąd przy dzieleniu wielomianu W (x) przez (x 1)(x 3) otrzymamy resztę x

6 Przykład 9. Rozwiąż równania a) x 4 16 = 0, b) x 5 9x 3 + x 9 = 0, c) x 4 3x 3 + x 3x + 1 = 0, d) 3x 3 + x 7x 5 = 0. Rozwiązanie. a) Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia, żeby rozłożyć lewą stronę równania na czynniki (x 4)(x + 4) = 0, (x )(x + )(x + 4) = 0. Stąd x = 0 lub x + = 0 x + 4 = 0. Ostatecznie x = lub x =. b) Rozłożymy lewą stronę równania na czynniki grupując wyrazy. Mamy x 3 (x 9) + (x 9) = 0, (x 9)(x 3 + 1) = 0, (x 3)(x + 3)(x + 1)(x x + 1) = 0 skorzystaliśmy ze wzoru skróconego mnożenia a 3 + b 3 = (a + b)(a ab + b ). Zatem x { 3, 1, 3}. c) W tym równaniu mamy x 4 + x + 1 3x 3 3x = 0, (x + 1) 3x(x + 1) = 0, (x + 1)(x + 1 3x) = 0. Zatem x + 1 = 0 lub x 3x + 1 = 0. Pierwsze równanie nie ma rozwiązania w R, pierwiastkami drugiego są liczby 3 5 i d) W tym równaniu trudno jest zauważyć, jak odpowiednio pogrupować wyrazy, żeby rozłożyć lewą stronę na czynniki. Sprawdzimy, czy wielomian W (x) = 3x 3 + x 7x 5 ma pierwiastki całkowite. Z Faktu 1 wiemy, że pierwiastków całkowitych tego wielomianu należy szukać wśród dzielników wyrazu wolnego, czyli w zbiorze {±1, ±5}. Mamy W (1) = , stąd 1 nie jest pierwiastkiem wielomianu. Dalej mamy W ( 1) = = 0, więc 1 jest pierwiastkiem wielomianu i W (x) dzieli się przez x + 1. Wykonajmy to dzielenie: 3x x 5 (3x 3 +x 7x 5) 3x 3 3x x 7x 5 x +x 5x 5 5x +5 0 : (x + 1) Zatem nasze równanie możemy zapisać w postaci (x + 1)(3x x 5) = 0. Rozwiązaniami równania 3x x 5 = 0 są liczby 1 oraz 5 3, zatem 1 jest podwójnym, a 5 3 pojedynczym pierwiastkiem wielomianu W (x). Liczby 1 i 5 3 są rozwiązaniami danego równania. 6

7 Przykład 10. Rozwiąż nierówności a) x 3 + x 4x 4 < 0, b) x 3 x x + 1 > 0, c) x 5 + x 3 0. Rozwiązanie. Tak jak w przypadku równań, najpierw trzeba znaleźć pierwiastki odpowiedniego wielomianu. a) Mamy x (x + 1) 4(x + 1) < 0, czyli (x + 1)(x 4) < 0, a więc (x + 1)(x )(x + ) < 0. Stąd pierwiastkami wielomianu W (x) = x 3 + x 4x 4 są liczby, 1,. Teraz musimy zbadać znak tego wielomianu 1 sposób. Możemy zrobić tzw. siatkę znaków, tzn. wypełnić następującą tabelkę znakami poszczególnych czynników wielomianu: x (, ) (, 1) ( 1, ) (, ) x x x + W (x) + + Zatem W (x) < 0 dla x (, ) ( 1, ). sposób. Nierówność wielomianową możemy także rozwiązać graficznie, tak jak to robiliśmy dla nierówności kwadratowych. Zaznaczamy na osi liczbowej pierwiastki wielomianu, a następnie patrzymy na znak współczynnika przy najwyższej potędze x. W naszym przypadku ten znak jest dodatni, a to oznacza, że lim x W (x) =, czyli zaczynamy rysować wykres funkcji wielomianowej z prawej strony ponad osią OX. Wszystkie pierwiastki wielomianu są pojedyncze, więc wykres będzie taki jak na rysunku. Możemy z niego odczytać, że nierówność W (x) < 0 jest prawdziwa dla x (, ) ( 1, ). b) Mamy x 3 x x + 1 = x (x 1) (x 1) = (x 1)(x 1) = (x 1) (x + 1), więc wielomian W (x) = x 3 x x + 1 ma jeden pierwiastek podwójny i jeden pojedynczy. W tym przypadku siatka znaków jest następująca (znak (x 1) dla x 1 jest zawsze dodatni). x (, 1) ( 1, 1) (1, ) x (x 1) W (x) + + Stąd W (x) > 0 dla x ( 1, 1) (1, ). Rysując wykres funkcji wielomianowej musimy pamiętać, że gdy krotność pierwiastka jest parzysta, wykres odbije się od osi OX w odpowiednim miejscu (znak (x 1) nie ma wpływu na znak wielomianu). 7

8 c) Ponieważ x 5 + x 3 = x 3 (x 1) = x 3 (x 1)(x + 1), wielomian W (x) = x 5 + x 3 ma trzy pierwiastki, w tym jeden potrójny. Wykres funkcji wielomianowej jest następujący (tym razem zaczynami rysowanie z prawej strony poniżej osi OX, bo znak przy x 5 jest ujemny; znak czynnika x 3 jest taki sam, jak znak x). Nierówność W (x) 0 jest spełniona dla x [ 1, 0] [1, ). Zadanie 1. Narysuj wykres funkcji a) f(x) = x + 6x 5, b) f(x) = x 3x, c) f(x) = x 9, d) f(x) = x 3 x + 9. Zadanie. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji a) f(x) = (x + 1)(x ), b) g(x) = x + 4x + 4, c) h(x) = x + x, w przedziale [, ]. Zadanie 3. Rozwiąż równanie a) x 5x + = 0; b) 3x + 5x = 0; c) 3x x + 1 = 0. Zadanie 4. Rozwiąż nierówność a) x + x 1 0, b) x + 4 4x, c) x + x < 3 x, d) x(x ) > 5(x 7). Zadanie 5. Dla jakiej wartości parametru m a) równanie (m + 1)x (m )x + (1 m) = 0 ma dokładnie jeden pierwiastek? 8

9 b) równanie (m 5)x 4mx + m = 0 ma dwa różne rozwiązania? c) równanie x + (m + 4)x + m m = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste jednakowych znaków? d) równanie mx 3(m + 1)x + m = 0 nie ma pierwiastków rzeczywistych? e) nierówność x mx + m jest spełniona dla każdego x R? f) nierówność (5 m)x (1 m)x + (1 m) < 0 jest spełniona dla każdego x R? Zadanie 6. Oblicz iloraz Q(x) i resztę z dzielenia R(x) wielomianu W (x) przez wielomian V (x), jeśli a) W (x) = 6x 4 + x + 1, V (x) = x + 4, b) W (x) = 3x 3 + x + 106, V (x) = x + 4, c) W (x) = 8x 6 x 5, V (x) = x 3. Zadanie 7. Znajdź pierwiastki wielomianu a) W (x) = x 3 5x 9x + 45, b) W (x) = x 3 + kx 4 wiedząc, że jest podzielny przez dwumian x +, c) W (x) = x 4 x 3 + x 1, d) W (x) = (x + x) 1, e) W (x) = x 3 + 5x + 3x 9. Zadanie 8. Przy dzieleniu wielomianu W (x) przez dwumian (x 1) otrzymano iloraz Q(x) = 8x + 4x 14 oraz resztę R(x) = 5. Oblicz pierwiastki wielomianu W (x). Zadanie 9. Znajdź wszystkie całkowite pierwiastki wielomianów W 1 (x) = 6x 5 3x 4 +x 3 8x +x+1, W (x) = 4x 3 + 1x + x 3 i W 3 (x) = x 4 5x + 4. Zadanie 10. Znajdź wszystkie wymierne pierwiastki wielomianów W 1 (x) = x 4 x 3 + x + x 1 i W (x) = 6x 3 4x 3 x + 1. Zadanie 11. Rozwiąż równanie a) 7x 3 11x + 11x 7 = 0, b) x 4 4x + x + = 0, c) x 4 + 4x 3 18x 1x + 9 = 0, d) x 3 + 5x + 3x 9 = 0, e) 10x 3 3x x + 1 = 0, f) x 4 x 3 + 4x 6x + 3 = 0. Zadanie 1. Rozwiąż nierówność a) x 3 < x + 3x 6, b) x < x, c) x 4 + x > 3x, d) x 3 6x + 11x 6 0, 9

10 e) x 3 x 11x + 1 0, f) x 4 3x 3 x + 3 < 0. Zadanie 13. Wykaż, że dla n N wielomian (x ) n (x 1) n 1 jest podzielny przez (x 1)(x ). Zadanie 14. Wykaż, że jeśli W (0) i W (1) są liczbami nieparzystymi, to wielomian W (x) = ax 3 + bx + cx + d, gdzie a, b, c, d Z nie ma pierwiastków całkowitych. Zadanie 15. Wiedząc, że liczby a, b, c są pierwiastkami równania x 3 6x + 11x 6 = 0 napisz równanie stopnia trzeciego, którego pierwiastkami są liczby ab, ac, bc. Odpowiedzi.. a) wartość najmniejsza f( 3 4 ) = 5 8 ; wartość największa f( ) = 1; b) wartość najmniejsza g( ) = 8; wartość największa g() = 8; c) wartość najmniejsza h( 1 ) = 1 4 ; wartość największa f() = a) x 1 = 1, x = ; b) x 1 =, x = 1 3 ; c) x 1 = 1 3, x = a) x [ 1, 1 ]; b) x R; c) x ( 3, 1); d) x (, 5) (7, ). 5. a) m { 1, 0, 4 5 }; b) m ( 10 3, 1); c) m ( 8 5, 0) (, ); d) m ( 3, 3 5 ); e) m [, 6]; f) m (9, ). 6. a) Q(x) = 6x 4, R(x) = x + 96; b) Q(x) = 3x 11x + 44, R(x) = 70; c) Q(x) = 4x 4 + 6x + 8, R(x) = 1; 7. a) x 1 = 3, x = 3, x 3 = 5; b) x 1 = x =, x 3 = 1; c) x 1 = 1, x = x 3 = x 4 = 1; d) x 1 = 1 5, x = 1+ 5, e) x 1 = x = 3, x 3 = x 1 = 3, x = 1, x 3 = W 1 (1) = 0, W (3) = 0, W 3 ( ) = W 3 ( 1) = W 3 (1) = W 3 () = W 1 ( 1 ) = 0, W ( 1 ) = W ( 1 ) = W ( 3 ) = a) x 1 = 1; b) x 1 =, x = 1 5, x 3 = 1, x 4 = 1+ 5 ; c) x 1 = 3 3, x = 1, x 3 = 3+ 3, x 4 = 3; d) x 1 = x = 3, x 3 = 1; e) x 1 = 1 ; f) x 1 = x = a) x (, 3) ( 3, ); b) x (, ); c) x (, ) (0, 1) (1, ); d) x [1, ] [3, ); e) x (, 3] [1, 4]; f) x (1, 3). 15. x 3 11x + 36x 36 = 0. 10

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era

Bardziej szczegółowo

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia 1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy

Bardziej szczegółowo

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania. 10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1

Wielomiany. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1 Definicja Definicja Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję W (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 gdzie

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str

FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str. 178-180. Funkcja kwadratowa to taka, której wykresem jest parabola. Definicja Funkcją kwadratową nazywamy funkcje postaci

Bardziej szczegółowo

Lekcja 2. Pojęcie równania kwadratowego. Str Teoria 1. Równaniem wielomianowym nazywamy równanie postaci: n

Lekcja 2. Pojęcie równania kwadratowego. Str Teoria 1. Równaniem wielomianowym nazywamy równanie postaci: n Lekcja 1. Lekcja organizacyjna kontrakt. Podręcznik: A. Ceve, M. Krawczyk, M. Kruk, A. Magryś-Walczak, H. Nahorska Matematyka w zasadniczej szkole zawodowej. Wydawnictwo Podkowa. Zakres materiału: Równania

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

. Funkcja ta maleje dla ( ) Zadanie 1 str. 180 b) i c) Zadanie 2 str. 180 a) i b)

. Funkcja ta maleje dla ( ) Zadanie 1 str. 180 b) i c) Zadanie 2 str. 180 a) i b) Lekcja 1 -. Lekcja organizacyjna kontrakt diagnoza i jej omówienie Podręcznik: W. Babiański, L. Chańko, D. Ponczek Matematyka. Zakres podstawowy. Wyd. Nowa Era. Zakres materiału: Funkcje kwadratowe Wielomiany

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

WIELOMIANY SUPER TRUDNE

WIELOMIANY SUPER TRUDNE IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUPER TRUDNE 27 LUTEGO 2011 CZAS PRACY: 210 MIN. SUMA PUNKTÓW: 200 ZADANIE 1 (5 PKT) Dany jest wielomian W(x) = x 3 + 4x + p, gdzie p > 0 jest liczba pierwsza. Znajdź p wiedzac,

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie W = (p, q), gdzie

FUNKCJA KWADRATOWA. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie W = (p, q), gdzie Funkcja kwadratowa jest to funkcja postaci y = ax 2 + bx + c, wyrażenie ax 2 + bx + c nazywamy trójmianem kwadratowym, gdzie x, a, oraz a, b, c - współczynniki liczbowe trójmianu kwadratowego. ó ó Wykresem

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

1. Równania i nierówności liniowe

1. Równania i nierówności liniowe Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x

Bardziej szczegółowo

1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)

1) 2) 3)  5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 1) Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w początku układu współrzędnych i przechodząca przez punkt. Wobec tego funkcja f określona wzorem 2) Punkt należy do paraboli o równaniu. Wobec

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Informatyka Stosowana. 6 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28

Wykład 5. Informatyka Stosowana. 6 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28 Wykład 5 Informatyka Stosowana 6 listopada 2017 Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada 2017 1 / 28 Definicja (Funkcja odwrotna) Niech f : X Y będzie różnowartościowa na swojej dziedzinie. Funkcja odwrotna

Bardziej szczegółowo

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy

Bardziej szczegółowo

WIELOMIANY. Poziom podstawowy

WIELOMIANY. Poziom podstawowy WIELOMIANY Poziom podstawowy Zadanie (5 pkt) Liczba 7 jest miejscem zerowym W(x) Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian P ( x) = x + 54, jeśli wiadomo, że w wyniku dzielenia wielomianu

Bardziej szczegółowo

Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze

Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze I. Funkcja i jej własności POZIOM PODSTAWOWY Pojęcie

Bardziej szczegółowo

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 6 Teoria funkcje cz. 2

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 6 Teoria funkcje cz. 2 1 FUNKCJE Wykres i własności funkcji kwadratowej Funkcja kwadratowa może występować w 3 postaciach: postać ogólna: f(x) ax 2 + bx + c, postać kanoniczna: f(x) a(x - p) 2 + q postać iloczynowa: f(x) a(x

Bardziej szczegółowo

ZADANIE 1. ZADANIE 2 Wyznacz wzór funkcji f (x) = 2x 2 + bx + c w postaci kanonicznej wiedzac, że jej miejsca zerowe sa niami równania x 3 = ZADANIE 3

ZADANIE 1. ZADANIE 2 Wyznacz wzór funkcji f (x) = 2x 2 + bx + c w postaci kanonicznej wiedzac, że jej miejsca zerowe sa niami równania x 3 = ZADANIE 3 ZADANIE 1 i największa wartość funkcji f (x) = (x )(x + 1) w przedziale 0; 4. ZADANIE Wyznacz wzór funkcji f (x) = x + bx + c w postaci kanonicznej wiedzac, że jej miejsca zerowe sa rozwiaza- niami równania

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. Kurs matematyki w oratorium autorami materiałów są: dr Barbara Wolnik i Witold Bołt. 17 marca 2006

Wielomiany. Kurs matematyki w oratorium autorami materiałów są: dr Barbara Wolnik i Witold Bołt. 17 marca 2006 Wielomiany Kurs matematyki w oratorium autorami materiałów są: dr Barbara Wolnik i Witold Bołt 17 marca 2006 Spis treści 1 Podstawowe pojęcia 1 2 Wykresy i własności 2 2.1 Wielomian trzeciego stopnia....................

Bardziej szczegółowo

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki 3 semestr LO dla dorosłych I. Sumy algebraiczne 1. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych 2. Mnożenie sum algebraicznych 3. Wzory skróconego mnożenia - zastosowanie

Bardziej szczegółowo

Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje

Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje Funkcje Andrzej Musielak 1 Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa jest postaci f(x) = a x + b, gdzie a, b R Wartość a to tangens nachylenia wykresu do osi Ox, natomiast b to wartość funkcji w punkcie

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: 1. JĘZYK MATEMATYKI I FUNKCJE LICZBOWE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą

Bardziej szczegółowo

Funkcje i ich własności. Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 1 / 43

Funkcje i ich własności. Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 1 / 43 Funkcje i ich własności Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 1 / 43 Zbiory liczbowe Zbiory Zbiór Iloczyn (część wspólna zbiorów) A B = {x : x A x B} Suma Różnica Zawieranie się A B = {x

Bardziej szczegółowo

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w

Bardziej szczegółowo

Otrzymaliśmy w ten sposób ograniczenie na wartości parametru m.

Otrzymaliśmy w ten sposób ograniczenie na wartości parametru m. Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji f ( x) = x + mx + m 1 jest zbiór liczb rzeczywistych? We wzorze funkcji f(x) pojawia się funkcja kwadratowa, jednak znajduje się ona pod pierwiastkiem.

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA. A) B) C) D) Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. A) B) C) D)

FUNKCJA LINIOWA. A) B) C) D) Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. A) B) C) D) FUNKCJA LINIOWA 1. Funkcja jest rosnąca, gdy 2. Wskaż, dla którego funkcja liniowa jest rosnąca Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. 3. Funkcja liniowa A) jest malejąca i jej

Bardziej szczegółowo

x a 1, podając założenia, przy jakich jest ono wykonywalne. x a 1 = x a 2 ( a 1) = x 1 = 1 x.

x a 1, podając założenia, przy jakich jest ono wykonywalne. x a 1 = x a 2 ( a 1) = x 1 = 1 x. Zestaw. Funkcja potęgowa, wykładnicza i logarytmiczna. Elementarne równania i nierówności. Przykład 1. Wykonać działanie x a x a 1, podając założenia, przy jakich jest ono wykonywalne. Rozwiązanie. Niech

Bardziej szczegółowo

K P K P R K P R D K P R D W

K P K P R K P R D K P R D W KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i

Bardziej szczegółowo

3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności

3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności 3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3a. Wstęp: w Krakowie) Elementarne równania

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III A LP

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III A LP Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III A LP Zakres rozszerzony Kryteria Znajomość pojęć, definicji, własności oraz wzorów objętych programem nauczania. Umiejętność zastosowania wiedzy teoretycznej

Bardziej szczegółowo

NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI FUNKCJE KWADRATOWE PARAMETRY

NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI FUNKCJE KWADRATOWE PARAMETRY www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI FUNKCJE KWADRATOWE PARAMETRY 1 www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI ZADANIE 1 Wyznacz wzór funkcji f (x) = 2x

Bardziej szczegółowo

Zad. 8(3pkt) Na podstawie definicji wykaż, że funkcja y=

Zad. 8(3pkt) Na podstawie definicji wykaż, że funkcja y= Funkcje, funkcja liniowa, funkcja kwadratowa powt. kl. 3d Zad. 1 (5pkt.) Dana jest funkcja f(x)=. Narysuj wykres funkcji g(x)= -f(x). Rozwiąż nierówność g(x). Podaj liczbę rozwiązań równania g(x)=m w zależności

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Teoria. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Teoria. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych. Definicja. Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Repetytorium z matematyki ćwiczenia

Repetytorium z matematyki ćwiczenia Spis treści 1 Liczby rzeczywiste 1 2 Geometria analityczna. Prosta w układzie kartezjańskim Oxy 4 3 Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie kartezjańskiej 6 4 Dziedzina i wartości funkcji 8 5 Funkcja liniowa

Bardziej szczegółowo

Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r.

Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r. Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r. Spis treści 1. Funkcja liniowa 5 2. Funkcja kwadratowa 7 3. Trygonometria 11 4. Ciagi liczbowe 13 5. Wielomiany 15 6. Funkcja wykładnicza 17 7. Funkcja wymierna

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

Funkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze

Funkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a

Bardziej szczegółowo

WIELOMIANY. ZADANIE 1 (5 PKT) Reszta z dzielenia wielomianu x 3 + px 2 x + q przez trójmian (x + 2) 2 wynosi 1 x. Wyznacz pierwiastki tego wielomianu.

WIELOMIANY. ZADANIE 1 (5 PKT) Reszta z dzielenia wielomianu x 3 + px 2 x + q przez trójmian (x + 2) 2 wynosi 1 x. Wyznacz pierwiastki tego wielomianu. IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUMA PUNKTÓW: 125 ZADANIE 1 (5 PKT) Reszta z dzielenia wielomianu x 3 + px 2 x + q przez trójmian (x + 2) 2 wynosi 1 x. Wyznacz pierwiastki tego wielomianu. ZADANIE 2 (5 PKT)

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2 WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY (zakres podstawowy) klasa 2 1. Funkcja liniowa Tematyka zajęć: Proporcjonalność prosta Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej Miejsce zerowe funkcji liniowej.

Bardziej szczegółowo

ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY

ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY Zadanie Wskaż w zbiorze A = Zadanie Usuń niewymierność z wyrażenia,(0); 0,9; ; 0; 8; 0; 0 liczby wymierne 6 Zadanie Rozwiąż nierówność x + > Rozwiązanie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY I. Funkcja liniowa dopuszczającą jeżeli: wie, jaką zależność między dwiema wielkościami zmiennymi nazywamy

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Zadanie 1 (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale 1 pkt Przekształcenie równania do postaci: 2 pkt Przekształcenie równania

Bardziej szczegółowo

x+h=10 zatem h=10-x gdzie x>0 i h>0

x+h=10 zatem h=10-x gdzie x>0 i h>0 Zadania optymalizacyjne. Jaka jest największa możliwa wartość iloczynu dwóch liczb, których suma jest równa 60? Rozwiązanie: KROK USTALENIE WZORU Liczby oznaczamy przez a i b więc x+y=60 Następnie wyznaczamy

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI

FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI DEFINICJA (funkcji elementarnych) Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe wykładnicze logarytmiczne trygonometryczne Funkcje, które można

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów:

W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów: dr Urszula Konieczna-Spychała Instytut Matematyki i Fizyki UTP imif.utp.edu.pl Literatura: M. Lassak, Matematyka dla studiów technicznych. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1. M. Gewert, Z.

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie: Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, 6 11 6 11, tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Uprośćmy najpierw liczby dane w treści zadania: 8 2, 2 2 2 2 2 2 6 11 6 11 6 11 26 11 6 11

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013 Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

BAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA

BAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA BAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA 1. Podaj zbiór wartości i monotoniczność funkcji: b) c) j) k) l) wskazówka: - oblicz wierzchołek (bez miejsc zerowych!) i naszkicuj wykres (zwróć uwagę na

Bardziej szczegółowo

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

Matematyka licea ogólnokształcące, technika Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem

Bardziej szczegółowo

WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE

WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE. RozwiąŜ nierówność.. Dla jakiej wartości parametru a R wielomian W() = ++ a dzieli się bez reszty przez +?. Rozwiązać nierówność: a) 5 b) + 4. Wyznaczyć wartości parametru

Bardziej szczegółowo

Skrypt 12. Funkcja kwadratowa:

Skrypt 12. Funkcja kwadratowa: Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 12 Funkcja kwadratowa: 8.

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13 Poniedziałek 12 listopada 2012 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. Wtorek 13 listopada 2012 - odbywają się zajęcia czwartkowe. 79. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

Literatura podstawowa

Literatura podstawowa 1 Wstęp Literatura podstawowa 1. Grażyna Kwiecińska: Matematyka : kurs akademicki dla studentów nauk stosowanych. Cz. 1, Wybrane zagadnienia algebry liniowej, Wydaw. Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk, 2003.

Bardziej szczegółowo

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Zadania funkcje cz.1

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Zadania funkcje cz.1 1 TEST WSTĘPNY 1. (1p) Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej większej od 1 jej największy dzielnik będący liczbą pierwszą. Spośród liczb f(42), f(44), f(45), f(48) A. f(42) B. f(44) C. f(45)

Bardziej szczegółowo

Przygotowanie do poprawki klasa 1li

Przygotowanie do poprawki klasa 1li Zadanie Rozwiąż równanie x 6 5 x 4 Przygotowanie do poprawki klasa li Zadanie Rozwiąż nierówność x 4 x 5 Zadanie Oblicz: a) 9 b) 6 5 c) 64 4 d) 6 0 e) 8 f) 7 5 6 Zadanie 4 Zapisz podane liczby bez znaku

Bardziej szczegółowo

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI (zakres podstawowy) Rok szkolny 2017/2018 - klasa 2a, 2b, 2c 1. Funkcja

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Informatyka Stosowana. 7 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada / 28

Wykład 5. Informatyka Stosowana. 7 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada / 28 Wykład 5 Informatyka Stosowana 7 listopada 2016 Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada 2016 1 / 28 Definicja (Złożenie funkcji) Niech X, Y, Z, W - podzbiory R. Niech f : X Y, g : Z W, Y Z. Złożeniem

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016

PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016 PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016 Wymagania wykraczające zawierają w sobie wymagania dopełniające, te zaś zawierają wymagania podstawowe. Ocenę dopuszczającą powinien otrzymać

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY Warszawa 2019 LICZBY RZECZYWISTE stosować prawidłowo pojęcie zbioru, podzbioru, zbioru pustego; zapisywać zbiory w różnej postaci

Bardziej szczegółowo

Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO

Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO Dział programowy. Zakres realizacji 1. Liczby, działania i procenty Liczby wymierne i liczby niewymierne-działania, kolejność

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY

PLAN WYNIKOWY PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY PLAN WYNIKOWY PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY Copyright by Nowa Era Sp. z o.o. Warszawa 019 Liczba godzin TEMAT ZAJĘĆ EDUKACYJNYCH Język matematyki 1 Wzory skróconego mnożenia 3 Liczby pierwsze,

Bardziej szczegółowo

Zbiór najczęściej podaje się wymieniając jego elementy, np. B 1,2,3,4,5 lub też podając własność, którą elementy jego muszą spełniać B x

Zbiór najczęściej podaje się wymieniając jego elementy, np. B 1,2,3,4,5 lub też podając własność, którą elementy jego muszą spełniać B x Pojęcie zbioru i podzbioru. Równość zbiorów. Działania na zbiorach: suma, iloczyn, różnica zbiorów. Dopełnienie zbioru. Podstawowe prawa rachunku zbiorów. Zbiór i należenie do zbioru są pojęciami pierwotnymi,

Bardziej szczegółowo

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych

Bardziej szczegółowo

Troszkę przypomnienia

Troszkę przypomnienia Troszkę przypomnienia Przesunięcie o wektor Przesunięcie funkcji o wektor polega na przesunięciu jej w układzie współrzędnych o określoną ilośc jednostek w poziomie oraz w pionie. Pierwsza współrzędna

Bardziej szczegółowo

Po zapoznaniu się z funkcją liniową możemy przyjśd do badania funkcji kwadratowej.

Po zapoznaniu się z funkcją liniową możemy przyjśd do badania funkcji kwadratowej. Po zapoznaniu się z funkcją liniową możemy przyjśd do badania funkcji kwadratowej. Definicja 1 Jednomianem stopnia drugiego nazywamy funkcję postaci: i a 0. Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM.

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM. I. Funkcje. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM. 1. Pojęcie funkcji i jej dziedzina. 2. Zbiór wartości funkcji. 3. Wykres funkcji liczbowej i odczytywanie jej własności

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Egzamin wstępny z matematyki

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Egzamin wstępny z matematyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Egzamin wstępny z matematyki lipca 2006 roku Zestaw I wariant A Czas trwania egzaminu: 240 minut 1. Dane są zbiory liczbowe A = {x; x R x < 2}, B = {x; x R x +

Bardziej szczegółowo

ZBIÓR ZADAŃ. Matematyczne ABC maturzysty na poziomie podstawowym

ZBIÓR ZADAŃ. Matematyczne ABC maturzysty na poziomie podstawowym S t r o n a ZBIÓR ZADAŃ Matematyczne ABC maturzysty na poziomie podstawowym Każdy uczeń, który kończy szkołę ponadgimnazjalną i chce przystąpić do matury, zobowiązany jest do zdawania egzaminu z matematyki

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2013/14. Czwartek 21 listopada zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2.

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2013/14. Czwartek 21 listopada zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2. Czwartek 21 listopada 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2. Uprościć wyrażenia 129. 4 2+log 27 130. log 3 2 log 59 131. log 6 2+log 36 9 log 132. m (mn) log n (mn) dla liczb naturalnych

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr. 5: Funkcja liniowa

Zajęcia nr. 5: Funkcja liniowa Zajęcia nr. 5: Funkcja liniowa 6 maja 2005 1 Pojęcia podstawowe. Definicja 1.1 (funkcja liniowa). Niech a i b będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Funkcję f : R R daną wzorem: f(x) = ax + b nazywamy

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A04 2 Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba π spełnia nierówność: A. + 1 > 5 B. 1 < 2 C. + 2 3 4

Bardziej szczegółowo

III. Wstęp: Elementarne równania i nierówności

III. Wstęp: Elementarne równania i nierówności III. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Fryderyk Falniowski, Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie ryderyk Falniowski, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet III. Wstęp: Ekonomiczny

Bardziej szczegółowo

? 14. Dana jest funkcja. Naszkicuj jej wykres. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie? 15. Dana jest funkcja f x 2 a x

? 14. Dana jest funkcja. Naszkicuj jej wykres. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie? 15. Dana jest funkcja f x 2 a x FUNKCE FUNKCJA LINIOWA Sporządź tabelkę i narysuj wykres funkcji ( ) Dla jakich argumentów wartości funkcji są większe od 5 Podaj warunek równoległości prostych Wyznacz równanie prostej równoległej do

Bardziej szczegółowo

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: II Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Podstawowe własności funkcji.. Podaje określenie

Bardziej szczegółowo

Funkcja liniowa -zadania. Funkcja liniowa jest to funkcja postaci y = ax + b dla x R gdzie a, b R oraz

Funkcja liniowa -zadania. Funkcja liniowa jest to funkcja postaci y = ax + b dla x R gdzie a, b R oraz Funkcja liniowa jest to funkcja postaci y = ax + b dla x R gdzie a, b R oraz x argumenty funkcji y wartości funkcji a współczynnik kierunkowy prostej ( a = tg, gdzie osi OX) - kąt nachylenia wykresu funkcji

Bardziej szczegółowo

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności

Bardziej szczegółowo

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f(x) określonej dla x [-7, 8].

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f(x) określonej dla x [-7, 8]. Zadania 1 28 stanowią przykłady spełniające kryteria na ocenę 3. Zadanie 1 Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f() określonej dla [-7, 8]. Odczytaj z wykresu i zapisz: a) największą wartość funkcji

Bardziej szczegółowo

KURS FUNKCJE. LEKCJA 6 PODSTAWOWA Funkcje zadania maturalne ZADANIE DOMOWE. Strona 1

KURS FUNKCJE. LEKCJA 6 PODSTAWOWA Funkcje zadania maturalne ZADANIE DOMOWE.   Strona 1 KURS FUNKCJE LEKCJA 6 PODSTAWOWA Funkcje zadania maturalne ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Dana jest funkcja f przedstawiona

Bardziej szczegółowo

Wartość bezwzględna. Funkcja wymierna.

Wartość bezwzględna. Funkcja wymierna. Wartość bezwzględna. Funkcja wymierna. Kurs matematyki w oratorium autorami materiałów są: dr Barbara Wolnik i Witold Bołt 31 marca 2006 Spis treści 1 Wartość bezwzględna 2 1.1 Własności wartości bezwzględnej..................

Bardziej szczegółowo

< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia:

< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia: Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Zdania logiczne Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory Ocenić wartość logiczną zdania (odpowiedź uzasadnić): < Nieprawda, że

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości

Bardziej szczegółowo