Funkcje analityczne. Wykład 3. Funkcje holomorficzne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) z = x + iy A

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Funkcje analityczne. Wykład 3. Funkcje holomorficzne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) z = x + iy A"

Henryk Kaczor
6 lat temu
Przeglądów:

1 Funkcje analityczne Wykład 3. Funkcje holomorficzne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 206/207) Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Niech A C. Funkcja f = u + iv : A C f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy A Jest funkcją zespoloną zmiennej zespolonej. Rzeczywiste funkcje u i v dwóch zmiennych rzeczywistych nazywamy: Re f := u: A R częścią rzeczywistą funkcji f, Im f := v : A R częścią urojoną funkcji f. Część rzeczywista i część urojona funkcji zespolonych Czasami wygodniej jest pisać funkcje z wykorzystaniem zmiennej z. Na przykład w : C C w(z) = a 0 + a z + + a n z n, z C, a i C, i = 0,,..., n jest wielomianem (zespolonym). Ciągłość funkcji zespolonych zmiennej zespolonej Funkcja f = u + iv ma w punkcie x 0 + iy 0 granicę a + ib wtedy i tylko wtedy, gdy część rzeczywista u ma granicę a, natomiast część urojona v granicę b. Twierdzenie. Niech A C, A zbiór otwarty, f = u + iv : A C. Funkcja f jest ciągła w punkcie z 0 A wtedy i tylko wtedy, gdy w punkcie z 0 ciągłe są funkcje u i v. Pochodna zespolona Niech A C, A zbiór otwarty, f : A C. Funkcja f jest różniczkowalna w z 0 A jeśli istnieje granica f(z) f(z 0 ) lim. z z 0 z z 0 Jeśli tak jest, wartość granicy nazywamy pochodną funkcji f w punkcie z 0.

2 Własności różniczkowania Reguły różniczkowania są takie jak w przypadku funkcji rzeczywistych. Jeśli f, g mają pochodną w punkcie z 0, natomiast c C, to (cf) (z 0 ) = cf (z 0 ) (f ± g) (z 0 ) = f (z 0 ) ± g (z 0 ) (fg) (z 0 ) = f (z 0 )g(z 0 ) + f(z 0 )g (z 0 ) ( f ) (z0 ) = f (z 0 )g(z 0 ) f(z 0 )g (z 0 ) g g 2 (z 0 ) (z z n ) (z 0 ) = nz n 0 Złożenie funkcji różniczkowalnych jest różniczkowalne. Uwaga!. Istota różniczkowalności w sensie zespolonym polega na tym, że w definicji pochodnej z może dążyć do z 0 na dowolny sposób na płaszczyźnie zespolonej (niekoniecznie wzdłuż prostych). Ten fakt ma bardzo ciekawe konsekwencje. Funkcje holomorficzne Niech A C, A zbiór otwarty. Mówimy, że f : A C jest holomorficzna w A (i piszemy f H(A)), jeśli f jest różniczkowalna w każdym punkcie zbioru A. Jeśli f : C C jest holomorficzna w każdym punkcie płaszczyzny C, to nazywamy ją funkcją całkowitą. 2 Równania Cauchy ego Riemanna Warunek konieczny różniczkowalności Twierdzenie 2 (Warunki Cauchy ego Riemanna). Niech A C będzie zbiorem otwartym. Jeśli f = u + iv : A C jest różniczkowalna w z 0 = x 0 +iy 0 A oraz ciągłą w pewnym otoczeniu z 0, to pochodne cząstkowe funkcji f w z 0 istnieją oraz spełniają w tym punkcie zależności x (x = v y (x, y (x = v x (x. Idea dowodu Z założenia (o różniczkowalności w z 0 ) wynika istnienie granicy f (z) = lim z 0 f(z 0 + z) f(z 0 ). z W szczególności granice istnieją i są sobie równe dla dwóch szczególnych dróg, gdy z dąży do z 0 wzdłuż półprostej równoległej do prostej Re oraz wzdłuż półprostej równoległej do Im. Następnie porównuje się części rzeczywiste i urojone. 2

3 Im z 0 z 0 + z Re Wzór na pochodną Jeśli f = u + iv jest różniczkowalna w punkcie x 0 + iy 0 pochodną, to f (x 0 + iy 0 ) = x (x + i v x (x = i y (x + v y (x. Warunek tylko konieczny: kontrprzykład Przykład. Rozważmy funkcję Mamy f(x + iy) = x v y (0, 0) = lim x 0 (0, 0) = y { xy, x + iy 0 0, x + iy = 0.. (x + x)0 = 0 x v (0, 0) = (0, 0) = 0 x Ale lim n n 2 n + i n = + i i = lim n n 2 n i n Warunek dostateczny różniczkowalności Twierdzenie 3. Jeśli funkcje u, v mają w otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) pochodne cząstkowe pierwszego rzędu i te pochodne są ciągłe w tym punkcie oraz spełniają warunki Cauchy ego Riemanna x (x = v y (x, y (x = v x (x, to funkcja f = u + iv ma w punkcie z 0 = x 0 + iy 0 pochodną. 3

4 3 Funkcje harmoniczne Równanie Laplace a Niech A R 2, A zbiór otwarty. Niech funkcja f : A R. Poniższe wyrażenie nazywamy równaniem Laplace a 2 f = 2 f x f y 2 = 0. Funkcje spełniające powyższe równanie nazywamy funkcjami harmonicznymi. Re f, Im f funkcji holomorficznej f są funkcjami harmonicznymi Twierdzenie 4. Części rzeczywista oraz urojona funkcji holomorficznej są funkcjami harmonicznymi. 4 Pochodna zespolona versus pochodna rzeczywista Pochodna funkcji f : R 2 R 2 Niech f = (f, f 2 ): A R 2, A R 2, A będzie zbiorem otwartym, x 0, x 0 + h A. Macierz D nazywa się pochodną liniową funkcji f, jeśli f(x 0 + h) f Dh lim = 0. h 0 h Jeśli f ma pochodną, to D = f x f 2 x f x 2 f 2 x 2 Przypomnijmy: h = h 2 + h2 2, h = (h, h 2 ) R 2. Ponadto h oznacza transpozycję wektora h. Pochodna zespolona versus pochodna rzeczywista Twierdzenie 5. Niech A C będzie zbiorem otwartym, f : A C, z 0 = x 0 + iy 0 A. Następujące warunki są równoważne f jest różniczkowalna w sensie zespolonym w punkcie z 0 f jest różniczkowalna w sensie rzeczywistym (w sensie f : R 2 A R 2 ) oraz spełnione są warunki Cauchy ego Riemanna x (x = v y (x, y (x = v x (x. 4

5 Warunki Cauchy ego Riemanna inne spojrzenie Płaszczyzna zespolona jest izomorficzna ze zbiorem macierzy postaci ( ) a b a, b R b a z działaniem dodawania i mnożenia macierzy. Niech A C będzie zbiorem otwartym, f : A C, z 0 = x 0 + iy 0 A. Jakobian odwzorowania f jest równy x (x y (x v x (x v y (x Jeśli f jest holomorficzna w z 0 = x 0 + iy 0, to spełnione są warunki Cauchy ego Riemanna, więc jakobian jest równy x (x y (x y (x x (x Pochodna zespolona jako odwzorowanie C-liniowe ( ) a b Odwzorowanie R-liniowe D : C C dane za pomocą macierzy, a, b, c, d R jest C-liniowe wtedy c d ( ) 0 i tylko wtedy, gdy D(iz) = id(z). Mnożenie przez i jest dane za pomocą macierzy (bo jest to 0 obrót o kąt π 2 ). Zatem D jest C-liniowe wtedy i tylko wtedy, gdy ( ) ( ) ( ) ( ) a b 0 0 a b = c d 0 0 c d wtedy i tylko wtedy, gdy a = d, b = c, czyli ( ) a b D =. b a Wniosek. Funkcja f jest holomorficzna w punkcie z 0 wtedy i tylko wtedy, gdy f jest różniczkowalna w sensie rzeczywistym oraz R liniowe odwzorowanie Df(z 0 ) jest C-liniowe. 5 Zadania na ćwiczenia. Wyznaczyć część rzeczywistą i część urojoną funkcji: f(z) = z 2, f(z) = Re(z)/z. 2. Zbadać, czy istnieje funkcja ciągła Γ: C C taka, że Γ C\{0} = f, gdzie f(z) = z/ z, (z Re(z))/ z. 3. Znaleźć funkcję holomorficzną f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) na C, wiedząc, że u(x, y) = x 3 6x 2 y 3xy 2 + 2y 3 oraz f(0) = Niech f(x+iy) = y 2 3ix 2. Znaleźć punkty, w których f istnieje oraz obliczyć pochodną w tych punktach. 5

6 5. W jakich punktach płaszczyzny zespolonej różniczkowalna jest funkcja f(z) = e iz + z 2? 6. Udowodnić, że odwzorowanie liniowe przestrzeni R 2 dane za pomocą macierzy ( ) a b c d jest C liniowe wtedy i tylko wtedy, gdy a = d oraz b = c. 6

Podobne dokumenty

Kurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych

Kurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych wykład 1 Gniewomir Sarbicki 15 lutego 2011 Struktura ciała Zbiór par liczb rzeczywistych wyposażamy w działania: { + : (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)