Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji
|
|
- Dominik Kowal
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj / 24
2 Zanim przejdziemy do omawiania pochodnych funkcji wielu zmiennych musimy przez chwilę zatrzymać się nad problem wyznaczania granic funkcji wielu zmiennych. W naszych rozważaniach ograniczymy się tylko do funkcji dwóch zmiennych, bowiem w przypadku większej liczby zmiennych postępuje się analogicznie. W pierwszym kroku musimy przypomnieć sobie w jaki sposób mierzy się odległość dwóch punktów w przestrzeni R 2 (lub ogólnie R n ). Do wyznaczania odległości dwóch punktów P 1 = (x 1, y 1 ), P 2 = (x 2, y 2 ) od siebie wykorzystuje się zazwyczaj metrykę euklidesową określoną wzorem d e (P 1, P 2 ) = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2. Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj / 24
3 W powyższym zdaniu istotne jest słowo zazwyczaj. Rozważa się bowiem inne metryki wśród których należy wymienić między innymi: metrykę taksówkową (metrykę miasta) d t (P 1, P 2 ) = x 1 x 2 + y 1 y 2 metrykę maksimum d m (P 1, P 2 ) = max { x 1 x 2, y 1 y 2 } Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj / 24
4 metrykę kolejową d e (P 1, P 2 ), jeśli punkty P 1 i P 2 leżą na jednej prostej d k (P 1, P 2 ) = przechodzącej przez punkt (0, 0) d e (P 1, (0, 0)) + d e ((0, 0, P 2 )) jeśli punkty nie leżą na jednej prostej Wszystkie te metryki mają pewną cechę wspólną, a mianowicie jeśli x n x 0 oraz y n y 0 to d ((x n, y n ) ; (x 0, y 0 )) 0.W związku z tą uwagą przyjmujemy następującą definicję. Mówimy, że ciąg punktów P n = (x n, y n ) dąży do punktu P 0 = (x 0, y 0 ) jeśli x n x 0 oraz y n y 0. Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj / 24
5 Powyższe przykłady nie wyczerpują bardzo zbioru metryk w przestrzeni R 2. Aby lepiej zrozumieć działanie tych metryk zobaczmy jak wyglądają w tych metrykach kule (tzn. koła) o środkach powiedzmy w punktach (0, 0) oraz (2, 3) i promieniach 2 oraz 5. Przez kulę domkniętą o środku w punkcie (x 0, y 0 ) i promieniu rozumiemy zbiór punktów spełniających własność { (x, y) R 2 : d ((x, y), (x 0, y 0 )) r }. W przypadku kuli otwartej nie równość łagodna w powyższej definicji jest zastąpiona nierównością ostrą. Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj / 24
6 ( 1 Rozważmy następujący przykład: niech P n = n, n + 1 n + 3 współrzędna tego ciągu dąży do 0, zaś druga do 1, bowiem Stąd P n = 1 lim n n = 0 oraz ( 1 n, n + 1 ) (0, 1). n + 3 lim n + 1 n n + 3 = 1. ). Pierwsza Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj / 24
7 Dysponując już pojęciem zbieżności punktów w przestrzeni R n możemy przejść do badania granicy funkcji dwóch zmiennych. Libzbę g nazywamy granicą funkcji f : R 2 R w punkcie (x 0, y 0 ), jeżeli dla każdego ciągu punktów (x n, y n ) takich, że (x n, y n ) D, (x 0, y 0 ) = (x n, y n ) (x 0, y 0 ) odpowiadający mu ciąg wartości funkcji f (x n, y n ) jest zbieżny do g, co zapisujemy lim (x n,y n ) (x 0,y 0 ) f (x n, y n ) = g. Dla przykładu zbadajmy 3x + 2y lim x 1 x + 5y = = 5 6 y 2 Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj / 24
8 W tym miejscu granicę jest bardzo łatwo wyznaczyć ponieważ w punkcie (1, 2) funkcja jest dobrze określona i jako granicę należy obrać jej wartość. Zastanówmy co się stanie z tą samą funkcją w punkcie (0, 0). Punkt ten nie należy do naturalnej dziedziny naszej funkcji w związku z tym nie wystarczy obliczyć wartości funkcji w tym punkcie. Obierzmy ciąg punktów (x n, y n ) (0, 0) i przyjmijmy, że x n = 0, zaś y n = 1 n. Jest oczywiste, że ciąg ( 0, 1 ) ( n (0, 0) oraz, że dla każdego n 1 punkt 0, 1 ) n = (0, 0). Dla danego ciągu punktów obliczmy granicę funkcji wstawiając zamiast x = 0, y = 1 n. Mamy wówczas n lim n n = lim n 2 n 5 n 2 = lim n n n 5 = 2 5. Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj / 24
9 Niech teraz x n = 1 n zaś y n = 0. W tym przypadku ciąg punktów również dąży do punktu (0, 0) natomiast granica wynosi lim n 3 1 n n n = lim n 3 n 1 n = 3. W tym przypadku wybór ciągu punktów ma znaczenie przy obliczaniu granicy w związku z tym granica funkcji f (x, y) = 3x + 2y x + 5y w punkcie (0, 0) nie istnieje. Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj / 24
10 Mówimy, że funkcja f (x, y) jest ciągła w punkcie P 0 = (x 0, y 0 ) D jeżeli ma granicę w punkcie (x 0, y 0 ), która jest równa wartości funkcji w tym punkcie, tzn lim (x,y ) (x 0,y 0 ) f (x, y) = f (x 0, y 0 ). Otoczeniem punktu P 0 = (x 0, y 0 ) o promieniu R > 0 nazywamy zbiór punktów płaszczyzny, których współrzędne (x, y) spełniają nierówność (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < R 2. Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj / 24
11 Niech f będzie funkcją określoną w pewnym otoczeniu punktu (x 0, y 0 ).Jeżeli we wzorze f (x, y) jednej zmiennej przypiszemy konkretną wartość liczbową, np. w miejsce y wstawimy liczbę y 0, to otrzymamy funkcję jednej zmiennej f (x, y 0 ). Jeśli tak utworzona funkcja ma pochodną w punkcie x 0, tzn. jeżeli istniej granica f (x 0 + x, y 0 ) f (x 0, y 0 ) lim x 0 x to nazywamy ją pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji f (x, y) względem zmiennej x w punkcie (x 0, y 0 ) i oznaczamy f x lub f x. Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj / 24
12 Pochodną cząstkową funkcji f (x, y) względem zmiennej y w punkcie (x 0, y 0 ) definiujemy analogicznie f (x 0, y 0 + y) f (x 0, y 0 ) lim y 0 y i oznaczamy f y lub f y. Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj / 24
13 Podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej można badać pochodne wyższych rzędów. Pochodne cząstkowe pochodnych f x, f y nazywamy pochodnymi cząstkowymi drugiego rzędu i oznaczamy ( ) f = 2 f x x x 2 = f xx ( ) f y y ( ) f x y y ( f x ) = 2 f y 2 = f yy = 2 f x y = f xy = 2 f y x = f yx Pierwsze dwie z nich określa sią mianem pochodnych jednorodnych, zaś dwie ostatnie mianem pochodnych mieszanych drugiego rzędu. Ponadto zachodzi następujące twierdzenie. Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj / 24
14 Theorem (Schwarza) Jeżeli funkcja f (x, y) ma w pewnym obszarze D ciagłe pochodne mieszane rzedu drugiego, to pochodne te sa sobie równe w każdym punkcie (x, y) D. 2 f x y = 2 f y x Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj / 24
15 Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu tworzą wektor zwany gradientem. Zaś pochodne cząstkowe drugiego rzędu tworzą macierz kwadratową zwaną Hesjanem. Macierz ta z uwagi na powyższe twierdzenie w przypadku ciągłych pochodnych drugiego rzędu w otoczeniu pewnego punktu jest macierzą symetryczną. Dla przykładu rozważmy funkcję f (x, y) = e x +y + x 2 + y 3 + 5x 2 y 3. Dla tej funkcji wyznaczmy (na tablicy) gradient oraz Hesjan. Jako utrwalenie przeanalizujmy jeszcze jeden przykład. Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj / 24
16 Dla przykładu rozważmy funkcję f (x, y) = x 2 + 4xy + 7y 3 2x 2 y 2. Obliczmy dla niej wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu. Mamy wówczas f x = 2x + 4y + 0 4xy 2 traktujemy w powyższym wzorze y jako pewną stałą. W analogiczny sposób wyznaczamy f y = 0 + 4x + 21y 2 4x 2 y. Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj / 24
17 W następnym kroku obliczmy pochodne cząstkowe drugiego rzędu. Najpierw pochodną jednorodną po xx, tzn. następnie dwa razy po y,tj. 2 f x 2 = ( 2x + 4y 4xy 2) x = 2 4y 2 2 f y 2 = ( 4x + 21y 2 4x 2 y ) y = 42y 4x 2. Następnie obliczmy pochodne mieszane2 oraz 2 f y x = ( 4x + 21y 2 4x 2 y ) x = 4 8xy 2 f x y = ( 2x + 4y 4xy 2) y = 4 8xy. Na tym obrazowym przykłądzie widzimy, że twierdzenie Schwarza pozwala nam zmniejszyć nieco ilość obliczeń. Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj / 24
18 Niech dana będzie funkcja f (x, y) określona w pewnym otoczeniu punktu P 0 (x 0, y 0 ). Mówimy, że funkcja posiada w punkcie (x 0, y 0 ) maksimum (minimum) lokalne, jeżeli istnieje otoczenie punktu (x 0, y 0 ) takie, że dla każdego punktu (x, y) należącego do tego otoczenia spełniona jest nierówność f (x, y) f (x 0, y 0 ) (f (x, y) f (x 0, y 0 )). Maksima i minima lokalne łącznie określa się mianem ekstremów lokalnych. Bardzo często sprawdzenie tych warunków nie jest takie proste i dlatego opracowano specjalne twierdzenie, które jest zarówno warunkiem koniecznym i dostatecznym istnienia ekstremum lokalnego funkcji dwóch zmiennych. Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj / 24
19 Theorem Jeżeli dana jest funkcja dwóch zmiennych f (x, y) majaca w otoczeniu punktu P 0 (x 0, y 0 ) wszystkie drugie pochodne czastkowe ciagłe oraz jeżeli spełnione sa nastepuj ace warunki: f (x 0, y 0 ) x = 0 f (x 0, y 0 ) y = 0 (warunek konieczny) [ W (x 0, y 0 ) = 2 f (x 0, y 0 ) x 2 2 f (x 0, y 0 ) y 2 2 ] 2 f (x 0, y 0 ) > 0 x y (warunek dostateczny) to w punkcie P 0 = (x 0, y 0 ) funkcja ma ekstremum, przy czym jeżeli 2 f (x 0,y 0 ) > 0 to w punkcie P x 2 0 jest minimum lokalne; jeżeli 2 f (x 0,y 0 ) < 0 to w punkcie P x 2 0 jest maksimum lokalne. Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj / 24
20 Uwaga. Jeżeli warunek konieczny jest spełniony ale W (x 0, y 0 ) < 0 to funkcja nie ma ekstremum w punkcie P 0, jeśli zaś W (x 0, y 0 ) = 0 to ekstremum w punkcie P 0 może istniej lub nie. Przykład. Niech f (x, y) = 3x 2 y 6xy + y Wyznaczanie ekstremów rozpoczniemy od obliczenia pochodnych cząstkowych pierwszego i drugiego rzędu. Mamy zatem f x = 6xy 6y f y = 3x 2 6x + 3y 2 2 f x 2 = 6y 2 f y 2 = 6y 2 f x y = 6x 6 Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj / 24
21 Następnie przyrównujemy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu do zera i rozwiązujemy układ równań { 6xy 6y = 0 3x 2 6x + 3y 2 = 0, Rozwiązaniem są punkty: [x = 1, y = 1], [x = 1, y = 1], [x = 0, y = 0], [x = 2, y = 0], Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj / 24
22 Interesują nas wartości tego wyznacznika w punktach podejrzanych o ekstremum. Mamy zatem W (0, 0) = 36 < 0 W (1, 1) = 36 > 0 W (1, 1) = 36 > 0 W (2, 0) = 36 < 0 Warunek dostateczny spełniony jest tylko w punktach (1, 1) oraz (2, 0), zatem w nich występują ekstrema. Ponieważ 2 f (1, 1) = 6 > 0 oraz x 2 zatem w tym punkcie występuje minimum lokalne, Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj / 24
23 Zadanie 1 Wyznaczyć gradient oraz Hesjan dla następujących funkcji a) f (x, y) = 3x 2 + 4xy + 7y 3 x 2 b) f (x, y) = e x +y + sin (x + y) c) f (x, y) = e xy + sin (xy) d) f (x, y) = x +y xy e) f (x, y, z) = x 2 y 2 z 2 f) f (x, y, z, w) = (x + y + z + w) 3 Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj / 24
24 Zadanie 2 Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji a) f (x, y) = 3x 3 + 3x 2 y y 3 15x b) f (x, y) = x 2 xy + y 2 + 3x 2y 18 c) f (x, y) = x 4 + y 4 2x 2 + 4xy 2y 2 d) f (x, y) = x 2 + y 2 + xy 6x 4y + 5 Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj / 24
Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie.
Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie. Adam Kiersztyn Lublin 2013 Adam Kiersztyn () Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie. maj 2013 1 / 18 Zanim przejdziemy do omawiania pochodnych funkcji wielu zmiennych
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowo13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne.
13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 1. Wprowadzenie. Dotąd rozważaliśmy funkcje działające z podzbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych, zatem funkcje
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.
Bardziej szczegółowoEkstrema funkcji wielu zmiennych.
Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Adam Kiersztyn Lublin 2013 Adam Kiersztyn () Ekstrema funkcji wielu zmiennych. kwiecień 2013 1 / 13 Niech dana b ¾edzie funkcja f (x, y) określona w pewnym otoczeniu punktu
Bardziej szczegółowo3. Funkcje wielu zmiennych
3 Funkcje wielu zmiennych 31 Ciagłość Zanim podamy definicję ciagłości dla funkcji wielu zmiennych wprowadzimy bardzo ogólne i abstrakcyjne pojęcie przestrzeni metrycznej Przestrzeń metryczna Metryka w
Bardziej szczegółowo22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowoII. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
1 Pochodne wyższych rzędów Definicja 1.1 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu) Niech f będzie odwzorowaniem o wartościach w R m, określonym na zbiorze G R k. Załóżmy, że zbiór tych x G, dla których istnieje
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/
Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro
Bardziej szczegółowoRÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych
RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Funkcje dwóch zmiennych 1. Funkcje dwóch zmiennych: pojęcia podstawowe Definicja 1. Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 8 Pochodna kierunkowa funkcji Definicja Niech funkcja f określona bȩdzie w otoczeniu punktu P 0 = (x 0, y 0 ) oraz niech v = [v x, v y ] bȩdzie wektorem. Pochodn a kierunkow a funkcji
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych, pochodne cząstkowe
Wykłady z matematyki inżynierskiej Funkcje dwóch zmiennych, pochodne cząstkowe JJ, IMiF UTP 17 f (x, y) DEFINICJA. Funkcja dwóch zmiennych określona w zbiorze D R 2, to przyporządkowanie każdemu punktowi
Bardziej szczegółowoWykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.
Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych
Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych Definicja Spis treści: Wykres Ciągłość, granica iterowana i podwójna Pochodne cząstkowe Różniczka zupełna Gradient Pochodna kierunkowa Twierdzenie Schwarza
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 8 Programowanie nieliniowe Spis treści Programowanie nieliniowe Zadanie programowania nieliniowego Zadanie programowania nieliniowego jest identyczne jak dla
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowoZ52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.
Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowoFunkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:
Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE WÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH efinicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą d
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 7 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 13 grudnia 2018r. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Bardziej szczegółowo8. Funkcje wielu zmiennych - pochodne cząstkowe
8. Funkcje wielu zmiennych - pochodne cząstkowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie lato 2015/2016 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Bardziej szczegółowoDefinicja pochodnej cząstkowej
1 z 8 gdzie punkt wewnętrzny Definicja pochodnej cząstkowej JeŜeli iloraz ma granicę dla to granicę tę nazywamy pochodną cząstkową funkcji względem w punkcie. Oznaczenia: Pochodną cząstkową funkcji względem
Bardziej szczegółowoFunkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska
Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska . Wprowadzenie pojęcia funkcji liniowej w nauczaniu matematyki w gimnazjum. W programie nauczania matematyki w
Bardziej szczegółowojest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
Bardziej szczegółowo2. Definicja pochodnej w R n
2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji odwrotnej
Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie
Bardziej szczegółowoPochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoKURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
KURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH Lekcja 8 Ekstrema warunkowe (mnożnik Lagrange a) ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Częśd 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Jak
Bardziej szczegółowoWykład 13. Informatyka Stosowana. 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 34
Wykład 13 Informatyka Stosowana 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko Informatyka Stosowana Wykład 13 14.01.2019, M.A-B 1 / 34 Pochodne z funkcji elementarnych c = 0 (x n ) = nx n 1 (a x ) = a x ln a,
Bardziej szczegółowoW naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.
1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101 MAP1067
1 Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 14 Funkcje wielu zmiennych. Płaszczyzna styczna. Ekstrema Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania
Bardziej szczegółowoVIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA
ANALIZA MATEMATYCZNA TABLICE Spis treści: 1.) Pochodne wzory 2 2.) Całki wzory 3 3.) Kryteria zbieżności szeregów 4 4.) Przybliżona wartość wyrażenia 5 5.) Równanie płaszczyzny stycznej i prostej normalnej
Bardziej szczegółowoEkstrema globalne funkcji
SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością
Bardziej szczegółowoEGZAMIN PISEMNY Z ANALIZY I R. R n
EGZAMIN PISEMNY Z ANALIZY I R Instrukcja obsługi. Za każde zadanie można dostać 4 punkty. Rozwiązanie każdego zadania należy napisać na osobnej kartce starannie i czytelnie. W nagłówku rozwiązania należy
Bardziej szczegółowoTemperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.
Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu
Bardziej szczegółowo1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.
V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,
Bardziej szczegółowo1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Je zeli ka zdemu punktowi P o wspó rzednych x; y) z pewnego obszaru D na p aszczyźnie R 2 przyporzadkujemy w sposób jednoznaczny liczb e rzeczywista z, to przyporzadkowanie to nazywamy
Bardziej szczegółowoKURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
KURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH Lekcja Ekstrema (lokalne) funkcji wielu zmiennych ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona Częśd : TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie Wykres
Bardziej szczegółowo9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoMetody optymalizacji. notatki dla studentów matematyki semestr zimowy 2015/2016
Metody optymalizacji notatki dla studentów matematyki semestr zimowy 2015/2016 Aktualizacja: 11 stycznia 2016 Spis treści Spis treści 2 1 Wprowadzenie do optymalizacji 1 11 Podstawowe definicje i własności
Bardziej szczegółowoZestaw zadań przygotowujących do egzaminu z Matematyki 1
Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach Wydział Finansów i Ubezpieczeń, Kierunek: Finanse i Zarządzanie w Ochronie Zdrowia Zestaw zadań przygotowujących do egzaminu z Matematyki 1 Powtórka materiału przed
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowoLokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane
Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9 Przykład z fizyki Rozpatrzmy szeregowe połączenie dwu elementów elektronicznych: opornika i diody półprzewodnikowej.
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoWykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39
Wykład 11 i 12 Informatyka Stosowana 9 stycznia 2017 Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia 2017 1 / 39 Twierdzenie Lagrange a Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 jest ciagła na [a, b] 2 f istnieje
Bardziej szczegółowo1 Wartości własne oraz wektory własne macierzy
Rozwiązania zadania umieszczonego na końcu poniższych notatek proszę przynieść na kartkach Proszę o staranne i formalne uzasadnienie odpowiedzi Za zadanie można uzyskać do 6 punktów (jeżeli przyniesione
Bardziej szczegółowoFUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji: 4 x 2 y 2 ; (b) g(x, y) = e y x 2 1 ; (c) u(x, y) = arc sin xy; (d) v(x, y) = sin(x 2 + y 2 ); (e) w(x, y) = x sin
Bardziej szczegółowoKADD Minimalizacja funkcji
Minimalizacja funkcji n-wymiarowych Forma kwadratowa w n wymiarach Procedury minimalizacji Minimalizacja wzdłuż prostej w n-wymiarowej przestrzeni Metody minimalizacji wzdłuż osi współrzędnych wzdłuż kierunków
Bardziej szczegółowoWzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n.
Wzór Maclaurina Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = n 1 k=0 f (k) (0) k! x k + f (n) (θx) x n. n! Wzór Maclaurina Przykład. Niech f (x) =
Bardziej szczegółowoPochodną funkcji w punkcie nazywamy granicę ilorazu różnicowego w punkcie gdy przyrost argumentu dąży do zera: lim
Definicja pochodnej Niech będzie funkcją określoną w pewnym przedziale i niech będzie punktem wewnętrznym tego przedziału. Liczbę dowolną, ale taką, że nazywamy przyrostem argumentu, a różnicę nazywamy
Bardziej szczegółowoRACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzyszto KOŁOWROCKI Przyjmijmy, że y (, D, jest unkcją określoną w zbiorze D R oraz niec D Deinicja
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska
Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska 2018 Spis treści Definicja ciągłości funkcji. Przykłady Funkcja nieciągła. Typy nieciągłości funkcji Własności funkcji
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5
Bardziej szczegółowo10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.
0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 3. Funkcje holomorficzne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) z = x + iy A
Funkcje analityczne Wykład 3. Funkcje holomorficzne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 206/207) Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Niech A C. Funkcja
Bardziej szczegółowoNotatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013
Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Próbna matura rozszerzona (jesień 01 r.) Zadanie 18 kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie 18. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu
Bardziej szczegółowoKurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych
Kurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych wykład 1 Gniewomir Sarbicki 15 lutego 2011 Struktura ciała Zbiór par liczb rzeczywistych wyposażamy w działania: { + : (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
Bardziej szczegółowoProgramowanie nieliniowe. Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a
Programowanie nieliniowe Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a Plan wykładu Przykład problemu z nieliniową funkcją celu Sformułowanie problemu programowania matematycznego Podstawowe definicje
Bardziej szczegółowoMetoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii
Maciej Grzesiak Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii 1 Metoda mnożników Lagrange a znajdowania ekstremum warunkowego Pochodna kierunkowa i gradient Dla prostoty ograniczymy się do
Bardziej szczegółowoWeronika Siwek, Metryki i topologie 1. (ρ(x, y) = 0 x = y) (ρ(x, y) = ρ(y, x))
Weronika Siwek, Metryki i topologie 1 Definicja 1. Załóżmy, że X, ρ: X X [0, ). Funkcja ρ spełnia następujące warunki: 1. x,y X (ρ(x, y) = 0 x = y) 2. 3. (ρ(x, y) = ρ(y, x)) x,y X (ρ(x, y) ρ(x, z) + ρ(z,
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoPochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych
Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją
Bardziej szczegółowoGranice funkcji-pojęcie pochodnej
Granice funkcji-pojęcie pochodnej Oznaczenie S(x 0 ) = S(x 0, r) dla pewnego r > 0 Definicja 1 Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie funkcja określona przynajmniej na sasiedztwie S(x 0, r) dla pewnego
Bardziej szczegółowoZadania optymalizacyjne
Zadania optymalizacyjne Zadania optymalizacyjne, to zadania, w których należy obliczyć, jakie warunki muszą być spełnione, aby pewna wielkość osiągała największą lub najmniejszą wartość Żeby żądane warunki
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POLITECHNICZNEJ KLASA 2
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POLITECHNICZNEJ KLASA 2 I. GEOMETRIA ANALITYCZNA: Wektor w układzie współrzędnych.
Bardziej szczegółowo2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26
Spis treści Zamiast wstępu... 11 1. Elementy teorii mnogości... 13 1.1. Algebra zbiorów... 13 1.2. Iloczyny kartezjańskie... 15 1.2.1. Potęgi kartezjańskie... 16 1.2.2. Relacje.... 17 1.2.3. Dwa szczególne
Bardziej szczegółowopostaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n
Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:
Bardziej szczegółowoZajęcia nr. 3 notatki
Zajęcia nr. 3 notatki 22 kwietnia 2005 1 Funkcje liczbowe wprowadzenie Istnieje nieskończenie wiele funkcji w matematyce. W dodaktu nie wszystkie są liczbowe. Rozpatruje się funkcje które pobierają argumenty
Bardziej szczegółowoWykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowoWykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie
Wykład 14 i 15 Równania różniczkowe Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (1) gdzie: y = y(x) niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej
Bardziej szczegółowoLogarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie
Bardziej szczegółowoGeometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2
Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2 Inne rozwiązanie zadania 2. (Wyznaczyć równanie stycznej do elipsy x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 w dowolnym jej punkcie (x 0, y 0 ). ) Przypuśćmy, że krzywa na
Bardziej szczegółowoTydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1
Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Zadania rozwiązywane na wykładzie Zadania rozwiązywane na ćwiczeniach Przy rozwiązywaniu zadań najistotniejsze jest wykazanie się rozumieniem
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 9 METODY ZMIENNEJ METRYKI
WYKŁAD 9 METODY ZMIENNEJ METRYKI Kierunki sprzężone. Metoda Newtona Raphsona daje dobre przybliżenie najlepszego kierunku poszukiwań, lecz jest to okupione znacznym kosztem obliczeniowym zwykle postać
Bardziej szczegółowoMetoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii
Maciej Grzesiak Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii 1. Metoda mnożników Lagrange a znajdowania ekstremum warunkowego Pochodna kierunkowa i gradient. Dla prostoty ograniczymy się do
Bardziej szczegółowocx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5
Matematyka ZLic - 07 Wektory i macierze Wektorem rzeczywistym n-wymiarowym x x 1, x 2,,x n nazwiemy ciąg n liczb rzeczywistych (tzn odwzorowanie 1, 2,,n R) Zbiór wszystkich rzeczywistych n-wymiarowych
Bardziej szczegółowo