Funkcje wielu zmiennych

Transkrypt

1 Funkcje wielu zmiennych 8 Pochodna kierunkowa funkcji Definicja Niech funkcja f określona bȩdzie w otoczeniu punktu P 0 = (x 0, y 0 ) oraz niech v = [v x, v y ] bȩdzie wektorem. Pochodn a kierunkow a funkcji f w punkcie (x 0, y 0 ) w kierunku wektora v określamy wzorem f(x f v(x 0 + tv x, y 0 + tv y ) f(x 0, y 0 ) 0, y 0 ) = lim. t 0 t Przyk lad Obliczymy pochodn a kierunkow a funkcji f xy w punkcie P 0 = (1, 2) w kierunku wektora v = [2, 1]. Ponieważ f(1, 2) = 2 oraz f(1 + 2t, 2 + t) = 2t 2 + 5t + 2, wiȩc Twierdzenie P 0 = (x 0, y 0 ), to f [2,1](1, 2) = lim t 0 2t 2 + 5t t = 5. Jeżeli funkcja f ma ci ag le pochodne cz astkowe rzȩdu pierwszego w punkcie f v(x 0, y 0 ) = f x(x 0, y 0 ) v x + f y(x 0, y 0 ) v y. Uwaga Powyższy wzór można zapisać w postaci f v(x 0, y 0 ) = gradf(x 0, y 0 ) v. Przyk lad Obliczymy pochodn a kierunkow a funkcji f xy w punkcie P 0 = (1, 2) w kierunku wektora v = [2, 1]. Ponieważ f x = y, f y = x, to f [2,1](1, 2) = [2, 1] [2, 1] = = 5. 9 Pochodne cz astkowe drugiego rzȩdu Niech P = (x, y) R 2 oraz niech funkcja f bȩdzie określona w otoczeniu U(P ). Pochodne cz astkowe drugiego rzȩdu funkcji f w punkcie P określamy wzorami ( ) ( ) 2 f f 2 f f (x, y), (x, y), x2 x x x y x y ( 2 f y x y ) f (x, y), x ( 2 f y2 y ) f (x, y). y 1

2 Uwaga Powyższe wzory można zapisać w postaci f xx (f x) x(x, y), f xy (f y) x(x, y), f yx (f x) y(x, y), f yy (f y) y(x, y). Twierdzenie (Schwarza) Jeżeli funkcja f ma ci ag le pochodne mieszane f xy, f yx w punkcie P 0 = (x 0, y 0 ), to Przyk lad f xy(x 0, y 0 ) = f yx(x 0, y 0 ). Obliczymy pochodne cz astkowe drugiego rzȩdu funkcji f xy. Mamy kolejno f x = y, f y = x, f xx = (y) x = 0, f xy = (x) x = 1, f yx = (y) y = 1, f yy = (x) y = 0. Obliczymy teraz pochodne cz astkowe drugiego rzȩdu funkcji f x 2 + y 2. Mamy kolejno f x = 2x, f y = 2y, f xx = (2x) x = 2, f xy = (2y) x = 0, f yx = (2x) y = 0, f yy = (2y) y = Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych Definicja Funkcja f ma w punkcie P 0 = (x 0, y 0 ) minimum lokalne, jeżeli istnieje s asiedztwo S(P 0 ) tego punktu takie, że dla dowolnego P = (x, y) S(P 0 ) zachodzi nierówność f(x, y) > f(x 0, y 0 ). Definicja Funkcja f ma w punkcie P 0 = (x 0, y 0 ) maksimum lokalne, jeżeli istnieje s asiedztwo S(P 0 ) tego punktu takie, że dla dowolnego P = (x, y) S(P 0 ) zachodzi nierówność f(x, y) < f(x 0, y 0 ). Przyk lad Funkcja f 5 x 6 y 6 ma w punkcie P 0 = (0, 0) maksimum, gdyż f 5 x 6 y 6 < 5 = f(0, 0) dla (x, y) (0, 0). Funkcja f x 2 2y 2 nie ma ekstremum w punkcie P 0 = (0, 0), ponieważ dla dowolnego ε > 0 zachodzi f(ε, 0) = ε 2 > 0 = f(0, 0) oraz f(0, ε) = 2ε 2 < 0 = f(0, 0). Twierdzenie (warunek konieczny ekstremum) Jeżeli funkcja f spe lnia warunki: ma ekstremum w punkcie P 0 = (x 0, y 0 ), ma pochodne cz astkowe f x(x 0, y 0 ), f y(x 0, y 0 ), to { f x(x 0, y 0 ) = 0 f y(x 0, y 0 ) = 0 2

3 Uwaga Uk lad równań { f x(x 0, y 0 ) = 0 f y(x 0, y 0 ) = 0 można zapisać w postaci gradf(x 0, y 0 ) = 0. Przyk lad Funkcja f 5 x 6 y 6 ma maksimum w punkcie P 0 = (0, 0) oraz f x = 6x 5, f y = 6y 5, co oznacza, że f spe lnia warunek konieczny ekstremum f x(0, 0) = 0, f y(0, 0) = 0. Funkcja f x 2 2y 2 nie ma ekstremum w punkcie P 0 = (0, 0), ale f x = 2x, f y = y, co oznacza, że f spe lnia warunek konieczny ekstremum f x(0, 0) = 0, f y(0, 0) = 0. Definicja Macierz postaci [ ] f xx(x 0, y 0 ) f xy(x 0, y 0 ) f yx(x 0, y 0 ) f yy(x 0, y 0 ) nazywamy hesjanem (macierz a Hessego) funkcji f w punkcie P 0 = (x 0, y 0 ) i oznaczamy symbolem H f (x 0, y 0 ). Twierdzenie (warunek dostateczny ekstremum) pierwszego i drugiego rzȩdu w punkcie P 0 = (x 0, y 0 ) oraz spe lnia warunki: gradf(x 0, y 0 ) = 0, det H f (x 0, y 0 ) > 0, Jeżeli funkcja f ma ci ag le pochodne cz astkowe to f ma esktremum w punkcie P 0, przy czym f(x 0, y 0 ) = f min, gdy f xx(x 0, y 0 ) > 0 albo f(x 0, y 0 ) = f max, gdy f xx(x 0, y 0 ) < 0. Uwaga Jeżeli det H f (x 0, y 0 ) < 0, to f nie ma ekstremum w punkcie P 0. Jeżeli det H f (x 0, y 0 ) = 0, to badanie, czy f ma ekstremum w punkcie P 0 przeprowadza siȩ innymi metodami (np. korzystaj ac z definicji). Przyk lad Wyznaczymy ekstrema funkcji f x 3 + y 3 9xy. Ponieważ f x = 3x 2 9y, f y = 3y 2 9x, to otrzymujemy uk lad równań { x 2 3y = 0 y 2 3x = 0 który ma dwa rozwi azania P 0 = (0, 0), P 1 = (3, 3). Ponadto f xx = 6x, f xy = f yx = 9, f yy = 6y oraz 0 9 det H f (0, 0) = 9 0 = 81 < 0 co oznacza, że f nie ma ekstremum w punkcie P 0 = (0, 0), 18 9 det H f (3, 3) = 9 18 = 23 > 0 oraz f xx(3, 3) = 18 > 0, co oznacza, że f(3, 3) = f min = 27. 3

4 11 Ekstrema warunkowe funkcji dwóch zmiennych Definicja Funkcja f ma w punkcie P 0 = (x 0, y 0 ) minumum warunkowe z warunkiem g 0, gdy g(x 0, y 0 ) = 0 oraz istnieje liczba δ > 0 taka, że f(x, y) > f(x 0, y 0 ) dla każdego punktu P = (x, y) S(P 0, δ) spe lniaj acego warunek g 0. Funkcja f ma w punkcie P 0 = (x 0, y 0 ) maksimum warunkowe z warunkiem g 0, gdy g(x 0, y 0 ) = 0 oraz istnieje liczba δ > 0 taka, że f(x, y) < f(x 0, y 0 ) dla każdego punktu P = (x, y) S(P 0, δ) spe lniaj acego warunek g 0. Znajdowanie ekstremów warunkowych funkcji dwóch zmiennych z warunkiem g 0 odbywa siȩ wed lug nastȩpuj acego algorytmu: 1. krzyw a Γ : g 0 dzielimy na luki, które s a wykresami funkcji postaci y = h(x), gdzie x I R lub postaci x = k(y), gdzie y J R, 2. szukamy ekstremów funkcji jednej zmiennej H(x) = f(x, h(x)) w przedziale I lub funkcji K(y) = f(k(y), y) w przedziale J, 3. porównujemy wartości otrzymanych ekstremów na krzywej Γ i ustalamy ekstrema warunkowe. Przyk lad Wyznaczymy ekstrema warunkowe funkcji f xy z warunkiem x + y = 2. Mamy Γ : y = 1 x, gdzie x R. Wobec tego rozważmy funkcjȩ H(x) = x(2 x) = 2x x 2, gdzie x R. Ponieważ H max = H(1) = 1, to f max war. = f(1, 1) = 1. Uwaga Jeżeli krzywa Γ ma opis parametryczny: x = α(t), y = β(t), gdzie t T R, to szukamy ekstremów funkcji F (t) = f(α(t), β(t)) w przedziale T. Przyk lad Wyznaczymy ekstrema warunkowe funkcji f xy z warunkiem x 2 + y 2 =. Mamy tutaj Γ : x = 2 cos t, y = 2 sin t, t [0, 2π]. Rozważmy funkcjȩ F (t) = sin t cos t = 2 sin 2t, t [0, 2π]. Ponieważ F (t) = cos 2t, to F (t) = 0, gdy t = π, 3π, 5π, 7π. Ponadto F (t) = 8 sin 2t, wobec tego mamy kolejno: ( π ) ( π ) F = 8 < 0 = F = F max = f( 2, 2) = f max war. = 2 3π 3π F = 8 > 0 = F = F min = f( 2, 2) = f min war. = 2 5π 5π F = 8 < 0 = F = F max = f( 2, 2) = f max war. = 2 7π 7π F = 8 > 0 = F = F min = f( 2, 2) = f min war. = 2 12 Wartość najmniejsza i najwiȩksza funkcji dwóch zmiennych w obszarze domkniȩtym Znajdowanie wartości najmniejszej f inf i najwiȩkszej f sup funkcji dwóch zmiennych w obszarze domkniȩtym odbywa siȩ wed lug nastȩpuj acego algorytmu:

5 1. we wnȩtrzu obszaru szukamy punktów, w których funkcja może mieć esktremum (w których gradient funkcji jest równy zero), 2. na brzegu obszaru szukamy punktów, w których funkcja może mieć ekstremum warunkowe. 3. porównujemy wartości funkcji w otrzymanych punktach i na tej podstawie ustalamy wartość najwiȩksz a i najmniejsza a funkcji. Przyk lad Wyznaczymy najwiȩksz a i najmniejsz a wartość funkcji f x 2 + y 2 w obszarze D : 1 x 3, y 2. Ponieważ gradf [2x, 2y], wiȩc gradf(0, 0) = 0 oraz f(0, 0) = 0 (punkt (0, 0) należy do wnȩtrza obszaru D). Brzeg obszaru D stanowi a cztery odcinki (boki prostok ata D). Rozważmy każdy z nich: Γ 1 : y =, 1 x 3. Mamy tutaj H 1 (x) = f(x, ) = x , st ad f(0, ) = 16. Γ 2 : x = 3, y 2. Mamy tutaj K 2 (y) = f(3, y) = 9 + y 2, st ad f(3, 0) = 9. Γ 3 : y = 2, 1 x 3. Mamy tutaj H 3 (x) = f(x, 2) = x 2 +, st ad f(0, 2) =. Γ : x = 1, y 2. Mamy tutaj K (y) = f( 1, y) = 1 + y 2, st ad f( 1, 0) = 1. Obliczymy jeszcze wartości f w wierzcho lkach prostok ata D: f( 1, ) = 17, f(3, ) = 25, f(3, 2) = 13, f( 1, 2) = 5. Zatem ostatecznie mamy: f inf = f(0, 0) = 0, f sup = f(3, ) = 25. 5