(8) Oblicz wyznacznik dowolnie wybranej macierzy stopnia czwartego. (9) Rozwi aż podany układ równań stosuj ac wzory Cramera:

Transkrypt

1 Zadania przygotowuj ace do kolokwium (budownictwo, studia niestacjonarne, drugi semestr, 209) [7III] () Podaj przykład dowolnej macierzy A drugiego stopnia Oblicz A A T + A T A (2) Podaj przykład dowolnej macierzy A o dwóch wierszach i trzech kolumnach Oblicz [ A A T ] oraz [ A T ] A 3 2 (3) Oblicz (4) Oblicz (5) Oblicz 2 5 [ [ ] [ ] ] (6) Oblicz A A T, gdy A = [ ] (7) Oblicz B B T oraz B T B, gdy B = [ 2 3 ] 2 2 (8) Oblicz wyznacznik dowolnie wybranej macierzy stopnia czwartego (9) Rozwi aż podany układ równań stosuj ac wzory Cramera: (0) Rozwi aż układ równań 2x + y + 2z + t = 0 x + 2y + z + 2t = 0 3x 2y + z 2t = 0 x + 2y + z + t = x + 2y + z = 2x + y + z = x + y + 2z = stosuj ac wzory Cramera [ ] [ ] [ ] 4 5 (3): (4): (5): (6): A A T = [ 30 ] (7): B B T = [ 3 ] [ ] 4 6, B T B = (9): x = y = z = (0): x = 0, y =, z = 0, t = [3III] [] Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach (3, 2, 4), (5, 2, 5), (4, 3, 6) [2] Oblicz objętość czworościanu o wierzchołkach (3, 2, 4), (5, 2, 5), (4, 3, 6), (4, 4, 4) oraz oblicz długość wysokości tego czworościanu opuszczonej z dowolnego wierzchołka (tego czworościanu) [3] Czy prosta x = y = z+2 i płaszczyzna x + 2y 5z + 9 = 0 s a równoległe? 2 [4] Czy prosta x = y = z+2 i płaszczyzna 2x+4y +2z + = 0 s a prostopadłe? 2 [5] Znajdź punkty przecięcia prostej x = y = z x2 z elipsoidą + y2 + z2 = [6] Znajdź punkty przecięcia prostej = y = z z hiperboloidą x 2 + y2 z2 = 8 2

2 [7] Znajdź rzut punktu (4,, 3) na płaszczyznę x y + 2z 3 = 0 [8] Dla jakiego m płaszczyzny 2x my+z+209 = 0 oraz x+y mz 209 = 0 są prostopadłe? [9] Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P (, 2, 3) i prostopadłej do prostej = y = z+6 2 [0] Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P (0, 2, ) i równoległej do prostej = y = z+6 2 []: 2 4 [2]: v = 7, wysokość z (4, 4, 4) to h = [3]: tak [4]: tak [5]: (,, 0), (0, 0, 2) [6]: prosta leży na hiperboloidzie (zawiera się) [7]: (5, 0, ) [8]: m = [9]: 2x + y z = 0 [0]: x + 2y + 4z = 0 [4IV] Naszkicuj dziedzinę funkcji f(x, y) = 4 9 x 2 y 2 + ln(x 2 + y 2 ) xy 2 Naszkicuj dziedzinę funkcji f(x, y) = arc sin( x) + arc 3 sin( 2 y) y x 3 Naszkicuj dziedzinę funkcji f(x, y) = arc sin(x 2 + y 2 ) + y 2 x 4 Naszkicuj dziedzinę funkcji f(x, y) = arc sin( 4 x2 + 9 y2 ) + xy 5 Naszkicuj dziedzinę funkcji f(x, y) = xy + y + x 6 Oblicz wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji f(x, y) = x 2 y 3 + x 7 Oblicz wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji f(x, y) = sin(x 2 y 3 + x) 8 Oblicz wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji f(x, y) = y sin(x 2 y 3 e 2x ) 9 Oblicz wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji f(x, y, z, t) = x2 y+z 3 +sin z y 3 +t 4 0 Oblicz wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji f(x, y, z, t, u, v) = 3xz + arctg(y 3 + tu 2 ) + uv+ e v +cos v 2 x y 6: f x = 2xy 3 +, f y = 3x 2 y 2 7: f x = cos(x 2 y 3 + x) (2xy 3 + ), f y = cos(x 2 y 3 + x) 3x 2 y 2 8: f x = y cos(x 2 y 3 e 2x ) (2xy 3 e 2x + 2x 2 y 3 e 2x ), f y = sin(x 2 y 3 e 2x ) + y cos(x 2 y 3 e 2x ) 3y 2 x 2 e 2x 9: f x = 2xy, f y 3 +t 4 y = x2 (y 3 +t 4 ) (x 2 y+z 3 +sin z) 3y 2, f (y 3 +t 4 ) 2 z = 3z2 +cos z, y 3 +t 4 f t = (x2 y+z 3 +sin z) 4t 3 (y 3 +t 4 ) 2 0: f x = 3z, f y = 3y 2, f +(y 3 +tu 2 ) 2 z = 3x f t = +(y 3 +tu 2 ) 2 u 2, f u = +(y 3 +tu 2 ) 2 2tu + f v = u(ev +cos v 2 ) (uv+)(e v 2v sin v 2 ) (e v +cos v 2 ) 2 v e v +cos v 2

3 [28IV] (i) Znajdź ekstrema lokalne funkcji f(x, y) = x 0 + 0x + y 8 8y + (ii) Znajdź ekstrema lokalne funkcji f(x, y) = y 7 + 7xy + x 7 (iii) Znajdź ekstrema lokalne funkcji f(x, y) = y 7 7xy + x 7 (iv) Znajdź wartość najwiȩkszą i najmniejszą funkcji f(x, y) = x 2 y 2 w zbiorze D : x 2 + y 2 00, y 8 (v) Znajdź wartość najwiȩkszą i najmniejszą funkcji f(x, y) = 3x y 3 w trójkącie o wierzchołkach (0, 0), (2, 0), (2, 2) (vi) Znajdź wartość najwiȩkszą i najmniejszą funkcji f(x, y) = x 2 y 2 w prostokącie o wierzchołkach (, ), (, 2), (, ), (, 2) (vii) Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f(x, y) = x y przy warunku x 2 + y 2 = 8 dla x 0 (viii) Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f(x, y) = 2x + 3y przy warunku x 2 + y 2 = 3 (ix) Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f(x, y) = 4x + y przy warunku 4x 2 + y 2 = 5 (x) Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f(x, y) = x + y przy warunku x 4 + y 4 = 2 (i): minimum w punkcie (, ) (ii): maksimum w punkcie (, ); w punkcie (0, 0) nie ma ekstremum (iii): minimum w (, ); w punkcie (0, 0) nie ma ekstremum (iv): wartością największą funkcji jest 28, a najmniejszą 00 (v): wartością największą funkcji jest 6, a najmniejszą 2 (vi): wartością największą funkcji jest, a najmniejszą 4 (vii): wartością największą jest 4, a najmniejszą 2 2 (viii): wartością największą jest 3, a najmniejszą 3 (ix): wartością największą jest 5, a najmniejszą 5 (x): wartością największą jest 2, a najmniejszą 2 [2V] Oblicz: [α] D 2ydxdy, gdzie D to trójkąt o wierzchołkach (0, 0), (, 0), (, ); [β] D xdxdy, gdzie D to obszar ograniczony krzywymi y = x2, y = 0; [γ] D x2 dxdy, gdzie D to obszar ograniczony krzywymi y = x 2, y = 0; [δ] D xdxdy, gdzie D to trapez o wierzchołkach (0, 0), (, 0), (0, ), (, 2); [ɛ] D ydxdy, gdzie D to obszar ograniczony krzywymi y = x, y = x; [ζ] D (x2 + y 2 )dxdy, gdzie D to koło x 2 + y 2 ; [η] D (x2 + y 2 ) dxdy, gdzie D : x 2 + y 2 4, y 0; [ϑ] D (x2 + y 2 ) dxdy, gdzie D : x 2 + y 2 4, x 0; [ι] D xdxdy, gdzie D : x2 + y 2 4; [κ] D x2 + y 2 dxdy, gdzie D : x 2 + y 2 9, y x 0, y + x 0 [α]: /3, [β]: 0, [γ]: 4/5, [δ]: 5/6, [ɛ]: /2, [ζ]: π/2, [η]: π, [ϑ]: π, [ι]: 0, [κ]: 9π/2

4 [26V] [i] Oblicz B 7xz6 dxdydz, gdzie B to pięciościan o wierzchołkach (0, 0, 0), (2, 0, 0), (2, 2, 0), (0, 0, ), (2, 0, ), (2, 2, ) [ii] Oblicz B xdxdydz, gdzie B to sześciościan o wierzchołkach (0, 0, 0), (, 0, 0), (0,, 0), (,, 0), (0, 0, ), (, 0, 2), (0,, ), (,, 2) [iii] Oblicz B 2zdxdydz, gdzie B to pięciościan o wierzchołkach (0, 0, 0), (, 0, 0), (0,, 0), (,, 0), (, 0, ), (,, ) [iv] Oblicz B 7(x2 + y 2 + z 2 ) 2 dxdydz, gdzie B : x 2 + y 2 + z 2, z 0, x 0, y 0 [v] Oblicz B (x2 + y 2 + z 2 ) dxdydz, gdzie B : x 2 + y 2 + z 2 4 [vi] Rozwiąż równanie ( + e x )e x y = + y 2 [vii] Rozwiąż równanie ( + e 2x )e x y = + y 2 [viii] Rozwiąż równanie (sin y + cos y)e x y = y [ix] Rozwiąż równanie = z warunkiem początkowym y(0) = 0 e x +x 2 +x 3 +y 2 [x] Rozwiąż równanie y = (2+sin x) y 2 z warunkiem początkowym y(0) = 8 [i]:, [ii]: 5, [iii]:, [iv]: π, [v]: 4π, [vi]: arctgy = ln( + e x ) + C, [vii]: arctgy = arctge x + C, [viii]: cos y + sin y = e x + C, [ix]: y + 3 y3 = e x + 3 x3 + 4 x4, [x]: y = 2x cos x+2 [4VI] () Rozwi aż równanie różniczkowe: y = y + x 2 y x y() = 4 z warunkiem początkowym (b) Rozwi aż równanie różniczkowe: y = ( y x )3 ( y x )2 + (c) Rozwi aż równanie różniczkowe: y = (y + 3x + 4) 2 2 (2) Rozwi aż równanie różniczkowe liniowe: y + 2xy = (x + )e x2 (3) Rozwi aż równanie różniczkowe: y (5) + 6y (4) + 0y = 0 (4) Rozwi aż równanie różniczkowe: y (4) + y = 0 (4b) Rozwi aż równanie różniczkowe: y (4) 3y 4y = 0 (4c) Rozwi aż równanie różniczkowe: y + 3y + 3y + y = 0 (4d) Rozwi aż równanie różniczkowe: y + 8y + 25y = 0 (5) Zbadaj zbieżność szeregu: n= 2 n+ n! (5b) Zbadaj zbieżność szeregu: n= 9 n n 9 (5c) Zbadaj zbieżność szeregu: n= (n+3) n n 2n (5d) Zbadaj zbieżność szeregu: n= (n+)! (n!) ( 2 ) (6) Zbadaj zbieżność szeregu: n= n 2 +n+2 n πn 2 (7) Stosując kryterium Leibniza badaj zbieżność szeregu: n= ( ) n+ n ln n (8) Stosując kryterium całkowe zbadaj zbieżność szeregu: n= n ln n (9) Rozwiń w szereg potȩgowy (do wyrazu z x 8 ) funkcję: f(x) = cos x (9b) Rozwiń w szereg potȩgowy (do wyrazu z x 5 ) funkcję: f(x) = e x (9c) Rozwiń w szereg potȩgowy (do wyrazu z x 5 ) funkcję: f(x) = ln( x) (0) Rozwiń w szereg potȩgowy funkcję: f(x) = e 3x

5 (): y = x(ln x + 2) 2, (b): ( y 2 x )2 + ln y = ln x + C oraz y = 0, x (c): arctg(y + 3x + 4) = x + C, (2): y = e x2 ( 2 x2 + x + C), (3): y = C + C 2 x + C 3 x 3 + C 4 e 3x cos 2x + C 5 e 3x sin 2x, (4): y = C + C 2 x + C 3 cos x + C 4 sin x, (4b): y = C e 2x + C 2 e 2x + C 3 cos x + C 4 sin x, (4c): y = C e x + C 2 xe x + C 3 x 2 e x, (4d): y = C e 4x cos 3x + C 2 e 4x sin 3x, (5): zbieżny, (5b): rozbieżny, (5c): zbieżny, (5d): zbieżny, (6): zbieżny, (7): zbieżny, (8): rozbieżny, (9): f(x) = cos x = x2 x4 + x6 x8 +, 2! 4! 6! 8! (9b): f(x) = e x = x + x2 x3 + x4 x5 +,! 2! 3! 4! 5! (9c): f(x) = ln( x) = x x2 x3 x4 x5 +, (0): f(x) = e 3x = + 3x + 32 x x 3 + = 3 n! 2! 3! n= n! xn