1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.

Transkrypt

1 Szeregi potęgowe Definicja.. Szeregiem potęgowym o środku w punkcie R nazywamy szereg postaci: gdzie x R oraz c n R dla n = 0,, 2,... c n (x ) n, Przyjmujemy, że 0 0 def =. Liczby c n nazywamy współczynnikami szeregu potęgowego.. Promień zbieżności szeregu potęgowego Twierdzenie.2. Dla każdego szeregu potęgowego c n (x ) n istnieje dokładnie jedna liczba R 0, + ) o własności: jeżeli x < R, to szereg c n (x ) n jest zbieżny bezwzględnie, jeżeli x > R, to szereg c n (x ) n jest rozbieżny. Definicja.3. Liczbę R, której istnienie gwarantuje powyższe twierdzenie nazywamy promieniem zbieżności szeregu potęgowego c n (x ) n. Promień zbieżności szeregu potęgowego można wyznaczyć za pomocą wzoru: R = lim n n o ile granice w tych wzorach istnieją. n Gdy n lim c n =, to R = 0. n Gdy n lim c n = 0, to R =. Przykład.4. Szereg ( 5 3 ) n (x + 5) n jest szeregiem potęgowym o środku w punkcie = 5 i promieniu R = 3 5. c n lub R = lim c n n c n+, Szereg R =. (6 3x) n 3 n + 2 n jest szeregiem potęgowym o środku w punkcie = 2 i promieniu

2 ( x) n Szereg R =. jest szeregiem potęgowym o środku w punkcie = 0 i promieniu Twierdzenie.5 (Twierdzenie Cauchy ego-hadamarda). Niech 0 < R < będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego c n (x ) n. Wtedy szereg ten jest: zbieżny bezwzględnie w każdym punkcie przedziału ( R, + R), rozbieżny w każdym punkcie zbioru (, R) ( + R, + ). Uwaga. W punktach R i + R szereg potęgowy może być zbieżny lub rozbieżny. Gdy R = 0, to szereg potęgowy jest zbieżny jedynie w punkcie. Gdy R =, to szereg potęgowy jest zbieżny bezwzględnie na całej prostej. Definicja.6. Zbiór tych x R, dla których szereg potęgowy c n (x ) n jest zbieżny nazywamy przedziałem zbieżności tego szeregu. Uwaga 2. Z twierdzenia Cauchy ego-hadamarda wynika, że przedział zbieżności szeregu potęgowego może mieć jedną z postaci: ( R, + R) R, + R) R + R R + R ( R, + R R, + R R + R R + R { } (, + ) R = 0 R = Przykład.7. Dla szeregu n= n (x 2)n mamy R = i przedział zbieżności, 3). Dla szeregu Dla szeregu ( ) n x n n=2 n ln 2 n ( ) n x2n n=2 (2n)! mamy R = i przedział zbieżności,. mamy R = i przedział zbieżności (, + ) = R. 2

3 .2 Szereg Taylora i Maclaurina Definicja.8. Niech funkcja f ma w punkcie pochodne dowolnego rzędu. Szereg potęgowy f (n) ( ) (x ) n =f( )+ f ( )! (x )+ f ( ) (x ) ! nazywamy szeregiem Taylora funkcji f o środku w punkcie. f (n) (0) Jeżeli = 0, to szereg x n nazywamy szeregiem Maclaurina funkcji f. Uwaga 3. Ze zbieżności szeregu Maclaurina funkcji nie wynika, że jego suma jest równa tej funkcji. Na przykład dla funkcji e x 2, x 0 f(x) = 0, x = 0 mamy f (n) (0) = 0, dla n = 0,, 2, 3,..., i f(x) f (n) (0) x n 0. Twierdzenie.9 (o rozwijaniu funkcji w szereg Taylora). Jeżeli funkcja f ma na otoczeniu O punktu pochodne dowolnego rzędu, dla każdego x O spełniony jest warunek lim R n (x) = 0, gdzie R n (x) = f (n+) (ξ) n (n + )! (x ) n+ oznacza n-tą resztę we wzorze Taylora dla funkcji f, przy czym ξ = +θ(x ), 0 < θ <, to dla każdego x O. f(x) = f (n) ( ) (x ) n, Twierdzenie.0 (o jednoznaczności rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy). Jeżeli f(x) = c n (x ) n, dla każdego x z pewnego otoczenia punktu, to c n = f (n) ( ), dla n = 0,, 2,... 3

4 Przykład.. Dla funkcji f(x) = x mamy f() = oraz f (x) = x 2 f () = f (x) = 2 x 3 f () = 2 Wówczas f (x) = 6 x f () = 3! 4 f (4) (x) = 24 x f (4) () = 4! 5. f (n) (x) = ( ) n x f (n) () = ( ) n n+ x = ( ) n (x ) n = ( x) n, dla 0 < x < 2..3 Szeregi Maclaurina niektórych funkcji elementarnych x = sin x= e x = cos x = ln( + x) = arc tg x = x n = + x + x 2 + x , dla x <. x n = + x + x2 +..., dla x R. 3! ( ) n (2n + )! x2n+ =x x3 3! + x5 5! x7 7! +..., x R. sinh x= cosh x = ( ) n (2n)! x2n = x2 2 + x4 4! x6 6! +..., x R. ( ) n (n + ) xn+ = x x2 3 x4 +..., < x. 4 ( ) n (2n + ) x2n+ = x x3 3 + x5 5 x7 +..., < x. 7 x 2n+ x3 =x + (2n + )! 3! + x5 5! + x7 7! +..., x R. x 2n (2n)! = + x2 2 + x4 4! + x6 6! +..., x R. 4

5 Twierdzenie.2 (o różniczkowaniu szeregu potęgowego). Niech 0 < R będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego c n (x ) n. Wtedy: dla każdego x ( R, + R). ( ) c n (x ) n = nc n (x ) n n=.3. Sumy ważniejszych szeregów potęgowych nx n = n= x n = x n 2 x n = n=, dla x <. x, dla x <. ( x) 2 + x, dla x <. ( x) 3 x n n = ln( x), dla x <. 5

6 .4 Aproksymacja funkcji przez wielomian Wzór f(x) ==f( )+ f ( )! (x ) f (n) ( ) (x ) n + R n (x), gdzie R n (x) = f (n+) (ξ) (n + )! (x ) n+ < n-ta reszta we wzorze Taylora dla funkcji f, przy czym ξ = + θ(x ), 0 < θ <, pozwala przedstawić w sposób przybliżony (aproksymować) funkcję f za pomocą wielomianu (zwanego wielomianem Taylora) f(x) f( )+ f ( )! (x ) f (n) ( ) (x ) n. Przykład.3. Niech f(x) = e x. Wówczas e x + x + x2 3! xn. n = 2 y = + x + x2 2 y y = e x y = + x n = n = 3 y = + x + x2 6 x 6