Definicja i własności wartości bezwzględnej.
|
|
- Natalia Kwiecień
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności wartości bezwzględnej. Definicja. Wartością bezwzględną liczby nieujemnej nazywamy tę liczbę, a wartością bezwzględną liczby ujemnej nazywamy liczbę do niej przeciwną, to znaczy: x jeśli x 0 x := x jeśli x < 0 Stąd na przykład 5 = 5, 5 = 5, 0 = 0, π = π. Uwaga. ) Wartość bezwzględna nazywana jest też modułem. 2) Z geometrycznego punktu widzenia, x wyraża odległość na osi liczbowej pomiędzy punktem x a punktem 0, innymi słowy odległość x od 0. 3) Na x y można spojrzeć jak na odległość x y od 0, a ta jest równa odległości na osi liczbowej pomiędzy punktami x i y. 4) x 2 = x. 5) x 2 = x 2 = ( x) 2. Własności wartości bezwzględnej Twierdzenie. Niech x, y R i b R, b 0, wówczas x = x, () xy = x y, (2) x b b x b, (3) x b x b x b, (4) x + y x + y, (5) x y x + y, (6) x y x + y, (7) x y x y. (8) Dowód. Własności () i (2) wynikają wprost z definicji wartości bezwzględnej. Dowodząc każdą z tych własności należy rozważyć dwa przypadki: x 0 i x < 0. Pokażemy, że dla dowolnego x R x = x. Jeśli x 0, to x = x i jednocześnie x = ( x) = x, a zatem x = x. Jeśli x < 0, to x = x i jednocześnie x = x, więc x = x. Stąd dla dowolnego x R zachodzi równość (). Aby udowodnić własność (2) należy rozważyć trzy przypadki rozkładu znaków liczb x i y : o x 0 i y 0, 2 o x 0 i y < 0 i 3 o x < 0 i y < 0. Oczywiście przypadek 4 o x < 0 i y 0
2 możemy pominąć, bo jest on ujęty w 2 o. Mamy odpowiednio o x 0 y 0 xy = xy = x y, 2 o x 0 y < 0 xy = xy = x( y) = x y, 3 o x < 0 y < 0 xy = xy = ( x)( y) = x y. Własność (3), x b b x b. Pokażemy najpierw, że zachodzi implikacja b x b = x b. Załóżmy, że b x b, zatem dla x 0 mamy x = x b, a dla x < 0 mamy x = x b. Stąd dla dowolnych x rzeczywistych spełniających warunek b x b mamy x b. Teraz implikacja w przeciwną stronę x b = b x b. Jeśli x b i b 0, to ponieważ wartość bezwzgledna liczby x jest zawsze liczbą nieujemną, mamy b x b. Dla x 0 powyższa nierówność przyjmuje postać b x b, a dla x < 0 postać b x b. W tym ostatnim przypadku pomnożymy strony podwójnej nierówności przez - otrzymując b x b. Stąd dla dowolnego x R, x b zachodzi b x b. Własność (5), x b x b x b. Jeśli x b, to dla x mamy x = x b, a dla x < 0 otrzymujemy x = x b, czyli x b. Jeśli x b, to ponieważ b 0 mamy x 0. Stąd x = x b. Jeśli x b i b 0, to x 0, stąd x = x 0. Własność (6), x + y x + y. Z własności (3) zastosowanej dla b = x mamy x x x x x. Zatem x x x i y y y. Dodamy te dwie nierówności stronami, otrzymując Teraz z własności (3) x + y x + y. ( x + y ) x + y x + y. Własność (7), x y x + y, wynika z (5), jeśli za y podstawimy y: x + ( y) x + y x y x + y. Własność (8), x y x + y. Korzystając z własności (6) otrzymamy: x = x + y y x + y + y x y x + y, (9) y = y + x x y + x + x y x x + y x y y + x (0) Z (9) i (0) mamy x+y x y x+y, a więc na podstawie (3) mamy x y x+y. Własność (4), x y x y otrzymujemy z (8) przez podstawienie y := y. Przykład. Korzystając z interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej rozwiąż równanie x + x 5 = 4. Rozwiązanie. Zgodnie z Uwagą 3) zbiór rozwiązań równania jest zbiorem tych x R, dla których suma ich odległości (na osi liczbowej) od i od 5 jest równa 4. Ponieważ i 5 są odległe od siebie o 4 (jednostki osi) więc, na pewno, każda z tych liczb jest rozwiązaniem równania
3 x + x 5 = 4. Roziązań równania nie można się spodziewać wśród liczb leżących na lewo od czy też na prawo od 5, bo dla tych, które leżą na lewo od odległość od 5 jest większa od 4 i podobnie dla tych które leżą na prawo od 5, ich odległość od jest większa od 4. Natomiast każda liczba leżąca pomiędzy i 5, ma tę własność, że suma jej odległości od i od 5 jest równa 4. Zatem rozwiązaniem naszego równania są x [; 5]. Przykład 2. Zapisz bez użycia symbolu wartości bezwzględnej wyrażenie a 2. Rozwiązanie. Znak wartości bezwzględnej opuszczamy bez zmiany znaku wyrażenia znajdującego się pod wartościa bezwzględną, jeśli to wyrażenie jest nieujemne i ze zmianą znaku, jeśli to wyrażenie jest ujemne. Zatem musimy rozstrzygnąć dla jakich a R a 2 0 i dla jakich a a 2 < 0. a 2 0 a a, a 2 < 0 < a <. Stąd a 2 = a 2, jeżeli a a, a 2 +, jeżeli < a <. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Przy rozwiązywaniu równań nierówności z wartością bezwzględną stosujemy następujące warunki równoważne, pozwalające opuścić znak wartości bezwzględnej: oraz własności (3) i (4): x = b x = b x = b, () x = y x 2 = y 2. (2) x y x 2 y 2. (3) x b b x b, x b x b x b. W każdym z powyższych warunków x, b R i b 0. Przykład 3. Rozwiąż równania a) x 2 = 5, b) 2x = 3x, c) x + + 2x 4 = 9, d) x + 2 = 2x +. Rozwiązanie. a) x 2 = 5. Skorzystamy z (): x 2 = 5 x 2 = 5 x 2 = 5 x = 3 x = 7. b) 2x = 3x. Z definicji wartości bezwzględnej mamy 2x 5, jeżeli x 5 2x 5 = 2 2x + 5, jeżeli x < 5 2.
4 Zatem nasze równanie można zapisać w postaci alternatywy układów: 2x = 3x x 5 2 stąd po przekształceniach otrzymamy x = 5 x 5 2 2x = 3x x < 5 2, x = 3 x < 5 2, Drugi układ jest sprzeczny, zatem rozwiązaniem równania jest x = 5. c) x + + 2x 4 = 9. Ponieważ x = 0 x = i 2x 4 = 0 x = 2, więc należy rozważyć trzy przypadki: x <, x < 2, x 2. Przypadek I. Jeśli x <, to x < 0 i 2x 4 < 0, zatem obydwie wartości bezwzględne opuszczamy dokonując zmiany znaku. Wówczas równanie x + + 2x 4 = 9 przyjmie postać x 2x + 4 = 9. Jego rozwiązaniem jest x = 2 i rozwiązanie to należy do rozważanego w tym przypadku przedziału: x ( ; ). Przypadek II. Jeśli x < 2, to x 0 i 2x 4 < 0. Wówczas równanie x + + 2x 4 = 9 przyjmie postać x + 2x + 4 = 9. Jego rozwiązaniem jest x = 4, ale 4 / [ ; 2), zatem tę odpowiedź odrzucamy. Przypadek III. Jeśli x 2, to x 0 i 2x 4 0. Wówczas równanie x + + 2x 4 = 9 przyjmie postać x + + 2x 4 = 9. Rozwiązaniem tego równania jest x = 4 i 4 [2; ). Rozwiązaniem równania x+ + 2x 4 = 9 jest suma rozwiązań otrzymanych w Przypadkach I, II i III, czyli x = 2 x = 4. d) x + 2 = 2x +. Sposób o. Postępujemy jak w podpunkcie c). Ponieważ x + 2 = 0 x = 2 i 2x + = 0 x = 2, więc rozważymy trzy przypadki: x < 2, 2 x < 2, x 2. Przypadek I. Jeśli x < 2, to x + 2 < 0 i 2x + < 0, zatem obydwie wartości bezwzględne opuszczamy dokonując zmiany znaku. Wówczas równanie x + 2 = 2x + przyjmie postać x 2 = 2x. Jego rozwiązaniem jest x = ale / ( ; 2), zatem tę odpowiedź odrzucamy. Przypadek II. Jeśli 2 x < 2, to x i 2x + < 0, wówczas równanie x + 2 = 2x + [ ) przyjmie postać x + 2 = 2x. Jego rozwiązaniem jest x = i 2; 2, zatem x = jest jednym z rozwiązań równania d). Przypadek III. Jeśli x 2, to x i 2x + 0, wówczas równanie x + 2 = 2x + [ ) przyjmie postać x + 2 = 2x +. Jego rozwiązaniem jest x = i 2 ;.
5 Rozwiązaniem równania d) jest suma rozwiązań otrzymanych w Przypadkach I, II i III, czyli x = x =. Sposób 2 o. Skorzystamy z (2). Jeśli moduły dwóch liczb są równe, to ich kwadraty też są sobie równe. Zatem x + 2 = 2x + (x + 2) 2 = (2x + ) 2 3x 2 3 = 0 3(x )(x + ) = 0 x = x =. Przykład 4. Rozwiąż nierówności a) 2x + 2 > 4, b) x 2 5 2, c) 2x x > 4, d) 4x+ 2x 3 2, e) x 3 x. Rozwiązanie. a) 2x + 2 > 4. Skorzystamy z własności (4), otrzymując alternatywę nierówności: 2x + 2 > 4 2x + 2 < 4 2x + 2 > 4 x < 3 x >. Rozwiązaniem nierówności a) są zatem x ( ; 3) (; ). b) x Skorzystamy z własności (3), otrzymując równoważną nierówność podwójną: x x x x 2 0 i x x 3 x 3 i 7 x 7 7 x 3 3 x 7. c) 2x x > 4. Nie możemy skorzystać z własności ( 4), bo w tym przypadku b = 4 3x może przyjmować zarówno wartości nieujemne jak i ujemne. Aby rozwiązać tę nierówność musimy opuścić wartość bezwzględną korzystając z jej definicji. Mamy zatem alternatywę układów równań: 2x 2 + 3x > 4 2x + 2 < 0 Rozwiązując nierówności w układach otrzymamy: x > 6 x < 2x x > 4 2x + 2 0, x > 2 5 x, Pierwszy z powyższych układów nierówności ma pusty zbiór rozwiązań, a rozwiązaniem drugiego układu są x > 2 5. Rozwiązaniem nierówności c) są x ( 2 5 ; ).
6 d) 4x+ 2x 3 2. Ponieważ zatem równanie d) jest równoważne równaniu Zastosujmy własność (5): x = x y y, 4x x 3 4x + 2 4x + 2x 3 2x 3 2 4x + 2x 3 2. Dziedziną tej podwójnej nierówności wymiernej jest zbiór R \ 3 2 }. Dalej mamy 4x + 2x 3 2 4x + 2x 3 2 8x 5 2x x 3 Rozwiążemy nierówności pomocnicze, w których zamiast badać znak ilorazu, zbadamy znak iloczynu czynników występujących w powyższych nierównościach: (8x 5)(2x 3) 0 2x 3 0 [ 5 x 8 ; 3 ( 3 ) x 2] 2 ; [ 5 ) x 8 ;, Ponieważ x = 3 2 nie należy do dziedziny nierówności d), więc rozwiązaniem nierówności są [ ( ) x 5 8 2) ; ;. e) x 3 x. Sposób o. Zastosujemy warunek (3), otrzymując Rozwiązaniem nierówności e) są x ( ; 2]. x 3 x (x 3) 2 (x ) 2 6x + 9 2x + x 2. Sposób 2 o. Możemy rozważyć trzy przypadki: x <, x < 3, x 3, postępując podobnie jak w punkcie c) Przykładu 3. Układy dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Niech dany będzie układ dwóch równań liniowych o niewiadomych x, y (A) a x + b y = c a 2 x + b 2 y = c 2, gdzie a, b, a 2, b 2 R. Definicja 2. Każdą parę liczb (x, y), która jest jednocześnie rozwiązaniem obu powyższych równań, nazywamy rozwiązaniem tego układu.
7 Na przykład rozwiązaniem układu (B) 2x y = 4 x + 2y = 3 jest para liczb (, 2), bo 2 ( 2) = 4 i + 2( 2) = 3. o Jeżeli dla każdej pary współczynników a i, b i, dla i =, 2, przynajmniej jeden z nich jest różny od zera tzn. a 0 b 0 i a 2 0 b 2 0, to wykresem każdego z równań układu (A) jest prosta. Oznaczmy pierwszą z nich przez l a drugą przez l 2, zatem l : a x + b y = c i l 2 : a 2 x + b 2 y = c 2. Uwaga. ) Jeśli proste l i l 2 nie są równoległe, to przecinaja się, zatem maja dokładnie jeden punkt wspólny. Mówimy wówczas, że układ (A) jest oznaczony, a o równaniach tego układu mówimy, że są niezależne. Taki układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie, którym jest para współrzędnych punktu przecięcia się prostych l i l 2. 2) Jeśli proste l i l 2 są różne i równoległe, to nie mają żadnego punktu wspólnego. Wtedy o układzie (A) mówimy że jest sprzeczny, a o równaniach, że są wzajemnie sprzeczne. Układ taki nie ma rozwiązań, żadna para liczb nie spełnia jednocześnie obu równań. 3) Jeśli proste l i l 2 pokrywają się, to układ (A) nazywamy nieoznaczonym. Układ taki ma nieskończenie wiele rozwiązań, każda para która spełnia równanie pierwsze spełnia też równanie drugie układu. 2 o Jeżeli, w którymś z równań układu (A), każdy ze współczynników a i, b i dla i =, 2 jest równy zero, to równanie takie jest postaci 0x + 0y = c i, zatem ma rozwiązanie, gdy c i = 0 (każda para liczb (x, y) jest rozwiązaniem tego równania) i nie ma rozwiązań, gdy c i 0. Stąd dla a = a 2 = b = b 2 = c = c 2 = 0 układ (A) ma nieskończenie wiele rozwiązań. Jego rozwiązaniem jest każda para (x, y), gdzie x, y R. Jeśli natomiast, a = a 2 = b = b 2 i c 0 c 2 0, to układ (A) nie ma rozwiązań. Układy równań liniowych rozwiązujemy algebraicznie graficznie. Wśród metod algebraicznych wyróżniamy metodę podstawiania, metodę przeciwnych współczynników i metodę wyznaczników. Metoda podstawiania polega na wyznaczeniu niewiadomej z jednego z równań i podstawieniu jej do równania drugiego. Zilustrujemy to na przykładzie: 2x y = 4 x + 2y = 3 y = 2x 4 x + 2(2x 4) = 3. Stąd y = 2x 4 5x = 5 y = 2 x =. Zatem para (, 2) jest rozwiązaniem układu równań. Metoda przeciwnych współczynników polega na mnożeniu równań przez różne od zera stałe i dodawaniu tych równań stronami. Pokażemy to na przykładzie: 2x y = 4 x + 2y = 3 2x y = 4 x + 2y = 3 / ( 2) 2x y = 4 2x 4y = 6.
8 Dodajemy stronami równanie drugie do pierwszego, otrzymując: 5y = 0 2x 4y = 6. Dalej mamy y = 2 2x 4y = 6 y = 2 2x 4( 2) = 6. y = 2 2x = 2. Ostatecznie rozwiązaniem układu (B) jest para liczb (x, y) = (, 2). Metoda wyznaczników rozwiązywania układów równań liniowych. Wyznacznikiem W układu (A) nazywamy różnicę iloczynów a b 2 a 2 b, co zapisujemy tak: W = a b a 2 b 2 = a b 2 a 2 b. Dla układu (A) przez wyznaczniki charakterystyczne W x i W y rozumiemy odpowiednio: W x = W y = Na przykład dla układu (B) mamy W = 2 2 = 4 + = 5, W x = c b c 2 b 2 = c b 2 c 2 b, a c a 2 c 2 = a c 2 a 2 c = 8 3 = 5, W y = = 6 4 = 0. Twierdzenie. Układ (A) równań liniowych z dwiema niewiadomymi ma dokładnie jedno rozwiązanie, gdy W 0, przy czym x = W x W, y = W y W. Nie ma rozwiązań, gdy W = 0 i jednocześnie W 0 W 2 0, a także wówczas, gdy W = W x = W y = 0 oraz a = a 2 = b = b 2 = 0 i c 0 c 2 0. Ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru rzeczywistego, gdy W = W x = W y = 0 i co najmniej jedna z liczb a, a 2, b, b 2 jest różna od zera, albo od dwóch parametrów rzeczywistych, gdy a = a 2 = b = b 2 = c = c 2 = 0. Stąd układ (B) ma dokładnie jedno rozwiązanie (x, y), gdzie x = Wx W 2. = 5 5 = i y = Wy W = 0 5 = Przykład 4. W wolne miejsce wpisz tak dobrane równanie liniowe zmiennych x i y, aby otrzymany układ równań, miał a) dokładnie jedno rozwiązanie, b) nieskończenie wiele rozwiązań, c) nie miał rozwiązań. Przedstaw interpretację graficzną tak zaproponowanych układów równań.... = Rozwiązanie. Oznaczmy przez ax + by = c ogólną postać poszukiwanego równania, które należy wstawić
9 w układzie równań w wolne miejsce. Przyjmijmy, że b 0. Zapiszmy równania prostych l : i l 2 : ax + by = c z danego układu równań w tzw. postaci kierunkowej: l : y = 3 2 x l 2 : y = a b + c b dla b 0. a) Aby układ miał dokładnie jedno rozwiązanie, to prosta l powinna przecinać prostą l 2 dokładnie w jednym punkcie. To znaczy, że proste te nie mogą być równoległe, w szczególności nie mogą się pokrywać. Proste są równoległe, jeśli maja jednakowe współczynniki kierunkowe, czyli w naszym przypadku dla 3 2 = a b a = 3k i b = 2k dla pewnego k Z \ 0}. Jeżeli współczynniki a i b spełniają warunek: 3 2 a b to proste l i l 2 nie są równoległe i co za tym idzie przetną się w jednym punkcie. Zatem jeśli np. a = 3 i b = a = 5 i b = 2 a = 0 i b = 2, to dla dowolnego c, układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie. Proponowany układ będzie wtedy postaci: (4) 3x + y = 5x + 2 y = 7 2y = 4. Możemy oczywiście, podać wiele innych możliwych układów wartości współczynników a i b, dla których a b 3 2, a zatem dla których proste l i l 2, mają dokładnie jeden punkt wspólny, a układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie. Zauważmy, że z warunku a b 3 2 wynika, że 2a 3b 0, tzn., że W 0. b) Układ będzie miał nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli proste l i l 2 będą się pokrywały, to znaczy, gdy a = 3, b = 2 i c = 7, ale również gdy a = 3k i b = 2k i c = 7k dla pewnego k Z \ 0}. Proponowany układ równań będzie postaci 3kx + 2ky = 7k. Możemy zatem znów podać wiele takich układów wartości współczynników a, b, c, np. a = 2, b = 8 c = 28 (tu k = 4); a = 2, b = 8, c = 28 (tu k = 4), a = 3, b = 2 9, c = 7 9 (tu k = 9 ) itd. Charakterystyczne jest to, że a, b i c są proporcjonalne do odpowiednio 3, 2 i 7 z tym samym współczynnikiem proporcjonalności k Z \ 0}, tzn. k Z \ 0} Z warunku (5) wynika, że W = W x = W y = 0. a 3 = b 2 = c = k. (5) 7 c) Układ będzie sprzeczny, jeśli proste l i l 2 nie przetną się, to znaczy wtedy, gdy będą równoległe ale nie będą się pokrywały. Trzeba więc tak dobrać współczynniki a, b, c, aby współczynniki kierunkowe prostych były równe, a c 7, tzn. 3 2 = a b c 7,
10 co można też zapisać w postaci: k Z \ 0} a 3 = b 2 = k i c k. (6) 7 Warunek (6) zapisany za pomocą wyznaczników układu równań, oznacza, że W = 0 i W x 0 i W y 0. Weźmy a = 3, b = 2 i c = 5, a = 3 b = 2 c = 7 otrzymamy wtedy układ 3x + 2y = 5. 3x + 2y = 7. Przykład 5. Rozwiąż układy równań liniowych dwóch zmiennych metodą wyznaczników: (C) x + 2y = 3 2x 3y = (D) y + 2x = 3 4x 2y = 6 (E) 2x + 6y = 7 x + 3y =. Rozwiązanie. (C) W = = 7 0, W x = =, W y = 3 2 = 5. Ponieważ wyznacznik główny W 0, zatem układ (C) ma dokładnie jedno rozwiązanie (x, y), gdzie x = W x W = y = W y 7 W = 5 7. (D) Uporządkujmy w tym układzie kolumny niewiadomych tak, aby niewiadoma x z pierwszego równania stała nad niewiadomą x z drugiego równania, to znaczy zapiszemy układ (D) w postaci: 2x y = 3 Obliczymy wyznaczniki układu: W = = 0, W x = 4x 2y = = 0, W y = = 0. Wszystkie wyznaczniki są równe zero, zatem korzystając z Twierdzenia () wnioskujemy, że układ ten ma nieskończenie wiele rozwiązań. Widać też, że ponieważ równania są proporcjonalne (równanie pierwsze wystarczy pomnożyć przez 2, a otrzymamy równanie drugie układu), to każda para (x, y), która spełnia jedno z równań spełnia jednocześnie równanie drugie. Wyznaczmy jedną z niewiadomych np. z równania pierwszego: 2x y = 3 y = 2x 3. Stąd rozwiązaniem równania 2x y = 3 jest każda para liczb postaci (x, y) = (x, 2x 3). Jednocześnie widać, że ta para spełnia również równanie drugie (dzieje się tak dzięki proporcjonalności tych dwóch równań): 4x 2(2x 3) = 6 6 = 6. Zatem rozwiązaniem układu (D) są pary liczb postaci (x, 2x 3), gdzie pod x możemy podstawić dowolną liczbę rzeczywistą, stąd wynika nieskończona liczba rowiązań układu. (E) Obliczymy wyznaczniki układu (E): W = = 0, W x = 2 7 = 5 0
11 Nie ma potrzeby by obliczać wartość wyznacznika W y, bo W = 0, a W x 0, tzn., że co najmniej jeden z wyznaczników W x, W y jest różny od 0, zatem zgodnie z Twierdzeniem (), układ równań nie ma rozwiązań. Przykład 6. Rozwiąż układ równań (F ) x+y+ + 5 x y+ = 2 3 x+y 5 x y+ = 2. Rozwiązanie. Do dziedziny tego układu równań należą takie pary (x, y), x, y R, że y + x i y x, tzn. (x, y) (x, + x) i (x, y) (x, x), x R. Wprowadzimy pomocnicze niewiadome u i t. Niech u = x+y i t = x y+, zatem równoważny układ równań, o niewiadomych u i t przyjmie postać u + 5 t = 2 3 u 5 t = 2. Dodajmy stronami równanie drugie do pierwszego. Otrzymamy u t = 2 3 u 5 u = 4 u = 3 t = 2 u 5 3 t = 2 u 5 t = 2 u = t = 5. Para (x, y) jest rozwiązaniem układu (F ) wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony będzie następujący układu równań liniowych: x + y = x y + = 5. Dodając stronami równanie drugie do pierwszego w tym układzie, otrzymamy układ równoważny: 2x = 6 x = 3 x y + = 5. y =. Rozwiązaniem układu (F ) jest para liczb: x = 3 i y =. Przykład 7. Rozwiąż układ równań (G) x + y 5 = x y = 5. Rozwiązanie. Pomnóżmy równanie drugie przez i dodajmy je stronami do równania pierwszego. Otrzymamy x + y 5 = x y = 5 / ( ) y + y 5 = 6 x y = 5. Rozważmy dwa przypadki y 5, y < 5 i zapiszmy odpowiednie układy równoważne. o Dla y 5, znak wartości bezwzględnej w wyrażeniu y 5 opuszczamy bez zmiany znaku: y + y 5 = 6 x y = 5 2y = x y = 5 y = 2 x = Stąd y = 2 x = 2. y = 2 x = 2 y = 2 x = 2
12 Zatem y = 2 x = 3 2 y = 2 x = 2. Oczywiście para (x, y) = ( 2, 2 ) spełnia warunek y 5, zatem jest rozwiązaniem układu (G). Rozważmy drugi przypadek. 2 o Dla y < 5, znak wartości bezwzględnej w wyrażeniu y 5 opuszczamy ze zmianą znaku: y y + 5 = 6 x y = 5 5 = 6 x y = 5. Otrzymany układ jest sprzeczny, zatem dla y < 5 układ (G) nie ma rozwiązań. Podsumowując, układ (G) ma dwa rozwiązania: (x, y ) = ( 3 2, 2 ), (x 2, y 2 ) = ( 2, 2 ). Przykład 8. Rozwiąż układ równań w zależności od wartości parametrów a, b R. ax by = a 2 + b 2 x + y = 2a Rozwiązanie. Zastosujemy metodę wyznaczników. Mamy odpowiednio: W = a b = a + b, W x = a2 + b 2 b 2a Korzystając z Twierdzena mamy: Dla a b układ ma dokładnie jedno rozwiązanie x = a + b y = a b. = (a + b) 2, W y = a a2 + b 2 2a = a 2 b 2. Jeżeli a + b = 0, to a = b, zatem W = 0, W x = 0 i W y = 0, czyli dla a = b układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. o Jeśli a = b = 0, to układ przyjmuje postać 0x 0y = 0 x + y = 0. 0 = 0 y = x. Jego rozwiązaniem jest każda para liczb (x, y) = (x, x), gdzie x R. 2 o Jeśli a = b, i b 0 (wtedy również a 0) to możemy pierwsze równanie podzielić przez a i dodać stronami do drugiego. Otrzymamy ax + ay = 2a 2 x + y = 2a x + y = 2a. 0 = 0 Rozwiązaniem tego układu są pary (x, y) = (x, 2a x), dla dowolnego x R. Ten układ równań dla żadnych wartości parametrów a, b nie jest sprzeczny, bo jeśli W = 0, to a = b i co za tym idzie W x = 0 i W y = 0. Podsumowując mamy: a b jedno rozwiązanie (x, y) = (a + b, a b); a = b nieskończenie wiele rozwiązań : a = b = 0 (x, y) = (x, x) a = b 0 (x, y) = (x, 2a x).
13 Przykład 9. Rozwiąż układ równań w zależności od wartości parametrów a, b R \ 0}. x a + y b = x b + y a = Rozwiązanie. Raz jeszcze zastosujemy metodę wyznaczników. Mamy odpowiednio: W = a b b a = a 2 b 2, W x = b a = a b, W y = a b = a b. ( ) Jeśli a b i a b, to układ jest oznaczony, ma jedno rozwiązanie postaci (x, y) = ab b+a, ab b+a. Jeśli a = b, to W = 0 i W x = 0 i W y = 0, zatem układ ma nieskończenie wiele rozwiązań postaci (x, y) = (x, a x), gdzie x R. Jeśli a = b, to W = 0 i W x = 2 a 0, zatem układ jest sprzeczny, nie ma rozwiązań. Układy równań liniowych z trzema niewiadomymi. Układy równań liniowych z trzema niewiadomymi rozwiązujemy metodą podstawiania przeciwnych znaków. Można też wprowadzić tu metodę wyznaczników. Jednakże my ograniczymy się do dwóch pierwszych metod. Przykład 0. Rozwiąż układ trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi x 8y + 2z = 8 (F ) 2y + 3z = 2x + 4y z = 9. Rozwiązanie. Zastosujemy metodę przeciwnych współczynników. Drugie równanie pomnóżmy przez 4 i dodajmy stronami do równania pierwszego, następnie pomnóżmy je przez 2 i dodajmy do równania trzeciego. x 8y + 2z = 8 2y + 3z = 2x + 4y z = 9 x + 4z = 2 2y + 3z = 2x 7z = Teraz pomnóżmy pierwsze równanie przez 2 i dodajmy je stronami do równania trzeciego. Otrzymamy x + 4z = 2 2y + 3z = 35z = 35 x 4 = 2 2y 3 = z = x = 2 y = z = Układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie, jest nim trójka liczb (x, y, z) = (2,, ). Zadania. Zapisz bez użycia wartości bezwzględnej 2, (π 4) 2, x Korzystając z interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej rozwiąż równanie x+2 = x Rozwiąż równania
14 a) x = x, b) 3 x 3 + x = 5, c) x + x + x + = Rozwiąż nierówności a) 4x+ 2x 3 > 2, b) x 2 2x 3 0, c) 3x 3 6 3x, d) x + x + 2 0, e) x + x + + x Rozwiąż równanie sin x = sin 2x. 6. Wykaż, że: a) sin x + cos dla x R, b) a sin x + b sin x a 2 + b 2 dla a, b, x R. 7. Naszkicuj wykresy funkcji f(x) = x + x + + x + 2, g(x) = x 3 x. 8. Rozwiąż układy równań metodą wyznaczników i metodą przeciwnych współczynników (H) x y = 2x 2y = 2, (I) 2x y = 3 + x x y = 6 (J) x y = 2 2x 2y = 9. Rozwiąż układ równań (K) x + y = 5 3 x 5 y = 9, 0. Bryła mosiądzu (stop miedzi i cynku) waży 67 kg. Ile waży miedź, a ile cynk znajdujące się w bryle, jeżeli po zanurzeniu w wodzie traci ona (pozornie) na ciężarze 8kg, a ciężary właściwe miedzi i cynku wynoszą odpowiednio 8, 9 kg / dm 3 i 6, 9 kg / dm 3? Wskazówka: dm 3 wody waży kg.. Statek płynie z prądem rzeki z prędkością 8 km/h, a pod prąd z prędkością 4 km/h. Obliczyć prędkość własną statku i prędkość prądu rzeki. 2. Rozwiąż układy trzech równań z trzema niewiadomymi: (L) 2x 3y + 5z = x + 4y 7z = 2 3x + 2y + 8z = 3 (M) 5 x 2 y + 3 z = x + 3 y + z = 5 2 x + 4 y 2 z = Rozwiąż układ równań w zależności od wartości parametru m R. (m )x + 2y = x + my = 4. Dla jakich wartości parametru m rozwiązaniem układu 2x + 8(m 2 + ) = 5 x + 5m 2 y = 2 jest para liczb dodatnich?
15 5. Dla jakich wartości parametru m każde rozwiązanie układu x + my = 3 mx + 4y = 6 spełnia warunek x > i y > 0? 6. Dla jakich wartości parametru m układ (m )x + 3y = 5 mx 2y = 4 nie ma rozwiązań? Podaj interpretację geometryczną tego układu. 7. Rozwiąż układ równań x + y = x 2 + (y ) 2 = 8. Podaj interpretację geometryczną tego układu. Oblicz pole i obwód figury, do której należy początek układu XOY i ograniczonej liniami określonymi równaniami tego układu. 8. Rozwiąż układy równań: (A) x 2 + xy = 0 y 2 + xy = 5 (B) x y = 2 x 4y = 0 (C) 4x 3 + 4xy 2 = 0 4y 3 + 4yx 2 = 0 9. Dla jakich wartości parametru m układ równań (x ) 2 + (y + ) 2 = (x 5) 2 + (y 2) 2 = m ma więcej niż jedno rozwiązanie? 20. Wyznacz wartości parametru m, dla których układ x 2 + y 2 = 9 my 2 x = 3 ma dokładnie jedno rozwiązanie. 2. Rozwiąż układy: x y 2 y + x 6 x + 3y 0, x + y 3x + y 3 y x =. Odpowiedzi. 2, 4 π, x 2 + ; 2. x = 3; 3. a) x 0, b) x = 2 x = 4 3, c) x = 0 ; ) [ ], e) x 4 3 ; 2 ; ( 4. a) x < 5 8, b) x R, c) x ( 2 ; ) 3 2 ), ; d) x (, x = π 3 + 2kπ x = 4 3π + 2kπ dla k Z; 8. (H)- układ nieoznaczony, rozwiązania postaci (x, y) = (x, x ), (I) - układ oznaczony, rozwiązanie (x, y) = ( 3, 9), (J)- układ sprzeczny, brak rozwiązań; 9. x = 2, y = 3 ; 0. 53, 4 kg, 3, 8 kg;
16 . 6 km/h; 2. (L) - (x, y, z) = (, 2, 3), (M)- (x, y, z) = ( 6, 3, 4); 3. dla m i m 2 jedno rozwiązanie (x, y) = ( ( dla m = 2 nieskończenie wiele rozwiązań postaci x, x 2 m+, ) m+ ; ), dla m = brak rozwiązań, 4. m ( 4 3 ; 4 3 ); 5. m ( 2; 2) m (2, 4); 6. m = 2 5 ; 7. (x, y) = ( 2, ) (x, y) = (2, ), P = 2π, L = (4 + π) 2; 8. (A)- (x, y) = ( 2, 3) (x, y) = (2, 3), (B)- (x, y) = (6, 4), (C)- (x, x) (x, x), gdzie x R; 9. t (6; 36); 20. m = 0 m = 6.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
1.UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
UKŁADY RÓWNAŃ 1.UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Układ: a1x + b1y = c1 a x + by = c nazywamy układem równań liniowych. Rozwiązaniem układu jest kaŝda para liczb spełniająca kaŝde z równań. Przy rozwiązywaniu układów
FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie
Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska
Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska . Wprowadzenie pojęcia funkcji liniowej w nauczaniu matematyki w gimnazjum. W programie nauczania matematyki w
3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.
Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w
Teoria. a, jeśli a < 0.
Teoria Definicja 1 Wartością bezwzględną liczby a R nazywamy liczbę a określoną wzorem a, jeśli a 0, a = a, jeśli a < 0 Zgodnie z powyższym określeniem liczba a jest równa odległości liczby a od liczby
Układy równań i nierówności
Układy równań i nierówności Zad : Dla jakich wartości parametru m rozwiązaniem układu równań: + y m = 0 + y = 0 y jest para liczb x, y spełniająca warunek: =? x Odp: m = lub m = 4 Zad : Dla jakich wartości
Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi
Układy równań Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca 2014 1 Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi 1.1 Pojęcie układu i rozwiązania układu Układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY Warszawa 2019 LICZBY RZECZYWISTE stosować prawidłowo pojęcie zbioru, podzbioru, zbioru pustego; zapisywać zbiory w różnej postaci
Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności
Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy
ROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY I LICEUM I TECHNIKUM (ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ
ROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY I LICEUM I TECHNIKUM (ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ ZBIORY TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ Z
Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych
Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych 13 maja 2005 1 Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1 (równanie liniowe). Równaniem liniowym będziemy nazwyać równanie postaci: ax = b, gdzie x oznacza niewiadomą,
Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Próbna matura rozszerzona (jesień 01 r.) Zadanie 18 kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie 18. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu
PLAN WYNIKOWY PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY
PLAN WYNIKOWY PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY Copyright by Nowa Era Sp. z o.o. Warszawa 019 Liczba godzin TEMAT ZAJĘĆ EDUKACYJNYCH Język matematyki 1 Wzory skróconego mnożenia 3 Liczby pierwsze,
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
FUNKCJA LINIOWA. A) B) C) D) Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. A) B) C) D)
FUNKCJA LINIOWA 1. Funkcja jest rosnąca, gdy 2. Wskaż, dla którego funkcja liniowa jest rosnąca Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. 3. Funkcja liniowa A) jest malejąca i jej
Rozkład materiału a wymagania podstawy programowej dla I klasy czteroletniego liceum i pięcioletniego technikum. Zakres rozszerzony
Rozkład materiału a wymagania podstawy programowej dla I klasy czteroletniego liceum i pięcioletniego technikum. Zakres rozszerzony ZBIORY TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013
Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje
Pendolinem z równaniami, nierównościami i układami
Pendolinem z równaniami, nierównościami i układami 1. Równaniem nazywamy równość dwóch wyrażeń algebraicznych. Równaniami z jedną niewiadomą są, np. równania: 2 x+3=5 x 2 =4 2x=4 9=17 x 3 2t +3=5t 7 Równaniami
Funkcja liniowa i prosta podsumowanie
Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Definicja funkcji liniowej Funkcja liniowa określona jest wzorem postaci: y = ax + b, x R, a R, b R a, b współczynniki funkcji dowolne liczby rzeczywiste a- współczynnik
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci
Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga.
Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga. Funkcja liniowa. Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli: - rozpoznaje funkcję liniową
Układy równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY I. Funkcja liniowa dopuszczającą jeżeli: wie, jaką zależność między dwiema wielkościami zmiennymi nazywamy
Wstęp do analizy matematycznej
Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w
Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ
KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ TREŚCI KSZTAŁCENIA WYMAGANIA PODSTAWOWE WYMAGANIA PONADPODSTAWOWE Liczby wymierne i
FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI
FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI DEFINICJA (funkcji elementarnych) Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe wykładnicze logarytmiczne trygonometryczne Funkcje, które można
Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO
Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO Dział programowy. Zakres realizacji 1. Liczby, działania i procenty Liczby wymierne i liczby niewymierne-działania, kolejność
Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Klasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:
Klasa 1 technikum Przedmiotowy system oceniania wraz z wymaganiami edukacyjnymi Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i
Wymagania edukacyjne z matematyki
Wymagania edukacyjne z matematyki Liceum Ogólnokształcące Klasa I Poniżej przedstawiony został podział wymagań edukacyjnych na poszczególne oceny. Wiedza i umiejętności konieczne do opanowania (K) to zagadnienia,
Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum
Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: 1. JĘZYK MATEMATYKI I FUNKCJE LICZBOWE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą
Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE
Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje
Matematyka licea ogólnokształcące, technika
Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem
( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x
Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy
Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne
Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne Paweł Foralewski Teoria Ponieważ funkcje wykładnicza i logarytmiczna zostały wprowadzone wcześniej, tutaj przypomnimy tylko definicję logarytmu i jego
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15
1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Indukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012
1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY Copyright by Nowa Era Sp. z o.o. Warszawa 2019 LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koniecznych lub podstawowych
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY (zakres podstawowy) klasa 2 1. Funkcja liniowa Tematyka zajęć: Proporcjonalność prosta Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej Miejsce zerowe funkcji liniowej.
FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c
FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie
MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza
MATeMAtyka 1 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III Program nauczania matematyki w gimnazjum Matematyka dla przyszłości DKW 4014 162/99 Opracowała: mgr Mariola Bagińska 1. Liczby i działania Podaje rozwinięcia
Rozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, )
FUNKCJE WYMIERNE Definicja Miech L() i M() będą niezerowymi wielomianami i niech D { R : M( ) 0 } Funkcję (*) D F : D R określoną wzorem F( ) L( ) M( ) nazywamy funkcją wymierną Funkcja wymierna, to iloraz
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność rozwiązywania
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI (zakres podstawowy) Rok szkolny 2017/2018 - klasa 2a, 2b, 2c 1. Funkcja
Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:
Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, 6 11 6 11, tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Uprośćmy najpierw liczby dane w treści zadania: 8 2, 2 2 2 2 2 2 6 11 6 11 6 11 26 11 6 11
PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016
PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016 Wymagania wykraczające zawierają w sobie wymagania dopełniające, te zaś zawierają wymagania podstawowe. Ocenę dopuszczającą powinien otrzymać
FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI
FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI. Napisz równanie prostej przechodzącej przez początek układu i prostopadłej do prostej 3x-y+=0.. Oblicz pole trójkąta ograniczonego osiami układy i prostą x+y-6=0. 3. Odcinek o
FUNKCJA LINIOWA. Zadanie 1. (1 pkt) Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej y = ax + b.
FUNKCJA LINIOWA Zadanie 1. (1 pkt) Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej y = ax + b. Jakie znaki mają współczynniki a i b? R: Przedstawiona prosta, jest wykresem funkcji
Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013
Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne
Wykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Zadanie 1 (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale 1 pkt Przekształcenie równania do postaci: 2 pkt Przekształcenie równania
Repetytorium z matematyki ćwiczenia
Spis treści 1 Liczby rzeczywiste 1 2 Geometria analityczna. Prosta w układzie kartezjańskim Oxy 4 3 Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie kartezjańskiej 6 4 Dziedzina i wartości funkcji 8 5 Funkcja liniowa
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność
Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:
Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego.
WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego. 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych,
Algebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Geometria analityczna - przykłady
Geometria analityczna - przykłady 1. Znaleźć równanie ogólne i równania parametryczne prostej w R 2, któr przechodzi przez punkt ( 4, ) oraz (a) jest równoległa do prostej x + 5y 2 = 0. (b) jest prostopadła
1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)
1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji
2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24
SPIS TREŚCI WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI ALGEBRAICZNE 7 Wyrażenia algebraiczne 0 Równania i nierówności algebraiczne LICZBY RZECZYWISTE 4 Własności liczb całkowitych 8 Liczby rzeczywiste
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności
Liczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.
MATEMATYKA Z SENSEM Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Klasa I Zakres podstawowy i rozszerzony Wymagania konieczne (K)
Przedmiotowe zasady oceniania i wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy drugiej gimnazjum
Przedmiotowe zasady oceniania i wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy drugiej gimnazjum I. POTĘGI I PIERWIASTKI oblicza wartości potęg o wykładnikach całkowitych liczb różnych od zera zapisuje liczbę
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
Projekt dofinansowała Fundacja mbanku UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH CZĘŚĆ I Układ równań to przynajmniej dwa równania spięte z lewej strony klamrą, np.: x + 0 Każde z równań musi zawierać przynajmniej jedną
WYMAGANIA EDUKACYJNE - matematyka - poziom rozszerzony Dariusz Drabczyk
WYMAGANIA EDUKACYJNE - matematyka - poziom rozszerzony Dariusz Drabczyk str 1 Klasa 1d: wpisy oznaczone jako: LICZBY RZECZYWISTE, JĘZYK MATEMATYKI, FUNKCJA LINIOWA, (F) FUNKCJE, FUNKCJA KWADRATOWA. Przypisanie
Funkcja liniowa - podsumowanie
Funkcja liniowa - podsumowanie 1. Funkcja - wprowadzenie Założenie wyjściowe: Rozpatrywana będzie funkcja opisana w dwuwymiarowym układzie współrzędnych X. Oś X nazywana jest osią odciętych (oś zmiennych
Geometria analityczna
Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem
1. LICZBY DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA L.P. NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia
L.P. DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia 1. LICZBY 1. Znam pojęcie liczby naturalne, całkowite, wymierne, dodatnie, ujemne, niedodatnie, odwrotne, przeciwne. 2. Potrafię zaznaczyć
FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.
FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik DOPUSZCZAJĄCY DOSTATECZNY DOBRY BARDZO DOBRY LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej. rozumie rozszerzenie
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze I. Funkcja i jej własności POZIOM PODSTAWOWY Pojęcie
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany
Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź.
ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaniach -5 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Zadanie. ( pkt) Wskaż rysunek, na którym zaznaczony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność
ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM.
I. Funkcje. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM. 1. Pojęcie funkcji i jej dziedzina. 2. Zbiór wartości funkcji. 3. Wykres funkcji liczbowej i odczytywanie jej własności
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz
I. Liczby i działania
I. Liczby i działania porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej, zamieniać ułamki zwykłe na dziesiętne i odwrotnie, zaokrąglać liczby do danego rzędu, szacować wyniki działań,
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
CIĄGI wiadomości podstawowe
1 CIĄGI wiadomości podstawowe Jak głosi definicja ciąg liczbowy to funkcja, której dziedziną są liczby naturalne dodatnie (w zadaniach oznacza się to najczęściej n 1) a wartościami tej funkcji są wszystkie
Rozkład materiału nauczania
Dział/l.p. Ilość godz. Typ szkoły: TECHNIKUM Zawód: TECHNIK USŁUG FRYZJERSKICH Rok szkolny 2016/2017 Przedmiot: MATEMATYKA Klasa: II 96 godzin numer programu T5/O/5/12 Rozkład materiału nauczania Temat
SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II
Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 10.1.010r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f (x) = x 4x + 3 x + x + log arc sin 1 x. Rozwiązanie. Wymagane
Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym.
Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany
Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych
Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki 3 semestr LO dla dorosłych I. Sumy algebraiczne 1. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych 2. Mnożenie sum algebraicznych 3. Wzory skróconego mnożenia - zastosowanie
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone
Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające
MATeMAtyka 1 lan wynikowy: Zakres podstawowy i rozszerzony Oznaczenia: wymagania konieczne; wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Temat lekcji
Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie