Iloraz różnicowy Niech x 0 R i niech funkcja y = fx) będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Niech x oznacza przyrost argumentu x może być ujemny!). Wtedy przyrost wartości funkcji wynosi: y = fx + x) fx). Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x 0 odpowiadającym przyrostowi argumentu x nazywamy: y fx + x) fx) =. x x Przykład Obliczyć ilorazy różnicowe dla następujących danych: a) fx) = x, x 0 =, x = 0, ; b) fx) = log x, x 0 =, x = 0, 9. Iloraz różnicowy ma prostą interpretację geometryczną. Jeśli przez dwa punkty x 0, fx 0 )), x 0 + x, fx 0 + x) należące do wykresu funkcji y = fx) poprowadzimy prostą nazywamy ją sieczną wykresu funkcji), to iloraz różnicowy jest równy tangensowi jej kąta nachylenia do osi Ox. Krócej: iloraz różnicowy jest współczynnikiem kierunkowym siecznej. Pochodna Definicja Niech x 0 R i niech funkcja y = fx) będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Pochodną funkcji f w punkcie x 0 nazywamy granicę: f x 0 ) = lim x 0 fx + x) fx). x Liczbę tę oznaczamy y x 0 ), df x dx 0), dy x dx 0), lub Dfx 0 ). Przykład Obliczyć z definicji pochodną: a) fx) = x, x 0 R; b) fx) = sin x, x 0 R. Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych c) = 0 x α ) = αx α, gdzie α R \ Z sin x) = cos x cos x) = sin x tg x) = cos x = + tg x ctg x) = sin x = ctg x a x ) = a x ln a gdzie 0 < a e x ) = e x log a x) = x ln a ln x) = x
arc sin x) = arc cos x) = x x arc tg x) = + x arc ctg x) = + x sinh x) = cosh x cosh x) = sinh x tgh x) = cosh x ctgh x) = sinh x Twierdzenie o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu) Jeżeli funkcje f i g mają pochodne w punkcie x 0, to. f + g) x 0 ) = f x 0 ) + g x 0 );. f g) x 0 ) = f x 0 ) g x 0 ); 3. cf) x 0 ) = cf x 0 ), gdzie c R; 4. fg) x 0 ) = f x 0 )gx 0 ) + fx 0 )g x 0 ); 5. ) f x0 ) = f x 0 )gx 0 fx 0 )g x 0 ) g g x 0, o ile gx 0 ) 0. Interpretacja geometryczna pochodnej Ponieważ: iloraz różnicowy jest współczynnikiem kierunkowym siecznej; sieczna dąży do stycznej do wykresu funkcji w punkcie x 0 gdy x 0); więc mamy wniosek: Pochodna funkcji w punkcie x 0 jest współczynnikiem kierunkowym stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie. Zatem równanie stycznej do wykresu funkcji y = fx) w punkcie x 0 ma postać: y = fx 0 ) + f x 0 )x x 0 ). Przykłady Napisać równania stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach: ) y = cos x, π/, 0); ) y = 4 x, 6, ). Z zagadnieniem wyznaczania stycznej wiąże się obliczanie kąta między krzywymi. Przez kąt przecięcia krzywych rozumiemy kąt ostry ϕ, jaki tworzą styczne do tych krzywych
w punkcie ich przecięcia. Niech krzywe y = fx) i y = gx) przecinają się w punkcie x 0, y 0 ). Jeśli α, β oznaczają kąty jakie tworzą styczne do tych krzywych w punkcie x 0, y 0 )) z osią Ox, to ze wzoru na tangens różnicy kątów mamy: tgα β) = tg α tg β + tg α tg β, Po uwzględnieniu, że tg α = f x 0 ), tg β = g x 0 ) otrzymamy wzór: f x 0 ) g x 0 tg ϕ = + f x 0 )g x 0. Wartość bezwzględna daje pewność, że wyznaczone z tego wzoru ϕ będzie miarą kąta ostrego. Przykłady Obliczyć kąty przecięcia krzywych: a) fx) = x, gx) = 4 x ; b) fx) = x, gx) = x 3. Interpretacja fizyczna pochodnej Załóżmy, że punkt materialny porusza się prostoliniowo, i droga przebyta w czasie t wynosi st). Przyrost drogi od czasu t 0 do czasu t 0 + t wynosi st 0 + t) st 0 ), a iloraz st 0+ t) st 0 ) t jest prędkością średnią. Granica tego ilorazu a więc pochodna s t 0 )) jest prędkością chwilową w momencie t 0. Ogólniej, w zastosowaniach fizycznych pochodna pojawia się wtedy, gdy mamy do czynienia ze zmianą jakiejś wielkości. Jeżeli tę zmianę potrafimy wyrazić jako funkcję czasu, to pochodną tej funkcji interpretujemy jako prędkość zmiany. Wyżej mieliśmy drogę jako funkcję czasu pochodna jest wtedy prędkością ruchu. Jeżeli mielibyśmy prędkość vt) jako funkcję czasu, to pochodna byłaby przyspieszeniem ruchu. Gdy Qt) oznacza ilość ładunku elektrycznego przepływającego przez przewodnik w czasie t, to Q t) jest natężeniem prądu it), i.t.d. Przykład Ropa z uszkodzonego tankowca wycieka ze stałą prędkością V = 0 m3 min i tworzy plamę kołową o grubości d = mm. Obliczyć z jaką prędkością będzie powiększała się średnica plamy ropy w chwili, gdy będzie miała średnicę D = 000 m. Twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej) Jeżeli. funkcja f ma pochodną w punkcie x 0,. funkcja g ma pochodną w punkcie fx 0 ), to g f)x 0 ) = g fx 0 )) f x 0 ). Przykłady.. 3. y = 3 x + cos x; y = 3x 3 + cos 3 x) 4 ; y = tgx 3x ). 3
Twierdzenie 3 o pochodnej funkcji odwrotnej) Jeżeli. funkcja f jest ciągła i ściśle monotoniczna na otoczeniu Ox 0 ) punktu x 0,. funkcja f ma pochodną f x 0 ) 0, to f ) y 0 ) = f x 0 ), gdzie y 0 = fx 0 ). Przykład Uzasadnić wzór arc sin x) = x. Pochodna logarytmiczna Jeżeli funkcja y = ln fx) jest różniczkowalna, to jej pochodną nazywamy pochodną logarytmiczną funkcji f. Mamy więc ln fx)) = f x) fx), f x) = fx) ln fx)). Ten ostatni wzór stosujemy, gdy pochodna logarytmiczna jest łatwiejsza do obliczenia niż zwykła, tj. gdy mamy skomplikowany iloczyn który przez logarytmowanie zamienia sie na sumę) lub potęgę, w której x występuje i w liczniku, i w mianowniku i wtedy nie ma żadnych bezpośrednich wzorów na pochodne). Przykłady. fx) = 4 x x + ) sin x cos 4 x;. fx) = x x. W przykładzie można również zastosować wzór: 3 Różniczka fx) gx) = e gx) ln fx). Definicja Niech funkcja fx) ma pochodną w punkcie x 0. Różniczką funkcji f w punkcie x 0 nazywamy funkcję df zmiennej x = x x 0 określoną wzorem df x) = f x 0 ) x. Różniczkę oznaczamy też symbolem dy. Uwaga. Przyjmujemy dx = x, więc wzór powyższy można zapisać także: df x) = f x 0 )dx. Przyrost y = fx 0 + x) fx 0 ) nie jest równy różniczce dy. Ale różnica między przyrostem a różniczką jest niewielka dla małych x, a nawet można wykazać, że dąży szybciej do zera niż x tzn. np. jeśli x jest rzędu setnych, to różnica y dy jest rzędu tysiącznych. Przykład Obliczyć przyrost i różniczkę funkcji y = x 3 w punkcie x 0 = dla x = 0, 4. Odp.: y = 5, 84) Gdy x = 0, 04, to y = 0, 4897, dy = 0, 48). 4
Zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych i szacowania błędów pomiarów Jeżeli funkcja f ma pochodną w punkcie x 0, to fx 0 + x) fx 0 ) + f x 0 ) x. Ponadto błąd jaki popełniamy zastępując przyrost f różniczką df dąży szybciej do zera niż x, tzn. f df lim = 0. x 0 x Przykład Obliczyć przy pomocy różniczki ln, 004. Przypuśćmy teraz, że wielkość fizyczna y jest funkcją innej wielkości x, którą jesteśmy w stanie zmierzyć: y = fx). Pomiar jest zawsze związany z pewnym błędem, i należy oszacować jak wpływa on na błąd obliczeń wielkości y. Jeżeli błąd bezwzględny pomiaru wynosi x, to błąd bezwzględny obliczanej wielkości y wyraża się wzorem: y f x 0 ) x. Po obliczeniu błędów bezwzględnych można obliczyć błędy względne: δ x = x x, δ y = y y. Błędy względne wyrażamy najczęściej w procentach. Przykład Krawędź sześcianu zmierzono z dokładnością ± mm i otrzymano 5 mm. Z jaką dokładnością można obliczyć pole powierzchni całkowitej sześcianu, a z jaką jego objętość? Podać błędy bezwzględne i względne. 4 Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu n definiujemy indukcyjnie: y n) = y n ) ) dla n =, 3, 4,.... Przyjmuje się także oznaczenie y 0 = y pochodna rzędu 0 jest równa funkcji). Dla pochodnych niewielkich rzędów można pisać: y, y, y IV, y V, y V I, i.t.d. Przykład Obliczyć sin x) n). Obliczamy kolejno: sin x) = cos x = sinx + π/), i.t.d. Odgadujemy stąd wzór: sin x) = cos x) = sin x = sinx + π), sin x) = sin x) = cos x = sinx + 3π/), sin x) IV = cos x) = sin x = sinx + π), sin x) n) = sinx + nπ/). Formalny dowód wzoru można uzyskać stosując indukcję matematyczną. Podobnie można uzyskać wzory: cos x) n) = cosx + nπ/), 5
i inne. Zauważmy też, że e x ) n) = e x. ) n) = )n n!, x x n+ ln x) n) = )n n )! x n, 5 Twierdzenia o wartości średniej Twierdzenie 4 Rolle a) Jeżeli funkcja f spełnia warunki:. jest ciągła na [a, b],. ma pochodną na a, b), 3. fa) = fb), to istnieje punkt c a, b) taki, że f c) = 0. Geometryczny sens twierdzenia Rolle a jest taki, że na wykresie funkcji ciągłej, gładkiej, tzn. nie mającej kantów ) i przyjmującej na końcach przedziału jednakowe wartości, można znaleźć punkt, w którym styczna jest pozioma, tj. równoległa do osi Ox. Twierdzenie 5 Lagrange a) Jeżeli funkcja f spełnia warunki:. jest ciągła na [a, b],. ma pochodną na a, b), to istnieje punkt c a, b) taki, że f c) = fb) fa). b a W porównaniu z twierdzeniem Rolle a mamy jedno założenie mniej. Funkcja nie musi przyjmować na końcach przedziału jednakowych wartości, a skutek jest taki, że styczna nie musi już być równoległa do osi Ox. Teza twierdzenia Lagrange a głosi, że można znaleźć punkt, w którym styczna jest równoległa do siecznej przechodzącej przez punkty a, fa)), b, fb)). Przykłady Znaleźć liczbę c, o której mowa w twierdzeniu Lagrange a, gdy:. fx) = x x 3, x ;. fx) = arc cos x, x. Ważne wnioski z twierdzenia Lagrange a dotyczą badania monotoniczności funkcji. Wniosek Niech I oznacza dowolny przedział, na którym określona jest funkcja f. Jeżeli dla każdego x I:. f x) = 0, to f jest stała na przedziale I;. f x) > 0, to f jest rosnąca na przedziale I; 6
3. f x) < 0, to f jest malejąca na przedziale I. Przykład Znaleźć przedziały monotoniczności funkcji:. fx) = x. +x. fx) = x 4 4 3 x3 + 3. Wniosek Niech funkcje f i g będą określone na przedziale I R oraz niech x 0 I. Wtedy, jeżeli:. fx 0 ) = gx 0 ),. x I f x) = g x), to f g na I. Przykłady Uzasadnić tożsamości dla x ): arc sin x + arc cos x = π/; sinarc cos x) = x. 6 Wzór Taylora Niech dana będzie funkcja f mająca w punkcie x 0 pochodne do rzędu k włącznie. Wtedy można utworzyć wielomian: P k x) = fx 0 ) + f x 0 )! x x 0 ) + f x 0 )! x x 0 ) + + f k) x 0 ) x x 0 ) k. k! Ten wielomian nazywamy wielomianem Taylora funkcji f. W szczególnym przypadku, gdy x 0 = 0, nazywa się go wielomianem Maclaurina. Przykład Napisać wielomiany P x), P x), P 3 x), P 4 x) dla funkcji fx) = sin x w punkcie x 0 = π/. Oblicamy kolejne pochodne: sin x) = cos x, sin x) = sin x, sin x) = cos x, sin x) IV = sin x, a następnie ich wartości w π/; są to kolejno 0,, 0,. Ponadto fx 0 ) = sin π =. Zatem P x) = + 0 x π ) =, P x) = + 0 x π ) x π ) =! P 3 x) = + 0 x π ) x π ) 0 +! 3! P 4 x) = +0 x π ) x π ) + 0 x π! 3! x π ) 3+ 4! Twierdzenie 6 wzór Taylora) Jeżeli funkcja f ma:. ciągłą pochodną rzędu n na [x 0, x], 7 x π ), ) 3 = x π ) 4 = x π ), x π ) + x π ) 4 4
. pochodną f n) na x 0, x), to istnieje punkt c x 0, x) taki, że fx) = fx 0 )+ f x 0 )! x x 0 )+ f x 0 )! x x 0 ) + + f n ) x 0 ) n )! x x 0 ) n + f n) c) x x 0 ) n. n! Ostatni wyraz nazywamy resztą wzoru Taylora i oznaczamy R n x). Zatem wzór Taylora można zapisać krócej: fx) = P n x) + R n x). Dla x 0 = 0 otrzymujemy wzór Maclaurina: fx) = f0) + f 0)! Przykłady Napisać wzór Taylora dla: ) fx) = e x, x 0 =, n = 4; ) fx) = x x, x 0 =, n = 4; 3) fx) = cos x, x 0 = π, n = 6. x) + f 0) x) + + f n ) 0)! Warto znać wzory Maclaurina następujących funkcji: n )! x)n + f n) c) x) n. n! e x = + x + x + x3 3! + + xn n )! + ec n! xn, sin x = x x3 3! + x5 5! + + sinc + n π) x n, n! cos x = x! + x4 4! + + cosc + n π) x n, n! ln + x) = x x + x3 3 x4 4 + + )n+ x n n + c) n. Dzięki wzorom tego typu można tworzyć rozmaite wzory przybliżone. Zasada jest taka: ponieważ reszta R n x) dąży do 0 gdy n, więc im większe jest n, tym lepiej wielomian P n x) przybliża wartość funkcji fx). Błąd jaki popełniamy wynosi R n x), i tę wielkość należy oszacować. Przykłady Oszacować dokładności wzorów przybliżonych:. sin x x x3 6 dla x < π 6 ;. ln + x) x x dla x < 0. Pierwszy wzór otrzymujemy ze wzoru Maclaurina dla funkcji sin x i n = 5: sin x = x x3 3! + cos c x 5. 5! 8
Wzór przybliżony otrzymujemy odrzucając ostatni wyraz. Oszacujemy jego wielkość: Analogicznie, ponieważ więc dokładność wzoru wynosi: 7 Reguła de l Hospitala cos c x 5 ) π 5 0, 0003. 5! 0 6 ln + x) = x x x 3 3 + c) 3, x3 3 + c) 3 0 3 3 9 = 0, 0005, 0 )3 37 fx) Granice funkcji postaci lim x x0, gdzie licznik i mianownik dążą jednocześnie do gx) 0 lub jednocześnie do ) nazywamy nieoznaczonymi. Wiele z nich można obliczyć metodami elementarnymi, np. 3x + x 4 lim x x + 8 = lim x x 3 + /x 4/x ) x + 8/x ) = 3, ale też wiele z nich jest nieelementarnych. Bardzo przydatna bywa w takich sytuacjach następująca reguła. Twierdzenie 7 reguła de l Hospitala) Jeżeli: to. lim x x0 fx) = lim x x0 gx) = 0 lub lim x x0 fx) = lim x x0 gx) =,. istnieje granica lim x x0 f x) g x) właściwa lub niewłaściwa), fx) lim x x 0 gx) = lim f x) x x 0 g x). Reguła jest prawdziwa również dla granic jednostronnych i granic w ±. fx) Należy zwrócić uwagę, że granica lim x x0 może istnieć nawet wtedy, gdy granica gx) f lim x) x x0 nie istnieje! g x) Przykłady Obliczyć. lim x x 50 x,. lim x x 3 e x, 3. lim x 0 cos x + x x 4. 9
Nie tylko granice postaci ) 0 0), czy są nieoznaczone. Inne symbole nieoznaczone to:, 0, 0 0, 0,. Jak widać powyższe symbole dotyczą granicy różnicy, iloczynu bądź potęgi. Stosując odpowiednie przekształcenia algebraiczne można te symbole sprowadzic do symbolu ) 0 0 lub ), a następnie zastosować regułę de l Hospitala. Przykład. Aby obliczyć granicę lim x 0 ) sin x x typu sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika; uzyskujemy wtedy nieoznaczoność ) 0 0 i stosujemy dwukrotnie regułę de l Hospitala: lim x 0 sin x ) x sin x = lim x x 0 x sin x = lim x 0 cos x sin x + x cos x = lim x 0 sin x cos x x sin x = 0 = 0. Przykład. Przy nieoznaczoności 0 należy iloczyn zamienić na iloraz, np.: lim x ln x x 0+ ln x = lim x 0+ x ln x x = lim x 0+ x ln x = lim x 0+ x = lim x 0+ x x = lim x 0+ x = 0. Przy nieoznaczonościach typu wykładniczego stosujemy tożsamość wynikającą z definicji logarytmu): fx) gx) = e gx) ln fx), i korzystamy z ciągłości funkcji wykładniczej, co pozwala nam przejść z granicą do wykładnika: lim x x 0 fx) gx) = e limx x 0 gx) ln fx). W wykładniku pojawi się wtedy symbol 0, i dalej należy postępować jak w przykładzie. Przykłady Obliczyć granice:. lim x 0+ x) x,. lim x x /x, 3. lim x 0 cos x) x. 8 Ekstremum funkcji Definicja 3 Funkcja f ma w punkcie x 0 minimum, jeżeli fx) fx 0 ). δ>0 x Sx 0,δ) Jeżeli powyższa nierówność jest ostra, to minimum nazywamy właściwym. Definicja 4 Funkcja f ma w punkcie x 0 maksimum, jeżeli fx) fx 0 ). δ>0 x Sx 0,δ) Jeżeli powyższa nierówność jest ostra, to maksimum nazywamy właściwym. 0
Minima i maksima funkcji nazywamy ekstremami. Pojęcia te odnoszą się do lokalnych własności funkcji, bo dotyczą pewnego sąsiedztwa punktu x 0. Funkcja może mieć więcej niż jedno maksimum i minimum w swojej dziedzinie, a nawet może mieć nieskończenie wiele ekstremów przykładem jest np. funkcja y = sin x, która ma minima równe -) w punktach x k = π + kπ, k Z, a maksima równe ) w punktach x l = π + lπ, l Z. Przykład Posługując się wykresem funkcji wskazać punkty w których występuje ekstremum:. fx) x ;. fx) = sgn sin x. Twierdzenie 8 Fermata; warunek konieczny istnienia ekstremum) Jeżeli funkcja f ma:. ekstremum w punkcie x 0,. pochodną f x 0 ), to f x 0 ) = 0. Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa. Przykładem może służyć funkcja fx) = x 3, dla której f 0) = 0, ale nie ma ekstremum dla x 0 = 0; jak wiadomo, funkcja ta jest stale rosnąca. Warto też zwrócić uwagę na fakt, że funkcja może mieć ekstremum, ale nie mieć pochodnej. Przykładem takiej funkcji jest fx) = x ; dla x = 0 jest minimum, ale pochodna w tym punkcie nie istnieje. Zapamiętanie następującej uwagi ułatwi praktyczne poszukiwanie ekstremów. Funkcja może mieć ekstrema tylko w tych punktach, w których jej pochodna równa jest 0 albo w punktach, w których jej pochodna nie istnieje. Następne dwa twierdzenia podają warunki dostateczne istnienia ekstremum funkcji. Twierdzenie 9 I warunek dostateczny istnienia maksimum) Jeżeli funkcja f spełnia warunki:. f x 0 ) = 0,. w pewnym sąsiedztwie lewostronnym punktu x 0 jest f x 0 ) > 0, 3. w pewnym sąsiedztwie prawostronnym punktu x 0 jest f x 0 ) < 0, to w punkcie x 0 funkcja f ma maksimum właściwe. Analogiczne twierdzenie obowiązuje dla minimum. Twierdzenie 0 I warunek dostateczny istnienia minimum) Jeżeli funkcja f spełnia warunki:. f x 0 ) = 0,. w pewnym sąsiedztwie lewostronnym punktu x 0 jest f x 0 ) < 0,
3. w pewnym sąsiedztwie prawostronnym punktu x 0 jest f x 0 ) > 0, to w punkcie x 0 funkcja f ma minimum właściwe. Ten warunek jest najczęściej wykorzystywany. Jak widać należy obliczyć pochodną, znaleźć jej miejsca zerowe, przeanalizować znak pochodnej w pobliżu podejrzanych punktów i wyciągnąć prawidłowe wnioski. Przykład Znaleźć ekstrema funkcji:. fx) = x e /x ;. fx) = x ; +x 3. fx) = +x+x. x+x Gdyby analiza znaku pochodnej była kłopotliwa, można posłużyć się następującym twierdzeniem. Twierdzenie II warunek dostateczny istnienia ekstremum) Jeżeli funkcja f spełnia warunki:. f x 0 ) = 0,. f x 0 ) < 0 f x 0 ) > 0), to w punkcie x 0 funkcja f ma maksimum minimum) właściwe. Powyższe twierdzenie wymaga jednak obliczenia drugiej pochodnej. Wartość największa i najmniejsza funkcji na zbiorze Eksremum funkcji jest pojęciem lokalnym; jeżeli natomiast rozpatrujemy funkcję na konkretnym zbiorze np. przedziale), to wówczas określony jest zbiór jej wartości na tym zbiorze). Jeśli zbiór wartości ma element największy i najmniejszy, to te liczby nazywamy największą i najmniejszą wartością funkcji na tym zbiorze. Z twierdzenia Weierstrassa: Twierdzenie Funkcja ciągła na przedziale domkniętym osiąga kres dolny i kres górny swojego zbioru wartości, wynika, że jeśli funkcję rozpatrujemy na przedziale domkniętym, to istnieje wartość największa i najmniejsza. Wartości te znajdujemy według następującego schematu.. Znajdujemy punkty c, c,..., c n zerowania się pochodnej funkcji f na [a, b] oraz punkty d, d,..., d m, w których pochodna nie istnieje.. Obliczamy wartości funkcji w wyżej znalezionych punktach oraz w końcach przedziału a, b. 3. Spośród liczb fa), fb), fc ), fc ),..., fc n ), fd ), fd ),..., fd m ) wybieramy najmniejszą i największą. Będą to odpowiednio wartości najmniejsza m i największa M funkcji f na przedziale [a, b]. Przykład Znaleźć wartość najmniejszą i największą funkcji w przedziale:. fx) = x 5 5x, [, 3];. fx) = x, [0, 4]. x+
9 Funkcje wypukłe i wklęsłe Definicja 5 Funkcją f jest wypukła na przedziale a, b), jeżeli a<x <x <b 0<λ< fλx + λ)x ) λfx ) + λ)fx ). Oznacza to, że wartość funkcji w każdym punkcie między x i x leży poniżej siecznej wykresu przechodzącej przez punkty x, fx )) i x, fx )). Definicja 6 Funkcją f jest wklęsła na przedziale a, b), jeżeli a<x <x <b 0<λ< fλx + λ)x ) λfx ) + λ)fx ). Oznacza to, że wartość funkcji w każdym punkcie między x i x leży powyżej siecznej wykresu przechodzącej przez punkty x, fx )) i x, fx )). Jeżeli w powyższych definicjach założymy nierówności ostre, to funkcję nazwiemy odpowiednio ściśle wypukłą i ściśle wklęsłą. Twierdzenie 3 warunek dostateczny wypukłości i wklęsłości) Jeżeli f x) > 0 f x) < 0) dla dowolnego x a, b), to funkcja jest ściśle wypukła ściśle wklęsła) na a, b). Przykład Wyznaczyć przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji;. fx) = x 4 6x 6x + ;. fx) = x x ) 3 Obliczenia: y = x +x, y = x +8x+; x ) 4 x ) 5 3. y = x+)3 = x + 3 x+. x +x+4 x +x+4 Pochodne wynoszą: y = x + ) x + x + 0) x + x + 4), y = 6x + )x + x 8) x + x + 4) 3. Punkty, w których następuje zmiana z wypukłości na wklęsłość lub odwrotnie) nazywamy punktami przegięcia wykresu funkcji. Twierdzenie 4 warunek konieczny istnienia punktu przegięcia) Jeżeli funkcja f ma:. punkt przegięcia w punkcie x 0,. pochodną f x 0 ), to f x 0 ) = 0. Twierdzenie 5 warunek dostateczny istnienia punktu przegięcia) Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 3
. f x 0 ) = 0,. w pewnym sąsiedztwie lewostronnym punktu x 0 jest f x 0 ) > 0 lub f x 0 ) < 0), 3. w pewnym sąsiedztwie prawostronnym punktu x 0 jest f x 0 ) < 0 lub f x 0 ) > 0), to w punkcie x 0 funkcja f ma punkt przegięcia. Przykład Wyznaczyć punkty przegięcia:. y = e x odp.: ± );. y = 3 x 3 x odp.: ±). Dość trudne rachunki: y = 3 x 3 3 xx ) 3, y = 4 9 x 3 x ) 5 3 [ x ) 5 3 x )) 5 ] 3 3x 4 3 4