Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych

Transkrypt

1 Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją symbolami: ( + ) (). (1) () lub d d. (2) Dla przykładu obliczmy pochodną unkcji () 2. Na podstawie deinicji (1) mamy: d d lim ( + ) Łatwo sprawdzić, że znaleziony przez nas wynik na pochodną unkcji () 2 (wzór (4)) jest szczególnym przypadkiem ogólnego wzoru (6), w którym należy podstawić n 2. Dla przykładu obliczmy jeszcze pochodną unkcji () 4. Korzystając z wzoru (6), mamy: ( 4 ) 4. Użyteczne są również wzory pozwalające obliczać pochodne wyrażeń złożonych będących iloczynem stałej a i unkcji, sumą lub różnicą dwóch unkcji i g oraz iloczynem lub ilorazem unkcji i g: (a ) a () ( ± g) ± g ( g) g + g (10) (11) (12) ( ( ) 2) 2 lim 0 ( ) g g g g 2 (1) 2 + ( ) 2 lim 0 lim (2 + ) 2. () 0 Otrzymany wynik na pochodną unkcji () 2 zapisujemy w postaci: ( 2 ) 2 (4) W podobny sposób można na podstawie deinicji (1) znaleźć wzory na pochodne podstawowych ukcji matematycznych. Poniżej przedstawiamy gotowe rezultaty obliczeń dla wybranych unkcji (a oraz n oznaczają stałe): (a) 0 ( n ) n n 1 (5) (6) Wzór (10) wykorzytujemy na przykład dla oblicznia pochodnej unkcji () 4 : (4 ) 4( ) (14) Wzór (11) jest użyteczny na przykład w następującym przypadku: ( ) (2 ) + (6 5 ) (15) Wzór (11) zastosowaliśmy identyikując odpowiednie unkcje jako: 2 oraz g 6 5. Ostatnia równość w powyższym równaniu wynika z wzorów (6) i (10). Poniżej mamy przykład zastosowania wzoru (12): ( sin ) ( ) sin + (sin ) 2 sin + cos, (16) (sin ) cos (cos ) sin (7) (8) gdzie odpowiednie unkcje mają postać: oraz g sin. (ln ) 1 (9)

2 2 Wzór (1) należy zastosować w przypadku: ( 2 4 ) (24 7) ( 2 + ) (2 4 7) ( 2 + ) ( 2 + ) 2 RÓŻNICZKA FUNKCJI Różniczka unkcji d przy zmianie jej argumentu o określona jest jako iloczyn pochodnej d/d i zmiany, czyli: d d. (17) d (2 4 7) ( 2 + ) (2 4 7) ( ) ( 2 + ) 2..., gdzie przyjęliśmy oraz g 2 +. GEOMETRYCZNA INTERPRETACJA POCHODNEJ Zauważmy, że różniczka unkcji d jest równa zmianie wartości stycznej w punckie następującej na odcinku od do + (patrz Rys. (2)). Wynika to stąd, że zmiana wartości stycznej o równaniu y a + b wynosi y a, a współczynnik kierunkowy stycznej, jak pokazano powyżej, ma wartość pochodnej: a d/d liczonej w miejscu. Na podstawie Rys. (2) można się przekonać, że dla ma- W deinicji pochodnej (1) występuje stosunek zmiany wartości unkcji (+ ) () do zmiany wartości argumentu. Na Rys. (1) pokazano wykres unkcji (+ ) R y a+b (+ ) () P d y a+b () P + Rysunek 2. Graiczne przedstawienie różniczki unkcji d. + Rysunek 1. Sieczna przechodząca przez punkty P i R w granicy 0 staje się styczną do wykresu w punkcie. (), na którym zaznaczono sieczną przecinającą unkcję w punktach P [, () ] i R [ +, ( + ) ]. Sieczna jako prosta opisana jest równaniem postaci y a + b, gdzie a to tzw. współczynnik kierunkowy prostej, którego wartość dana jest przez stosunek a y/. Na podstawie Rys. (1) widzimy, że iloraz / to właśnie współczynnik kierunkowy siecznej przecinającej wykres unkcji w punktach P i R. W granicy 0 punkty P i R zlewają się i sieczna staje się styczną do wykresu w punkcie P. Oznacza to, że w granicy 0 stosunek / (czyli pochodna unkcji) staje się współczynnikiem kierunkowym stycznej. A zatem: Pochodna unkcji d/d w punkcie ma wartość współczynnika kierunkowego stycznej do wykresu unkcji poprowadzonej w punkcie P [, () ]. łych wartości różniczka unkcji d jest bardzo dobrym przybliżeniem zmiany wartości unkcji : d. (18) A zatem, stosując powyższe przybliżenie, zmianę wartości unkcji przy zmianie argumentu o możemy obliczać z wzoru: d. (19) d PRZYKŁAD Przybliżenie (19) wykorzystujemy przy obliczaniu błędów pomiarowych wielkości mierzonych pośrednio. Na przykład chcąc wyznaczyć objętość kuli mierzymy jej promień r i wstawiamy do wzoru: V 4 πr. (20)

3 V V4/ r podanych wzorów (wzór (6)) i otrzymujemy: ( ) dv 4 dr πr 4 π r2 4πr 2. (24) Wstawiając ten wynik do wzoru (21), mamy:: V 4πr 2 r, (25) co po podstawieniu wartości liczbowych daje V 0, 88 cm. Ostatecznie zatem po zaokrągleniu wyniku (2): V (24, 5 ± 0, 88) cm. (26) POCHODNA CZĄSTKOWA V V V dv dr Dla unkcji wielu zmiennych (, y, z), jako uogólnienie pojęcia pochodnej, określona jest tzw. pochodna cząstkowa. Pochodna cząstkowa po zmiennej (ozn. /) zdeiniowana jest jako granica: Rysunek. Przedziałowi możliwych wartości promienia kuli ( r r, r + r ), odpowiada pewien przedział możliwych wartości objętości (V V, V + V ). Wielkość V można z bardzo dobrym przybliżeniem uznać za równą różniczce unkcji V (r), czyli V dv/dr r. ści r odpowiada pewien przedział (V V, V + V ), w którym może się znajdować prawdziwa wartość objętości. Podczas dobrze zaplanowanych pomiarów, błędy pomiarowe są zwykle niewielkie. Zakładamy więc, że błąd r jest nieduży i stosując wzór (19) wielkość V przybliżamy przez różniczkę unkcji V (r), czyli: V dv dr W ten sposób pomiar objętości kuli jest pomiarem pośrednim, a wielkością mierzoną bezpośrednio jest promień r. Załóżmy, że znamy maksymalny błąd pomiaru bezpośredniego, czyli znamy r. Pamiętamy, że oznacza to, iż prawdziwa wartość promienia r mieści się gdzieś w przedziale ( r r, r + r ). Stawiamy pytanie: w jakim przedziale dopuszczalnych wartości znajduje się prawdziwa wartość objętości kuli? Jak pokazuje Rys., przedziałowi możliwych wartor r. (21) Tak określona wartość V wyznacza nam tzw. błąd maksymalny pomiaru objętości. Wykonajmy obliczenia dla przykładowych wartości liczbowych. Niech w wyniku pomiaru uzyskana wartość promienia i błąd pomiaru wynoszą: r lim 0 ( +, y, z) (, y, z). (27) Analogicznie określona jest pochodna cząstkowa po zmniennej y i po zmniennej z: y lim y 0 z lim z 0 (, y + y, z) (, y, z), (28) y (, y, z + z) (, y, z). (29) z Z deinicji pochodnej cząstkowej wynika, że obliczanie pochodnej cząstkowej po jakiejś zmiennej nie różni się od obliczania zwykłej pochodnej, przy czym pozostałe zmienne należy w trakcie obliczania pochodnej traktować jako wielkości stałe. Na przykład, jeśli wykonujemy pochodną po zmiennej, wówczas y i z uznajemy za stałe, czyli unkcja (, y, z) na czas liczenia pochodnej staje się jakby unkcją tylko jednej zmennej. Wszystkie podane wcześniej wzory (5)-(1) na pochodne unkcji jednej zmiennej mają zatem zastosowanie również przy obliczaniu pochodnych cząstkowych. Podajmy kilka przykładów obliczania pochodnej cząstkowej. r 2, 64 cm, r 0, 01 cm. (22) Ze wzoru (20) otrzymujemy wtedy: V 24, 5299 cm. (2) Aby oszacować błąd V najpierw znajdujemy wzór na pochodną dv/dr. W tym celu korzystamy z tabeli wyżej

4 4 Przykład 1: 2 + y + z 4 (2 ) + (y ) + (z4 ) , y y (2 ) + y (y ) + y (z4 ) 0 + y y 2, Przykład : y + y (y) ( + y) (y) ( + y) ( + y) 2 (y) ( + y) (y) (1 + 0) y 2 ( + y) 2 ( + y) 2, y y (y) ( + y) (y) y ( + y) ( + y) 2 z z (2 ) + z (y ) + z (z4 ) z 4z. Wykorzystaliśmy tu własność (11), że pochodna sumy jest sumą pochodnych, oraz akt, że pochodna ze stałej wynosi zero. Przykład 2: 2 + y y 4 + z 5 ( ) 2 y 4 + z 5 + ( ) y y 4 + z 5 1 y 4 + z 5 (2 ) y 4 + z 5, y y (2 + y ) (y 4 + z 5 ) ( 2 + y ) y (y4 + z 5 ) (y 4 + z 5 ) 2 (y2 ) (y 4 + z 5 ) ( 2 + y ) (4y ) (y 4 + z 5 ) 2, z z (2 + y ) (y 4 + z 5 ) ( 2 + y ) z (y4 + z 5 ) (y 4 + z 5 ) 2 0 (y4 + z 5 ) ( 2 + y ) (5z 4 ) (y 4 + z 5 ) 2 (2 + y ) (5z 4 ) (y 4 + z 5 ) 2. Przy liczeniu pochodnej cząstkowej po y i z zastosowaliśmy wzór na pochodną ilorazu (1). () ( + y) (y) (0 + 1) 2 ( + y) 2 ( + y) 2. Przy liczeniu pochodnej (y) skorzystaliśmy z wzoru (6). Dzięki temu, pamiętając że y jest traktowane teraz jak stała, mamy: (y) y () y 1 y. Analogicznie postąpiliśmy licząc pochodną cząstkową y (y), co dało nam w wyniku: y (y) y (y) 1. RÓŻNICZKA ZUPEŁNA FUNKCJI Różniczką zupełną d unkcji (, y, z) nazywamy wyrażenie: d + y y + z. (0) z Jak widać jest to uogólniennie pojęcia różniczki unkcji dla unkcji wielu zmiennych. Jeżeli zmiana argumentów unkcji, y, z jest niewielka, wówczas różniczka zupełna unkcji d jest bardzo dobrym przybliżeniem zmiany wartości unkcji wywołanej zmianą wartości jej argumentów, czyli: + y y + z. (1) z ZASTOSOWANIE RÓŻNICZKI ZUPEŁNEJ W RACHUNKU BŁĘDÓW POMIAROWYCH Przybliżenie (1) wykorzystywane jest w rachunku błędów pomiarowych. Niech jakaś wielkość izyczna dana jest poprzez wyrażenie unkcyjne od wielkości mierzonych bezpośrednio. Na przykład, używając wahadła matematycznego można wyznaczyć przyspieszenie ziemskie g, mierząc bezpośrednio jego długość l oraz okres T i wstawiając do wzoru: g 4π2 l T 2 (2)

5 5 Powiedzmy, że znamy maksymalne błędy pomiarowe długości l oraz okresu T. Jak obliczyć maksymalny błąd wyznaczenia przyspieszenia ziemskiego g? Odwołując się do przykładu z wyznaczaniem objętości poprzez pomiar promienia, wydawać by się mogło, że należy, na zasadzie uogólnienia wzoru (21), zastosować teraz wzór (1), czyli: g g g l + T wzór błędny! () l T Z pewnych wzgledów powyższy wzór nie jest jednak poprawnym wzorem na błąd maksymalny g. Otóż błędy l i T są z założenia wielkościami dodatnimi. Wzór () jest poprawnym wzorem na zmianę unkcji g(l, T ) właśnie przy zmianie argumentów o + l i + T. Tymczasem zmierzone wartości l i T mogą się różnić od rzeczywistych wartości długości nici i okresu o ± l i ± T. W zależności od wyboru znaku przy l i T, uzyskujemy różne wyniki na zmianę unkcji g. Niestety nie wiemy jaka jest wartość rzeczywista mierzonych wielkości izycznych l i T, więc nie wiemy jaki znak wybrać. Jednakże przy pewnym wyborze znaków przy l i T, odchyłka g przybierze wartość maksymalną. Ta właśnie maksymalna wartość g określa nam błąd maksymalny pomiaru przyspieszenia ziemskiego g. Oczywiście g będzie maksymalne, gdy oba wyrazy po prawej stronie równania () będą dodatnie. W naszym przykładzie, ponieważ g l 4π2 T 2 > 0 oraz g T 8π 2 l T < 0, g będzie maksymalne, gdy do wzoru () wstawimy + l i T. Jednak by uniknąć dwukrotnego pisania znaku minus (przy pochodnej i przy T ), wzór () zapisujemy dla przypadku maksymalnego g w następujący sposób: g g l l + g T T. (4) Określona wzorem (4) maksymalna możliwa odchyłka g zmierzonej wartości g od wartości rzeczywistej spowodowana błędami ± l i ± T jest poprawnym oszacowaniem błędu maksymalnego pomiaru przyspieszenia ziemskiego g. Wstawiając do wzoru (4) znalezione wyrażenia na pochodne cząstkowe, otrzymujemy jawny wzór na błąd g: g 4π 2 T 2 l + 8π 2 l T T, (5) do którego należy podstawić zmierzone wartości l i T oraz wartości błędów l i T. Ogólnie, jeśli jakaś wielkość izyczna wyraża się w ormie zależności unkcyjnej (, y, z) od mierzonych bezpośrednio wielkości, y, z, które znamy z błędem maksymalnym, odpowiednio, y, z, wówczas błąd maksymalny określamy wzorem: + y y + z z. (6) W stosunku do wzoru na różniczkę zupełną mamy tutaj wartości bezwzględne pochodnych cząstkowych, bowiem przy szacowaniu błędu maksymalnego zakładamy sytuację najmniej korzystną, kiedy to przyczynki pochodzące od błędów ±, ± y, ± z się kumulują. Obliczanie błędu maksymalnego za pomoca wzoru (6) nazywa sie metodą różniczki zupełnej. Uwaga: Jeśli zależność unkcyjna jest postaci: (, y, z) k a y b z c, (7) gdzie a, b, c, k to stałe, wówczas po wyliczeniu pochodnych, wstawieniu do wzoru (6) i podzieleniu obustronnym równania przez otrzymamy: a + b y y + c z z. (8) Jest to wygodny wzór do wyliczana błędu względnego / dla wielkości danych wzorem (7). Ponieważ wzór (8) można uzyskać przez zlogarytmowanie wzoru (7) i obustronne zróżniczkowanie, obliczanie błędu maksymalnego przy użyciu wyrażenia (8) nazywane jest metodą pochodnej logarytmicznej.