Analiza Matematyczna Pochodne wyższych rzędów. Wzór Taylora Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Analiza Matematyczna p. 1
Pochodne wyższych rzędów. Wzór Taylora Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/ Analiza Matematyczna p. 2
Definicje pochodnych wyższych rzędów Definicja 1. 1. Niech funkcjaf(x) będzie różniczkowalna w otoczeniu punktua. Jeżelif (x) jest różniczkowalna w punkciea, to pochodna ( f ) (a) nazywa się druga pochodna funkcjif w punkciea. Oznaczenie f (a) lubf (2) (a). Funkcjęf nazywamy dwa razy różniczkowalna w punkciea. 2. Niechn 2 i funkcjaf(x) będzienrazy różniczkowalna w otoczeniu punktua, oraz pochodnaf (n) będzie różniczkowalna w punkciea. Wtedy funkcjaf jest(n+1) razy różniczkowalnafunkcja różniczkowalnanrazy w punkcieaorazf (n+1) (a) = ( f (n)) (a). 3. Alternatywne oznaczenia:f (n) (x) = dn f dx n, y (t) = ÿ(t). Analiza Matematyczna p. 3
Pochodne wyższych rzędów sumy, ilorazu i iloczynu Twierdzenie 2. Niech funkcjef(x) orazg(x) będanrazy różniczkowalne w punkciea. Wtedyf ±g też będzienrazy różniczkowalna funkcja oraz ( f ±g ) (n) = f (n) ±g (n). Dowód. Indukcja Twierdzenie 3 (Leibniz). Niech funkcjef(x) orazg(x) będanrazy różniczkowalne w punkciea. Wtedyf g też będzienrazy różniczkowalna ( funkcja oraz f g ) (n) n = Cnf k (k) g (n k). k=0 Dowód. Indukcja Analiza Matematyczna p. 4
Pochodne wyższych rzędów funkcji elementarnych Twierdzenie 4. 1. ( x α ) (n) = α(α 1)...(α n+1)x α n, 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. ( x n ) (n) = n!, ( x n ) (n+1) = 0, ( a x ) (n) = ax ln n a, ( ln(1+x) ) (n) = ( 1) n 1(n 1)! x n, ( ) (n) sinx = sin(x+ π 2 n), ( ) (n) cosx = cos(x+ π 2 n), ( (n) ax+b cx+d) = ( 1) n 1 n!(ad bc)(cx+d) (n+1) c n 1. Dowód. Indukcja Analiza Matematyczna p. 5
Wzór Taylora Twierdzenie 5 (Taylor-Lagrange). Niech funkcjaf(x) będzie(n+1) razy różniczkowalna w otoczeniu punktua. Wtedy x z tego otoczenia ξ pomiędzyaax, takie że f(x) = f(a)+ f (a) 1! (x a)+ f (a) 2! gdzier n+1 (x) = f (n+1) (ξ) (x a)n+1 (n+1)! + + f(n) (a) n!. (x a) 2 + f(3) (a) 3! (x a) 3 + (x a) n +R n+1 (x), (1) Analiza Matematyczna p. 6
Dowód twierdzenia Taylora-Lagrange a Dowód. Ustalmy punktx. Rozważmy funkcjęψ(t) = f(x)+ϕ(x,t)+ (x t) n+1 (x a) R n+1 n+1 (x), gdzie ϕ(x,t) = f(t)+ f (t) 1! (x t)+ f (t) 2! (x t) 2 + + f(n) (t) n! (x t) n, R n+1 (x) = f(x) f(a) f (a) 1! (x a) f (a) 2! (x a) 2 f(n) (a) n! (x a) n Funkcjaψ(t) spełnia warunki twierdzenia Rolle a. Więc istnieje punktξ pomiędzyaax, taki żeψ (ξ) = 0. verte Analiza Matematyczna p. 7
Twierdzenie Taylora-Lagrange a, cd Dowód. cd. ψ (ξ) = f (ξ)+ f (ξ) 1! (x ξ) f (ξ) 1! + f3 (ξ) 2! (x ξ) 2 f (ξ) 1! (x ξ)+ + f (n+1) (ξ) n! (x ξ) n f(n) (ξ) (n 1)! (x ξ)n 1 (n+1) (x ξ)n (x a) R n+1 n+1 (x). f Wynika stad, że (n) (ξ) (n 1)! (x ξ)n 1 = (n+1) (x ξ)n (x a) R n+1 n+1 (x). Analiza Matematyczna p. 8
Twierdzenie Taylora-Peano Twierdzenie 6 (Taylor-Peano). Niech funkcjaf(x) będzie(n 1) razy różniczkowalna w otoczeniu punktuaima pochodna rzędunwpunkciea. Wtedy f(x) =f(a)+ f (a) 1! + + f(n) (a) n! (x a)+ f (a) 2! (x a) 2 + f(3) (a) 3! (x a) 3 + (2) (x a) n +o ( (x a) n). (3) Uwaga 7. Wzór 1 dlaa = 0 nazywa się wzorem Maclaurina. Analiza Matematyczna p. 9
Wzór Maclaurina funkcji elementarnych Twierdzenie 8. 2. sinx = x x3 3! + x5 5! 1. e x = 1+ x 1! + x2 2! + + xn n! +o(x n ), + +( 1)k x2k+1 (2k+1)! +o(x2k+1 ), 3. cosx = 1 x2 2! + x4 4! + +( 1) k x2k (2k)! +o(x2k ), 4. ln(1+x) = x x2 2 + x3 3 + +( 1)n 1xn n +o(xn ), 5. (1+x) α = 1+ α α(α 1) 1! x+ 2! x 2 + + α(α 1)...(α n+1) n! x 2 +o(x n ). Wniosek 9 (dwumian Newtona). (a+b) n = n k=0 Ck na k b n k. Analiza Matematyczna p. 10
Zastosowania drugiej pochodnej Twierdzenie 10 (Dostateczy warunek ekstremum). Niech funkcjaf(x) będzie różniczkowalna w otoczeniu punktuaima druga pochodna w punkciea. Wtedy, jeżelif (a) = 0 orazf (a) > 0 (f (a) < 0), to funkcja f(x) ma w punkciealokalne minimum (maksimum). Dowód. f(a+α) = f(a)+f (a)α+f (a)α 2 +o(α 2 ) = = f(a)+(f (a)+o(1))α 2 Analiza Matematyczna p. 11
Funkcje wypukłe Definicja 11. Funkcja f(x) : [a, b] R nazywa się wypukła na odcinku [a,b], jeżeli x,y [a,b], α [0,1] f ( (1 α)x+αy ) (1 α)f(x)+αf(y) f(y) (1 α)f(x)+αf(y) f(x) f ( (1 α)x+αy ) x (1 α)x+αy y Analiza Matematyczna p. 12
Funkcje wklęsłe Definicja 12. Funkcja f(x) : [a, b] R nazywa się wklęsła na odcinku [a,b], jeżeli x,y [a,b], α [0,1] f ( (1 α)x+αy ) (1 α)f(x)+αf(y) f ( (1 α)x+αy ) f(y) f(x) (1 α)f(x)+αf(y) x (1 α)x+αy y Analiza Matematyczna p. 13
Dostateczny warunek wypukłości Twierdzenie 13. Niech funkcjaf(x) będzie ciagła na odcinku[a,b], dwa razy różniczkowalna na(a, b) i w każdym punkcie x (a, b) spełniona jest nierównośćf (x) > 0 (f (x) < 0). Wtedy funkcjaf(x) jest wypukła (wklęsła) na[a,b]. Dowód. Niecht = (1 α)x+αy. Wtedyy t = (1 α)(y x), x t = α(y x). f(y) = f(t)+f (t)(1 α)(y x)+ 1 2 f (ξ 1 ) ( (1 α)(y x) ) 2 f(x) = f(t) f (t)α(y x)+ 1 2 f (ξ 2 ) ( α(y x) ) 2 (1 α)f(x)+αf(y) = f(t)+ + 1 ((1 α)f (ξ 2 ) ( α(y x) ) 2 +αf (ξ 1 ) ( (1 α)(y x) ) ) 2 2 Analiza Matematyczna p. 14
Punkty przegięcia Definicja 14. Niech funkcjaf(x) będzie ciagła na odcinku[a,b] oraz różniczkowalna na(a,b). Punktx (a,b) nazywa się punktem przegięcia, jeżeli styczna w tym punkcie przechodzi z jednej strony wykresu na druga. f(x)+f (x)(y x) f(y) x y f(y) < f(x)+f (x)(y x) dla y > x f(y) > f(x)+f (x)(y x) dla y < x lub odwrotnie Analiza Matematyczna p. 15
Warunek konieczny punktu przegięcia Twierdzenie 15. Niech funkcjaf będzie ciagła i różniczkowalna w otoczeniu punktux 0 oraz ma druga pochodna wx 0. Wtedy, jeżelix 0 jest punktem przegięcia, tof (x 0 ) = 0. Dowód. wx 0. F(x) = f(x) ( f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 ) ) zmienia znak Więc nie może mieć ekstremum lokalnego wx0. F (x 0 ) = f (x 0 ) f (x 0 ) = 0. F (x 0 ) = f (x 0 ). Gdybyf (x 0 ) nie było by równe0,f(x) by miała ekstremum lokalne wx 0. Analiza Matematyczna p. 16
Dostateczny warunek punktu przegięcia Twierdzenie 16. Niech funkcjaf będzie dwa razy różniczkowalna w otoczeniu punktux 0 oraz tof zmienia znak wx 0. Wtedyx 0 jest punktem przegięcia. Dowód. Pochodna funkcjif(x) = f(x) ( f(x0 )+f (x 0 )(x x 0 ) ma ekstremum lokalne wx 0. F (x 0 ) = f (x 0 ) f (x 0 ) = 0. Więc w sasiedztwiex0 pochodna jest tego samego znaku. W taki sposób, w punkciex0 funkcjaf(x) rośnie (lub maleje). Analiza Matematyczna p. 17
Dostateczny warunek punktu przegięcia II Twierdzenie 17. Niech funkcjaf będzie trzy razy różniczkowalna w otoczeniu punktux 0 oraz tof (x 0 ) = 0 if (3) (x 0 ) 0. Wtedyx 0 jest punktem przegięcia. Dowód. f (x 0 ) = 0 oraz jest monotoniczna w otoczeniux 0. Więc wx0 zmienia znak. Analiza Matematyczna p. 18
Badanie przebiegu zmienności funkcji 1. Dziedzina funkcji 2. Okres, parzystość, nieparzystość 3. Punkty przecięcia osi 4. Asymptoty: (a) pionowe (b) poziome (c) ukośne 5. Ekstrema lokalne 6. Punkty przegięcia 7.??????? 8. PROFIT Analiza Matematyczna p. 19
Badanie przebiegu zmienności funkcji. Przykłady 1. f(x) = x+ 1 x 2. f(x) = x 2 1 x Analiza Matematyczna p. 20