Wyznaczniki. Algebra. Aleksander Denisiuk

Transkrypt

1 Algebra Wyznaczniki Aleksander Denisiuk Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku ul. Brzegi Gdańsk Algebra p. 1

2 Wyznaczniki Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem Algebra p. 2

3 Wyznaczniki macierzy małych wymiarów ( ) a 11 a 12 det = a 11 a 12 a 21 a 22 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 = a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 21 a 32 a 13 a 31 a 32 a 33 a 31 a 22 a 13 a 21 a 12 a 33 a 32 a 23 a 11 ) det (a 11 = a 11 Algebra p. 3

4 Definicja Ω n = {1,2,...,n} Wzajemnie-jednoznaczne odwzorowanie π : Ω n Ω n nazywa się permutacja. ( ) n Oznaczenie: π(1) π(2)... π(n) Mnożenie permutacji: τσ = τ σ ( ) przykład: τ =, σ = τσ στ ( ) Algebra p. 4

5 Grupa permutacji (τσ)ω = τ(σω) permutacja jednostkowa e = ( ) 1... n 1... n permutacja odwrotna ττ 1 = e grupa permutacji: S n Algebra p. 5

6 Cykle permutacja a 1 a 2... a k a 1, pozostałe elementy zostaja na miejscu (a a) nazywa się cyklem długośłci k zapis: (a 1 a 2... a k ) cykl gługości 2 nazywa się trapspozycja dwa cykle sa niezależne, jeżeli nie maja wspólnych elementów mnożenie niezależnych cykli jest przemienne Twierdzenie 1. Każda permutacji może być przedstawiona jako iloczyn niezależnych cykli. Jednoznacznie z dokładnościa do kolejności czynników Algebra p. 6

7 Cykle permutacja a 1 a 2... a k a 1, pozostałe elementy zostaja na miejscu (a a) nazywa się cyklem długośłci k zapis: (a 1 a 2... a k ) cykl gługości 2 nazywa się trapspozycja dwa cykle sa niezależne, jeżeli nie maja wspólnych elementów mnożenie niezależnych cykli jest przemienne Twierdzenie 2. Każda permutacji może być przedstawiona jako iloczyn niezależnych cykli. Jednoznacznie z dokładnościa do kolejności czynników Wniosek 3. Każda permutacja może być przedstawiona jako iloczyn transpozycji Algebra p. 7

8 Przykłady ( ) = (12345)(67)(8) = (12345)(67) w S 4 : (123) = (13)(12) = (23)(13) = (13)(24)(12)(14) Algebra p. 8

9 Znak permutacji Twierdzenie 4. Niechπ S n, gdzieτ j sa transpozycje (j = 1,...,k). Wtedy π = τ 1 τ 2...τ k, (1) ε(π) = ( 1) k nie zależy od reprezentacji (1). Pozatym α,β S n ε(αβ) = ε(α)ε(β). Definicja 5. permutacjaσ Sn jest parzysta, jeżeliε(σ) = 1 permutacjaσ Sn jest nieparzysta, jeżeliε(σ) = 1 Algebra p. 9

10 Obliczenie znaku permutacji Definicja 6. Niech dana będzie permutacja π = ( ) n π(1) π(2)... π(n) Para(π(i),π(j)) tworzy inwersję, jeżelii < j orazπ(i) > π(j). Twierdzenie 7. Permutacjiaπ S n jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera ona parzysta ilość inwersji. Dowód. transposycja(ai a i+1 ) zmienia parzystość permutacji ogólna transpozycja zmienia parzystość permutacji Przykład 8. π = ( ) Algebra p. 10

11 Działanie permutacji na funkcjach Definicja 9. Niech dane będan-argumentowa funkcjaf(x 1,...,x n ) oraz permutacjaσ S n. Działanieσnaf jest funkcja (σ f)(x 1,...,x n ) = f(x σ(1),...,x σ(n) ) Lemat 10. σ,π S n (σπ) f = σ (π f) Algebra p. 11

12 Funkcje antysymetryczne Definicja 11. n-argumentowa funkcjaf(x 1,...,x n ) nazywa się antysymetryczna (skośno-symmetryczna, jeżeli 1 k < n f(x 1,...x k,x k+1,...,x n ) = f(x 1,...,x k+1,x k,...,x n ) Lemat 12. Dla antysymetrycznej funkcji f, i, j f(x 1,...x i,...,x j,...,x n ) = f(x 1,...x j,...,x i,...,x n ) Przykład 13. n = 1 j<i n (x i x j ) Algebra p. 12

13 Dowód twierdzenia 4 Niech f(x 1,...,x n ) będzie dowolna niezerowa antysymetryczna funkcja. Niech σ = τ 1 τ 2...τ k będzie permutacja, rozłożona w iloczyn transpozycji. σ f = ( 1) k f = ε(σ)f nie zależy od rozłożenia. ε(σπ)f = (σπ) f = (σ π) f = σ (π f) = σ (ε(π)f) = ε(π)(σ f) = ε(π)ε(σ)f Algebra p. 13

14 Funkcje symetryczne Definicja 14. n-argumentowa funkcjaf(x 1,...,x n ) nazywa się symetryczna, jeżeli 1 k < n f(x 1,...x k,x k+1,...,x n ) = f(x 1,...x k+1,x k,...,x n ) Lemat 15. Dla symetrycznej funkcjif, σ S n f(x 1,...,x n ) = f(x σ(1),...,x σ(n) ) Przykład 16. x 1 + +x n x 2 1 +x 1x 2 + +x 1 x n +x 2 x 1 +x 2 2 +x 2x 3 + +x n x n 1 +x 2 n x 1 x 2...x n Algebra p. 14

15 Wielomiany symetryczne Definicja 17. Elementarne wielomiany symetryczne n zmiennych: σ 1 (x 1,...,x n ) = σ 2 (x 1,...,x n ) = σ 3 (x 1,...,x n ) = x i 1 i n 1 i 1 <i 2 n 1 i 1 <i 2 <i 3 n x i1 x i σ n (x 1,...,x n ) = x 1 x 2...x n x i1 x i2 x i3 Twierdzenie 18. Każdy wielomian symetrycznyp(x 1,...,x n ) może zostać jednoznacznie przedstawiony jako wielomian od elementarnych wielomianów symetrycznych: P(x 1,...,x n ) = Q ( σ 1 (x 1,...,x n ),...,σ n (x 1,...,x n ) ) Przykład 19. (x 1 x 2 ) 2 = (x 1 +x 2 ) 2 4x 1 x 2 Algebra p. 15

16 Twierdzenie Viète a Twierdzenie 20. Niechx 1,x 2,...,x n będa pierwiastkami wielomianu P(x) = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n 1 x n 1 +a n x n. Wtedy σ 1 (x 1,...,x n ) = a n 1 a n σ 2 (x 1,...,x n ) = a n 2 a n σ n (x 1,...,x n ) = ( 1) n a 0 a n Dowód. P(x) = a n (x x 1 )(x x 2 )...(x x n ) Algebra p. 16

17 Rozwiazywanie równań Przykład 21. x 2 +bx+c = 0, = (x 1 x 2 ) 2 = b 2 4c, { x 1 +x 2 = b x 1 x 2 = (x 1 > x 2 ), x 1,2 = ( b± )/2. Uwaga 22. Dla równań stopnia 5 i wyżej nie ma jawnego wzoru na pierwiastki. Algebra p. 17

18 Definicja wyznacznika Definicja 23. deta = π S n ε(π)a 1π(1) a 2π(2)...a nπ(n) Przykład 24. n = 1,2,3,4 Algebra p. 18

19 Wyznacznik macierzy transponowanej deta = det A (1). A (n) = det (A (1)... A (n) ) Twierdzenie 25. deta = deta t Algebra p. 19

20 Funkcje wieloliniowe Definicja 26. FunckcjaD : R n R n }{{} m razy R nazywa się 1. wieloliniowa, (m-linowa) jeżeli jest ona liniowa według każdego z argumentów, e.g. j = 1,...m, α,β R, oraz x 1,...,x j 1,a,b,x j+1,...,x m R n D(x 1,...,x j 1,αa+βb,x j+1,...,x m ) = = αd(x 1,...,x j 1,a,x j+1,...,x m )+ +βd(x 1,...,x j 1,b,x j+1,...,x m ) Algebra p. 20

21 Właściwości wyznacznika Twierdzenie 27. Wyznacznik jest wieloliniowa antysymentryczna funkcja wierszy (column) Twierdzenie 28. deti = 1 Wniosek 29. det(λa) = λ n det(a), Jeżeli macierzama zerowy wiersz (kolumnę), todeta = 0, JeżeliAma dwa jednakowe wiersze (kolumny), todeta = 0, det A nie zmienia się po elementarnych przekształceniach rodzaju II. Twierdzenie 30. a 11 a a 1n 0 a a 2n det... = a 11a 22...a nn a nn Algebra p. 21

22 Minory i algebraiczne dopełnienia Definicja 31. Wyznacznik macierzy, powstałej z macierzyaprzez skreślenie wierszaioraz kolumnyj nazywa się minorem,m ij A ij = ( 1) i+j M ij nazywa się dopełnieniem algebraicznym Twierdzenie deta = n i=1 ( 1)i+j a ij M ij = n i=1 a ija ij 2. deta = n j=1 ( 1)i+j a ij M ij = n j=1 a ija ij Przykład Algebra p. 22

23 Wyznacznik iloczynu macierzy Twierdzenie 34. detab = detadetb Algebra p. 23

24 Wyznacznik a macierz odwrotna Twierdzenie 35. Macierz A jest nieosobliwa deta 0, przy czym a a 1n... a n1... a nn 1 = 1 deta A A n1... A 1n... A nn Wniosek 36. det A 0 wiersze (kolumny) sa liniowo niezależne Algebra p. 24

25 Wzory Cramera Twierdzenie 37. Jeżeli wyznacznik układu równań a 11 x 1 + +a 1n x n = b 1,... a n1 x 1 + +a nn x n = b n, różni się od zera, to jedyne rozwiazanie układu dane jest wzorami x k = a b 1... a 1n... a n1... b n... a nn deta k = 1,2,...,n Algebra p. 25