Analiza Matematyczna. Przeglad własności funkcji elementarnych

Transkrypt

1 Analiza Matematyczna. Przeglad własności Aleksander Denisiuk Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi Gdańsk 4 marca / 5

2 Przeglad własności Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem ØØÔ»»Ù Ö ºÔ Û Ø º ÙºÔл Ò Ù» / 5

3 Potęga wymierna Twierdzenie 1. Niechn N. Wtedy funkcjax n przyx [0,+ ) rośnie i jest ciagł a. Dowód. x n xn 1 = (x x 1 )(x n 1 +x n x 1 + +x n 1 1 ). Wniosek. Istnieje funkcja, odwrotna do x n : [0,+ ) [0,+ ), pierwiastek stopnian:y n y. Definicja 3. Niechαbędzie liczba wymiern określone jesta α w sposób następujacy: 1. Dlan > 0:x 1 n = n a,. dlam,n > 0:a m n = ( a 1 n) m, 3. a 0 = 1, 4. dlaα < 0:a α = 1 a α. a. Wtedy dlaa > 0 3 / 5

4 Własności wymiernej potęgi Twierdzenie (a α ) β = a αβ, a α b α = (ab) α, a α a β = a α+β.. Dlaa > 1 orazα > 0 a α > Dlaa > 1 funkcjaa x rośnie na zbiorze liczb wymiernych. Dowód.. Założymy, żea m n < a m 1 n 1 < a m n dla m 1 n 1 < m n. 4 / 5

5 Funkcja wykładnicza Twierdzenie 5. Niech dane będax,a R,a > 1. Istnieje jedyna liczba rzeczywistay, taka, że dla dowolnych liczbα,β Q, α < x < β a α y a β. Definicja 6. Definiujemy dlaa > 1,x R, potęgęa x jako jedyna liczbę, określon a w twierdzeniu 5. Dla0 < a < 1 definiujemy a x = ( 1 a) x. 5 / 5

6 Własności funkcji wykładniczej Twierdzenie (a α ) β = a αβ, a α b α = (ab) α, a α a β = a α+β.. Funkcjaa x dlaa > 1 rośnie, dla0 < a < 1 maleje na cała prosta. 3. Funkcjaa x jest ciagł 4. Funkcjaa x jest dodatni 5. Dlaa > 1 lim x ax = 0, a x R. a x R. lim x + ax = +, dla0 < a < 1 lim x ax = +, lim x + ax = Zbiorem wartości funkcjia x (a 1) jest półprosta(0,+ ). 6 / 5

7 Wykres funkcjiy = a x Rysunek 1: Wykres funkcji y = a x dla a > 1 (po lewej) oraz dla 0 < a < 1 (po prawej) 7 / 5

8 Logarytm Definicja 8. Funkcję log a x : (0,+ ) R,a (0,1) (1,+ ) definiujemy jako odwrotn a doa x : R (0,+ ). Własności logarytmu Twierdzenie log a (x 1 x ) = log a x 1 +log a x, log a ( x 1 x ) = log a x 1 log a x, log a (x α ) = α log a x, log a x = log b x log b a.. Funkcjay = log a x jest ciagł a i rosnac a na półprostej(0,+ ) dlaa > 1 oraz malejac a dla0 < a < 1. lim 3. lim log ax =, log ax = + przya > 1 oraz x 0+ x + lim log ax = +, lim log ax = przy0 < a < 1. x 0+ x + 8 / 5

9 Wykres funkcjiy = log a x Rysunek : Wykres funkcji y = log a x dla a > 1 (po lewej) oraz dla 0 < a < 1 (po prawej) Uwaga 10. Logarytm przy podstawieenazywa się naturalnym i oznacza sięlnx. 9 / 5

10 Funkcja potęgowa Definicja 11. Dlaα R, określamy funkcję x α : (0,+ ) (0, ) w sposób następujacy:x α = e αlnx. Własności funkcji potęgowej Twierdzenie Funkcjax α jest funkcja ciagł a na(0,+ ).. Funkcjax α jest funkcja rosnac a przyα > 0 i malejac a przy α < 0 na przedziale(0,+ ). 3. lim x 0+ xα = 0 przyα > 0 oraz lim 4. lim x + xα = + przyα > 0 oraz x 0+ xα = + przyα < 0. lim x + xα = 0 przyα < / 5

11 Wykres funkcjiy = x α α >1 α =1 α = 1 α < α < α > Rysunek 3: Wykres funkcji y = x α dla α > 0 (po lewej) oraz dla α < 0 (po prawej) 11 / 5

12 Podstawowe własności funkcji trygonometrycznych Twierdzenie sin(x+y) = sinxcosy +cosxsiny,. cos(x+y) = cosxcosy sinxsiny, 3. sin x+cos y = 1, 4. sin0 = 0,sin π = 1, 5. cos0 = 1,cos π = 0, 6. Dla0 < x < π 0 < sinx < x < sinx cosx. 1 / 5

13 Własności funkcji trygonometrycznych Wniosek sinx 1, cosx 1,. sin( x) = sinx,cos( x) = cosx, 3. sin(x y) = sinxcosy cosxsiny, 4. cos(x y) = cosxcosy +sinxsiny, 5. sinx+siny = sin x+y 6. sinx siny = sin x y cos x y, cos x+y, 7. cosx = sin( π x), 8. sin(x+π) = sinx,cos(x+π) = cosx, 9. sinx x. 13 / 5

14 Funkcje okresowe Definicja 15. Funkcjaf(x) nazywa się okresowa, jeżeli istnieje minimalna liczbat R, takia, że x zachodzif(x+t) = f(t). LiczbaT przy tym nazywa się okresem funkcji f(x). Uwaga 16. Własność 8 oznacza, że funkcjesinx icosx maja okres π. Można udowodnić, żeπ jest najmniejszym z okresów. Uwaga 17. Stała funkcja nie jest okresowa. 14 / 5

15 Własności funkcjisinx orazcosx. Cd. Twierdzenie 18. Funkcje sin x oraz cos x sa ciagłe na całej prostejr. Dowód. sinx jest ciagł a w zerze. sinx sinx n = cos x+x n jest ciagiem nieskończone małym dla ciagux n x. cosx = sin( π x). sin x n x Twierdzenie 19. Funkcjasinx rośnie na każdym z przedziałów [kπ π,kπ + π ] i maleje na każdym z przedziałów ], zaś funkcjacosx rośnie na [(k+1)π π,(k +1)π + π każdym z przedziałów[kπ,kπ+π] i maleje na każdym z przedziałów[kπ π, kπ]. Wszędzie k jest liczba całkowita, k = 0,±1,±, / 5

16 Wykresy funkcjisinx orazcosx π π π π π/ 3π/ π/ π/ 5π/ Rysunek 4: Wykres funkcjiy = sinx (po lewej) orazy = cosx (po prawej) 16 / 5

17 Funkcjetgx,ctgx Definicja tgx = sinx cosx. ctgx = cosx sinx. Uwaga 1. W literaturze anglojęzycznej używa się oznaczeńtgx orazctgx. Własności funkcjitgx ictgx Twierdzenie. 1. Funkcja tg x jest ciagł a przyx π funkcja ctg x jest ciagł a przyx kπ.. Funkcjetgx orazctgx maja okresπ. +kπ, zaś 3. Funkcjatgx rośnie na każdym z przedziałów +kπ), zaś funkcjactgx maleje na każdym z ( π +kπ, π przedziałów(kπ,π+kπ) (k Z). 17 / 5

18 Wykresy funkcjitgx orazctgx 4 3π/ π/ π/ 3π/ π π Rysunek 5: Wykres funkcjiy = tgx (po lewej) orazy = ctgx (po prawej) 18 / 5

19 Funkcje kołowe (odwrotne trygonometryczne funkcje) ] jest funkcj a Definicja 3. arcsinx : [ 1,1] [ π, π odwrotna dosinx : [ π, π ] [ 1,1]. arccosx : [ 1,1] [0,π] jest funkcja odwrotna do cosx : [0,π] [ 1,1]. ) jest funkcj a odwrotna do arctgx : (,+ ) ( π, π tgx : ( π, π ) (,+ ). arcctgx : (,+ ) (0,π) jest funkcja odwrotna do ctgx : (0,π) (,+ ). Twierdzenie Wszystkie te funkcje sa ciagłe,. funkcjearcsinx iarctgx sa rosnace, 3. arccosx orazarcctgx sa malejace. 19 / 5

20 Wykresy funkcji arc sin x oraz arc cos x 1.5 π/ 3 π π/ Rysunek 6: Wykres funkcji y = arcsinx (po lewej) oraz y = arccosx (po prawej) 0 / 5

21 Wykresy funkcjiarctgx orazarcctgx π/ π/ Rysunek 7: Wykres funkcji y = arctgx (po lewej) oraz y = arcctgx (po prawej) π 1 / 5

22 Funkcje hiperboliczne Definicja Funkcjasinh = ex e x nazywa się sinusem hiperbolicznym. Funkcjacosh = ex +e x nazywa się cosinusem hiperbolicznym 3. Funkcjatgh = sinhx coshx = ex e x e x +e x nazywa się tangensem hiperbolicznym 4. Funkcjactgh = coshx sinhx = ex +e x e x e x nazywa się cotangensem hiperbolicznym Twierdzenie 6. Funkcje hiperboliczne sa ciagłe we wszystkich punktach prostejr(cotangens hiperboliczny oprócz punktux = 0). Twierdzenie 7. sinh(x+y) = sinhx coshy +coshx sinhy, cosh(x+y) = coshx coshy +sinhx sinhy. / 5

23 Wykresy funkcjisinhx orazcoshx Rysunek 8: Wykres funkcji y = sinhx (po lewej) oraz y = coshx (po prawej) 3 / 5

24 Wykresy funkcjitghx orazctghx Rysunek 9: Wykres funkcji y = tghx (po lewej) oraz y = ctghx (po prawej) 4 / 5

25 Dwie granice Twierdzenie 8. lim x 0 sinx x = 1. Twierdzenie 9. lim x 0 (1+x) 1/x = e. 5 / 5