Funkcje wielu zmiennych (c.d.)
|
|
- Jerzy Matusiak
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Funkcje wielu zmiennych (c.d.) Ekstrema funkcji wielu zmiennych Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 1/40
2 Minimum lokalne Niechf:D f R,D f R n będzie funkcjąn-zmiennych. Niech U D f będzie zbiorem otwartym i P 0 (x 01,...,x 0n ) U. Funkcjaf ma w punkciep 0 minimum lokalne, jeżeli istnieje otoczenie U D f punktup 0, takie że dla każdego punktu P U ip P 0 spełniona jest nierówność f(p) f(p 0 ). Funkcjaf ma w punkciep 0 minimum lokalne właściwe, jeżeli istnieje otoczenie U D f punktup 0, takie że dla każdego punktup U ip P 0 spełniona jest nierówność f(p)>f(p 0 ). Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 2/40
3 Maksimum lokalne Niechf:D f R,D f R n będzie funkcjąn-zmiennych. Niech U D f będzie zbiorem otwartym i P 0 (x 01,...,x 0n ) U. Funkcjaf ma w punkciep 0 maksimum lokalne, jeżeli istnieje otoczenie U D f punktup 0, takie że dla każdego punktu P U ip P 0 spełniona jest nierówność f(p) f(p 0 ). Funkcjaf ma w punkciep 0 maksimum lokalne właściwe, jeżeli istnieje otoczenie U D f punktup 0, takie że dla każdego punktup U ip P 0 spełniona jest nierówność f(p)<f(p 0 ). Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 3/40
4 Ekstrema lokalne Minima i maksima lokalne nazywamy EKSTREMAMI LOKALNYMI. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 4/40
5 Minimum globalne Liczbamjest najmniejsza wartościa funkcjif na zbiorzea D f, jeżeli istnieje punkt P 0 (x 01,...,x 0n ) A, taki że f(p 0 )=m i dla każdego punktup A Liczbęmnazywamy f(p) f(p 0 )=m. minimum globalnym funkcjif na zbiorzea. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 5/40
6 Maksimum globalne LiczbaM jest największa wartościa funkcjif na zbiorzea D f, jeżeli istnieje punkt P 0 (x 01,...,x 0n ) A, taki że f(p 0 )=M i dla każdego punktup A LiczbęM nazywamy f(p) f(p 0 )=M. maksimum globalnym funkcjif na zbiorzea. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 6/40
7 Ekstrema globalne Minimum i maksimum globalne nazywamy EKSTREMAMI GLOBALNYMI. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 7/40
8 Warunek konieczny istnienia ekstremum Jeżeli f ma ekstremum w punkciep 0, istnieja pochodne f,i=1,...,n cząstkowe w punkcie x i P 0, to f x 1 (P 0 )=0, f x 2 (P 0 )=0,..., f x n (P 0 )=0 f(p 0 )=[0,0,...,0]= 0 Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 8/40
9 Uwaga Z twierdzenia tego wynika, że funkcja może mieć ekstrema tylko w punktach, w których wszystkie jej pochodne cząstkowe są równe 0 albo w punktach, w których przynajmniej jedna pochodna cząstkowa nie istnieje. Zerowanie się pochodnych cząstkowych nie gwarantuje istnienia ekstremum lokalnego. Np. funkcjef(x,y)=x 3,f(x,y)=x 2 y 2 f spełniają warunki x (0,0)=0, f (0,0)=0 i nie y posiadają ekstremów w punkcie(0,0). Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 9/40
10 Punkty krytyczne PunktP 0 R n, w którym przynajmniej jedna pochodna cząstkowa nie istnieje lub w którym wszystkie pochodne cząstkowe są równe zero nazywamy punktem krytycznym funkcjif Punkt krytycznyp 0, w którym jest spełniony warunek f(p 0 )= 0 nazywamy punktem stacjonarnym funkcjif. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 10/40
11 Hesjan Macierz Hf:= 2 f x f 2 f x 2 x 1 x f x 1 x f 2 f x n x 1 x n x f x 1 x n 2 f x 2 x n. 2 f x 2 n nazywamy HESJANEM funkcjif. Hesjan jest macierzą zależną od tych samych zmiennych, od których zależy funkcja. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 11/40
12 Rozważmy funkcjęf: R n R oraz zdefiniujmy funkcje i := 2 f x f 2 f x 2 x 1 x f x 1 x f 2 f x i x 1 x i x f x 1 x i 2 f x 2 x i. 2 f x 2 i, i=1,...,n. Zauważmy, że 1 := 2 f x 2 1 i n =dethf. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 12/40
13 Warunek wystarczający istnienia ekstremum Załóżmy, że f f f (P 0 )=0, (P 0 )=0,..., (P 0 )=0 x 1 x 2 x n (punktp 0 jest punktem stacjonarnym funkcjif). Jeżeli i (P 0 )>0,dlai=1,2,...,n, to w punkciep 0 funkcjaf ma minimum lokalne właściwe. 1 (P 0 )<0, 2 (P 0 )>0, 3 (P 0 )<0,..., ( 1) i i (P 0 )>0,i=1,...,n, to w punkciep 0 funkcjaf ma maksimum lokalne właściwe. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 13/40
14 Uwaga NiechP 0 będzie punktem krytycznym funkcji f: R 2 R. Jeżeli 2 (P 0 )<0, to w punkciep 0 funkcjaf nie ma ekstremum. Np. dlaf(x,y)=x 2 y 2 mamy f x (0,0)=0, f y (0,0)=0 i 2 =dethf= = 4<0, więc funkcjaf nie ma ekstremum w punkcie krytycznym(0,0). Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 14/40
15 Niechf: R 3 R i Przykład f(x,y,z)=x 2 +y 2 +z 2 xy+x+2z. Wtedy f x =2x y+1, f y =2y x, f z =2z+2. Ponieważ 2x y+1=0 2y x=0 2z+2=0 więcp 0 ( 2 3, 1 3, 1 ) x= 2 3 y= 1 3 z= 1 jest punktem krytycznym., Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 15/40
16 Przykład f(x,y,z)=x 2 +y 2 +z 2 xy+x+2z Ponadto Hf= i 1 (P 0 )=2>0, 2 (P 0 )=3>0, 3 (P 0 )=6>0, ( więc funkcjaf ma w punkciep 0 2 ) 3, 1 3, 1 minimum lokalne, które wynosi f min =f(p 0 )= = 4 3. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 16/40
17 Niechf: R n R,n 2i Wtedy Ponieważ Przykład f(x 1,x 2,...,x n )= x 2 1 x2 2 x2 n. f x i = 2x i,i=1,...,n. 2x 1 =0. 2x n =0 x 1 =0. x n =0 więcp 0 (0,...,0) jest punktem krytycznym., Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 17/40
18 Przykład f(x 1,x 2,...,x n )= x 2 1 x 2 2 x 2 n Ponadto Hf= i 1 (P 0 )= 2<0, 2 (P 0 )=4>0,..., n (P 0 )=( 2) n, więc ( 1) i i (P 0 )=( 1) i ( 2) i =2 i >0, funkcjaf ma w punkciep 0 (0,...,0) maksimum lokalne, które wynosif max =f(p 0 )=0. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 18/40
19 Ekstrema globalne NiechA R n if:a R. JeżeliAjest domknięty i ograniczony, af jest funkcja ciagł a, to funkcjaf osiaga w zbiorzea wartość najmniejsza i największa. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 19/40
20 Algorytm znajdowania ekstremów globalnych funkcji na obszarze domkniętym Znajdujemy wszystkie punkty krytyczne wewnątrz zbioruaiobliczmy wartości funkcji w tych punktach. Znajdujemy punkty krytyczne na brzegu obszaru A i obliczmy wartości funkcji w tych punktach. Porównujemy otrzymane wartości funkcji znajdując wartość najmniejszą i największą. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 20/40
21 Przykład Niechf:A R 2 R i f(x,y)=x 2 +2xy 4x+8y, gdzieajest trójkątem ograniczonym prostymix=0, y=0ix+y=4. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 21/40
22 Przykład Niechf:A R 2 R i f(x,y)=x 2 y 2 +18, gdziea= { (x,y):x 2 +y 2 9 }. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 22/40
23 Ekstrema warunkowe Ekstrema funkcjif: D R n R z ograniczeniem g(x 1,x 2,...,x n )=0.nazywamy ekstremami warunkowymi lub względnymi. Jeżeli potrafimy wyliczyć z równania ( ) g(x 1,x 2,...,x n )=0 jedną ze zmiennych, np.x n =φ(x 1,x 2,...,x n ), to możemy podstawić tę zależność zamiast zmiennejx n do wzoru badanej funkcji, redukując w ten sposób liczbę zmiennych o jeden. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 23/40
24 Metoda mnożników Lagrange a wyznaczania ekstremów Funkcję warunkowych L(λ,x 1,...,x n )=f(x 1,...,x n )+λ g(x 1,x 2,...,x n ) nazywamy funkcja Lagrange a. Załóżmy, że g(x 01,x 02,...,x 0n )=0 i g(x 01,x 02,...,x 0n ) 0. Twierdzenie: JeżeliP 0 (x 01,x 02,...,x 0n ) jest punktem ekstremalnym, to istnieje λ, taka że( λ,p 0 ) jest punktem krytycznym funkcji Lagrange a, tzn. L λ ( λ,p 0 )=0, L x i ( λ,p 0 )=0,i=1,...,n. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 24/40
25 Macierz HL= g 0 x 1 g 2 L x 1 x g g x n x L x 1 x L x 1 x n g 2 L 2 L x 2 x 2 x 1 x... 2 L g 2 L 2 L x n x n x 1 x n x L x 2 n x 2 x n. jest hesjanem funkcji Lagrange a. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 25/40
26 Zdefiniujmy W i := g g 0 x 1 g 2 L x 1 x 2 1 g 2 L 2 L x 2 x 2 x 1 x g x i x 2 x i. x L x 1 x L x 1 x i... 2 L... g 2 L 2 L x i x i x 1 x i x L x 2 i, i=2,3,...,n. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 26/40
27 Warunek wystarczający istnienia ekstremum warunkowego Załóżmy, że L λ ( λ,p 0 )=0, L x i ( λ,p 0 )=0,i=1,...,n. (( λ,p 0 ) jest punktem krytycznym funkcji Lagrange a). Jeżeli W i (P 0 )<0, dlai=2,3,...,n, to w punkciep 0 funkcja f osiąga minimum względne przy ograniczeniu g(x 1,x 2,...,x n )=0. i W i (P 0 )>0, dlai=2,3,...,n, to w punkciep 0 funkcjaf osiąga maksimum względne przy ograniczeniu g(x 1,x 2,...,x n )=0. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 27/40 ( 1)
28 Warunek wystarczający istnienia ekstremum warunkowego Niechn=2iniech( λ,x 0,y 0 ) będzie punktem krytycznym funkcji Lagrange al(λ,x,y)=f(x,y)+λ g(x,y), tzn. L λ ( λ,x 0,y 0 )=0, Jeżeli dethl( λ,x L x ( λ,x 0,y 0 )=0, L y ( λ,x 0,y 0 )=0. 0,y 0 )<0, to w punkcie(x 0,y 0 ) funkcjaf osiąga minimum lokalne warunkowe przy warunku g(x,y)=0. 0,y 0 )>0, to w punkcie(x 0,y 0 ) funkcjaf osiąga maksimum lokalne warunkowe przy warunku g(x,y)=0. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 28/40 dethl( λ,x
29 Przykład Wyznaczmy ekstrema lokalne funkcjif: R 2 R i f(x,y)= 2x+3y+2 przy ograniczeniux 2 +y 2 1=0. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 29/40
30 Przykład Wyznaczmy ekstrema lokalne funkcjif: R 2 R i f(x,y)=x 2 +y 2 przy ograniczeniux 2 y 2 =1. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 30/40
31 Funkcje uwikłane Funkcja uwikłana określoną przez warunek F(x,y)=0 nazywamy każdą funkcję y = ϕ(x), spełniajacą równość F(x, ϕ(x)) = 0 dla wszystkich x z pewnego przedziału I R. Podobnie określa się funkcję uwikłaną x=ψ(y), gdzie y J R. Wówczas F x + F y y =0 y = F x F y Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 31/40
32 Przykłady Funkcja y= 1 x 2 jest funkcją uwikłaną określoną w przedziale 1,1 za pomocą równania x 2 +y 2 1=0 ponieważ dla każdegox 1,1 spełniony jest warunek x 2 + ( 1 x 2) 2 1=0. Równanie x 2 +y 2 +1=0 nie określa żadnej funkcji. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 32/40
33 Twierdzenie o istnieniu i różniczkowalności funkcji uwikłanej Jeżeli funkcjaf ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na otoczeniu punktu(x 0,y 0 ) i spełnia warunki 1 F(x 0,y 0 )=0 2 F y (x 0,y 0 ) 0, to na pewnym otoczeniu O punktux 0 istnieje jednoznacznie określona funkcja uwikłana y = ϕ(x) spełniająca warunki: dla każdegoxztego otoczenia, 0 )=y 0, F(x,ϕ(x))=0 ϕ(x =ϕ (x)= F x (x,ϕ(x)) F y (x,ϕ(x)), dla każdegox O. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 33/40 y
34 Przykłady Niechx+siny=xy. Obliczy (0)=... i y (0)=... Niechx=y+lny. Obliczy =... iy =... Napisz równanie stycznej do krzywej określonej równaniemx+x 3 =y 3 +y 5 w punkciea(1,1). Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 34/40
35 Twierdzenie o ekstremach funkcji uwikłanej Niech funkcjaf będzie określona na otoczeniu punktu(x 0,y 0 ) i niech ma tam ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego. Ponadto niech 1 F(x 0,y 0 )=0 2 F x (x 0,y 0 )=0, F y (x 0,y 0 ) 0, 3 A= 2 F x 2(x 0,y 0 ) F y (x 0,y 0 ) 0. Wtedy funkcja uwikłanay=ϕ(x) określona przez równanie F(x,y)=0 ma w punkcie(x 0,y 0 ) ekstremum lokalne właściwe: minimum, gdya>0 maksimum, gdya<0. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 35/40
36 Uwaga RównośćF(x 0,y 0 )=0 jest warunkiem koniecznym, a nierówność 2 F x 2(x 0,y 0 ) 0 jest warunkiem wystarczającym istnienia ekstremum funkcji uwikłanej. Prawdziwe jest także analogiczne twierdzenie o ekstremach funkcji uwikłanej postaci x=ψ(y). Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 36/40
37 Algorytm znajdowania ekstremów lokalnych funkcji uwikłanej 1 Punkty, w których funkcja uwikłana może mieć ekstrema, znajdujemy korzystając z warunku koniecznego istnienia ekstremum. W tym celu rozwiązujemy układ warunków: F F(x,y)=0, x (x,y)=0, F y (x,y) 0, 2 W otrzymanych punktach(x 0,y 0 ) sprawdzamy warunek wystarczający istnienia ekstremum, tj. określamy znak 2 F wyrażenia A= x 2(x 0,y 0 ) 0. Na podstawie znaku tego F y (x 0,y 0 ) wyrażenia ustalamy rodzaj ekstremum. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 37/40
38 Przykład Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji uwikłanej y = ϕ(x) określonej przez warunek x 3 +y 3 8xy=0. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 38/40
39 Podsumowanie Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych. Ekstrema globalne funkcji wielu zmiennych. Warunki na istnienie ekstremów lokalnych. Algorytm znajdowania ekstremów globalnych. Ekstrema warunkowe funkcji wielu zmiennych. Funkcje uwikłane. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 39/40
40 Dziękuję za uwagę Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 40/40
Funkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowoII. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Bardziej szczegółowo22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych
Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych Definicja Spis treści: Wykres Ciągłość, granica iterowana i podwójna Pochodne cząstkowe Różniczka zupełna Gradient Pochodna kierunkowa Twierdzenie Schwarza
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101 MAP1067
1 Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 14 Funkcje wielu zmiennych. Płaszczyzna styczna. Ekstrema Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania
Bardziej szczegółowo13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne.
13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 1. Wprowadzenie. Dotąd rozważaliśmy funkcje działające z podzbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych, zatem funkcje
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoVIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
Bardziej szczegółowoWykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.
Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej
Bardziej szczegółowoPochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji
Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 1 / 24 Zanim przejdziemy
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych (c.d.)
Funkcje wielu zmiennych (c.d.) Pochodne czastkowe. Pochodna kierunkowa. Gradient. Różniczka zupełna. Pochodna odwzorowania. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
1 Pochodne wyższych rzędów Definicja 1.1 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu) Niech f będzie odwzorowaniem o wartościach w R m, określonym na zbiorze G R k. Załóżmy, że zbiór tych x G, dla których istnieje
Bardziej szczegółowoDefinicja punktu wewnętrznego zbioru Punkt p jest punktem wewnętrznym zbioru, gdy należy do niego wraz z pewnym swoim otoczeniem
Definicja kuli w R n ulą o promieniu r>0 r R i o środku w punkcie p R n nazywamy zbiór {x R n : ρ(xp)
Bardziej szczegółowoProgramowanie matematyczne
dr Adam Sojda Badania Operacyjne Wykład Politechnika Śląska Programowanie matematyczne Programowanie matematyczne, to problem optymalizacyjny w postaci: f ( x) max przy warunkach g( x) 0 h( x) = 0 x X
Bardziej szczegółowoPochodną funkcji w punkcie nazywamy granicę ilorazu różnicowego w punkcie gdy przyrost argumentu dąży do zera: lim
Definicja pochodnej Niech będzie funkcją określoną w pewnym przedziale i niech będzie punktem wewnętrznym tego przedziału. Liczbę dowolną, ale taką, że nazywamy przyrostem argumentu, a różnicę nazywamy
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 8 Pochodna kierunkowa funkcji Definicja Niech funkcja f określona bȩdzie w otoczeniu punktu P 0 = (x 0, y 0 ) oraz niech v = [v x, v y ] bȩdzie wektorem. Pochodn a kierunkow a funkcji
Bardziej szczegółowoKURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
KURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH Lekcja 8 Ekstrema warunkowe (mnożnik Lagrange a) ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Częśd 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Jak
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna. Pochodne wyższych rzędów. Wzór Taylora
Analiza Matematyczna. Pochodne wyższych Aleksander Denisiuk denisiuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk 23 kwietnia
Bardziej szczegółowoEkstrema globalne funkcji
SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością
Bardziej szczegółowoPochodne wyższych rzędów. Wzór Taylora
Analiza Matematyczna Pochodne wyższych rzędów. Wzór Taylora Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045
Bardziej szczegółowoWykład 13. Informatyka Stosowana. 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 34
Wykład 13 Informatyka Stosowana 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko Informatyka Stosowana Wykład 13 14.01.2019, M.A-B 1 / 34 Pochodne z funkcji elementarnych c = 0 (x n ) = nx n 1 (a x ) = a x ln a,
Bardziej szczegółowoWykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Bardziej szczegółowoFakt 3.(zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych) Przy czym błąd, jaki popełniamy zastępując przyrost funkcji
Wykład 5 De.5 (różniczka unkcji Niech unkcja ma pochodną w punkcie. Różniczką unkcji w punkcie nazywamy unkcję d zmiennej określoną wzorem. Fakt 3.(zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych Jeżeli
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoKURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
KURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH Lekcja 7 Największe i najmniejsze wartości funkcji (ekstrema globalne) ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Częśd 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa).
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Optymalizacja Dla podanych niżej problemów decyzyjnych (zad.1 zad.5) należy sformułować zadania optymalizacji, tj.: określić postać zmiennych
Bardziej szczegółowoLokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane
Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie
Bardziej szczegółowoAB = x a + yb y a + zb z a 1
1. Wektory w przestrzeni trójwymiarowej EFINICJA. Uporzadkowana pare punktów (A, B) nazywamy wektorem i oznaczamy AB. Punkt A to poczatek wektora, punkt B to koniec wektora. EFINICJA. Je±li B = A, to wektor
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 8 Programowanie nieliniowe Spis treści Programowanie nieliniowe Zadanie programowania nieliniowego Zadanie programowania nieliniowego jest identyczne jak dla
Bardziej szczegółowoKURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
KURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH Lekcja Ekstrema (lokalne) funkcji wielu zmiennych ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona Częśd : TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie Wykres
Bardziej szczegółowoPochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoProgramowanie nieliniowe. Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a
Programowanie nieliniowe Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a Plan wykładu Przykład problemu z nieliniową funkcją celu Sformułowanie problemu programowania matematycznego Podstawowe definicje
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Bardziej szczegółowoRÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych
RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9 Przykład z fizyki Rozpatrzmy szeregowe połączenie dwu elementów elektronicznych: opornika i diody półprzewodnikowej.
Bardziej szczegółowoDefinicja pochodnej cząstkowej
1 z 8 gdzie punkt wewnętrzny Definicja pochodnej cząstkowej JeŜeli iloraz ma granicę dla to granicę tę nazywamy pochodną cząstkową funkcji względem w punkcie. Oznaczenia: Pochodną cząstkową funkcji względem
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Zastosowania
Pochodna funkcji Zastosowania Informatyka (sem.1 2015/16) Analiza Matematyczna Temat 3 1 / 33 Niektóre zastosowania pochodnych 1 Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości 2 Pochodna jako narzędzie
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 7 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 13 grudnia 2018r. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Je zeli ka zdemu punktowi P o wspó rzednych x; y) z pewnego obszaru D na p aszczyźnie R 2 przyporzadkujemy w sposób jednoznaczny liczb e rzeczywista z, to przyporzadkowanie to nazywamy
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji odwrotnej
Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne
Bardziej szczegółowo3. Funkcje wielu zmiennych
3 Funkcje wielu zmiennych 31 Ciagłość Zanim podamy definicję ciagłości dla funkcji wielu zmiennych wprowadzimy bardzo ogólne i abstrakcyjne pojęcie przestrzeni metrycznej Przestrzeń metryczna Metryka w
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.
Bardziej szczegółowoWykład 6. Matematyka 2, semestr letni 2010/2011 Brak fragmentu dotyczącego twierdzenia o odwzorowaniu odwrotnym
Wykład 6. Matematyka 2, semestr letni 2010/2011 Brak fragmentu dotyczącego twierdzenia o odwzorowaniu odwrotnym Niechf: R n RbędziefunkcjąróżniczkowalnąnapewnymobszarzeO R 2.Przyjrzyjmy się zbiorowi f
Bardziej szczegółowoZ52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.
Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoZestaw zadań przygotowujących do egzaminu z Matematyki 1
Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach Wydział Finansów i Ubezpieczeń, Kierunek: Finanse i Zarządzanie w Ochronie Zdrowia Zestaw zadań przygotowujących do egzaminu z Matematyki 1 Powtórka materiału przed
Bardziej szczegółowo9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji f : R R
Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.
Bardziej szczegółowoEkstrema funkcji dwóch zmiennych
Wkład z matematki inżnierskiej Ekstrema funkcji dwóch zmiennch JJ, IMiF UTP 18 JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 1 / 47 Ekstrema lokalne DEFINICJA. Załóżm, że funkcja f (, ) jest określona w pewnm otoczeniu
Bardziej szczegółowo2. Definicja pochodnej w R n
2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)
Bardziej szczegółowoRACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzyszto KOŁOWROCKI Przyjmijmy, że y (, D, jest unkcją określoną w zbiorze D R oraz niec D Deinicja
Bardziej szczegółowoLista zadań nr 2 z Matematyki II
Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna. Właściwości funkcji ciagłych
Analiza Matematyczna. Właściwości funkcji Aleksander Denisiuk denisiuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk 24 marca
Bardziej szczegółowoWykłady z matematyki inżynierskiej EKSTREMA FUNKCJI. JJ, IMiF UTP
Wykłady z matematyki inżynierskiej EKSTREMA FUNKCJI JJ, IMiF UTP 05 MINIMUM LOKALNE y y = f () f ( 0 ) 0 DEFINICJA. Załóżmy, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu 0. MINIMUM LOKALNE y y
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowoTemat: Zastosowania pochodnej
Temat: Zastosowania pochodnej A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga A n n a R a j u r a, M a
Bardziej szczegółowoWykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39
Wykład 11 i 12 Informatyka Stosowana 9 stycznia 2017 Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia 2017 1 / 39 Twierdzenie Lagrange a Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 jest ciagła na [a, b] 2 f istnieje
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Denicja 1. Niech X = R n b dzie przestrzeni unormowan oraz d(x, y) = x y.
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoFUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji: 4 x 2 y 2 ; (b) g(x, y) = e y x 2 1 ; (c) u(x, y) = arc sin xy; (d) v(x, y) = sin(x 2 + y 2 ); (e) w(x, y) = x sin
Bardziej szczegółowoMetody optymalizacji. notatki dla studentów matematyki semestr zimowy 2015/2016
Metody optymalizacji notatki dla studentów matematyki semestr zimowy 2015/2016 Aktualizacja: 11 stycznia 2016 Spis treści Spis treści 2 1 Wprowadzenie do optymalizacji 1 11 Podstawowe definicje i własności
Bardziej szczegółowoCałki podwójne. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Całki podwójne Całki podwójne po prostokacie. Całki podwójne po obszarach normalnych. Zamiana zmiennych w całkach podwójnych. Zastosowania całek podwójnych. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x, y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/
Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5
Bardziej szczegółowoFunkcje ciagłe. Matematyka. Aleksander Denisiuk. Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza Elblag.
Matematyka Funkcje ciagłe Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag Matematyka p. 1 Funkcje ciagłe Najnowsza wersja tego dokumentu
Bardziej szczegółowoWYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU
WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Karolina Kalińska MATEMATYKA: PRZYKŁADY I ZADANIA Włocławek 2011 REDAKCJA WYDAWNICTWA PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Matematyka:
Bardziej szczegółowoFunkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:
Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowoFunkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju
Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji -go i 2-go rodzaju Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowoSzeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o
Bardziej szczegółowo1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie
Bardziej szczegółowoWłaściwości funkcji Różniczkowalnych
Matematyka Właściwości funkcji Różniczkowalnych Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag Matematyka p. 1 Właściwości funkcji Różniczkowalnych
Bardziej szczegółowoMetoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii
Maciej Grzesiak Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii 1 Metoda mnożników Lagrange a znajdowania ekstremum warunkowego Pochodna kierunkowa i gradient Dla prostoty ograniczymy się do
Bardziej szczegółowoWykład 6, pochodne funkcji. Siedlce
Wykład 6, pochodne funkcji Siedlce 20.12.2015 Definicja pochodnej funkcji w punkcie Niech f : (a; b) R i niech x 0 ; x 1 (a; b), x0 x1. Wyrażenie nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f między punktami
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Rozważ funkcję f(x, y) = (x + y)(x + 6)( y 3) określoną na zbiorze R 2.
Zadanie 1. Rozważ funkcję f(x, y) = (x + y)(x + 6)( y 3) określoną (ii) (3pt) Zbadaj, czy w punktach A = ( 3, 0), B = (1, 2), C = ( 6, 3) funkcja f ma maksimum lokalne. (iii) (2pt) Zbadaj, czy w punktach
Bardziej szczegółowoMetoda mnożników Lagrange'a
Metoda mnożników Lagrange'a Przemysław Ryś 1. Motywacja i założenia W analizie mikroekonomicznej spotykamy się często z problemem znalezienia miejsca, gdzie zadana funkcja przyjmuje największą lub najmniejszą
Bardziej szczegółowo2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Funkcje dwóch zmiennych 1. Funkcje dwóch zmiennych: pojęcia podstawowe Definicja 1. Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach
Bardziej szczegółowoEgzamin podstawowy (wersja przykładowa), 2014
Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), Analiza Matematyczna I W rozwiązaniach prosimy formułować lub nazywać wykorzystywane twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski oraz
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1 Przedmiot realizowany w układzie wykład 2 godz. tygodniowo ćwiczenia 2 godz. tygodniowo Regulamin zaliczeń www.mini.pw.edu.pl/~figurny 2 Program zajęć Równania różniczkowe
Bardziej szczegółowo5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Bardziej szczegółowoWKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA.
WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA. Załóżmy, że funkcja y f jest dwukrotnie różniczkowalna w Jeżeli Jeżeli przedziale a;b. Punkt P, f nazywamy punktem przegięcia funkcji y f wtedy i tylko
Bardziej szczegółowoRozwiązania prac domowych - Kurs Pochodnej. x 2 4. (x 2 4) 2. + kπ, gdzie k Z
1 Wideo 5 1.1 Zadanie 1 1.1.1 a) f(x) = x + x f (x) = x + f (x) = 0 x + = 0 x = 1 [SZKIC] zatem w x = 1 występuje minimum 1.1. b) f(x) = x x 4 f (x) = x(x 4) x (x) (x 4) f (x) = 0 x(x 4) x (x) (x 4) =
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Bardziej szczegółowoI. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.
I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Zastosowania pochodnej. Badanie przebiegu zmienności
Temat wykładu: Pochodna unkcji. Zastosowania pochodnej. Badanie przebiegu zmienności Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz * materiał nadobowiązkowy 1 1. Pochodna Zagadnienia
Bardziej szczegółowoRachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Sąsiedztwo punktu Liczby rzeczywiste będziemy teraz nazywać również punktami. Dla ustalonego punktu x 0 i promienia r > 0 zbiór S(x 0, r) = (x 0 r, x 0 ) (x 0, x 0 + r) nazywamy sąsiedztwem
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu miennch wkład MATEMATYKI Automatka i robotka studia niestacjonarne sem I, rok ak 2009/2010 Katedra Matematki Wdiał Informatki Politechnika Białostocka Niech R ndef ={( 1, 2,, n ): 1 R 2 R
Bardziej szczegółowoINTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Wprowadzenie Na czym polega interpolacja? Interpolacja polega
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 Programowanie nieliniowe i całkowitoliczbowe
Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 i całkowitoliczbowe Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp 2 3 Spis treści Spis treści 1 Wstęp
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 4 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 4 grudnia 08r. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Obliczanie pochodnej
Bardziej szczegółowoWzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n.
Wzór Maclaurina Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = n 1 k=0 f (k) (0) k! x k + f (n) (θx) x n. n! Wzór Maclaurina Przykład. Niech f (x) =
Bardziej szczegółowo2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d.
2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d.) 10 października 2009 r. 20. Która liczba jest większa,
Bardziej szczegółowo