Analiza Matematyczna. Zastosowania Całek

Transkrypt

1 Analiza Matematyczna. Zastosowania Całek Aleksander Denisiuk Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi Gdańsk 9 maja / 29

2 Zastosowania Całek Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem ØØÔ»»Ù Ö ºÔ Û Ø º ÙºÔл Ò Ù» 2 / 29

3 Równania krzywej Definicja 1. Niech dane będa dwie ciagłe w przedziale[t,t 1 ] funkcje, x = f(t) orazy = g(t). (1) Mówimy wówczas, że funkcje te określaja krzywa parametryczna na płaszczyźnier 2. Zmiennatnazywa się parametrem. O krzywej tej mówimy, że równania 1 sa równaniami parametrycznymi tej krzywej. 3 / 29

4 Przykłady krzywych parametrycznych: okrag Przykład 2. x = Rcost,y = Rsint, t [,2π] określa okrag x 2 +y 2 = R 2 o promieniuriśrodku w punkcie(,): R R 4 / 29

5 Przykłady krzywych parametrycznych: hyperbola Przykład 3. x = Rcosht,y = Rsinht, t [ 1,1] określa łuk hyperboli x 2 y 2 = R 2 : / 29

6 Pole obszaru, ograniczonego krzywa parametryczna Twierdzenie 4. Niech krzywa będzie określona równaniami parametrycznymix = g(t),y = h(t),t [t,t 1 ], a przy tym funkcjag(t) jest rosnaca i ma w tym przedziale pochodna ciagł a, to pole obszaru, ograniczonego łukiem danej krzywej, odcinkiem osi Ox oraz dwoma prostymix = x 2,x = x 2, gdziex 1 = g(t 1 ), x 2 = g(t 2 ) (rysunek 1), wyraża się wzorem P = x2 x 1 y dx = t2 t 1 h(t) g (t)dt. 6 / 29

7 Obszar, ograniczony krzywa parametryczna Rysunek 1: x 1 x 2 7 / 29

8 Pole obszaru, ograniczonego krzywa parametryczna Twierdzenie 5. Jeżeli dana krzywa jest określona równaniami parametrycznymi w postacix = g(t),y = h(t),t [t,t 1 ], a przy tym funkcjag(t) jest malejaca i ma w tym przedziale pochodna ciagł a, to pole obszaru, ograniczonego łukiem danej krzywej, odcinkiem osiox oraz dwoma prostymix = x 2,x = x 2, gdzie x 1 = g(t 1 ),x 2 = g(t 2 ) (rysunek refdrugi), wyraża się wzorem P = x2 t2 y dx = h(t) g (t)dt. x 1 t 1 8 / 29

9 Obszar, ograniczony krzywa parametryczna II Rysunek 2: x 1 x 2 9 / 29

10 Przykład Przykład 6. Znaleźć pole figury, zawartej między krzywymiy = x α ix = y α, rysunek 3. Dowód. P = [ x x α α+1 dx = 1 2 α+1 ] 1 = α 1 α+1. 1 / 29

11 Figura, zawarta międzyy = x α ix = y α 1 Rysunek 3:.8.6 x=y α.4 y=x α / 29

12 Przykład II Przykład 7. Znaleźć pole elipsy o półosiachaib(rysunek 4): x 2 a 2 + y2 b 2 = 1. Dowód. Równanie elipsy to x = a cos t, y = b sin t, t [ π,π]. Więc P = 4 π/2 = 4ab acost bcostdt = π/2 1+cos2t 2 π 2 dt = πab+absin2t = πab. 12 / 29

13 Elipsa o półosiachaib Rysunek 4: b a 13 / 29

14 Współrzędne Definicja 8. Wspólrzędne punktu P(x, y) płaszczyzny zdefiniowane sa jako para(r,ϕ), gdzier jest odległościa punktup od poczatku układuo(,), aϕjest katem (zorientowanym), jaki tworzy półprostaop z osiaox, rysunek 5. OśOx nazywa się osia biegunowa. Spełnione sa równości:r = x 2 +y 2,x = rcosϕ, y = rsinϕ. Równanier = f(ϕ), gdzief(ϕ) jest ciagł a i nieujemna funkcja w przedziale[α,β], nazywa się równaniem we współrzędnych biegunowych, rysunek / 29

15 Współrzędne y Rysunek 5: P r O β ϕα x 15 / 29

16 Pole figury we współrzędnych biegunowych Twierdzenie 9. Jeżeli krzywa dana jest we współrzędnych biegunowych r = f(ϕ), gdzie f(ϕ) jest funkcja nieujemna ciagł a w przedziale[α,β], to pole obszaru, ograniczonego łukiem krzywej oraz promieniami o amplitudachαiβ (rysunek 5), wyraża się wzorem P = 1 2 β α r 2 dϕ = 1 2 β α f 2 (ϕ)dϕ. 16 / 29

17 Przykład Przykład 1. Obliczyć pole, ograniczone rozeta trójkatn a r = cos 3ϕ, rysunek 6. Dowód. P = 6 a2 2 π/6 cos 2 3ϕdϕ = 3a 2 π/6 = 3a 2 [ π 12 + sin6ϕ 12 1+cos6ϕ dϕ = 2 π 6 ] = πa / 29

18 Rozeta trójkatna Rysunek 6: ϕ=π/6 a 18 / 29

19 Obliczanie długości łuku Twierdzenie 11. Jeżeli krzywa wyznaczona jest równaniem postaci y = f(x), gdzie f(x) ma w przedziale[a, b] pochodna ciagła, to długość łuku w tym przedziale wyraża się wzorem L = b a 1+ ( ) dy 2 dx. dx Twierdzenie 12. Jeżeli krzywa wyznaczona jest równaniem parametrycznymx = g(t),y = h(t), gdzie funkcjeg(t) ih(x) maja w przedziale[t 1,t 2 ] pochodne ciagłe oraz łuk krzywej nie ma części wielokrotnych, to długość łuku w tym przedziale wyraża się wzorem L = t 2 t 1 (dx ) 2 + dt ( ) dy 2 dt. dt 19 / 29

20 Długość łuku we współrzędnych biegunowych Twierdzenie 13. Jeżeli krzywa wyznaczona jest równaniem we współrzędnych biegunowychr = f(ϕ), gdzie funkcjaf(ϕ) ma w przedziale[α, β] pochodna ciagł a oraz łuk krzywej nie ma części wielokrotnych, to długość łuku w tym przedziale wyraża się wzorem L = β α r 2 + ( ) dr 2 dϕ. dϕ 2 / 29

21 Długość łuku paraboli Przykład 14. Obliczyć długość łuku paraboliy = x 2 w przedziale [ 1,1]. Rozwiazanie. L = x 2 dx = [ 1 = 2 x 1+4x ln( 2x+ 1+4x 2) = ( ) ln 5 2 ] 1 1 = 21 / 29

22 Obwód asteroidy Przykład 15. Obliczyć obwód asteroidyx = acos 3 t,y = asin 3 t, t [,2π], gdziea >, rysunek 7. Rozwiazanie. L = 4 π/2 ( 3acos 2 tsint) 2 +(3asin 2 tcost) 2 dt = = 12a π/2 sin 2 tcos 2 t(cos 2 t+sin 2 t)dt = = 6a π/2 π 2 sin2tdt = 3acos2t = 6a. 22 / 29

23 Asteroida Rysunek 7: a -a a -a 23 / 29

24 Obwód elipsy Przykład 16. Obliczyć obwód elipsy x = a cos t, y = b sin t, gdzie a > b >,t [,2π], rysunek 4. Dowód. L = 4 π/2 a 2 sin 2 t+b 2 cos 2 tdt = 4a π/2 1 ε 2 cos 2 tdt, gdzieε = a 2 b 2 /a nazywa się mimośrodem elipsy, zaś całka 1 ε 2 cos 2 tdt nie wyraża się przez funkcje elementarne i nazywa się całka eliptyczna. 24 / 29

25 Objętość i pole powierzchni bryły obrotowej Twierdzenie 17. Niech dany będzie łukab (rysunek 8) krzywej o równaniu y = f(x), gdzie f(x) jest funkcja ciagł a i niemalejac a w przedziele[a,b]. Wówczas objętość bryły obrotowej,bryła obrotowa ograniczonej powierzchnia, która powstaje, gdy łuk wraz z rzędnymi w końcach łuku obraca się dookoła osiox, obliczmy według wzoru V = π b a y 2 dx. Pole powierzchni obrotowejpowierzchnia obrotowa powstałej przez obrót łukuab dookoła osiox, przy założeniu, żef(x) ma pochodna ciagła, obliczamy według wzoru S = 2π b a y 1+ ( ) dy 2 dx. dx 25 / 29

26 Bryła obrotowa Rysunek 8: B A a b 26 / 29

27 Bryła obrotowa, równanie Twierdzenie 18. Jeżeli równanie łuku dane jest w postaci jx = g(t), y=h(t),t [t 1,t 2 ], przy czym obie funkcje maja w tym przedziale ciagłe pochodne, funkcjag(t) jest w tym przedziale stale monotoniczna, a funkcjag(x) przybiera wartości nieujemne, to na objętość bryły obrotowej mamy wzór V = π t2 t 1 y 2dx dt dt, a na pole powierzchni obrotowej S = 2π t2 t 1 y (dx ) 2 + dt ( ) dy 2 dt. dt 27 / 29

28 Objętość i pole powierzchni stożka Przykład 19. Znaleźć objętość i pole powierzchni bocznej stożka o promieniu podstawyr i wysokościh. Rozwiazanie. Stożek powstaje przy obrocie odcinka prostej o równaniuy = r hx dookoła osiox, rysunek 9. V = π h r 2 h 2x2 dx = πr2 x 3 h 3h 2 = π 3 r2 h, S = 2π h r h x 1+ ( r h ) 2dx = = πr r 2 +h 2 h 2 x 2 h = πr r 2 +h / 29

29 Stożek r Rysunek 9: h 29 / 29