Funkcje ciagłe. Matematyka. Aleksander Denisiuk. Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza Elblag.

Transkrypt

1 Matematyka Funkcje ciagłe Aleksander Denisiuk Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza Elblag Matematyka p. 1

2 Funkcje ciagłe Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem Matematyka p. 2

3 Definicja funkcji ciagłej Niech dana będzie funkcja f(x), określona w otoczeniu punktu a. Definicja 1. Funkcjaf(x) nazywa się ciagł a w punkciea, jeżeli lim x a f(x) = f(a). Jeżelif(x) jest ci mówimy wówczas, żef jest ciagła na zbiorzex. agł a w każdym punkcie zbiorux, to Matematyka p. 3

4 Własności lokalne funkcji ciagłych Twierdzenie 2. Niech dane będa funkcjef(x) ig(x), ciagłe w punkciea. Wtedy funkcjef ±g,f g oraz f(x) ciagłe w punkciea. Wniosek 3. g(x) 1. Stała funkcja jest ciagł a. 2. f(x) = x jest funkcja ciagła. 3. Wielomian jest funkcja ciagł a. 4. NiechR(x) = P(x) Q(x) (ostatnia przy założeniug(a) 0) s a będzie funkcj a wymiern a, przy czymq(x) 0 na przedziale[a, b]. Wtedy R(x) jest funkcja ciagł a na przedziale[a,b]. Matematyka p. 4

5 Własności lokalne funkcji ciagłych, cd Definicja 4. Funkcjaf : X R nazywa się ograniczona z góry (z dołu), jeżeli M R (m R), takie x X spełnia się nierównośćf(x) M (f(x) m). Funkcja, ograniczona z dołu i z góry nazywa się ograniczona. Twierdzenie 5. Funkcja, ciagła w punkcie a, jest ograniczona w otoczeniu a. Twierdzenie 6. Niech funkcja f będzie ciagł a w punkciea, orazf(a) > 0 (f(a) < 0). Wtedy, w otoczeniu punktua,f(x) > 0 (f(x) < 0). Matematyka p. 5

6 Funkcje złożone Definicja 7. Niech dane będa dwie funkcjef : X Y orazg : Y Z. Wówczas funkcjah = g f : X Z,h : x g(f(x)) nazywa się funkcja złożona (superpozycja funkcjif ig). Twierdzenie 8. Niech funkcja f(x) będzie ciagł a w punkciex 0, funkcjag(y) będzie ciagł a w punkciey 0 = f(x 0 ). Wtedyg f będzie ciagł a w punkciex 0. Matematyka p. 6

7 Właściwości globalne funkcji ciagłych Twierdzenie 9. Niech funkcja f będzie ciagł a na przedziale[a,b] i ma w końcach tego przedziału wartości różnych znaków (f(a)f(b) < 0). Wtedy istnieje taki punktx 0 (a,b), żef(x 0 ) = 0. Dowód. Rozważmy przypadekf(a) > 0,f(b) < 0. Zax 0 można przyjać sup{x [a,b] f(x) > 0}. Wniosek 10. Niech funkcja f będzie ciagł a na przedziale[a,b]. Wtedy γ międzyf(a) af(b) istniejex 0 (a,b), takie, żef(x 0 ) = γ. Wniosek 11. Równaniea 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a 2k x 2k +x 2k+1 = 0, gdziek 0, ma przynajmniej jeden pierwiastek. Matematyka p. 7

8 Kresy funkcji. Twierdzenia Weierstrassa Definicja 12 (cf. definicję 4). Funkcjaf : X R jest ograniczona z góry (z dołu, ograniczona), jeżeli takim jest zbiór{f(x)}. Liczbyinf{f(X)} orazsup{f(x)} nazywaja się odpowiednio dolnym i górnym kresem funkcji f : inf x X f(x) = inf{f(x)}, sup x X f(x) = sup{f(x)}. Twierdzenie 13 (Pierwsze twierdzenie Weierstrassa). Niech funkcja f będzie ciagł a na przedziale[a, b]. Wtedy f jest ograniczona na tym przedziale. Twierdzenie 14 (Drugie twierdzenie Weierstrassa). Niech funkcja f będzie ciagł a na przedziale[a,b]. Wtedyf osiaga na tym przedziale swoje kresy. Dowód. Załóżmy, że M = sup f(x) nie jest osiagalnym. Wtedy x [a,b] jest ograniczona. 1 f(x) M Matematyka p. 8

9 Funkcje monotoniczne Definicja 15. Niech dana będzie funkcjaf : X Y. 1. Funkcjay = f(x) nazywa się rosnac a, jeżeli x 1,x 2 : x 1 < x 2 f(x 1 ) < f(x 2 ). 2. Funkcjay = f(x) nazywa się malejac a, jeżeli x 1,x 2 : x 1 < x 2 f(x 1 ) > f(x 2 ). 3. Funkcjay = f(x) nazywa się niemalejac a, jeżeli x 1,x 2 : x 1 < x 2 f(x 1 ) f(x 2 ). 4. Funkcjay = f(x) nazywa się nierosnac a, jeżeli x 1,x 2 : x 1 < x 2 f(x 1 ) f(x 2 ). 5. Funkcjay = f(x) nazywa się monotoniczna, jeżeli ona jest nierosnac a lub niemalejac a. 6. Funkcjay = f(x) nazywa się ściśle monotoniczna, jeżeli ona jest rosnac a lub malejac a. Matematyka p. 9

10 Przykłady funkcji monotonicznych Przykład f(x) = x rośnie na całej osir. 2. f(x) = x 2 jest rosnac a na półprostej[0,+ ) i malejac a na(,0]. 3. f(x) = signx jest niemalejac a. 4. f(x) = 1 x jest rosn ac a na zbiorach(,0) oraz(0,+ ). Matematyka p. 10

11 Odwrotna funkcja Definicja 17. Niech dana będzie funkcjaf : X Y. 1. Jeśli x 1,x 2 X : x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ), to funkcjaf nazywa się różnowartościowa (injektywna). 2. Jeśli y Y x X, taki żef(x) = y, to funkcjaf nazywa się odwzorowaniem na (funkcja surjektywna). 3. Różnowartościowe odwzorowanie na nazywa się wzajemnie-jednoznacznym odwzorowaniem (funkcja bijektywna). Definicja 18. Niech dana będzie funkcjaf : X Y. Funkcja f 1 : Y X (o ile taka funkcja istnieje) nazywa się odwrotna dof, jeżeli 1. x X f 1 (f(x)) = x czylif 1 f = 1 X a. 2. y Y f(f 1 (y)) = y czylif f 1 = 1 Y. a 1 Z : Z Z odwzorowanie jednostkowe, z Z : Z (z) = z Matematyka p. 11

12 Funckja odwrotna, cd Twierdzenie 19. Niech dana będzie funkcjaf : X Y. Wówczas istnieje funkcja odwrotnaf 1 : Y X f jest wzajemnie-jednoznacznym odwzorowaniem. Przykład Niechf : [a,b] [2a,2b], f(x) = 2x. Wtedy f 1 : [2a,2b] [a,b], f 1 (y) = y Niechf : [0,2] [0,4], f(x) = x 2. Wtedy f 1 : [0,4] [0,2], f 1 (y) = y. Matematyka p. 12

13 Właściwości funkcji monotonicznych Twierdzenie 21. Niech dana będzie monotoniczna na przedziale[a, b] funkcjaf. Wtedy c, a c < b ( c, a < c b) istnieje ( lim x c f(x)). Dowód. Niech funkcja f(x) będzie niemalejac a. Wtedy lim x c+ f(x) = inf{f(x) x > c}. lim f(x) x c+ Twierdzenie 22. Niech dana będzie rosnaca (malejaca) na przedziale[a, b] funkcjaf,f(a) = α,f(b) = β. Wtedy, jeśli zbiorem wartościf jest przedział[α, β] ([β, α]), to na tym przedziale jest określona funkcja odwrotna f 1, która również jest rosnac a (malejac a). Dowód. 1. f jest odwzorowaniem na, 2. f jest funkcja różnowartościowa, 3. x 1 < x 2 f(x 1 ) < f(x 2 ). Matematyka p. 13

14 Funkcja odwrotna do monotnonicznej Twierdzenie 23. Niech dana będzie rosnaca (malejaca) na przedziale[a, b] funkcjaf,f(a) = α,f(b) = β. Na to, abyf była ciagł a, potrzeba i wystarczy, żeby γ międzyαiβ istniał punktx [a,b], taki żef(x) = γ. Twierdzenie 24. Niech dana będzie rosnaca (malejaca) na przedziale[a, b] i ci agła funkcjaf,f(a) = α,f(b) = β. Wtedy, na przedziale[α,β] ([β,α]) określona jest funkcja odwrotnaf 1, która również jest rosnac a (malejac a) i ciagła. Matematyka p. 14