Analiza Matematyczna. Własności funkcji różniczkowalnych

Transkrypt

1 Analiza Matematyczna. Własności funkcji Aleksander Denisiuk Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi Gdańsk 5 kwietnia / 16

2 Własności funkcji Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem ØØÔ»»Ù Ö ºÔ Û Ø º ÙºÔл Ò Ù» 2 / 16

3 Wzrastanie funkcji w punkcie. Ekstremum lokalne Niech dana będzie funkcjay = f(x), określona w otoczeniu punktuc. Definicja Funkcja y = f(x) rośnie w punkcie c, jeżeli istnieje takie otoczenie punktuc, żef(x) < f(c) dlax < c orazf(x) > f(c) dlax > c, 2. Funkcjay = f(x) maleje w punkciec, jeżeli istnieje takie otoczenie punktuc, żef(x) > f(c) dlax < c oraz f(x) < f(c) dlax > c, 3. Funkcjay = f(x) ma maksimum lokalne w punkciec, jeżeli istnieje takie otoczenie punktuc, w którymf(x) f(c) 4. Funkcjay = f(x) ma minimum lokalne w punkciec, jeżeli istnieje takie otoczenie punktuc, w którymf(x) f(c) 5. Funkcjay = f(x) ma ekstremum lokalne w punkciec, jeżeli ona ma w tym punkcie minimum lub maksimum lokalne. 3 / 16

4 Konieczny warunek ekstremum Twierdzenie 2. Niech dana będzie funkcjaf(x) różniczkowalna w punkciea. Wtedy, jeżelif (a) > 0 (f (a) < 0), tof(x) rośnie (maleje) w punkciea. Wniosek 3. Jeżeli funkcjaf(x) ma wpunkcieaekstremum lokalne, tof (a) = 0. Uwaga 4. Przykład funkcjiy = x 3 wskazuje, że twierdzenie 2 daje dostateczny warunek wzrastania (malenia), który nie jest koniecznym. Natomiast warunek ekstremum lokalnego z wniosku 3 jest koniecznym, i nie jest dostatecznym. 4 / 16

5 Twierdzenie Rolle a Twierdzenie 5. Niech funkcja y = f(x) będzie ciagł a na przedziale [a, b], różniczkowalna na przedziale(a,b), orazf(a) = f(b). Wtedy ξ (a,b), takie żef (ξ) = 0. Dowód. f osiaga swoje kresym = supf im = inff. Jeżeli M = m, tof(x) = const if (x) 0. JeżeliM > m, to przynajmniej jeden z kresów jest osi agalny wewn atrz przedziału (a,b). Więc w tym punkcief ma ekstremum lokalne. 5 / 16

6 Twierdzenie Twierdzenie 6. Niech funkcja y = f(x) będzie ciagł a na przedziale [a, b] oraz różniczkowalna na przedziale(a,b). Wtedy ξ (a,b), takie żef(b) f(a) = f (ξ)(b a). Dowód. Zastosować twierdzenie Rolle a (twierdzenie 5) do funkcji f(x) f(a) f(b) f(a) b a (x a). 6 / 16

7 Wnioski z twierdzenia Twierdzenie 7. Niech funkcjay = f(x) będzie różniczkowalna na przedziale(a,b) oraz x (a,b) f (x) = 0. Wtedy f(x) = const. Dowód. x 1,x 2 (a,b) istniejeξ (a,b) takie, że f(x 2 ) f(x 1 ) = f (ξ)(x 2 x 1 ) = 0. 7 / 16

8 Wnioski z twierdzenia Twierdzenie 8. Niech funkcjay = f(x) będzie różniczkowalna na przedziale(a,b). Na to, żeby funkcjaf była niemalejac a (nierosnac a) na tym przedziale, potrzeba i wystarczy, żeby na(a,b) byłof (x) 0 (f (x) 0). Dowód. Niech f(x) będzie niemalejac a na(a,b). Wtedy w żadnym z punktów(a, b) funkcja nie może być malejac a. Za moca twierdzenia 2 w żadnym z punktów(a,b) nie może być f (x) < 0. Niech x (a,b) będzief (x) 0. Rozważmy dowolne x 1,x 2 (a,b), takie żex 1 < x 2. Istniejeξ (a,b), takie że f(x 2 ) f(x 1 ) = f (ξ)(x 2 x 1 ) 0. 8 / 16

9 Dostateczny warunek monotoniczności funkcji Twierdzenie 9. Niech funkcjay = f(x) będzie różniczkowalna na przedziale(a,b) oraz x (a,b) f (x) > 0 (f (x) < 0). Wtedy f(x) rośnie (maleje) na przedziale(a,b). Uwaga 10. Warunekf (x) > 0 nie jest koniecznym na to, żeby funkcjaf była rosnac a na przedziale, np.y = x 3. Wniosek 11 (Dostateczny warunek ekstremum). Niech funkcja y = f(x) będzie różniczkowalna w otoczeniu punktuaoraz pochodnaf w pukcieazmienia znak z minusa na plus (z plusa na minus). Wtedyf(x) ma w punkcieaminimum (maksimum) lokalne. 9 / 16

10 Poszukiwanie maksimum i minimum funkcji Twierdzenie 12. Niech funkcja y = f(x) będzie ciagła na przedziale[a,b] i różniczkowalna w przedziale(a,b) za wyjatkiem skończonej ilości punktów. Wtedy funkcjaf osiaga maksimum (minimum) w puknciex 0, który spełnia jaden z warunków: x 0 jest końcem przedziału, f (x 0 ) = 0, f (x 0 ) nie istnieje. Przykład 13. Z kwadratowego kartonu stwórz pudełko o największej objętości. 10 / 16

11 Rozwiazanie zadania o pudełku x x a f(x) = x(a 2x) 2, x [0, a 2 ], f (x) = 0 (a 2x)(a 6x) = 0 x = a 2 x = a 6, a 6 2a 3 x 0 f(x) Odp: należy nadciać karton na odległości 1 6 a 2 od rogu. 11 / 16

12 Dwie nierówności Twierdzenie sinx 1 sinx 2 x 1 x arctgx 1 arctgx 2 x 1 x 2. Dowód. 1. sinx 1 sinx 2 = cosξ(x 1 x 2 ), 2. arctgx 1 arctgx 2 = 1 (x 1+ξ 2 1 x 2 ). 12 / 16

13 Twierdzenie Twierdzenie 15. Niech funkcje f(x) i g(x) będa różniczkowalne na przedziale(a,b), ciagłe na przedziale[a,b] orazg (x) 0 na (a,b). Wtedy istniejeξ (a,b), takie że f(b) f(a) g(b) g(a) = f (ξ) g (ξ). Dowód. Zastosować twierdzenie Rolle a (twierdzenie 5) do funkcji f(x) f(a) f(b) f(a) g(b) g(a)( g(x) g(a) ). 13 / 16

14 Reguła de L Hospitala (wyrażenie nieoznaczone 0 0 ) Twierdzenie 16. Niech dane będa dwie funkcjef(x) ig(x), określone i różniczkowalne w sasiedztwie punktua, oraz lim x a f(x) = lim g(x) = 0 x a ig (x) 0 w tym samym sasiedztwie. Wtedy, jeżeli istnieje (być może, nieskończona) granica lim istnieje lim x a f(x) g(x) = lim x a f (x) g (x). g (x), to x a f (x) Dowód. Określmy funkcjef(x) orazg(x) zerem w punkciea. Wtedy funkcje te zostana ciagłe w ototczeniuaimożna zastosować twierdzenie (twierdzenie 15). Niech{x n } będzie ciagiem, zbieżnym doaowyrazach różnych oda. Wtedy n ξ n międzyaix n, takie że f(x n) f(a) g(x n ) g(a) = f (ξ n ) Ci g (ξ n ). ag{ξ n } też będzie zbieżnym doaiowyrazach różnych oda. W ten sposób lim n f(x n ) g(x n ) = lim n f (ξ n ) g (ξ n ). 14 / 16

15 Reguła de L Hospitala (wyrażenie nieoznaczone ) Twierdzenie 17. Niech dane będa dwie funkcjef(x) ig(x), określone i różniczkowalne w sasiedztwie punktua, oraz oraz lim x a f(x) = lim x a g(x) = w tym samym sasiedztwie. Wtedy, jeżeli istnieje (być może, nieskończona) granica lim lim x a f(x) g(x) = lim x a f (x) g (x). f (x) x a g (x), to istnieje Uwaga 18. Raguły de L Hospitala sa ważne równiez dla granic jednostronnych oraz granic w nieskończoności 15 / 16

16 Przykłady Przykład lim x sinx x 0 x 3 3. lim x 0+ 2 lim x 0+ 1 cosx lim x 0 x 2 = lim x lnx = lim 1 cosx x 0 3x 2 x = 0. x 0+ sinx = lim x 0 2x = 1 2. = lim x 0 sinx lnx x 1/2 = lim x 0+ 6x = /x ( 1/2) x 3/2 = 16 / 16