Przestrzeń liniowa. Algebra. Aleksander Denisiuk

Transkrypt

1 Algebra Przestrzeń liniowa Aleksander Denisiuk Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku ul. Brzegi Gdańsk Algebra p. 1

2 Przestrzeń liniowa Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem Algebra p. 2

3 Definicja Definicja 1. Przestrzenia wektorowa (liniowa) nad ciałem liczb rzeczywistych R nazywa się zbiór X, w którym określone sa dwie operacje: dodawanie elementów zbioru X i mnożenie elementów zbioru X przez liczby rzeczywiste w taki sposób, że sa spełnione własności: X,Y X X +Y = Y +X, X,Y,Z X (X +Y)+Z = X +(Y +Z), 0 X, takie że X XX +0 = 0+X = X, X X, ( X) X takie żex +( X) = ( X)+X = 0, X X,α,β R (α)(βx) = (αβ)x, X X,α,β R (α+β)x = αx +βx, X,Y X,α R α(x +Y) = αx +αy, X X, 1 X = X. Algebra p. 3

4 Przykłady przestrzeni liniowych przestrzeń wektorów na płaszczyźnie, w przestrzeni trójwymiarowej x 1 R n =. x n (R n ) = { (x 1,...,x n )} W 3 wielomiany stopnia 3: a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 funkcje wymierne P(x) Q(x) zbiór rozwiazań jednorodnego układu równań Algebra p. 4

5 Elementarne własności 0 X = 0 α 0 = 0 ( 1) X = X α X = 0 α = 0 lub X = 0 Algebra p. 5

6 Podprzestrzeń liniowa Definicja 2. Niech X będzie przestrzenia liniowa. Niepusty podzbiórv X, który sam jest przestrzenia liniowa, nazywa się podprzestrzeniax. Twierdzenie 3. V jest podprzestrzeniaxwtedy i tylko wtedy gdy 1. α R, X V αx V 2. X,Y V X +Y V Lemat 4. Niech dane będav 1,V 2 dwie podprzestrzenie liniowexwtedy V 1 V 2 też jest podprzestrzenia liniowax. Uwaga 5. V 1 V 2 nie koniecznie jest podprzestrzenia liniowax. Algebra p. 6

7 Kombinacja liniowa Definicja 6. Niechα 1,...,α k R. Wektor α 1 X 1 +α 2 X α k X k nazywa się kombinacja wektorówx 1,...,X k X. Twierdzenie 7. Niech dany będzie podzbiór L X. Zbiór wszystkich kombinaci liniowych elementów L jest podprzestrzeniax. Definicja 8. Zbiór wszystkich kombinacji liniowych elementów L X nazywamy otoczka L. Oznaczenia: span(l), L. Algebra p. 7

8 Przykłady U m = x 1. x m 0. 0 U m V m = {0} U m,v m = R n x i R,V m = 0. 0 x m+1. x n x i R R n {E 1 = (1,0,...,0),E 2 = (0,1,0...,0),...,E n = (0,...,0,1)} E 1,...,E n = R Algebra p. 8

9 Liniowa niezależność Definicja 9. Układ wektorów{x 1,...,X k } w przestrzeni liniowejx nazwiemy układem liniowo niezależnym, jeżeli dla dowolnych współczynników α 1,...α k R, nie równych zeru jednocześnieα 1 X α k X k 0. Definicja 10. Układ wektorów, który nie jest liniowo niezależnym, nazywa sie liniowo zależnym. Algebra p. 9

10 Liniowa niezależność, cd Twierdzenie Jeżeli układ{x 1,...,X k } ma liniowo zależny podukład, to on też jest liniowo zależnym 2. Każdy podukład niezależnego liniowo układu{x 1,...,X k } jest liniowo niezależnym 3. Jeżeli układ{x 1,...,X k } jest liniowo zależnym, to przytnajmniej jeden z wektorów jest kombinacja pozostałych 4. Jeżeli jeden z wekotorów{x 1,...,X k } jest kombinacja pozostałych, to układ{x 1,...,X k } jest liniowo zależnym. 5. Jeżeli układ{x 1,...,X k } jest liniowo niezależnym, a układ {X 1,...,X k,x} jest liniowo zależnym, tox jest kombinacja {X 1,...,X k }. 6. Jeżeli{X 1,...,X k } jest linowo niezależnym orazx nie jest kombinacja tego układu, to układ wektorów{x 1,...,X k,x} jest liniowo niezależnym Algebra p. 10

11 Baza przestrzeni liniowej Definicja 12. Niech X będzie przestrzenia liniowa. Układ wektorów {X 1,...,X n } X przestrzenix nazywa się generujacym, jeżeli X 1,...,X n = X. Definicja 13. Niech X będzie przestrzenia liniowa. Układ wektorów {X 1,...,X n } X nazywa się baza przestrzeni X, jeżeli jest on niezależnym liniowo oraz X 1,...,X n = X. Przykład 14. {E 1,...,E n } jest standardowa baza wr n {1,x,x 2,x 3,x 4 } jest baza w przestrzeni wielomianów stopnia 4 Lemat 15. Niech{X 1,...,X n } będzie baza przestrzeni X. Wtedy każdy wektor X X może być jednoznacznie zapisdany jako kombinacja liniowa X = x 1 X 1 + +x n X n. Definicja 16. Liczby(x 1,...,x n ), określone w lemacie 15, nazymawy współrzędnymy wektorax w bazie{x 1,...,X n }. Algebra p. 11

12 Wymiar przestrzeni liniowej Lemat 17. Niech X będzie przestrzenia z baza{x 1,...,X n }. Niech {Y 1,...,Y s } będzie układem niezależnym liniowo. Wtedys n. Wniosek 18. Niech X będzie przestrzenia z baz Wtedy każda inna baza ma tyle samo elementów. a{x 1,...,X n }. Definicja 19. Przestrzeń, która ma bazę skończona nazywamy skończenie wymiarow a, a ilość elementów bazy wymiarem przestrzeni, dim X dim{0} = 0 Algebra p. 12

13 Rzad układu wektorów Definicja 20. Rzędem układu wektorów{x 1,...,X n } nazywamy wymiar jego otoczki liniowej. rank(x 1,...,X n ) = dim X 1,...,X n Algebra p. 13