Analiza matematyczna

Analiza matematyczna Stanisław Jaworski Katedra Ekonometrii i Statystyki Zakład Statystyki

Funkcje Podstawowe pojęcia Funkcje Definicja (Funkcja) Funkcją określoną na zbiorze X R o wartościach w zbiorze Y R nazwywamy pzyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie jednego elementu y Y. Funkcję taką oznaczamy przez f : X Y. Definicja (Dziedzina i przeciwdziedzina funkcji) Niech f : X Y. Wtedy zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f, a zbiór Y nazywamy jej przeciwdziedziną. Uwaga Jeżeli jest dany wzór określający funkcję, to zbiór tych elementów z R, dla których wzór ten ma sens, nazywamy dziedziną naturalną funkcji. Definicja (Zbiór wartości funkcji) Zbiór f(x) = {f(x) Y : x X} nazywamy zbiorem wartości funkcji f.

Funkcje Podstawowe pojęcia Definicja (Równość funkcji) Funkcje f : X Y, g : Z Y są równe, co zapisujemy f = g, wtedy i tylko wtedy, gdy X = Z oraz f(x) = g(x) x X Definicja (Wykres funkcji) Wykresem funkcji f : X Y nazywamy zbiór {(x, f(x)) R 2 : x X}

Funkcje Podstawowe pojęcia Definicja (Funkcja parzysta) Funkcja f : X R jest parzysta, jeżeli ( ) x X oraz f( x) = f(x) x X Definicja (Funkcja nieparzysta) Funkcja f : X R jest nieparzysta, jeżeli ( ) x X oraz f( x) = f(x) x X

Funkcje Podstawowe pojęcia Definicja (Funkcja ograniczona z dołu) Funkcja f : X R jest ograniczona z dołu na zbiorze A X, jeżeli zbiór jej wartości na tym zbiorze jest ograniczony z dołu, tzn. f(x) m m R x A Definicja (Funkcja ograniczona z góry) Funkcja f : X R jest ograniczona z góry na zbiorze A X, jeżeli zbiór jej wartości na tym zbiorze jest ograniczony z góry, tzn. f(x) m m R x A

Funkcje Podstawowe pojęcia Definicja (Funkcja ograniczona) Funkcja f : X R jest ograniczona na zbiorze A X, jeżeli jest ograniczona z dołu i z góry na tym zbiorze, tzn. m f(x) M m,m R x A Definicja (Funkcja rosnąca) Funkcja f : X R jest rosnąca na zbiorze A X, jeżeli [ ) ( )] (x 1 < x 2 f(x 1 ) > f(x 2 ) x 1,x 2 A

Funkcje Podstawowe pojęcia Definicja (Funkcja malejąca) Funkcja f : X R jest malejąca na zbiorze A X, jeżeli [ ) ( )] (x 1 < x 2 f(x 1 ) < f(x 2 ) x 1,x 2 A Definicja (Funkcja niemalejąca) Funkcja f : X R jest niemalejąca na zbiorze A X, jeżeli [ ) ( )] (x 1 < x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) x 1,x 2 A

Funkcje Podstawowe pojęcia Definicja (Funkcja nierosnąca) Funkcja f : X R jest nierosnąca na zbiorze A X, jeżeli [ ) ( )] (x 1 < x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) x 1,x 2 A Definicja (Funkcja różnowartościowa) Funkcja f : X R jest różnowartościowa na zbiorze A X, jeżeli [ ) ( )] (x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) x 1,x 2 A

Funkcje Podstawowe pojęcia Definicja (Funkcja na ) Funkcja f : X Y jest funkcją na zbiór Y wtedy i tylko wtedy, gdy f(x) = Y Definicja (Funkcja wzajemnie jednoznaczna) Funkcja f : X Y jest wzajemnie jednoznaczna wtedy i tylko wtedy, gdy jest różnowartościowa w swojej dziedzinie oraz jest na zbiór Y.

Funkcje Podstawowe pojęcia Definicja (Funkcja odwrotna) Niech funkcja f : X Y będzie wzajemnie jednoznaczna. Funkcją odwrotną do f nazywamy funkcję f 1 : Y X określoną przez warunek f 1 (y) = x f(x) = y, gdzie x X, y Y. Definicja (Złożenie funkcji) Niech X, Y, Z, W R oraz Y Z oraz niech f : X Y, g : Z W. Złożeniem funkcji g i f nazywamy funkcję g f : X W określoną wzorem g f(x) = g(f(x)), dla x X

Funkcje Podstawowe pojęcia Fakt Niech funkcja f : X Y będzie wzajemnie jednoznaczna. Wtedy f 1 (f(x)) = x oraz f(f 1 (y)) = y x X x X

Funkcje Podstawowe pojęcia arcsin(x) Funkcją arcsin (arkus sinus) nazywamy funkcję odwrotną do funkcji sinus obciętej do przedziału [ π 2, ] π 2

Funkcje Podstawowe pojęcia arctg(x) Funkcją arctg (arkus tangens) nazywamy funkcję odwrotną do funkcji tangens obciętej do przedziału ( π 2, π 2 ). Dziedziną funkcji arctg(x) jest R.

Funkcje Podstawowe pojęcia arcctg(x) Funkcją arcctg (arkus kotangens) nazywamy funkcję odwrotną do funkcji kotangens obciętej do przedziału (0, π). Dziedziną funkcji arcctg(x) jest R.

Ciągi nieskończone Ciągi Definicja (ciąg) Ciąg (a n ) jest odwzorowaniem N n a n, gdzie N oznacza zbiór liczb naturalnych. Liczby a 1, a 2,... nazywamy wyrazami tego ciągu. Przykłady (n), (3n + 1), mylące/ ( 3 ( ) ) 1 n 1 2, (( 1) n + 1) /nawiasy mogą być a n = n, a n = 3n + 1, a n = 3 ( 1 2) n 1, an = ( 1) n + 1 postęp arytmetyczny: a n = a + nq, dla a, q R, n N postęp geometryczny: a n = aq n 1, dla a R, q R +, n N

Ciągi nieskończone granica właściwa ciągu Definicja (ciąg (a n ) ma granicę g R) lim a n = g a n g < ε n ε>0 N n>n oznaczenia: lim a n = g, a n g, lim a n = g, a n g n n

Ciągi nieskończone granica właściwa ciągu Przykłady: ciągi zbieżne do zera 1 lim n n = 0, 1 lim n = 0 lim ( 1)n+1 n = 0, lim 1 n sin n = 0 1 Pokażemy z definicji, że lim n n = 0. Niech ε bedzie dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią. Zachodzi Zatem możemy przyjąć N = 1/ε 1/n 0 < ε n > 1/ε.

Ciągi nieskończone granica właściwa ciągu Przykłady: ciągi zbieżne do zera 1 lim n n = 0, 1 lim n = 0 lim ( 1)n+1 n = 0, lim 1 n sin n = 0 1 Pokażemy z definicji, że lim n n sin n = 0. Niech ε bedzie dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią. Zauważmy, że 1 n sin n = 1 n sin n 1 n dla n N. Zatem 1 sin n 0 < ε n > 1/ε n Stąd możemy przyjąć N = 1/ε jak w poprzednim dowodzie.

Ciągi nieskończone granica właściwa ciągu Przykład ciągu zbieżnego do 1 3 a n = n2 n+2 3n 2 +2n 4 Pokażemy, że lim a n = 1 3. Niech ε będzie dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią. Zauważamy, że zachodzą następujące nierówności a n 1 3 = 5n 10 3(3n 2 + 2n 5) < 5n 3(3n 2 4) < 5n 3 2n 2 < 1 n Zatem a n 1 3 jest mniejsze od ε, jeżeli n > [1/ε]

Ciągi nieskończone granica właściwa ciągu Twierdzenie Jeżeli γ > 1, to γ n > 1 + n(γ 1) Pomiń dowód

Ciągi nieskończone granica właściwa ciągu Twierdzenie Jeżeli γ > 1, to γ n > 1 + n(γ 1) Dowód. Przyjmując γ = 1 + λ, gdzie λ > 0, na podstawie wzoru na dwumian Newtona mamy (1 + λ) n = 1 + nλ +..., gdzie niezapisane wyrazy są dodatnie. Zatem (1 + λ) n > 1 + nλ. Podstawiając λ = γ 1 otrzymujemy dowód twierdzenia.

Ciągi nieskończone granica właściwa ciągu Twierdzenie Jeżeli γ > 1, to γ n > 1 + n(γ 1) Wniosek: Przyjmując γ = α 1/n, przy α > 1 otrzymujemy nierówność α 1/n 1 < α 1 n. Nierówność tę wykorzystamy do udowodnienia następującego faktu: Fakt lim a 1/n = 1 dla a > 1 Dowód. a 1/n 1 = a 1/n 1 < a 1 n < ε, o ile n > N = a 1 ε

Ciągi nieskończone twierdzenia o granicach właściwych ciągu Twierdzenie Ciąg zbieżny jest ograniczony. lim a n = 0 n lim a n = 0. n Twierdzenie Zakładamy, że (a n ) oraz (b n ) są ciągami zbieżnymi lim (a n + b n ) = lim a n + lim b n n n n lim (a n b n ) = lim a n lim b n n n n

Ciągi nieskończone twierdzenia o granicach właściwych ciągu Twierdzenie Ciąg zbieżny jest ograniczony. lim a n = 0 n lim a n = 0. n Twierdzenie Zakładamy, że (a n ) oraz (b n ) są ciągami zbieżnymi lim c a n = c lim a n, dla c R n n lim (a n b n ) = lim a n lim b n n n n

Ciągi nieskończone twierdzenia o granicach właściwych ciągu Twierdzenie Ciąg zbieżny jest ograniczony. lim a n = 0 n lim a n = 0. n Twierdzenie Zakładamy, że (a n ) oraz (b n ) są ciągami zbieżnymi a lim n n bn = lim n an lim n bn, o ile lim n b n 0 lim n ap n = ( lim n a n) p dla p Z \ {0}

Ciągi nieskończone twierdzenia o granicach właściwych ciągu Przykład n 2 3n 3 lim n n 3 + 1 = lim n 3 ( 1 n 3) n n 3 (1 + 1 n ) = 3 = = lim ( 1 n n 3) lim (1 + 1 n n ) = 3 lim n 1 n lim n 3 lim 1 + ( lim n n 3 1 = n )3 1 = 3

Ciągi nieskończone twierdzenia o granicach właściwych ciągu Przykład: dlaczego ciągi muszą być zbieżne Ciągi z tabeli spełniają: lim a n = lim b n = n n a n n n + 5 2n n + ( 1) n b n 2n n n n lim n b n ) n 5 nie istnieje Definicja (Ciąg rozbieżny) lim a n = a n > M n M N n>n

Ciągi nieskończone twierdzenia o granicach właściwych ciągu Przykład: dlaczego ciągi muszą być zbieżne Ciągi z tabeli spełniają: lim a n = 1, n lim b n = n a n n 1/n n 5 n n n 3 + ( 1) n b n n n n n lim (a n) bn 0 5 nie istnieje n

Ciągi nieskończone twierdzenia o granicach właściwych ciągu Przykład: o nieokreśloności 0 0 Ciągi z tabeli spełniają: lim a n = lim b n = 0 n n a n 1 n n 0.5 n 1 n 1 1 1 5 n n n [3+( 1) n ] n b n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n lim (a n) bn 0 0.5 1 5 nie istnieje n

Ciągi nieskończone twierdzenia o granicach właściwych ciągu Twierdzenie (o trzech ciągach) Niech ciągi (a n ), (b n ) oraz (c n ) spełniają: a n b n c n N n>n lim a n = lim c n = b, gdzie b R n n Wtedy lim b n = b n

Ciągi nieskończone twierdzenia o granicach właściwych ciągu Twierdzenie (o trzech ciągach) Niech ciągi (a n ), (b n ) oraz (c n ) spełniają: a n b n c n N n>n lim a n = lim c n = b, gdzie b R n n Wtedy lim b n = b n Przykład 7 = n 7 n n 3 n + 5 n + 7 n n 3 7 n = 7 n 3 Stąd lim 7 = 7 lim n 3n + 5 n + 7 n 7 lim n 3 = 7 1 n n n Zatem lim n 3n + 5 n + 7 n = 7 n

Ciągi nieskończone twierdzenia o granicach właściwych ciągu Twierdzenie Jeżeli ciąg (a n ) jest rosnący i ograniczony z góry dla n N, to jest zbieżny do granicy g = sup{a n : n N} Przykład Liczbę e definiujemy następująco: e = lim n (1 + 1 n )n. Ta definicja ma sens tylko wtedy, gdy granica ta istnieje. W tym celu pokażemy, że ciąg a n = (1 + 1 n )n jest rosnący i ograniczony.

Ciągi nieskończone twierdzenia o granicach właściwych ciągu a n = ( 1 + 1 n) n = n k=0 ( ) n 1 k 1 k n k = = 1 + n 1 n(n 1) 1 n(n 1)(n 2) 1 + + n 1 2 n2 1 2 3 n 3 + n(n 1)... (n k + 1) 1 +... + 1 2... k n k +... + n(n 1)... (n n + 1) 1 + 1 2... n n n = = 1 + 1 + 1 ( 1 1 ) + 1 ( 1 1 ) ( 1 2 ) +... + 2! n 3! n n + 1 ( 1 1 ) (... 1 k 1 ) +... + 1 ( 1 1 ) (... 1 n 1 ) k! n n n! n n Jeżeli od a n przejdziemy teraz do a n+1, tj. zwiększymy n o jedność, to pojawi się nowy (n + 2) gi wyraz, a każdy z już napisanych wyrazów się zwiększy, bo dowolny czynnik w nawiasach postaci 1 s n zastępujemy większym czynnikiem 1 s n+1. Wynika stąd, że a n+1 > a n.

Ciągi nieskończone twierdzenia o granicach właściwych ciągu a n = ( 1 + 1 n) n = n k=0 ( ) n 1 k 1 k n k = = 1 + n 1 n(n 1) 1 n(n 1)(n 2) 1 + + n 1 2 n2 1 2 3 n 3 + n(n 1)... (n k + 1) 1 +... + 1 2... k n k +... + n(n 1)... (n n + 1) 1 + 1 2... n n n = = 1 + 1 + 1 ( 1 1 ) + 1 ( 1 1 ) ( 1 2 ) +... + 2! n 3! n n + 1 ( 1 1 ) (... 1 k 1 ) +... + 1 ( 1 1 ) (... 1 n 1 ) k! n n n! n n Ciąg (a n ) jest ograniczony z góry ponieważ, opuszczając wszystkie czynniki w nawiasach, powiększamy powyższe wyrażenie. Zatem a n < 2 + 1 2! + 1 3! +... + 1 n! < 2 + 1 2 + 1 2 2 +... + 1 2 n 1 < 3

Ciągi nieskończone twierdzenia o granicach właściwych ciągu Wykres ciągu a n = (1 + 1/n) n Fakt: Jeżeli dla pewnego N( zachodzi: ) a n > 0 dla n > N oraz lim a n =, to lim 1 + 1 an n n a n = e Fakt: Jeżeli dla pewnego N zachodzi: ( ) a n < 0 dla n > N oraz lim a n =, to lim 1 + 1 an n n a n = e

Ciągi nieskończone twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów Twierdzenie Jeżeli lim a n = a, gdzie 0 < a n lim b n = 0, gdzie b n > 0 dla n N n to lim n a n bn = Twierdzenie Jeżeli dla pewnego N ciągi (a n ) oraz (b n ) spełniają a n b n, dla każdego n N lim n a n = to lim n b n =

Ciągi nieskończone twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów Twierdzenie a + = dla < a ; a a = 0 dla < a < ; a = 0 dla 0 + a < 1; b = 0 dla b < 0; a = dla 0 < a 0 + = dla 0 < a a = dla 1 < a b = dla 0 < b Definicja (wyrażenia nieoznaczone) 0 0 0 1 0 0 0

Granica funkcji Punkt skupienia Punkty skupienia Definicja Punkt x 0 nazwywamy punktem skupiena zbioru X R, jeżeli dowolnie blisko x 0 istnieją liczby x X, różne od x 0. Równoważnie możemy powiedzieć, że x 0 jest punktem skupienia X wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg (x n ) taki, że X x n x 0 dla każdego n N oraz lim n x n = x 0.

Granica funkcji Punkt skupienia Punkty skupienia Definicja Punkt x 0 jest prawostronnym (lewostronnym) punktem skupienia X wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg (x n ) taki, że X x n > x 0 (x n < x 0 ) dla każdego n N oraz lim n x n = x 0.

Granica funkcji Punkt skupienia Punkty skupienia Definicja Punkt x 0 jest prawostronnym (lewostronnym) punktem skupienia X wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg (x n ) taki, że X x n > x 0 (x n < x 0 ) dla każdego n N oraz lim n x n = x 0. Definicja Mówimy, że ( ) jest punktem skupienia zbioru X R wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg (x n ) taki, że X x n dla każdego n N oraz lim n x n = ( ).

Granica funkcji Definicje granic Granice funkcji Definicja (Granica funkcji) Niech X, Y R, f : X Y, x 0 punkt skupienia zbioru X. Będziemy pisali lim x x 0 f(x) = g jeżeli istnieje punkt g R o następujących własnościach: [0 < x x 0 < δ f(x) g < ε] ε>0 δ>0 x X

Granica funkcji Definicje granic Granice funkcji Twierdzenie (Równoważność definicji granicy funkcji) lim x x 0 f(x) = g lim f(x n) = g dla dowolnego ciągu n (x n ) takiego, że: X x n x 0 dla każdego n N oraz lim n x n = x 0 Prawa strona równoważności, to tzw. definicja Heinego granicy funkcji.

Granica funkcji Definicje granic Definicja (Definicje granic funkcji) Niech X, Y R, f : X Y oraz x n X dla każdego n N. lim f(x) = g x lim f(x) = g x lim f(x) = g x x + 0 lim f(x) = g x x 0 Uwaga: g R {, } x n x n xn x 0 xn>x 0 xn x 0 xn<x 0 lim f(x n) = g n lim f(x n) = g n lim f(x n) = g n lim f(x n) = g n

Granica funkcji Arytmetyka granic Twierdzenie (o arytmetyce granic funkcji) Jeżeli funkcje f, g mają granice (skończone) w punkcie x 0, to lim x x 0 (f(x) + g(x)) = lim x x 0 f(x) + lim x x 0 g(x) lim x x 0 (f(x) g(x)) = lim x x 0 f(x) lim x x 0 g(x) Uwaga: Wzory są prawdziwe, jeżeli x 0 zastąpimy przez x + 0, x 0, lub. Trzeba założyć, że wyrażenia w ostatnim wzorze mają sens.

Granica funkcji Arytmetyka granic Twierdzenie (o arytmetyce granic funkcji) Jeżeli funkcje f, g mają granice (skończone) w punkcie x 0, to lim x x 0 (cf(x)) = c( lim x x 0 f(x)), gdzie c R lim x x 0 (f(x) g(x)) = ( lim x x 0 f(x)) ( lim x x 0 g(x)) Uwaga: Wzory są prawdziwe, jeżeli x 0 zastąpimy przez x + 0, x 0, lub. Trzeba założyć, że wyrażenia w ostatnim wzorze mają sens.

Granica funkcji Arytmetyka granic Twierdzenie (o arytmetyce granic funkcji) Jeżeli funkcje f, g mają granice (skończone) w punkcie x 0, to f(x) lim x x 0 g(x) = lim f(x) x x 0 lim g(x) o ile x x 0 lim f(x) g(x) = ( lim f(x)) lim g(x) x x 0 x x 0 x x 0 lim x x 0 g(x) 0 Uwaga: Wzory są prawdziwe, jeżeli x 0 zastąpimy przez x + 0, x 0, lub. Trzeba założyć, że wyrażenia w ostatnim wzorze mają sens.

Granica funkcji Arytmetyka granic Twierdzenie (o granicy funkcji złożonej) Jeżeli funkcje f, g spełniają warunki: lim x x 0 f(x) = y 0 f(x) y 0 dla każdego x S(x 0 ) lim g(y) = g y y 0 to lim g(f(x)) = g x x 0 Uwaga: Twierdzenie jest prawdziwe dla pozostałych typów granic. Zbiór S(x 0 ) jest postaci (x 0 δ, x 0 + δ) \ {x 0 } dla pewnego δ > 0.

Granica funkcji Przykłady granic Granice podstawowych wyrażeń nieoznaczonych sin x lim x 0 a x 1 lim x 0 lim x 0 lim x ± x = 1 lim x 0 tan x x e x 1 x 0 = 1 = ln a, gdzie a > 0 lim = 1 x x log a (1 + x) ln(1 + x) = log x a e, gdzie 0 < a 1 lim = 1 x 0 x ( 1 + x) a ( x = e a, gdzie a R lim 1 + 1 x = e x ± x) lim (1 + x 0 x)1/x = e (1 + x) a 1 lim = a, x 0 x gdzie a R

Granica funkcji Asymptoty funkcji Definicja (Asymptota pionowa lewostronna) Prosta x = a jest asymptotą pionową lewostronną funkcji f jeżeli lim f(x) = albo lim f(x) = x a x a

Granica funkcji Asymptoty funkcji Definicja (Asymptota pionowa lewostronna) Prosta x = a jest asymptotą pionową lewostronną funkcji f jeżeli lim f(x) = albo lim f(x) = x a x a Definicja (Asymptota pionowa prawostronna) Prosta x = a jest asymptotą pionową prawostronną funkcji f jeżeli lim f(x) = albo lim f(x) = x a + x a +

Granica funkcji Asymptoty funkcji Definicja (Asymptota pionowa lewostronna) Prosta x = a jest asymptotą pionową lewostronną funkcji f jeżeli lim f(x) = albo lim f(x) = x a x a Definicja (Asymptota pionowa prawostronna) Prosta x = a jest asymptotą pionową prawostronną funkcji f jeżeli lim f(x) = albo lim f(x) = x a + x a + Definicja (Asymptota pionowa) Prosta x = a jest asymptotą pionową funkcji jeżeli jest jednocześnie asymptotą lewostronną i prawostronną

Granica funkcji Asymptoty funkcji Definicja (Asymptota ukośna) Prosta y = ax + b jest asymptotą ukośną funkcji f w + ( ) wtedy i tylko wtedy, gdy lim [f(x) (ax + b)] = 0 x (x )

Granica funkcji Asymptoty funkcji Definicja (Asymptota ukośna) Prosta y = ax + b jest asymptotą ukośną funkcji f w + ( ) wtedy i tylko wtedy, gdy lim [f(x) (ax + b)] = 0 x (x ) Fakt Prosta y = ax + b jest asymptotą ukośną funkcji f w ( ) wtedy i tylko wtedy, gdy a = f(x) x lim x (x ) oraz b = lim [f(x) ax] x (x )

Granica funkcji Ciągłość funkcji Definicja Niech X, Y R, f : X Y, x 0 X. O funkcji f powiemy, że jest ciągła w punkcie x 0, jeżeli [ x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) < ε] ε>0 δ>0 x X Twierdzenie W sytucji opisanej w powyższej definicji niech x 0 będzie punktem skupienia zbioru X. Funkcja f jest ciągła w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy lim x x 0 f(x) = f(x 0 )

Granica funkcji Ciągłość funkcji Definicja Funkcja f : X Y jest ciągła, jeżeli jest ciągła w każdym punkcie p X. Twierdzenie Niech f, g będą funkcjami ciągłymi na X. Wówczas f + g, f g oraz f/g są funkcjami ciągłymi. W ostatnim przypadku zakładamy, ze g 0

Pochodna Podstawy Pochodna Definicja Pochodną funkcji f : X Y w punkcie x 0 X nazywamy liczbę f (x 0 ) = lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h

Pochodna Podstawy Pochodna Definicja Pochodną funkcji f : X Y w punkcie x 0 X nazywamy liczbę f (x 0 ) = lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h Fakt Jeżeli funkcja f ma pochodną w x 0, to jest ciągła w x 0.

Pochodna Podstawy Pochodna Definicja Pochodną funkcji f : X Y w punkcie x 0 X nazywamy liczbę f (x 0 ) = lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h Fakt Jeżeli funkcja f ma pochodną w x 0, to jest ciągła w x 0. Dowód. Niech x n x 0 oraz h n = x n x 0 lim x n x 0 (f(x n ) f(x 0 )) = lim h n 0 h n f(x 0 + h n ) f(x 0 ) h n = 0 f (x 0 ) = 0

Pochodna Podstawy Przykład f(x) = x n f(x 0 + h) f(x 0 ) h = (x 0 + h) n x n 0 h = n k=0 ( n ) k x k 0 h n k x n 0 h =

Pochodna Podstawy Przykład f(x) = x n f(x 0 + h) f(x 0 ) h = (x 0 + h) n x n 0 h n 1 ) x k 0 h n k = k=0 ( n k h = n k=0 n 1 = k=0 ( n ) k x k 0 h n k x n 0 h ( ) n x k k 0h n k 1 = =

Pochodna Podstawy Przykład f(x) = x n f(x 0 + h) f(x 0 ) h n k=0 = (x 0 + h) n x n 0 = h n 1 ( n ) k x k 0 h n k n 1 k=0 = = h k=0 ( n ) k x k 0 h n k x n 0 h ( ) n x k k 0h n k 1 = n 2 ( ) n = x k k 0h n k 1 + nx n 1 0 = k=0 =

Pochodna Podstawy Przykład f(x) = x n f(x 0 + h) f(x 0 ) h n k=0 = (x 0 + h) n x n 0 = h n 1 ( n ) k x k 0 h n k n 1 k=0 = = h k=0 k=0 ( n ) k x k 0 h n k x n 0 h ( ) n x k k 0h n k 1 = n 2 ( ) n = x k k 0h n k 1 + nx n 1 0 = n 2 = h k=0 ( ) n k x k 0h n k 2 + nx n 1 0 nxn 1 h 0 0 =

Pochodna Podstawy Przykład f(x) = 1/x 1 x+h 1 x h = x x h h(x + h)x = 1 (x + h)x h 0 1 x 2

Pochodna Podstawy Przykład f(x) = 1/x 1 x+h 1 x h = x x h h(x + h)x = 1 (x + h)x h 0 1 x 2 Przykład f(x) = x x + h x h = x + h x ( x + h + x)h = 1 1 x + h + x h 0 2 x

Pochodna Podstawy Przykład f(x) = log a x log a (x + h) log a x h = 1 h log a ( ) x + h x = 1 x log a(1 + h/x) h/x =

Pochodna Podstawy Przykład f(x) = log a x log a (x + h) log a x h = 1 h log a ( ) x + h x = 1 x log a(1 + h/x) 1 h/x = = 1 x log a(1 + h/x) h/x =

Pochodna Podstawy Przykład f(x) = log a x log a (x + h) log a x h = 1 h log a ( ) x + h x = 1 x log a(1 + h/x) h/x = 1 x log a(1 + h/x) 1 h/x = = 1 ( x log a 1 + 1 ) (x/h) 1 h 0 x/h x log a e =

Pochodna Podstawy Przykład f(x) = sin x. Skorzystam z: sin α lim α 0 α = 1, sin α sin β = 2 cos α + β 2 sin α β 2

Pochodna Podstawy Przykład f(x) = sin x. Skorzystam z: sin α lim α 0 α = 1, sin α sin β = 2 cos α + β 2 sin α β 2 sin (x + h) sin x h = 2 cos(x + h 2 ) h sin h 2 = cos(x + h/2)sin (h/2) h/2 cos x h 0

Pochodna Podstawy Przykład Niech g(y) = f 1 (y) będzie funkcją odwrotną do f(x). Niech y 0 = f(x 0 ), y 0 + h = f(x 0 + h) oraz 0 f (x 0 ) istnieje

Pochodna Podstawy Przykład Niech g(y) = f 1 (y) będzie funkcją odwrotną do f(x). Niech y 0 = f(x 0 ), y 0 + h = f(x 0 + h) oraz 0 f (x 0 ) istnieje Zauważmy, że przy tych oznaczenach f 1 (y 0 ) = x 0, f 1 (x 0 + h ) = y 0 + h oraz h = f(x 0 + h) f(x 0 ) a także h 0 h 0

Pochodna Podstawy Przykład Niech g(y) = f 1 (y) będzie funkcją odwrotną do f(x). Niech y 0 = f(x 0 ), y 0 + h = f(x 0 + h) oraz 0 f (x 0 ) istnieje Zauważmy, że przy tych oznaczenach f 1 (y 0 ) = x 0, f 1 (x 0 + h ) = y 0 + h oraz h = f(x 0 + h) f(x 0 ) a także h 0 h 0 Stąd otrzymujemy f 1 (y 0 + h ) f 1 (y 0 ) x 0 + h x 0 h = f(x 0 + h) f(x 0 ) = 1 f(x 0+h) f(x 0) h Zatem mamy wzór g (y 0 ) = 1 f (x 0)

Pochodna Podstawy Przykład f(x) = arcsin x. Przyjmujemy, że (y = arcsin x x = siny) f (x) = 1 sin y = 1 cos y = 1 1 sin 2 y = 1 1 x 2

Pochodna Podstawy Przykład f(x) = arcsin x. Przyjmujemy, że (y = arcsin x x = siny) f (x) = 1 sin y = 1 cos y = 1 1 sin 2 y = 1 1 x 2 Przykład (Pochodna iloczynu funkcji) f(x)g(x) f(x + h)g(x + h) f(x)g(x) = h (f(x + h) f(x))g(x + h) + f(x)(g(x + h) g(x)) = = h f(x + h) f(x) g(x + h) g(x) = g(x + h) + f(x) h 0 h h f (x)g(x) + f(x)g (x) h 0

Pochodna Podstawy Przykład (pochodna złożenia funkcji) f(x) = e x. Stąd ln(f(x)) = x (ln(f(x))) = x 1 f(x) f (x) = 1 f(x) = f(x)

Pochodna Wzory (x α ) = αx α 1, x > 0, α R (sin x) = cos x (cos x) = sin x (tgx) = 1 cos 2 x = 1 + tg2 x, cos x 0 (ctgx) = 1 sin 2 x = (1 + ctg2 x), sin x 0 (arcsin x) 1 =, 1 x 1, 1 1 x 2 2 π arcsin x 1 2 π (arccos x) = 1, 1 x 1, 0 arccos x π 1 x 2 (a x ) = a x ln a, a > 0 (ln x ) = 1 x, x 0 (log a x ) = 1 x ln a = 1 x log a e, a > 0, a 1, x 0

Pochodna Wzory Reguły różniczkowania (f + g) (x) = f (x) + g (x) (f g) (x) = f (x) g (x) (cf) (x) = cf (x), c R (f g) (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x) ( ) f (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) g g 2, g(x) 0 (x) (f g) (x) = f (g(x)) g (x)

Pochodna Wzory Równanie stycznej do wykresu funkcji Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie x 0 ma postać: y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) Definicja Niech f będzie funkcją ciągłą w punkcie x 0 R. Funkcja f ma w punkcie x 0 pochodną niewłaściwą wtedy i tylko wtedy, gdy f(x 0 + h) f(x 0 ) lim = h 0 h albo f(x 0 + h) f(x 0 ) lim = h 0 h

Pochodna Wzory Definicja (Pochodna n tego rzędu) f (n) (x) = ( f (n 1)) (x) dla n 2 Fakt (Wzór Leibniza) (f g) (n) (x) = n k=0 ( ) n f (k) (x)g (n k) (x) k We wzorze przyjmujemy f (0) (x) = f(x) i oczywiście g (0) (x) = g(x)

Pochodna Twierdzenia o funkcjach z pochodnymi Twierdzenia o funkcjach z pochodnymi Twierdzenie (Rolle a) Jeżeli funkcja spełnia warunki: jest ciągła na [a, b] ma pochodną właściwą lub niewłaściwą na (a, b) f(a) = f(b) to istnieje punkt c (a, b) taki, że f (c) = 0 Twierdzenie (Lagrange a) Jeżeli funkcja spełnia warunki: jest ciągła na [a, b] ma pochodną właściwą lub niewłaściwą na (a, b) to istnieje punkt c (a, b) taki, że f (c) = f(b) f(a) b a

Pochodna Twierdzenia o funkcjach z pochodnymi Twierdzenie (warunki wystarczające monotoniczności funkcji) Jeżeli funkcja dla każdego x (a, b) spełnia warunek f (x) = 0, to jest stała na przedziale (a, b) f (x) > 0, to jest rosnąca na przedziale (a, b) f (x) 0, to jest niemalejąca na przedziale (a, b) f (x) < 0, to jest malejąca na przedziale (a, b) f (x) 0, to jest nierosnąca na przedziale (a, b) Uwaga: Jeżeli f (x) 0 dla każdego x (a, b), przy czym zbiór {x (a, b) f (x) = 0} jest skończony, to funkcja f jest rosnąca na (a, b)

Pochodna Twierdzenia o funkcjach z pochodnymi Twierdzenie (Cauchu ego) Jeżeli funkcje spełniają warunki: są ciągłe na [a, b] mają pochodne właściwe lub niewłaściwe na (a, b) g (x) 0 dla każdego (a, b) to istnieje punkt c (a, b) taki, że f (c) g (c) = f(b) f(a) g(b) g(a)

Pochodna Twierdzenia o granicach nieoznaczonych Twierdzenie (reguła de L Hospitala dla nieoznaczoności 0 0 ) Jeżeli funkcje f i g spełniają warunki: to lim x x 0 f(x) = lim x x 0 g(x) = 0, przy czym g(x) dla x S(x 0 ) f istnieje granica lim (x) x x g (x) 0 (właściwa lub niewłaściwa) f(x) lim x x 0 g(x) = lim f (x) x x 0 g (x) Twierdzenie jest prawdziwe, jeżeli x 0 zastąpimy przez x 0, x+ 0,, +

Pochodna Twierdzenia o granicach nieoznaczonych Twierdzenie (reguła de L Hospitala dla nieoznaczoności ) Jeżeli funkcje f i g spełniają warunki: to lim x x 0 f(x) = lim x x 0 g(x) = f istnieje granica lim (x) x x g (x) 0 (właściwa lub niewłaściwa) f(x) lim x x 0 g(x) = lim f (x) x x 0 g (x) Twierdzenie jest prawdziwe, jeżeli x 0 zastąpimy przez x 0, x+ 0,, +

Pochodna Wzór Talora Wzór Taylora Twierdzenie Jeżeli funkcja f(x) ma n tą pochodną f (n) (x) w pewnym przedziale domkniętym zawierającym punkt a, wówczas dla każdego punktu x z tego przedziału ma miejsce następujący wzór Taylora: f(x) = f(a) + f (a) (x a) + f (a) (x a) 2 +... 1! 2!... + f (n 1) (a) (n 1)! (x a)n 1 + f (n) (c n ) (x a) n n! gdzie a < c n < x przy x > a i x < c n < a przy x < a Ostatni wyraz we wzorze Taylora oznaczamy przez R n : R n = f (n) (c n ) (x a) n n! i nazywamy resztą wzoru Taylora (w postaci Lagrange a)

Pochodna Wzór Talora Definicja (Szereg Taylora) Szereg potęgowy postaci f(x) = f(a) + nazywamy szeregiem Taylora n=1 f (n) (a) (x a) n n! Twierdzenie (O rozwinięciu funkcji w szereg Taylora) Funkcja jest rozwiajlna w szereg Taylora w przedziale (a δ, a + δ), jeżeli w tym przedziale funkcja ma pochodne każdego rzędu lim R n = 0, gdzie R n oznacza resztę szeregu podaną we wzorze n Taylora Uwaga Warunek drugi jest w szczególności spełniony, jeżeli wszystkie pochodne f (n) (x) są wspólnie ograniczne w przedziale (a δ, a + δ)

Badanie funkcji jednej zmiennej Ekstrema Badanie funkcji jednej zmiennej Definicja (Minimum lokalne) Funkcja f ma w x 0 R minimum lokalne jeżeli f(x) f(x 0 ) δ>0 x S(x 0,δ) Uwaga Zauważmy, że f musi być określona w otoczeniu punktu x 0. Zbiór S(x 0, δ) = {x R 0 < x x 0 < δ}

Badanie funkcji jednej zmiennej Ekstrema Badanie funkcji jednej zmiennej Definicja (Maksimum lokalne) Funkcja f ma w x 0 R maksimum lokalne jeżeli f(x) f(x 0 ) δ>0 x S(x 0,δ)

Badanie funkcji jednej zmiennej Ekstrema Badanie funkcji jednej zmiennej Definicja (Minimum lokalne właściwe) Funkcja f ma w x 0 R minimum lokalne właściwe jeżeli f(x) > f(x 0 ) δ>0 x S(x 0,δ) Definicja (Maksimum lokalne właściwe) Funkcja f ma w x 0 R maksimum lokalne właściwe jeżeli f(x) < f(x 0 ) δ>0 x S(x 0,δ)

Badanie funkcji jednej zmiennej Ekstrema Warunek konieczny istnienia ekstremum Twierdzenie Jeżeli funkcja f ma 1 ekstremum lokalne w punkcjie x 0 2 pochodną w punkcie x 0 to f (x 0 ) = 0 Uwaga Funkcja może mieć ekstrema tylko w punktach, w których jej pochodna równa jest zero, albo w punktach, w których jej pochodna nie istnieje

Badanie funkcji jednej zmiennej Ekstrema Warunek wystarczający istnienia ekstremum Twierdzenie Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 f (x 0 ) = 0 { f (x 0 ) > 0 dla x 0 δ < x < x 0 2 f (x 0 ) < 0 dla x 0 < x < x 0 + δ δ>0 to w punkcie x 0 ma maksimum lokalne właściwe

Badanie funkcji jednej zmiennej Ekstrema Warunek wystarczający istnienia ekstremum Twierdzenie Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 f (x 0 ) = f (x 0 ) =... = f (n 1) (x 0 ) = 0 2 f (n) (x 0 ) < 0 3 n jest liczbą parzystą, gdzie n 2 to w punkcie x 0 ma maksimum lokalne właściwe

Badanie funkcji jednej zmiennej Ekstrema Odnajdywanie wartości ekstremalnych funkcji w przedziale Funkcja f jest ciągła na przedziale < a, b > oraz ma pochodną właściwą poza skończoną liczbą punktów tego przedziału. Wartości najmniejszej i największej tej funkcji na tym przedziale szukamy w następujący sposób

Badanie funkcji jednej zmiennej Ekstrema Odnajdywanie wartości ekstremalnych funkcji w przedziale Funkcja f jest ciągła na przedziale < a, b > oraz ma pochodną właściwą poza skończoną liczbą punktów tego przedziału. Wartości najmniejszej i największej tej funkcji na tym przedziale szukamy w następujący sposób Znajdujemy punkty c 1,..., c n zerowania się pochodnej funkcji f na przedziale (a, b) oraz punkty d 1,..., d m, w których pochodna właściwa tej funkcji nie istnieje

Badanie funkcji jednej zmiennej Ekstrema Odnajdywanie wartości ekstremalnych funkcji w przedziale Funkcja f jest ciągła na przedziale < a, b > oraz ma pochodną właściwą poza skończoną liczbą punktów tego przedziału. Wartości najmniejszej i największej tej funkcji na tym przedziale szukamy w następujący sposób Spośród liczb f(a), f(b); f(c 1 ),..., f(c n ); f(d 1 ),..., f(d m ) wybieramy najmniejszą i największą. Będą to odpowiednio wartość najmniejsza oraz największa funkcji f na przedziale < a, b >

Badanie funkcji jednej zmiennej Wypukłość, wklęsłość Wypukłość i wklęsłość funkcji Definicja (Funkcja wypukła) Funkcja f jest wypukła na przedziale (a, b), gdzie a < b <, jeżeli: f(λx 1 + (1 λ)x 2 ) λf(x 1 ) + (1 λ)f(x 2 ) a<x 1<x 2<b 0<λ<1 Definicja (Funkcja ściśle wypukła) Funkcja f jest ściśle wypukła na przedziale (a, b), gdzie a < b <, jeżeli: f(λx 1 + (1 λ)x 2 ) < λf(x 1 ) + (1 λ)f(x 2 ) a<x 1<x 2<b 0<λ<1

Badanie funkcji jednej zmiennej Wypukłość, wklęsłość Wypukłość i wklęsłość funkcji Definicja (Funkcja wklęsła) Funkcja f jest wklęsła na przedziale (a, b), gdzie a < b <, jeżeli: f(λx 1 + (1 λ)x 2 ) λf(x 1 ) + (1 λ)f(x 2 ) a<x 1<x 2<b 0<λ<1 Definicja (Funkcja ściśle wklęsła) Funkcja f jest ściśle wklęsła na przedziale (a, b), gdzie a < b <, jeżeli: f(λx 1 + (1 λ)x 2 ) > λf(x 1 ) + (1 λ)f(x 2 ) a<x 1<x 2<b 0<λ<1

Badanie funkcji jednej zmiennej Wypukłość, wklęsłość Twierdzenie (warunek wystarczający wypukłości) Jeżeli f (x) > 0 dla każdego x (a, b), to funkcja f jest ściśle wypukła na (a, b)

Badanie funkcji jednej zmiennej Punkty przegięcia wykresu funkcji Definicja (Punkt przegięcia wykresu funkcji) Punkt (x 0, f(x 0 ) jest punktem przegięcia wykresu funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie δ > 0, że funkcja f jest ściśle wypukła na (x 0 δ, x 0 ) oraz ściśle wklęsła na (x 0, x 0 + δ) albo odwrotnie

Badanie funkcji jednej zmiennej Punkty przegięcia wykresu funkcji Definicja (Punkt przegięcia wykresu funkcji) Punkt (x 0, f(x 0 ) jest punktem przegięcia wykresu funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie δ > 0, że funkcja f jest ściśle wypukła na (x 0 δ, x 0 ) oraz ściśle wklęsła na (x 0, x 0 + δ) albo odwrotnie Twierdzenie (Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia) Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 (x 0, f(x 0 )) jest jej punktem przegięcia 2 istnieje f (x 0 ) to f (x 0 ) = 0

Badanie funkcji jednej zmiennej Punkty przegięcia wykresu funkcji Definicja (Punkt przegięcia wykresu funkcji) Punkt (x 0, f(x 0 ) jest punktem przegięcia wykresu funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie δ > 0, że funkcja f jest ściśle wypukła na (x 0 δ, x 0 ) oraz ściśle wklęsła na (x 0, x 0 + δ) albo odwrotnie Twierdzenie (Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia) Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 (x 0, f(x 0 )) jest jej punktem przegięcia 2 istnieje f (x 0 ) to f (x 0 ) = 0 Fakt Funkcja może mieć punkty przegięcia jedynie w punktach zerowania się jej drugiej pochodnej albo w punktach, w których ta pochodna nie istnieje.

Badanie funkcji jednej zmiennej Punkty przegięcia wykresu funkcji Warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia Twierdzenie Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 w punkcie x 0 ma pochodną właściwą lub niewłaściwą { f (x 0 ) < 0 dla x 0 δ < x < x 0 2 f (x 0 ) > 0 dla x 0 < x < x 0 + δ δ>0 to (x 0, f(x 0 )) jest punktem przegięcia wykresu.

Badanie funkcji jednej zmiennej Punkty przegięcia wykresu funkcji Warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia Twierdzenie Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 f (x 0 ) = f (x 0 ) =... = f (n 1) (x 0 ) = 0 2 f (n) (x 0 ) 0 3 n jest liczbą nieparzystą, gdzie n 3 to (x 0, f(x 0 )) jest punktem przegięcia jej wykresu Uwaga Jeżeli założenie 3. ma postać n jest liczbą parzystą, to (x 0, f(x 0 )) nie jest punktem przgięcia.

Całka nieoznaczona Definicja Całka nieoznaczona Definicja Niech f(x) będzie funkcją określoną w pewnym przedziale I. Każdą funkcję F (x) różniczkowalną w przedziale I i spełniającą w całym przedziale związek F (x) = f(x) nazywamy funkcją pierwotną funkcji f(x) w przedziale I. Przykłady funkcją pierwotną funkcji cos x w przedziale (, ) jest sin x, bo (sin x) = cos x funkcją pierwotną funkcji 1 2x jest x x 2, bo (x x 2 ) = 1 2x Funkcję pierwotną nazywamy również całką nieoznaczoną i oznaczamy przez f(x) dx

Całka nieoznaczona Własności W myśl określenia całki mamy: [ f(x) dx] = f(x) oraz F (x) dx = F (x). Obliczanie, czyli wyznaczanie całki nazywamy całkowaniem funkcji. Przykłady cos x dx = sin x, x 2 dx = 1 3, 1 dx = dx = x Zauważmy, że gdy F (x) jest całką funkcji f(x), to suma F (x) + c, gdzie c jest stałą dowolną, jest również całką, bo [F (x) + c] = F (x) = f(x). I odwrotnie: Dwie różne całki F (x) oraz G(x) tej samej funkcji f(x) różnią się w całym przdziale o stałą. Istotnie, jeżeli F (x) = f(x) oraz G (x) = f(x), to pochodna różnicy G(x) F (x) równa się w całym przedziale 0, zatem F (x) G(x) = c

Całka nieoznaczona Podstawowe wzory x a dx = x1+a + c, dla a 1, 1 + a 1 dx = ln x + c, x e x dx = e x + c, a x dx = ax ln a + c, 1 dx = arctan x + c = arcctgx + c 1 + x2 1 dx = arcsin x + c = arccos x + c 1 x 2 sin x = cos x + c cos x dx = sin x + c, 1 cos 2 dx = tan x + c, x 1 sin 2 dx = ctgx + c x

Całka nieoznaczona Podstawowe wzory Niech f(x) oraz g(x) będą funkcjami mającymi całki w pewnym przedziale. Wówczas suma f + g ma w tym przedziale całkę oraz (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx jeżeli a jest stałą, to af(x) dx = a f(x) dx jeżeli dodatkowowo f, g mają ciągłe pochodne, to f(x)g (x) dx = f(x)g(x) f(x) g(x) dx Uwaga: można spotkać się z oznaczeniem: dg(x) = g (x) dx lub krótko dg = g dx. Wtedy wzór ten zapisujemy w postaci f dg = fg g df

Całka nieoznaczona Podstawowe wzory Całkowanie przez podstawienie. Nich f(x) będzie funkcją ciągłą w przedziale (a, b) i niech f(x) dx = F (x). Niech dalej x = φ(t) będzie funkcją ciągłą w przedziale (α, β), spełniającą w nim nierówność a < φ(t) < b i mającą ciągłą pochodną φ (t). Funkcja złożona F [φ(t)] ma wówczas w przedziale (α, β) pochodną F [φ(t)]φ (t) = f[φ(t)]φ (t), bo F (x) = f(x), zatem f[φ(t)]φ (t) dt = F [φ(t)]. Stąd otrzymujemy f(x) dx = f[φ(t)]φ (t) dt dla x = φ(t)

Całka nieoznaczona Podstawowe wzory Przykłady (stała będzie pomijana) a 0, dx ax+b dx = dt a. Zatem dx ax + b = t b. Przyjmujemy ax + b = t, zatem x = a, skąd 1 t 1 a dt = 1 1 a t dt = 1 a ln t = 1 ln ax + b a x 1 + x2 dx. Przyjmijmy 1 + x 2 = t, skąd 2x dx = dt, zatem x 1 + x 2 dx = 1 2 1 + x2 2x dx = 1 t 1 dt = 2 3 t 3 1 2 = 3 ( 1 + x 2 ) Całka ułamka φ (x) φ(x) dx, w którym licznik jest pochodną mianownika, przekształca się po podstawieniu φ(x) = t na całkę dt t = ln t. Całka iloczynu [φ(x)] a φ (x) dx, gdzie a 1, przekształca się po podstawieniu φ(x) = t na całkę t a dt.

Całka nieoznaczona Podstawowe wzory Wynikają stąd następujące wzory: φ (x) dx = ln φ(x), φ(x) [φ(x)] a φ (x) dx = [φ(x)]a+1 dla a 1 a + 1 Wzory rekurenyjne. Całki dx I n = (1 + x 2 ) n, J n = sin n x dx, cos n x dx umiemy obliczyć dla n = 1. Dla n > 1 można je obliczyć stosując wzory rekurencyjne: dx (1 + x 2 ) n = 1 x 2n 3 dx 2n 2 (1 + x 2 + ) n 1 2n 2 (1 + x 2 ) n 1, sin n x dx = 1 n cos x sinn 1 x + n 1 sin n 2 x dx, n cos n x dx = 1 n sin x cosn 1 x + n 1 cos n 2 x dx n

Całka nieoznaczona Podstawowe wzory Pierwszy wzór rekurencyjny 1 + x 2 x 2 I n = (1 + x 2 ) n dx = ( x = I n 1 2 d dx x (1 + x 2 ) n 1 2 ) 1 (n 1)(1 + x 2 ) n 1 2x dx (1 + x 2 ) n = Całkując ostatnią całkę przez części otrzymujemy x I n = I n 1 + (2n 2)(1 + x 2 ) n 1 dx (2n 2)(1 + x 2 ) n 1 x I n = I n 1 + (2n 2)(1 + x 2 ) n 1 1 2n 2 I n 1 x 2n 3 = (2n 2)(1 + x 2 + ) n 1 2n 2 I n 1 Drugi wzór rekurencyjny Zaczynamy od postaci: sin n x dx = sin n 1 x d( cos x) Trzeci wzór rekurencyjny otrzymuje się podobnie do drugiego

Całka nieoznaczona Podstawowe wzory Przykłady Przy podstawieniu sin x = t mamy sin x dt tan x dx = cos x dx = = ln t = ln cos x t Najpierw przez części, potem podstawienie 1 x 2 = t x arcsin x dx = x arcsin x dx = x arcsin x + 1 x 2 = x arcsin x + t = x arcsin x + 1 x 2 dt 2 t =

Całka nieoznaczona Podstawowe wzory Przykłady Podstawienie x = at (wtedy dx = adt) dx = dt = arcsin t = arcsin x a x 2 1 t 2 a Podstawienie x + a + x 2 = t. Dla tego podstawienia zachodzi ( 1 + ) x a + x 2 dx = x + a + x 2 dx = a + x 2 dx a + x 2 t = dt Zatem dx a + x 2 = dt t = ln t = ln x + a + x 2

Całka nieoznaczona Podstawowe wzory a a x 2 x2 dx = dx a x 2 a = dx + x x a x 2 a x 2 dx = dx = a + xd a x 2 = a x 2 = a arcsin x a + x a x 2 a x2 dx Zatem a x2 dx = 1 (a arcsin a x + x ) a x 2 2

Całka nieoznaczona Podstawowe wzory Wyznaczamy całkę Ax + B x 2 dx. Na początek zauważamy, że + px + q Ax + B (x 2 + px + q) n dx = A 2x + p 2 (x 2 + px + q) n + C (x 2 + px + q) n, gdzie C = B A 2 Zatem Ax + B x 2 + px + q dx = A 2 2x + p (x 2 + px + q) n dx+c Pierwsza całka po prawej stronie równości jest postaci [φ(x)] n φ (x) dx dla φ(x) = x 2 + px + q zatem wiadomo już, jak ją policzyć 1 (x 2 + px + q) n dx

Całka nieoznaczona Podstawowe wzory Trzeba pokazać, jak wyznaczyć 1 (x 2 +px+q) dx. W tym celu n podstawiamy ( x 2 + px + q = x + p ) ) 2 + (q p2 = at 2 + a, 2 4 gdzie q p2 4 = a oraz x + p 2 = at. Wówczas dx = a dt. Zatem 1 (x 2 + px + q) n dx = a dt a n (1 + t 2 ) n = 1 a n 1/2 dt (1 + t 2 ) n Ostatnia całka jest równa arctan t dla n = 1, a dla n > 1, stosujemy wzór rekurencyjny.

Całka nieoznaczona Podstawowe wzory Do domu. Stosując opisany powyżej sposób pokazać, że 5 + 2 x 5 3 x + x 2 dx = 4 arctan( 3+2 x 11 ) + ln(5 3 x + x 2 ) 11 ( ) 3 + 2 x (5 + 3 x + x 2 ) 2 dx = 1 5 + 3 x + x 2

Całka nieoznaczona Podstawowe wzory Całki, których nie można wyrazić za pomocą funkcji elementarnych dx sin x, 1 + x 2 x dx, e x2 dx

Całka oznaczona Definicja Całka oznaczona Niech f(x) oznacza funkcję ograniczoną na < a, b >.

Całka oznaczona Definicja Całka oznaczona Niech f(x) oznacza funkcję ograniczoną na < a, b >. Niech P 1, P 2,..., P m,... będą różnym podziałami przedziału < a, b >. Podział P m jest osiągnięty przy pomocy n m 1 liczb x 1, x 2,..., x nm 1, przy czym a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x nm 1 < x nm = b.

Całka oznaczona Definicja Całka oznaczona Niech f(x) oznacza funkcję ograniczoną na < a, b >. Niech P 1, P 2,..., P m,... będą różnym podziałami przedziału < a, b >. Podział P m jest osiągnięty przy pomocy n m 1 liczb x 1, x 2,..., x nm 1, przy czym a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x nm 1 < x nm = b. Przedziały < x i 1, x i >, gdzie i = 1, 2,..., n m, nazywamy przedziałami cząstkowymi podziału P m. Długości ich x i x i 1 będziemy oznaczali przez x i

Całka oznaczona Definicja Całka oznaczona Niech f(x) oznacza funkcję ograniczoną na < a, b >. Niech P 1, P 2,..., P m,... będą różnym podziałami przedziału < a, b >. Podział P m jest osiągnięty przy pomocy n m 1 liczb x 1, x 2,..., x nm 1, przy czym a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x nm 1 < x nm = b. Przedziały < x i 1, x i >, gdzie i = 1, 2,..., n m, nazywamy przedziałami cząstkowymi podziału P m. Długości ich x i x i 1 będziemy oznaczali przez x i Niech δ m = max x i oraz i S m = n m i=1 f(c i ) x i, przy podziale P m oraz dowolnie wybranych punktów c i < x i 1, x i >, i = 1, 2,..., n m.

Całka oznaczona Definicja Całka oznaczona Niech f(x) oznacza funkcję ograniczoną na < a, b >. Niech P 1, P 2,..., P m,... będą różnym podziałami przedziału < a, b >. Podział P m jest osiągnięty przy pomocy n m 1 liczb x 1, x 2,..., x nm 1, przy czym a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x nm 1 < x nm = b. Przedziały < x i 1, x i >, gdzie i = 1, 2,..., n m, nazywamy przedziałami cząstkowymi podziału P m. Długości ich x i x i 1 będziemy oznaczali przez x i Niech δ m = max x i oraz i S m = n m i=1 f(c i ) x i, przy podziale P m oraz dowolnie wybranych punktów c i < x i 1, x i >, i = 1, 2,..., n m. Ciąg podziałów nazywamy normalnym ciągiem podziałów, jeżeli lim m δ m = 0

Całka oznaczona Definicja Definicja Jeżeli ciąg {S m } dla m jest zbieżny i do tej samej granicy przy każdym normalnym ciągu podziałów, niezależnie od wyboru punktów c i, to funkcję f(x) nazywamy funkcją całkowalną w przedziale < a, b >.

Całka oznaczona Definicja Definicja Jeżeli ciąg {S m } dla m jest zbieżny i do tej samej granicy przy każdym normalnym ciągu podziałów, niezależnie od wyboru punktów c i, to funkcję f(x) nazywamy funkcją całkowalną w przedziale < a, b >. Granicę ciągu {S m } nazywamy całką oznaczoną funkcji f(x) w granicach od a do b i oznaczamy symbolem b a f(x) dx

Całka oznaczona Własności Własności 1 Funkcja ciągła w przedziale domkniętym jest całkowalna

Całka oznaczona Własności Własności 1 Funkcja ciągła w przedziale domkniętym jest całkowalna 2 Funkcja ogranicznona w przedziale domkniętym oraz ciągła w nim z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby liczby punktów jest całkowalna.

Całka oznaczona Własności Własności 1 Funkcja ciągła w przedziale domkniętym jest całkowalna 2 Funkcja ogranicznona w przedziale domkniętym oraz ciągła w nim z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby liczby punktów jest całkowalna. 3 Jeżeli a b c, to c f(x) dx = b c f(x) dx + f(x) dx a c b

Całka oznaczona Własności 4 Stały czynnik można wyłączyć przed znak całki b b kf(x) dx = k f(x) dx a a

Całka oznaczona Własności 4 Stały czynnik można wyłączyć przed znak całki b b kf(x) dx = k f(x) dx a a 5 Całka sumy równa się sumie całek b (f(x) + g(x)) dx = b b f(x) dx + g(x) dx a a a

Całka oznaczona Własności 6 Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale < a, b >, to zachodzi b a f(x) dx = f(c)(b a), dla pewnego c z przedziału < a, b >

Całka oznaczona Własności 6 Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale < a, b >, to zachodzi b a f(x) dx = f(c)(b a), dla pewnego c z przedziału < a, b > 7 Jeżeli funkcja f(t) jest ciągła w przedziale < a, b >, to funkcja h(x) = x a f(t) dt jest ciągła i różniczkowalna względem zmiennej x w przedziale < a, b > i w każdym punkcie tego przedziału zachodzi związek h (x) = f(x).

Całka oznaczona Własności 8 ZWIĄZEK MIĘDZY CAŁKĄ OZNACZONĄ A NIEOZNACZONĄ. Jeżeli przez F (x) oznaczymy funkcję pierwotną funkcji f(x), ciągłej w przedziale < a, b >, tzn. jeżeli F (x) = f(x), to ma miejsce wzór b a f(x) dx = F (b) F (a) Przykłady

Całka oznaczona Własności 8 ZWIĄZEK MIĘDZY CAŁKĄ OZNACZONĄ A NIEOZNACZONĄ. Jeżeli przez F (x) oznaczymy funkcję pierwotną funkcji f(x), ciągłej w przedziale < a, b >, tzn. jeżeli F (x) = f(x), to ma miejsce wzór b a f(x) dx = F (b) F (a) Przykłady Ponieważ x sin(x 2 ) dx = cos(x2 ) 2 + C, mamy π/2 0 [ cos(x x sin(x 2 2 ) ) dx = 2 ] π/2 0 ( ) cos((π/2) 2 ) = cos(02 ) 2 2

Całka oznaczona Własności 8 ZWIĄZEK MIĘDZY CAŁKĄ OZNACZONĄ A NIEOZNACZONĄ. Jeżeli przez F (x) oznaczymy funkcję pierwotną funkcji f(x), ciągłej w przedziale < a, b >, tzn. jeżeli F (x) = f(x), to ma miejsce wzór b a f(x) dx = F (b) F (a) Przykłady Ponieważ x sin(x 2 ) dx = cos(x2 ) 2 + C, mamy π/2 0 [ cos(x x sin(x 2 2 ) ) dx = 2 ] π/2 Ponieważ e x x dx = e x ( 1 + x) + C, mamy 3 2 0 ( ) cos((π/2) 2 ) = cos(02 ) 2 2 e x x dx = [e x ( 1 + x)] 3 2 = e 3 ( 1 + 3) e 2 ( 1 + 2)

Całka oznaczona Własności 9 Jeżeli u i v są funkcjami zmiennej x mającymi ciągłą pochodną, to b u dv = [uv] b a b a a vdu. Jest to wzór na całkowanie przez części dla całek oznczonych. Przykłady

Całka oznaczona Własności 9 Jeżeli u i v są funkcjami zmiennej x mającymi ciągłą pochodną, to b a u dv = [uv] b a b a vdu. Jest to wzór na całkowanie przez części dla całek oznczonych. Przykłady 1 2 π 0 x sin x dx = 1 2 π 0 xd(cos x) = [ x cos x] 1 2 π 0 + 1 2 π 0 cosx dx = [sin x] 1 2 π 0 = 1

Całka oznaczona Własności 9 Jeżeli u i v są funkcjami zmiennej x mającymi ciągłą pochodną, to b a u dv = [uv] b a b a vdu. Jest to wzór na całkowanie przez części dla całek oznczonych. Przykłady 1 2 π 0 x sin x dx = 1 2 π 0 xd(cos x) = [ x cos x] 1 2 π 0 + 1 2 π 0 cosx dx = [sin x] 1 2 π 0 = 1 5 ln(x) dx = 5 2 2 x ln(x) dx = [xln(x)] 5 2 5 x 1 dx = 2 x = 5 ln(5) 2 ln(2) (5 2)

Całka oznaczona Własności Twierdzenie (O całkowaniu przez podstawienie) Jeżeli to funkcja ϕ : α, β a, b jest na i ma ciągłą pochodną na α, β ϕ(α) = a, ϕ(β) = b funkcja f jest ciągła na przedziale a, b b a f(x) dx = β α f(ϕ(t))ϕ (t) dt

Całka oznaczona Własności Twierdzenie (O całkowaniu przez podstawienie) Jeżeli to funkcja ϕ : α, β a, b jest na i ma ciągłą pochodną na α, β ϕ(α) = a, ϕ(β) = b funkcja f jest ciągła na przedziale a, b b a f(x) dx = β α f(ϕ(t))ϕ (t) dt Przykład 1 2 2 2 x 1 + x dx = (t 1) t dt = t 3/2 dt t 1/2 dt 0 1 dla ϕ(t) = t 1, ϕ (t) = 1 1 1

Całka niewłaściwa Całki funkcji nieograniczonych Definicja Jeżeli funkcja f(x) jest ograniczona i całkowalna w każdym przedziale a x c h, h > 0, oraz w każdym przedziale c + k x b, k > 0, i jeżeli istnieją granice lim h 0 + c h a b f(x) dx oraz lim f(x) dx, k 0 + c+k to sumę tych granic nazywamy całką niewłaściwą funkcji f(x) w przedziale < a, b > i oznaczamy symbolem b a f(x) dx W podanej definicji chodzi o funkcje, które w każdym otoczeniu (c δ, c + δ), δ > 0, są nieogranczone. W punkcie c funkcja może nawet nie być określona. Jeżeli przynajmniej jedna z granic nie istnieje, to mówimy, że całka jest rozbieżna.

Całka niewłaściwa Całki funkcji nieograniczonych Jeżeli punktem nieograniczoności jest jeden z końców przedziału < a, b >, to przez całkę niewłaściwą rozumiemy odpowiednio b lim f(x) dx albo lim h 0 + a+h k 0 + b k a f(x) dx, Przykład

Całka niewłaściwa Całki funkcji nieograniczonych Jeżeli punktem nieograniczoności jest jeden z końców przedziału < a, b >, to przez całkę niewłaściwą rozumiemy odpowiednio b lim f(x) dx albo lim h 0 + a+h k 0 + b k a f(x) dx, Przykład 3 0 dx 3 ( dx ) x dx = lim ε 0 + ε x dx = lim 2 3 2 ε ε 0 +

Całka niewłaściwa Całki oznaczone w przedziale nieskończonym Definicja Jeżeli funkcja f(x) jest ograniczona i całkowalna w każdym przedziale skończonym a x v (a ustalone, v dowolne) oraz istnieje granica v lim v a f(x) dx, to granicę tę nazywamy całką niewłaściwą funkcji f(x) w przedziale a x < i oznaczamy symbolem a f(x) dx. Analogicznie określa się znaczenie symbolu b b lim u u f(x) dx. f(x) dx jako granicę

Całka niewłaściwa Całki oznaczone w przedziale nieskończonym Przykład Chcemy obliczyć całkę ( 2 1 x + ) 1 2 x dx 2

Całka niewłaściwa Całki oznaczone w przedziale nieskończonym Przykład Chcemy obliczyć całkę ( 2 1 x + ) 1 2 x dx 2 Najpierw możemy wyznaczyć całkę nieoznaczoną ( 2 x + ) 1 2 x dx = 4 2 x 2 x 1 2 3x, 3

Całka niewłaściwa Całki oznaczone w przedziale nieskończonym Przykład Chcemy obliczyć całkę ( 2 1 x + ) 1 2 x dx 2 Najpierw możemy wyznaczyć całkę nieoznaczoną ( 2 x + ) 1 2 x dx = 4 2 x 2 x 1 2 3x, 3 Zatem zgodnie z podaną definicją ( 2 x + ) 1 2 ( x dx = 2 limv 4 v 2 v 1 2 3v ( 4 2 1/3) ) 3 1

Macierze Podstawowe definicje MACIERZE Macierz wymiaru m n Macierz A wymiaru m n jest prostokątną tablicą elementów a ij, i = 1,... m, j = 1,..., n: a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =...... a m1 a m2... a mn Elementami macierzy mogą być liczby rzeczywiste, zespolone i inne jeszcze obiekty. Będziemy oznaczać w skrócie A = (a ij )

Macierze Podstawowe definicje Macierz zerowa to macierz, której wszystkie elementy są równe zero

Macierze Podstawowe definicje Macierz zerowa to macierz, której wszystkie elementy są równe zero Transpozycją macierzy A = (a ij ) o wymiarach m n jest macierz A T = (a ji ) o wymiarach n m

Macierze Podstawowe definicje Macierz zerowa to macierz, której wszystkie elementy są równe zero Transpozycją macierzy A = (a ij ) o wymiarach m n jest macierz A T = (a ji ) o wymiarach n m O macierzy A wymiaru m n powiemy, że jest kawdratowa, jeżeli m = n

Macierze Podstawowe definicje Macierz zerowa to macierz, której wszystkie elementy są równe zero Transpozycją macierzy A = (a ij ) o wymiarach m n jest macierz A T = (a ji ) o wymiarach n m O macierzy A wymiaru m n powiemy, że jest kawdratowa, jeżeli m = n Macierz A jest symetryczna, gdy jest kwadratowa oraz zachodzi warunek A T = A

Macierze Podstawowe definicje Macierz zerowa to macierz, której wszystkie elementy są równe zero Transpozycją macierzy A = (a ij ) o wymiarach m n jest macierz A T = (a ji ) o wymiarach n m O macierzy A wymiaru m n powiemy, że jest kawdratowa, jeżeli m = n Macierz A jest symetryczna, gdy jest kwadratowa oraz zachodzi warunek A T = A Macierz A = (a ij ) jest diagonalna, jeżeli jest kwadratowa oraz a ij = 0 dla i j

Macierze Podstawowe definicje Macierz zerowa to macierz, której wszystkie elementy są równe zero Transpozycją macierzy A = (a ij ) o wymiarach m n jest macierz A T = (a ji ) o wymiarach n m O macierzy A wymiaru m n powiemy, że jest kawdratowa, jeżeli m = n Macierz A jest symetryczna, gdy jest kwadratowa oraz zachodzi warunek A T = A Macierz A = (a ij ) jest diagonalna, jeżeli jest kwadratowa oraz a ij = 0 dla i j Macierz identycznościowa I: macierz diagonalna, która ma same jedynki na przekątnej

Macierze Działania na macierzach - podstawy Sumą macierzy A = (a ij ) oraz B = (b ij ) o jednakowych wymiarach jest macierz A + B = (a ij + b ij )

Macierze Działania na macierzach - podstawy Sumą macierzy A = (a ij ) oraz B = (b ij ) o jednakowych wymiarach jest macierz A + B = (a ij + b ij ) Różnicą macierzy A = (a ij ) oraz B = (b ij ) o jednakowych wymiarach jest macierz A B = (a ij b ij )

Macierze Działania na macierzach - podstawy Sumą macierzy A = (a ij ) oraz B = (b ij ) o jednakowych wymiarach jest macierz A + B = (a ij + b ij ) Różnicą macierzy A = (a ij ) oraz B = (b ij ) o jednakowych wymiarach jest macierz A B = (a ij b ij ) Mnożenie macierzy A = (a ij ) przez liczbę α: αa = (α a ij )

Macierze Działania na macierzach - podstawy Sumą macierzy A = (a ij ) oraz B = (b ij ) o jednakowych wymiarach jest macierz A + B = (a ij + b ij ) Różnicą macierzy A = (a ij ) oraz B = (b ij ) o jednakowych wymiarach jest macierz A B = (a ij b ij ) Mnożenie macierzy A = (a ij ) przez liczbę α: αa = (α a ij ) Przemienność, łączność oraz rozdzielność mnożenia macierzy przez liczbę (α, β R): αa = Aα, α(βa) = (αβ)a, (α ± β)a = αa ± βb, α(a ± B) = αa ± αb

Macierze Działania na macierzach - podstawy Mnożenie macierzy A = (a ij ) wymiaru m n przez wektor v = [v 1,..., v n ] T : a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =..... a m1 a m2... a mn a 11 v 1 + a 12 v 2 +... + a 1n v n a 21 v 1 + a 22 v 2 +... + a 2n v n = v 1 v 2. v n. a m1 v 1 + a m2 v 2 +... + a mn v n =

Macierze Działania na macierzach - podstawy Mnożenie macierzy A = (a ij ) wymiaru m n przez macierz B = (b 1, b 2,..., b k ) wymiaru n k: AB = (Ab 1, Ab 2,..., Ab k )

Macierze Działania na macierzach - podstawy Mnożenie macierzy A = (a ij ) wymiaru m n przez macierz B = (b 1, b 2,..., b k ) wymiaru n k: AB = (Ab 1, Ab 2,..., Ab k ) Transpozycja a mnożenie macierzy: (AB) T = B T A T

Macierze Działania na macierzach - podstawy Mnożenie macierzy A = (a ij ) wymiaru m n przez macierz B = (b 1, b 2,..., b k ) wymiaru n k: AB = (Ab 1, Ab 2,..., Ab k ) Transpozycja a mnożenie macierzy: (AB) T = B T A T Rząd macierzy Dla każdej macierzy A maksymalna liczba r liniowo niezależnych kolumn jest równa maksymalnej liczbie liniowo niezależnych wierszy. Liczbę r nazywamy rzędem macierzy, symbolicznie oznczanym przez R(A) Macierz nieosobliwa: Macierz kwadratowa A wymiaru n n, dla której R(A)=n.