2. Definicja pochodnej w R n

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "2. Definicja pochodnej w R n"

Transkrypt

1 2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu) f(a) t = d f(a + tu), dt t=0 o ile ta granica istnieje. Pochodną cząstkową nazywamy pochodną kierunkową w kierunku wektora bazy standardowej {e j } n j=1. Piszemy j f(a) = ej f(a). Zauważmy, że jeśli f ma pochodną w kierunku u, to dla każdego α R αu f(a) = α u f(a). Mówimy, że funkcja f : U R jest różniczkowalna w punkcie a U, jeśli istnieje funkcjonał liniowy λ : R n R, taki że f(a + h) f(a) λ(h) 0. Jeśli tak jest, to funkcjonał λ = f (a) nazywamy pochodną f w a, a wektor f(a), taki że f (a)h =< f(a), h >, h R n, nazywamy gradientem funkcji f w a. Nietrudno się przekonać, że ( ) f(a) = 1 f(a), 2 f(a),..., n f(a) oraz u f(a) = f (a)u =< f(a), u) >= j f(a)u j. j= Jeśli f jest stała w U, to f (x) = 0 dla każdego x U Jeśli ϕ jest funkcjonałem liniowym, to dla każdego x R n ϕ (x) = ϕ. A oto ważna interpretacja pojęcia różniczkowalności Funkcja f : U R jest różniczkowalna w punkcie a U wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja afiniczna g : R n R, taka że f(x) g(x) (2.4) lim = 0. x a x a Dwie funkcje f i g spełniające warunek (2.4) nazywamy stycznymi w punkcie a Jeśli f : U R jest różniczkowalna w a U, to jest też w tym punkcie ciągła.

2 Interpretacja geometryczna: Niech będzie dana funkcja f określona na zbiorze otwartym U R n i niech a U. Rozważmy wykres f: S = {(x, y) U R : y = f(x)}. Możemy myśleć, że S jest n-wymiarową powierzchnią w R n+1. Zauważmy, że hiperpłaszczyzna H o równaniu (2.6) y f(a) = c k (x k a k ), c 2 k = 1, jest wykresem funkcjonału afinicznego m Φ(h) = c k (h k a k ) + f(a) = ϕ(h a) + f(a), k=1 k=1 gdzie ϕ : R n R jest funkcjonałem liniowym o normie 1. Powiemy, że H jest styczna w punkcie P 0 = (a, f(a)) do wykresu S, jeśli (2.7) lim d(p h, H) d(p h, P 0 ) = 0, gdzie P h = (a + h, f(a + h)) jest punktem na powierzchni dążącym do P Funkcja f jest różniczkowalna w punkcie a, wtedy i tylko wtedy gdy jej wykres S ma hiperpłaszczyznę styczną w punkcie P 0. Dowód. Przypuśćmy najpierw, że S ma hiperpłaszczyznę styczną (2.6). Warunek styczności (2.7) można wyrazić tak: k=1 f(a + h) f(a) ϕ(h) (2.9) lim 2 + f(a + h) f(a) = 0. 2 Wykażemy najpierw, że z warunku tego wynika, że istnieje stała C > 0, taka że f(a + h) f(a) C dla małych h. Gdyby takiej stałej nie było, to istniałby ciąg 0, taki że f(a + ) f(a) i proste przekształcenia doprowadziłyby nas do wniosku, że granica (2.9) wynosi 1, a nie 0. W takim razie f(a + h) f(a) ϕ(h) = d(p ( ) h, S) f(a + h) f(a) 2 d(p h, P 0 ) 1 +, gdzie pierwszy czynnik dąży do zera, a drugi jest ograniczony. Zatem f jest różniczkowalna. Jeśli natomiast f jest różniczkowalna i f (a) = ϕ, to drugą implikację otrzymujemy dzięki nierówności d(p h, S) d(p h, P 0 ) f(a + h) f(a) ϕ(h). 2

3 2.10 (arytmetyka pochodnych). Jeśli f, g : U R są różniczkowalne w punkcie a U, to także f + g i f g są różniczkowalne w tym punkcie i (f + g) (a) = f (a) + g (a), (f g) (a) = f(a)g (a) + g(a)f (a). Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w zbiorze otwartym U, jeśli jest różniczkowalna w każdym punkcie tego zbioru. Natomiast sformułowanie f jest różniczkowalna na zbiorze X, gdzie X R n jest zbiorem niekoniecznie otwartym, oznacza, że f jest określona na pewnym zbiorze otwartym zawierającym X i różniczkowalna w każdym punkcie x X Twierdzenie (o wartości średniej). Jeśli [a, b] U R n i f : U R ma pochodną kierunkową w kierunku wektora h = b a w każdym punkcie x U, to istnieje punkt c [a, b], taki że f(b) f(a) = h f(c). Mówimy, że funkcja f jest klasy C 1 (U), jeśli ma wszystkie pochodne pochodne cząstkowe w każdym punkcie zbioru U i każda z pochodnych cząstkowych j f : U R jest funkcją ciągłą. Powiemy, że f jest klasy C 1 (X), gdzie X jest niekoniecznie otwarty, jeśli f jest określona na pewnym zbiorze otwartym X U i ma ciągłe pochodne cząstkowe na na zbiorze X Twierdzenie. Jeśli funkcja f : U R jest klasy C 1 w zbiorze otwartym U, to jest różniczkowalna w U. Dowód. Przypuśćmy, że dla pewnych wektorów u i v pochodne kierunkowe u (x) i v f(x) są funkcjami ciągłymi w U. Wtedy f(a + t(u + v)) f(a) = f((a + tu) + tv) f(a + tu) + f(a + tu) f(a) = t v (a + tu + θtv) + f(a + tu) f(a), czyli f(a + t(u + v)) f(a) = v (a + tu + θtv) + t co przy założonej ciągłości v f(x) daje W takim razie funkcja jest liniowa względem h R n i spełnia Stąd zaś u+v f(a) = u f(a) + v f(a). h f(x) = h j j f(x) j=1 f(a + tu) f(a), t ( n h f(x) h f(y) j f(x) j f(y) 2) 1/2. f(a + h) f(a) h f(a) co pokazuje, że f (a)h = h f(a). j=1 = hf(a + θh) h f(a) 0, 3

4 4 Przykład. Rozważmy funkcję f(x, y) = { x 2 y x 4 +y, 2 (x, y) (0, 0) 0, (x, y) = (0, 0). Łatwo sprawdzić, że funkcja ta ma wszystkie pochodne kierunkowe w a = (0, 0) równe { u 2 (u,v) f(0, 0) = v, v 0 0, v = 0. Tymczasem, lim f(x, y) nie istnieje, (x,y) (0,0) więc f nie jest ciągła w a, a tym bardziej nie jest różniczkowalna. Trochę inny przykład stanowi funkcja xy, (x, y) (0, 0) g(x, y) = x 2 +y2 0, (x, y) = (0, 0). Znowu widzimy, że funkcja g ma wszystkie pochodne kierunkowe w a = (0, 0) równe (u,v) f(0, 0) = uv u 2 + v 2, które jednak nie zależą liniowo od (u, v), więc g nie jest różniczkowalna w a, chociaż więc jest ciągła. lim g(x, y) = 0, (x,y) (0,0) Niech będzie dane odwzorowanie F otwartego zbioru U R n w przestrzeń R m. Wtedy F (x) = ( F 1 (x), F 2 (x),..., F m (x) ), gdzie F j : U R są funkcjami składowymi F. Odwzorowanie F nazywamy różniczkowalnym w punkcie a U, jeśli istnieje odwzorowanie liniowe A : R n R m, takie że F (a + h) F (a) Ah Odwzorowanie to oznaczamy przez F (a) = A Odwzorowanie F jest różniczkowalne w punkcie A wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego 1 j m funkcja F j jest różniczkowalna. Wtedy też F j(a) = A j = F (a) j. Macierz odwzorowania F (a) składa się z wierszy, w których stoją gradienty F i (a). Innymi słowy, F (a) = ( j F i (a) ) ij.

5 5 Przykład. Niech F : C C będzie zadana wzorem F (z) = z 2. Utożsamiając C z = x + iy (x, y) R 2, możemy zapisać F jako odwzorowanie R 2 w R 2 zadane wzorem F (x, y) = (x 2 y 2, 2xy). Nietrudno się przekonać, że jest to odwzorowanie różniczkowalne (ciągłe pochodne cząstkowe składowych) i ( ) F 2x 2y (x, y) =. 2y 2x Jeśli F : U R m jest różniczkowalne na zbiorze otwartym U R n i [a, b] U, to F (b) F (a) sup F (c) b a. c [a,b] Twierdzenie (o pochodnej odwzorowania złożonego). Niech U R m i V R n będą zbiorami otwartymi. Niech G : U R n będzie różniczkowalne w a U, a F : V R k w b = G(a). Wtedy H = F G jest różniczkowalne w a i Dowód. Niech H (a) = (F G) (a) = F (b)g (a). r(h) = G(a + h) G(a) Bh, ρ(k) = F (b + k) F (b) Ak. Wtedy F (G(a + h)) F (G(a)) ABh = F (b + k) F (b) Ak A(r(h)), gdzie k = k(h) = Bh + r(h). Zatem gdzie F (G(a + h)) F (G(a)) ABh jest ograniczone. = F (b + k) F (b) Ak k k Bh + r(h) = k + A(r(h), Zapisując G przy pomocy składowych i biorąc za F funkcję f otrzymujemy Wniosek (reguła łańcucha). Niech U R m i V R n będą zbiorami otwartymi. Niech G : U R n będzie różniczkowalne w a U, a f : V R w b = G(a). Jeśli H = G f, to m k {f(g(x))} = H (x) = ( j f)(g(x)) k G j (x). j=1

6 Pochodne drugiego rzędu Będziemy mówili, że funkcja różniczkowalna w zbiorze otwartym U R n jest klasy C k (U), gdzie k > 1, jeśli pochodne cząstkowe j f są różniczkowalne klasy C k 1 (U). Ponieważ znamy już pojęcie klasy C 1 (U) powyższa definicja jest poprawną definicją indukcyjną Lemat. Jeśli f C 2 (R 2 ), to dla każdych t, s R 1 2 f(t, s) = 2 1 f(t, s). Dowód. Mamy f(t +, s) f(t, s) a więc także po zastąpieniu f przez 2 f (2.18) Ale 2 f(t +, s) 2 f(t, s) 2 f(t +, s) 2 f(t, s) = 2 1 f(t, s), 1 2 f(t, s), { f(t + hn, s) f(t, s) więc wydaje się, że granica w (2.18) powinna być także równa 2 1 f(t, s), co jest naszym celem. Jeśli ustalimy t i oznaczymy g n (s) = f(t +, s) f(t, s), to g n (s) 1 f(t, s) punktowo. Jeśli pokażemy jeszcze, że g n(s) 1 2 f(t, s) niemal jednostajnie, to na mocy twierdzenia o różniczkowaniu granicy, osiągniemy nasz cel. Tak rzeczywiście jest, bo g n(s) 1 2 f(t, s) 2 f(t +, s) 2 f(t, s) 1 2 f(t, s) 1 2 f(t + θ, s) 1 2 f(t, s), a ostatnie wyrażenie dąży niemal jednostajnie do zera dzięki jednostajnej ciągłości funkcji 1 2 f na domkniętych prostokątach w R Wniosek. Jeśli f jest funkcją klasy C 2 (U) na otwartym zbiorze U R n, to dla każdych u, v R n i każdego a U Dowód. Wystarczy zauważyć, że jeśli u v f(a) = v u f(a). ϕ(t, s) = f(a + tu + sv), }, 6 to u v f(a) = t s ϕ(0, 0).

7 7 Przypuśćmy, że f C 2 (U). Niech K(a, r) U, < r i niech ϕ(t) = f(a + th), t 1 + ε, Oczywiście ϕ C 1 ( 1 ε, 1 + ε), więc możemy ją rozwinąć we wzór Taylora: gdzie na mocy reguły łańcucha ϕ(t) = ϕ(0) + ϕ (0)t ϕ (0)t 2 + o(t 2 ), ϕ (t) = f (a + th)h = k f(a + th)h k, k=1 skąd dalej ϕ (0) = j k f(a)h k h j. k=1 j=1 Symetryczną formę dwuliniową o macierzy f (a) = ( ) ) α k,j ( 1 k,j n = k j f(a) 1 k,j n będziemy nazywali drugą pochodną f. Zatem druga pochodna jest formą dwuliniową. Podsumujmy: Twierdzenie (wzór Taylora). Jeśli f jest funkcją klasy C 2 na zbiorze otwartym U R n, to dla każdego a U i dla dostatecznie małych h f(a + h) = f(a) + f (a)h f (a)(h, h) + o(). Mówimy, że funkcja f określona w otoczeniu punktu a R n ma w a maksimum lokalne, jeśli istnieje kula K(a, r) zawarta w jej dziedzinie, taka że f(x) f(a), x K(a, r). Podobnie definiujemy pozostałe rodzaje ekstremów lokalnych (warunek konieczny ekstremum lokalnego). Jeśli funkcja f określona w otoczeniu punktu a R n jest w tym punkcie różniczkowalna i ma w nim ekstremum lokalne, to f (a) = 0. Dowód. Niech h 0. Niech ϕ będzie funkcją jednej zmiennej zdefiniowaną jako ϕ(t) = f(a + th). Jak widać, ϕ jest określona w pewnym małym otoczeniu 0, jest różniczkowalna i ma w 0 ekstremum lokalne. Zatem ϕ (0) = 0. Ale skąd wobec dowolności asza teza. ϕ (0) = h f(a) = f (a)h, 2.22 (warunek dostateczny ścisłego minimum lokalnego). Jeśli funkcja f klasy C 2 w otoczeniu punktu a R n spełnia warunki: a) Forma liniowa f (a) jest zerowa, b) Forma dwuliniowa f (a) jest dodatnio określona, to funkcja f ma w punkcie a ścisłe minimum lokalne.

8 Dowód. Niech K(a, r) zawiera się w dziedzinie f i niech f C 2 (K(a, r)). Zgodnie ze wzorem Taylora dla 0 < < r mamy Skoro f (a) = 0, f(a + h) = f(a) + f (a)h + f (a)(h, h) + ω(h) 2, f(a + h) f(a) = f (a)(h, h) + ω(h) 2 C 2 ω(h) 2 ( ) = C ω(h) 2 C 2 2 > 0, lim ω(h) = 0. 8 dla < r 1, gdzie r 1 jest dostatecznie małe Przykład. Niech f(x, y) = x 2 y x y 2, (x, y) R 2. Mamy ( ) f 2xy 1 (x, y) = x 2 2y oraz ( ) f 2y 2x (x, y) =. 2x 2 Rozwiązując układ równań 2xy = 1, x 2 = 2y, otrzymujemy jeden punkt krytyczny (x 0, y 0 ) = (1, 1/2). W tym punkcie det f (x 0, y 0 ) = 2, a więc jest to punkt minimum lokalnego, w którym wartość funkcji wynosi f(x 0, y 0 ) = 3/4.

1 Pochodne wyższych rzędów

1 Pochodne wyższych rzędów 1 Pochodne wyższych rzędów Definicja 1.1 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu) Niech f będzie odwzorowaniem o wartościach w R m, określonym na zbiorze G R k. Załóżmy, że zbiór tych x G, dla których istnieje

Bardziej szczegółowo

13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne.

13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 1. Wprowadzenie. Dotąd rozważaliśmy funkcje działające z podzbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych, zatem funkcje

Bardziej szczegółowo

II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową

Bardziej szczegółowo

3. Funkcje wielu zmiennych

3. Funkcje wielu zmiennych 3 Funkcje wielu zmiennych 31 Ciagłość Zanim podamy definicję ciagłości dla funkcji wielu zmiennych wprowadzimy bardzo ogólne i abstrakcyjne pojęcie przestrzeni metrycznej Przestrzeń metryczna Metryka w

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

22 Pochodna funkcji definicja

22 Pochodna funkcji definicja 22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica

Bardziej szczegółowo

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

Bardziej szczegółowo

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że 4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze taka że K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η) R n R, f(x 0, y 0 ) = 0, y f(x 0, y 0 ) 0. Wówczas dla odpowiednio

Bardziej szczegółowo

11. Pochodna funkcji

11. Pochodna funkcji 11. Pochodna funkcji Definicja pochodnej funkcji w punkcie. Niech X R będzie zbiorem niepustym, f:x >R oraz niech x 0 X. Funkcję określoną wzorem, nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie Mówimy,

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale

Bardziej szczegółowo

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w

Bardziej szczegółowo

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )

Bardziej szczegółowo

Rachunek Różniczkowy

Rachunek Różniczkowy Rachunek Różniczkowy Sąsiedztwo punktu Liczby rzeczywiste będziemy teraz nazywać również punktami. Dla ustalonego punktu x 0 i promienia r > 0 zbiór S(x 0, r) = (x 0 r, x 0 ) (x 0, x 0 + r) nazywamy sąsiedztwem

Bardziej szczegółowo

Funkcje analityczne. Wykład 3. Funkcje holomorficzne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) z = x + iy A

Funkcje analityczne. Wykład 3. Funkcje holomorficzne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) z = x + iy A Funkcje analityczne Wykład 3. Funkcje holomorficzne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 206/207) Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Niech A C. Funkcja

Bardziej szczegółowo

4. Równania Cauchy ego Riemanna. lim. = c.. dz z=a Zauważmy, że warunkiem równoważnym istnieniu pochodnej jest istnienie liczby c C, takiej że

4. Równania Cauchy ego Riemanna. lim. = c.. dz z=a Zauważmy, że warunkiem równoważnym istnieniu pochodnej jest istnienie liczby c C, takiej że 4. Równania Caucy ego Riemanna Niec Ω C będzie zbiorem otwartym i niec f : Ω C. Mówimy, że f ma w punkcie a Ω pocodną w sensie zespolonym (jest olomorficzna w a równą c C, jeśli f(z f(a lim = c. z a Piszemy

Bardziej szczegółowo

Definicje i przykłady

Definicje i przykłady Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą

Bardziej szczegółowo

Rozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie

Rozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie Rozdział 7 Różniczkowalność Jedną z konsekwencji pojęcia granicy funkcji w punkcie jest pojęcie pochodnej funkcji. W rozdziale tym podamy podstawowe charakteryzacje funkcji związane z pojęciem pochodnej.

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Niech f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że

Pochodna funkcji. Niech f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że Niec f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że (a α, a + α) A. Niec f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że (a α, a + α) A. Definicja Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie a nazywamy

Bardziej szczegółowo

Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.

Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3

Bardziej szczegółowo

Metody optymalizacji. notatki dla studentów matematyki semestr zimowy 2015/2016

Metody optymalizacji. notatki dla studentów matematyki semestr zimowy 2015/2016 Metody optymalizacji notatki dla studentów matematyki semestr zimowy 2015/2016 Aktualizacja: 11 stycznia 2016 Spis treści Spis treści 2 1 Wprowadzenie do optymalizacji 1 11 Podstawowe definicje i własności

Bardziej szczegółowo

Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji

Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 1 / 24 Zanim przejdziemy

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji odwrotnej

Pochodna funkcji odwrotnej Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia 1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej

Bardziej szczegółowo

1 Relacje i odwzorowania

1 Relacje i odwzorowania Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

Analiza funkcjonalna 1.

Analiza funkcjonalna 1. Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie spektralne

Twierdzenie spektralne Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi

Bardziej szczegółowo

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n

Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych

Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych Definicja Spis treści: Wykres Ciągłość, granica iterowana i podwójna Pochodne cząstkowe Różniczka zupełna Gradient Pochodna kierunkowa Twierdzenie Schwarza

Bardziej szczegółowo

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie

Bardziej szczegółowo

Roksana Gałecka Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych

Roksana Gałecka Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych Temat. Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych.twierdzenia o wartosci sredniej w rachunku różniczkowalnym i ich zastosowania. Roksana Gałecka 20..204 Spis treści Okreslenie

Bardziej szczegółowo

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja) Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),

Bardziej szczegółowo

Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/

Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro

Bardziej szczegółowo

Funkcje dwóch zmiennych

Funkcje dwóch zmiennych Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.

Bardziej szczegółowo

Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych

Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych Rozdział 2 Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych 2.1 Pochodne cząstkowe, kierunkowe i różniczka zupełna Definicja 2.1 (pochodna cząstkowa). Mówimy, że funkcja f : R n Ω R m, gdzie zbiór Ω R n jest otwarty,

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy funkcji f : R R

Rachunek różniczkowy funkcji f : R R Racunek różniczkowy funkcji f : R R Załóżmy, że funkcja f jest określona na pewnym otoczeniu punktu x 0 (tj. istnieje takie δ > 0, że (x 0 δ, x 0 + δ) D f - dziedzina funkcji f). Definicja 1. Ilorazem

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI

Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznyc wykład XI dr ab. Krzysztof Barański, prof. UW dr Waldemar Pałuba Uniwersytet Warszawski rok akad. 0/3 semestr zimowy Racunek różniczkowy Pocodna funkcji

Bardziej szczegółowo

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe. Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo

Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u

Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni

Bardziej szczegółowo

Wykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.

Wykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach. Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej

Bardziej szczegółowo

6. Punkty osobliwe, residua i obliczanie całek

6. Punkty osobliwe, residua i obliczanie całek 6. Punkty osobliwe, residua i obliczanie całek Mówimy, że funkcja holomorficzna f ma w punkcie a zero krotności k, jeśli f(a) = f (a) = = f (k ) (a) = 0, f (k) (a) 0. Rozwijając f w szereg Taylora w otoczeniu

Bardziej szczegółowo

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów Drugą pochodną funkcji nazywamy pochodną pochodnej tej funkcji. Trzecia pochodna jest pochodną drugiej pochodnej; itd. Ogólnie, -ta

Bardziej szczegółowo

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki WYKŁA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2005 Spis treści 1. Przestrzenie metryczne. 4 2. Granica i ciągłość funkcji

Bardziej szczegółowo

1 Wartości własne oraz wektory własne macierzy

1 Wartości własne oraz wektory własne macierzy Rozwiązania zadania umieszczonego na końcu poniższych notatek proszę przynieść na kartkach Proszę o staranne i formalne uzasadnienie odpowiedzi Za zadanie można uzyskać do 6 punktów (jeżeli przyniesione

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki Krzysztof Frączek Analiza Matematyczna II Wykład dla studentów II roku kierunku informatyka Toruń 2009 Spis treści 1 Przestrzenie

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.

Bardziej szczegółowo

Ekstrema globalne funkcji

Ekstrema globalne funkcji SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością

Bardziej szczegółowo

W. Krysicki, L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II

W. Krysicki, L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II Zalecane podręczniki W. Krysicki, L. Włodarski naliza matematyczna w zadaniach, część I i II c Ł. Pawelec G. M. Fichtenholz Rachunek różniczkowy i całkowy, tom I i II S. Dorosiewicz, J. Kłopotowski, D.

Bardziej szczegółowo

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)

Bardziej szczegółowo

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)

Bardziej szczegółowo

Wstęp do nieskończenie-wymiarowej analizy matematycznej i topologii. 1. Rachunek różniczkowy w przestrzeniach Banacha

Wstęp do nieskończenie-wymiarowej analizy matematycznej i topologii. 1. Rachunek różniczkowy w przestrzeniach Banacha Wstęp do nieskończenie-wymiarowej analizy matematycznej i topologii Wojciech Kryszewski 1. Rachunek różniczkowy w przestrzeniach Banacha 1.1. Pochodne W tym rozdziale, Y oznaczają rzeczywiste przestrzenie

Bardziej szczegółowo

Definicja punktu wewnętrznego zbioru Punkt p jest punktem wewnętrznym zbioru, gdy należy do niego wraz z pewnym swoim otoczeniem

Definicja punktu wewnętrznego zbioru Punkt p jest punktem wewnętrznym zbioru, gdy należy do niego wraz z pewnym swoim otoczeniem Definicja kuli w R n ulą o promieniu r>0 r R i o środku w punkcie p R n nazywamy zbiór {x R n : ρ(xp)

Bardziej szczegółowo

Informacja o przestrzeniach Sobolewa

Informacja o przestrzeniach Sobolewa Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością

Bardziej szczegółowo

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2. 2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji a styczna do wykresu funkcji. Autorzy: Tomasz Zabawa

Pochodna funkcji a styczna do wykresu funkcji. Autorzy: Tomasz Zabawa Pochodna funkcji a do wykresu funkcji Autorzy: Tomasz Zabawa 2018 Pochodna funkcji a do wykresu funkcji Autor: Tomasz Zabawa Pojęcie stycznej do wykresu funkcji f w danym punkcie wykresu P( x 0, f( x 0

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy. Tydzień 10 i 11. Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych

Wykład z analizy. Tydzień 10 i 11. Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych Wykład z analizy Tydzień 1 i 11. Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych 1.1 Niech f(x, y) będzie funkcją dwóch zmiennych, i niech druga współrzędna będzie ustalona y = y. Rozważana funkcja zależy tylko

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzyszto KOŁOWROCKI Przyjmijmy, że y (, D, jest unkcją określoną w zbiorze D R oraz niec D Deinicja

Bardziej szczegółowo

III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.

III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

W. Krysicki, L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II

W. Krysicki, L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II Zalecane podręczniki W. Krysicki, L. Włodarski naliza matematyczna w zadaniach, część I i II c Ł. Pawelec G. M. Fichtenholz Rachunek różniczkowy i całkowy, tom I i II S. Dorosiewicz, J. Kłopotowski, D.

Bardziej szczegółowo

Wzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n.

Wzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n. Wzór Maclaurina Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = n 1 k=0 f (k) (0) k! x k + f (n) (θx) x n. n! Wzór Maclaurina Przykład. Niech f (x) =

Bardziej szczegółowo

12. Wykład 12: Algebraiczne domkniecie ciała. Wielokrotne pierwiastki wielomianów. Rózniczkowanie wielomianów. Elementy rozdzielcze.

12. Wykład 12: Algebraiczne domkniecie ciała. Wielokrotne pierwiastki wielomianów. Rózniczkowanie wielomianów. Elementy rozdzielcze. 12. Wykład 12: Algebraiczne domkniecie ciała. Wielokrotne pierwiastki wielomianów. Rózniczkowanie wielomianów. Elementy rozdzielcze. Rozszerzenia rozdzielcze i pojedyncze. Rozszerzenia normalne. 12.1.

Bardziej szczegółowo

Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2

Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2 Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana Niech A - macierz kwadratowa stopnia n Jak obliczyć np A 100? a 11 0 0 0 a 22 0 Jeśli A jest macierzą diagonalną tzn A =, to Ak = 0 0 a nn Niech B =

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,

Bardziej szczegółowo

1 Pochodne wyższych rzędów

1 Pochodne wyższych rzędów Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna

Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 (5.11.07) Funkcja logistyczna Rozważmy funkcję logistyczną y = f 0 (t) = 40 1+5e 0,5t Funkcja f może być wykorzystana np. do modelowania wzrostu masy ziaren kukurydzy (zmienna

Bardziej szczegółowo

Kurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych

Kurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych Kurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych wykład 1 Gniewomir Sarbicki 15 lutego 2011 Struktura ciała Zbiór par liczb rzeczywistych wyposażamy w działania: { + : (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

Bardziej szczegółowo

8. Funkcje wielu zmiennych - pochodne cząstkowe

8. Funkcje wielu zmiennych - pochodne cząstkowe 8. Funkcje wielu zmiennych - pochodne cząstkowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie lato 2015/2016 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH

Przestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r

Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji

Bardziej szczegółowo

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9 Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9 Przykład z fizyki Rozpatrzmy szeregowe połączenie dwu elementów elektronicznych: opornika i diody półprzewodnikowej.

Bardziej szczegółowo

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii Maciej Grzesiak Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii 1. Metoda mnożników Lagrange a znajdowania ekstremum warunkowego Pochodna kierunkowa i gradient. Dla prostoty ograniczymy się do

Bardziej szczegółowo

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją

Bardziej szczegółowo

1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji.

1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji. 1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji. Zbiór X będziemy nazywali uporządkowanym, jeśli określona jest relacja zawarta w produkcie kartezjańskim X X, która jest spójna, antysymetryczna i przechodnia.

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta

Bardziej szczegółowo

Granice funkcji-pojęcie pochodnej

Granice funkcji-pojęcie pochodnej Granice funkcji-pojęcie pochodnej Oznaczenie S(x 0 ) = S(x 0, r) dla pewnego r > 0 Definicja 1 Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie funkcja określona przynajmniej na sasiedztwie S(x 0, r) dla pewnego

Bardziej szczegółowo

Analiza I.2*, lato 2018

Analiza I.2*, lato 2018 Analiza I.2*, lato 218 Marcin Kotowski 14 czerwca 218 Zadanie 1. Niech x (, 1) ma rozwinięcie binarne.x 1 x 2.... Niech dla x, 1: oraz f() = f(1) =. Pokaż, że f: f(x) = lim sup n (a) przyjmuje wszystkie

Bardziej szczegółowo

Analiza Funkcjonalna - Zadania

Analiza Funkcjonalna - Zadania Analiza Funkcjonalna - Zadania 1 Wprowadzamy następujące oznaczenia. K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jeżeli T jest dowolnym zbiorem niepustym, to l (T ) = {x : E K : x funkcja ograniczona}.

Bardziej szczegółowo

f(t) f(x), D f(x) = lim sup t x oraz D f(x) = lim inf

f(t) f(x), D f(x) = lim sup t x oraz D f(x) = lim inf 9. Różniczkowanie. Jeśli f jest funkcją rzeczywistą, to granice D + f(x) = lim sup t x + f(t) f(x), D f(x) = lim sup t x t x f(t) f(x), t x f(t) f(x) f(t) f(x) D + f(x) = lim inf oraz D f(x) = lim inf

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania, seria 5.

Rozwiązania, seria 5. Rozwiązania, seria 5. 26 listopada 2012 Zadanie 1. Zbadaj, dla jakich wartości parametru r R wektor (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)} R 3? Rozwiązanie. Załóżmy, że (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)}.

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych 8 Pochodna kierunkowa funkcji Definicja Niech funkcja f określona bȩdzie w otoczeniu punktu P 0 = (x 0, y 0 ) oraz niech v = [v x, v y ] bȩdzie wektorem. Pochodn a kierunkow a funkcji

Bardziej szczegółowo

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R) Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Rozdział 10

Formy kwadratowe. Rozdział 10 Rozdział 10 Formy kwadratowe Rozważmy rzeczywistą macierz symetryczną A R n n Definicja 101 Funkcję h : R n R postaci h (x) = x T Ax (101) nazywamy formą kwadratową Macierz symetryczną A występującą w

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

13 Układy równań liniowych

13 Układy równań liniowych 13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej

Zasada indukcji matematycznej Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.

Bardziej szczegółowo

Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju

Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji -go i 2-go rodzaju Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Równania nieliniowe. Janusz Szwabiński.

Metody numeryczne. Równania nieliniowe. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl nm_slides-9.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 7/1/2003 20:18 p.1/64 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można

Bardziej szczegółowo

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii Maciej Grzesiak Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii 1 Metoda mnożników Lagrange a znajdowania ekstremum warunkowego Pochodna kierunkowa i gradient Dla prostoty ograniczymy się do

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo