Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka
|
|
- Karol Janusz Kaczor
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Elementy algebry liniowej. Macierze i wyznaczniki. Ciągi liczbowe, granica ciągu i granica funkcji, rachunek granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne wyższych rzędów. Różniczka funkcji i jej zastosowanie. Monotoniczność funkcji, wypukłość funkcji, twierdzenie Taylora. Ekstrema lokalne funkcji, warunki konieczne i dostateczne istnienia ekstremum, ekstrema globalne. Twierdzenie de l Hospitala. K. Trąbka-Więcław Matematyka 1 / 36 K. Trąbka-Więcław Matematyka 2 / 36 Efekty kształcenia Funkcja pierwotna, całka nieoznaczona - definicja, własności. Całkowanie przez części, całkowanie przez podstawienie. Całkowanie ułamków prostych oraz funkcji wymiernych. Całka oznaczona - definicja, własności, wzór Newtona-Leibniza, Całka oznaczona i jej zastosowania. Student zna podstawowe pojęcia algebry liniowej i potrafi przeprowadzać działania na macierzach. Student zna podstawowe pojęcia i fakty z zakresu rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej. Student potrafi analizować własności funkcji na podstawie badania jej pierwszej i drugiej pochodnej. Student zna podstawowe pojęcia i fakty z zakresu rachunku całkowego funkcji jednej zmiennej. Student potrafi stosować podstawowe metody całkowania do obliczania całek nieoznaczonych i oznaczonych. K. Trąbka-Więcław Matematyka 3 / 36 K. Trąbka-Więcław Matematyka 4 / 36 Literatura Terminy wykładów i ćwiczeń Jurlewicz T., Skoczylas Z.: Algebra liniowa 1. Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław Krysicki W., Włodarski L.: Analiza matematyczna w zadaniach. PWN Gewert M., Skoczylas Z.: Analiza matematyczna. Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław Leitner R.: Zarys matematyki wyższej dla studentów. WNT Leitner R. et al: Zadania z matematyki wyższej. WNT ćwiczenia ćwiczenia ćwiczenia ćwiczenia ćwiczenia K. Trąbka-Więcław Matematyka 5 / 36 K. Trąbka-Więcław Matematyka 6 / 36 Warunki zaliczenia 1. DWA KOLOKWIA (zadania rachunkowe) skala ocen: od 50% - ocena 3 od 60% - ocena 3,5 od 70% - ocena 4 od 80% - ocena 4,5 od 90% - ocena 5 2. AKTYWNOŚĆ konsultacje (s. 733 Wydz. Mechaniczny): niedziela (w terminach zjazdów) adres mailowy: k.trabka@pollub.pl materiały do wykładów: Wydział Mechaniczny Instytut Technologicznych Systemów Informacyjnych Pracownicy lub tnij.org/ktrabka K. Trąbka-Więcław Matematyka 7 / 36 K. Trąbka-Więcław Matematyka 8 / 36
2 Macierze Definicja 1 Macierzą wymiaru m n, gdzie m, n N nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb ustawionych w m wierszach i n kolumnach. a 11 a a 1j... a 1n a 21 a a 2j... a 2n A = a i1 a i2... a ij... a in a m1 a m2... a mj... a mn macierze oznaczamy dużymi literami a ij - element macierzy A stojący w i-tym wierszu i j-tej kolumnie [a ij ] m n lub A m n - macierz A wymiaru m n, o elementach a ij M[m, n] - zbiór wszystkich macierzy wymiaru m n K. Trąbka-Więcław Matematyka 9 / 36 K. Trąbka-Więcław Matematyka 10 / 36 Macierze A i B są równe, gdy mają te same wymiary m n oraz a ij = b ij dla każdego 1 i m oraz 1 j n. Rodzaje macierzy: jeżeli wszystkie elementy macierzy są równe 0, to macierz nazywamy zerową i oznaczamy O lub O m n jeżeli liczba wierszy jest równa liczbie kolumn, to macierz nazywamy kwadratową; liczbę wierszy (kolumn) nazywamy stopniem macierzy kwadratowej; elementy które mają ten sam numer wiersza co kolumny tworzą główną przekątną macierzy a 21 a a 2n a n1 a n2... a nn K. Trąbka-Więcław Matematyka 11 / 36 K. Trąbka-Więcław Matematyka 12 / 36 jeżeli w macierzy kwadratowej wszystkie elementy stojące nad główną przekątną są równe 0, to macierz nazywamy macierzą trójkątną dolną macierz trójkątna górna a a 21 a a n1 a n2... a nn 0 a a 2n a nn jeżeli w macierzy kwadratowej wszystkie elementy nie stojące na głównej przekątnej są równe 0, to macierz nazywamy diagonalną a a a nn K. Trąbka-Więcław Matematyka 13 / 36 K. Trąbka-Więcław Matematyka 14 / 36 Działania na macierzach jeżeli w macierzy diagonalnej wszystkie elementy głównej przekątnej są równe 1, to macierz nazywamy jednostkową i oznaczamy I lub I n I = A, B M[m, n], A = [a ij ], B = [b ij ], i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,... n Definicja 2 Sumą (różnicą) macierzy A i B nazywamy macierz C = [c ij ] M[m, n], której elementy określone są wzorem c ij = a ij ± b ij Piszemy wtedy C = A ± B. dodawanie i odejmowanie macierzy jest wykonalne tylko, gdy macierze mają ten sam wymiar K. Trąbka-Więcław Matematyka 15 / 36 K. Trąbka-Więcław Matematyka 16 / 36
3 Definicja 3 Iloczynem macierzy A = [a ij ] M[m, n] przez liczbę rzeczywistą α nazywamy macierz B = [b ij ] M[m, n], której elementy określone są wzorem Własności działań na macierzach Dla dowolnych A, B, C M[m, n] oraz dowolnych liczb α, β R zachodzi: Piszemy wtedy B = αa. b ij = αa ij 1) A + B = B + A - przemienność dodawania macierzy 2) (A + B) + C = A + (B + C) - łączność dodawania macierzy 3) A + O = O + A = A K. Trąbka-Więcław Matematyka 17 / 36 K. Trąbka-Więcław Matematyka 18 / 36 4) α(a + B) = αa + αb - rozdzielność mnożenia macierzy przez liczbę względem dodawania macierzy 5) (α + β)a = αa + βa - rozdzielność mnożenia macierzy przez liczbę względem dodawania liczb 6) α(βa) = (αβ)a Definicja 4 Jeżeli A = [a ij ] M[m, n] oraz B = [b ij ] M[n, k], to iloczynem macierzy A i B nazywamy macierz C = [c ij ] M[m, k], której elementy określone są wzorem c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + a i3 b 3j + + a in b nj Piszemy wtedy C = AB. K. Trąbka-Więcław Matematyka 19 / 36 K. Trąbka-Więcław Matematyka 20 / 36 mnożenie macierzy jest wykonalne tylko, gdy ilość kolumn macierzy pierwszej równa jest ilości wierszy macierzy drugiej element c ij uzyskujemy sumując iloczyny odpowiadających sobie elementów i-tego wiersza macierzy A i j-tej kolumny macierzy B mnożenie macierzy nie jest przemienne (nawet w przypadku macierzy kwadratowych) AB BA zamiast pisać AA... A (n czynników) będziemy pisali A n Własności iloczynu macierzy Dla macierzy A, B, C o wymiarach zezwalających na wykonanie niżej opisanych operacji zachodzi: 1) A(BC) = (AB)C - łączność mnożenia 2) A(B + C) = AB + AC - rozdzielność dodawania względem mnożenia 3) (A + B)C = AC + BC - rozdzielność dodawania względem mnożenia K. Trąbka-Więcław Matematyka 21 / 36 K. Trąbka-Więcław Matematyka 22 / 36 4) A I = I A = A 5) A O = O A = O 6) A(αB) = (αa)b = α(ab) dla α R Definicja 5 Macierzą transponowaną do macierzy A = [a ij ] M[m, n] nazywamy macierz B = [b ij ] M[n, m], której elementy określone są wzorem b ij = a ji Macierz transponowaną do macierzy A oznaczamy A T. transpozycja macierzy oznacza zamianę w niej wierszy na kolumny (kolejne wiersze macierzy wyjściowej stają się kolejnymi kolumnami macierzy transponowanej) K. Trąbka-Więcław Matematyka 23 / 36 K. Trąbka-Więcław Matematyka 24 / 36
4 Wyznacznik macierzy Definicja 6 Wyznacznikiem macierzy nazywamy funkcję, która każdej macierzy kwadratowej A = [a ij ] M[n, n] przypisuje liczbę det A. Funkcja ta określona jest w następujący sposób: 1) gdy n = 1, czyli A = [a 11 ], to det A = a 11 2) gdy n > 1, to det A = ( 1) 1+1 a 11 det M 11 + ( 1) 1+2 a 12 det M ( 1) 1+n a 1n det M 1n gdzie M ij oznacza macierz stopnia n 1 otrzymaną z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny. Inne oznaczenia wyznacznika: A lub a 21 a a 2n a n1 a n2... a nn K. Trąbka-Więcław Matematyka 25 / 36 K. Trąbka-Więcław Matematyka 26 / 36 Reguła obliczania wyznaczników stopnia drugiego [ ] a11 a 12 det A = det = a 11 a 22 a 12 a 21 a 21 a 22 Reguła Sarrusa obliczania wyznaczników stopnia trzeciego a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 det A = det a 21 a 22 a 23 = a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 = a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 + (a 13 a 22 a 31 + a 11 a 23 a 32 + a 12 a 21 a 33 ) metoda Sarusa polega na dopisaniu do wyznacznika po prawej stronie dwóch pierwszych kolumn, a następnie dodaniu iloczynów elementów stojących na liniach równoległych do przekątnych wyznacznika z uwzględnieniem odpowiedniego znaku K. Trąbka-Więcław Matematyka 27 / 36 K. Trąbka-Więcław Matematyka 28 / 36 metoda Sarusa nie przenosi się na wyznaczniki wyższych stopni dla wyznaczników stopnia n > 3 korzystamy wprost z definicji lub z Twierdzenia Laplace a Twierdzenie 1 (Twierdzenie Laplace a) Niech A = [a ij ] będzie macierzą kwadratową stopnia n, n 2 oraz niech liczby i oraz j będą ustalone (i, j = 1, 2,..., n). Wtedy wyznacznik macierzy A można obliczyć ze wzorów: 1) det A = a i1 D i1 + a i2 D i2 + + a in D in 2) det A = a 1j D 1j + a 2j D 2j + + a nj D nj gdzie D ij = ( 1) i+j det M ij nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu a ij macierzy A, M ij oznacza macierz stopnia n 1 otrzymaną z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny. K. Trąbka-Więcław Matematyka 29 / 36 K. Trąbka-Więcław Matematyka 30 / 36 Macierz odwrotna 1) rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza wyznacznik macierzy jest równy sumie iloczynów elementów i-tego wiersza i ich dopełnień algebraicznych 2) rozwinięcie Laplace a względem j-tej kolumny wyznacznik macierzy jest równy sumie iloczynów elementów j-tej kolumny i ich dopełnień algebraicznych Definicja 7 Macierzą odwrotną do macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy macierz oznaczoną przez A 1, która spełnia warunek A A 1 = A 1 A = I n K. Trąbka-Więcław Matematyka 31 / 36 K. Trąbka-Więcław Matematyka 32 / 36
5 nie każda macierz kwadratowa posiada macierz odwrotną jeżeli macierz A ma macierz odwrotną, to nazywamy ją odwracalną i wówczas det A 0 macierz kwadratową o wyznaczniku różnym od zera nazywamy macierzą nieosobliwą macierz kwadratową o wyznaczniku równym zero nazywamy macierzą osobliwą Twierdzenie 2 1) Macierz kwadratowa A jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieosobliwa (tzn. det A 0). 2) Jeżeli macierz kwadratowa A stopnia n jest nieosobliwa, to T D A 1 = 1 11 D A 1n D 21 D D 2n det A D n1 D n2... D nn gdzie D ij oznacza dopełnienie algebraiczne elementu a ij macierzy A. K. Trąbka-Więcław Matematyka 33 / 36 K. Trąbka-Więcław Matematyka 34 / 36 Aby wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy A należy: macierz [D ij ] nazywamy macierzą dopełnień algebraicznych i oznaczamy A D A 1 = 1 (A D) T det A 1) sprawdzić czy macierz A jest nieosobliwa (jeśli jest osobliwa, to A 1 nie istnieje) 2) wyznaczyć dopełnienia algebraiczne D ij wszystkich elementów macierzy A i utworzyć macierz A D dopełnień algebraicznych 3) transponować macierz A D 1 i pomnożyć przez det A K. Trąbka-Więcław Matematyka 35 / 36 K. Trąbka-Więcław Matematyka 36 / 36
1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek
ALGEBRA LINIOWA. Wykład 2. Analityka gospodarcza, sem. 1. Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska
ALGEBRA LINIOWA Wykład 2 Analityka gospodarcza, sem 1 Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska dr inż Natalia Jarzębkowska, CNMiKnO semzimowy 2018/2019 2/17 Macierze Niech M = {1, 2,, m} i N
15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej
15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 3.
Ekoenergetyka Matematyka Wykład 3 MACIERZE Macierzą wymiaru n m, gdzie nm, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z n wierszy i m kolumn: a a2 a j am a2 a22 a2 j a2m [ a ] nm A ai ai 2 a aim - i-ty wiersz
Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Definicja macierzy Typy i właściwości macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy RACHUNEK MACIERZOWY
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy funkcję
RACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska
RACHUNEK MACIERZOWY METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek
Macierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra
Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Macierze Lekcja I: Wprowadzenie
Macierze Lekcja I: Wprowadzenie Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Definicja Niech dane będą dwie liczby naturalne dodatnie m i n. Układ m n liczb ułożonych w prostokątną tablicę złożoną z m
1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Macierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz
Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 30 30
WYDZIAŁ ARCHITEKTURY KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim Matematyka 1 Nazwa w języku angielskim Mathematics 1 Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy): Stopień studiów i forma:
Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =
Macierze 1 Macierz o wymiarach m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Mat m n (R) zbiór macierzy m n o współczynnikach rzeczywistych Analogicznie określamy Mat m n (Z), Mat m n (Q) itp 2
WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH
WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH Pod redakcją Anny Piweckiej Staryszak Autorzy poszczególnych rozdziałów Anna Piwecka Staryszak: 2-13; 14.1-14.6; 15.1-15.4; 16.1-16.3; 17.1-17.6;
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Analiza matematyczna I Mathematical analysis I Kierunek: Kod przedmiotu: Matematyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Poziom kwalifikacji:
PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
Rok akademicki: 2013/2014 Kod: EIB s Punkty ECTS: 6. Poziom studiów: Studia I stopnia Forma i tryb studiów: Stacjonarne
Nazwa modułu: Matematyka I Rok akademicki: 2013/2014 Kod: EIB-1-110-s Punkty ECTS: 6 Wydział: Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Kierunek: Inżynieria Biomedyczna Specjalność:
WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy):
Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium 45 30
Zał. nr do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA 1.1 B Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis 1B Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy):
WYDZIAŁ MECHANICZNO-ENERGETYCZNY KARTA PRZEDMIOTU
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ MECHANICZNO-ENERGETYCZNY KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim MATEMATYKA Nazwa w języku angielskim Calculus Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy): Stopień
PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Matematyka I Mathematics I Kierunek: biotechnologia Rodzaj przedmiotu: Poziom przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich I stopnia specjalności Rodzaj zajęć: Liczba godzin/tydzień: wykład,
Zał. nr 4 do ZW 33/2012 WYDZIAŁ MATEMATYKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU
Zał. nr 4 do ZW 33/01 WYDZIAŁ MATEMATYKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: Analiza matematyczna 1.1 A Nazwa w języku angielskim: Mathematical Analysis 1.1
MATEMATYKA MATHEMATICS. Forma studiów: studia niestacjonarne. Liczba godzin/zjazd: 3W E, 3Ćw. PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE semestr 1
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Rodzaj przedmiotu: Podstawowy obowiązkowy Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Inżynieria Materiałowa Poziom studiów: studia I stopnia MATEMATYKA MATHEMATICS Forma studiów: studia
Analiza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe
Analiza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje:
KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA
KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA I. 1 Nazwa modułu kształcenia I. Informacje ogólne Analiza matematyczna 2 Nazwa jednostki prowadzącej moduł Instytut Informatyki, Zakład Informatyki Stosowanej 3 Kod modułu (wypełnia
KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA
KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA I. 1 Nazwa modułu kształcenia Matematyka I Informacje ogólne 2 Nazwa jednostki prowadzącej moduł Państwowa Szkoła Wyższa im. Papieża Jana Pawła II,Katedra Nauk Technicznych, Zakład
WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1. Zalecana znajomość matematyki odpowiadająca maturze na poziomie podstawowym
Zał. nr do ZW WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim MATEMATYKA Nazwa w języku angielskim Mathematics 1 for Economists Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli
Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ELEKTRONIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA. Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis. Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy):
KARTA PRZEDMIOTU WYMAGANIA WSTEPNE CELE KURSU
WYDZIAŁ KARTA PRZEDMIOTU Nazwa przedmiotu w języku polskim Nazwa przedmiotu w języku angielskim Kierunek studiów (jeśli dotyczy) Specjalność (jeśli dotyczy) Stopień studiów i forma Rodzaj przedmiotu Kod
GEODEZJA I KARTOGRAFIA I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólnoakademicki / praktyczny)
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Matematyka I Nazwa modułu w języku angielskim Mathematics I Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE STUDIÓW Kierunek
2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26
Spis treści Zamiast wstępu... 11 1. Elementy teorii mnogości... 13 1.1. Algebra zbiorów... 13 1.2. Iloczyny kartezjańskie... 15 1.2.1. Potęgi kartezjańskie... 16 1.2.2. Relacje.... 17 1.2.3. Dwa szczególne
WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU
9815Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA.1 A Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis.1 A Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli
Geodezja i Kartografia I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólnoakademicki / praktyczny) Stacjonarne (stacjonarne / niestacjonarne)
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012 r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Matematyka I Nazwa modułu w języku angielskim Mathematics I Obowiązuje od
WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1. Zalecana znajomość matematyki odpowiadająca maturze na poziomie podstawowym
Zał. nr do ZW WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim MATEMATYKA Nazwa w języku angielskim Mathematics 1 for Economists Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli
Odnawialne Źródła Energii I stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólnoakademicki / praktyczny) Dr Jadwiga Dudkiewicz
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Matematyka I Nazwa modułu w języku angielskim Mathematics I Obowiązuje od roku akademickiego 2016/2017 A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE STUDIÓW Kierunek
a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Wykład 7 Macierze i wyznaczniki
Wykład 7 Macierze i wyznaczniki Andrzej Sładek sladek@ux2mathusedupl Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski w Katowicach Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7
Analiza matematyczna Mathematical analysis. Transport I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014 Analiza matematyczna Mathematical analysis A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE
PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Informatyka Rodzaj przedmiotu: Obowiązkowy w ramach treści wspólnych z kierunkiem Matematyka, moduł kierunku obowiązkowy Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia I KARTA PRZEDMIOTU CEL
Kierunek i poziom studiów: Chemia, pierwszy Sylabus modułu: Matematyka A (0310-CH-S1-001)
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Chemia, pierwszy Sylabus modułu: Matematyka A (001) 1. Informacje ogólne koordynator modułu rok akademicki 2013/2014 semestr forma studiów
Matematyka II nazwa przedmiotu SYLABUS A. Informacje ogólne
Matematyka II nazwa przedmiotu SYLABUS A. Informacje ogólne Elementy składowe sylabusu Nazwa jednostki prowadzącej kierunek Nazwa kierunku studiów Poziom kształcenia Profil studiów Forma studiów Kod przedmiotu
Odnawialne Źródła Energii I stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólnoakademicki / praktyczny) Prof. dr hab. inż. Jerzy Zb.
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Matematyka 1 Nazwa modułu w języku angielskim Mathematics 1 Obowiązuje od
KARTA KURSU. Mathematics
KARTA KURSU Nazwa Nazwa w j. ang. Matematyka Mathematics Kod Punktacja ECTS* 4 Koordynator Dr Maria Robaszewska Zespół dydaktyczny dr Maria Robaszewska Opis kursu (cele kształcenia) Celem kursu jest zapoznanie
WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1. Zalecana znajomość matematyki odpowiadająca maturze na poziomie podstawowym
Zał. nr do ZW WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim Analiza matematyczna Nazwa w języku angielskim Calculus Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Inżynieria zarządzania
WYDZIAŁ MATEMATYKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU
WYDZIAŁ MATEMATYKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU Zał. nr 4 do ZW 33/01 Nazwa w języku polskim: Analiza matematyczna.1 Nazwa w języku angielskim: Mathematical analysis.1 Kierunek
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU
Zał. nr do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA 1.1 A Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis 1A Kierunek studiów (jeśli dotyczy):
Analiza matematyczna i algebra liniowa
Materiały pomocnicze dla studentów do wykładów Opracował (-li): 1 Prof dr hab Edward Smaga dr Anna Gryglaszewska 3 mgr Marta Kornafel 4 mgr Fryderyk Falniowski 5 mgr Paweł Prysak Materiały przygotowane
Wykład 4. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 25 marca Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca / 25
Wykład 4 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 25 marca 2019 Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca 2019 1 / 25 Macierze Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca 2019 2 / 25 Macierza wymiaru m n
Matematyka I i II - opis przedmiotu
Matematyka I i II - opis przedmiotu Informacje ogólne Nazwa przedmiotu Matematyka I i II Kod przedmiotu Matematyka 02WBUD_pNadGenB11OM Wydział Kierunek Wydział Budownictwa, Architektury i Inżynierii Środowiska
KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA
KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA I. 1 Nazwa modułu kształcenia Matematyka II Informacje ogólne 2 Nazwa jednostki prowadzącej moduł Wydział Nauk Technicznych i Ekonomicznych, Instytut Nauk Technicznych, Zakład
Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013
Wyznaczniki Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 1 / 13 Terminologia
Analiza matematyczna Mathematical analysis. Transport I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014 Analiza matematyczna Mathematical analysis A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE
KARTA PRZEDMIOTU CELE PRZEDMIOTU
WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI Zał. nr do ZW KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA.1 A Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis.1 A Kierunek studiów (jeśli dotyczy):
Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze
Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści Spis treści 1 Wektory
SYLABUS/KARTA PRZEDMIOTU
SYLABUS/KARTA PRZEDMIOTU. NAZWA PRZEDMIOTU Analiza i modelowanie systemów. NAZWA JEDNOSTKI PROWADZĄCEJ PRZEDMIOT Instytut Politechniczny. STUDIA kierunek stopień tryb język status przedmiotu AiR I Stacjonarne/Niestacjonarne
Opis przedmiotu: Matematyka I
24.09.2013 Karta - Matematyka I Opis : Matematyka I Kod Nazwa Wersja TR.NIK102 Matematyka I 2012/13 A. Usytuowanie w systemie studiów Poziom Kształcenia Stopień Rodzaj Kierunek studiów Profil studiów Specjalność
det[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...
Wykład 14 Wyznacznik macierzy cd Twierdzenie 1 Niech A będzie macierzą kwadratową i niech A i, A j będą dwiema różnymi jej kolumnami, wtedy dla dowolnego k K: det[a 1,, A i,, A j,, A n ] det[a 1,, A i
WYDZIAŁ CHEMICZNY POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ Kierunek Chemia. Semestr 1 Godziny 3 3 Punkty ECTS 11 w c l p S BRAK
WYDZIAŁ CHEMICZNY POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ Nazwa przedmiotu MATEMATYKA I Kod CH 1.1 Semestr 1 Godziny 3 3 Punkty ECTS 11 w c l p S Sposób zaliczenia E Katedra Centrum Nauczania Matematyki i Kształcenia na
Matematyki i Nauk Informacyjnych, Zakład Procesów Stochastycznych i Matematyki Finansowej B. Ogólna charakterystyka przedmiotu
Kod przedmiotu TR.SIK103 Nazwa przedmiotu Matematyka I Wersja przedmiotu 2015/16 A. Usytuowanie przedmiotu w systemie studiów Poziom kształcenia Studia I stopnia Forma i tryb prowadzenia studiów Stacjonarne
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach Określenie wyznacznika 1 Określenie macierzy Niech K bedzie dowolnym cia lem oraz niech n i m bed a dowolnymi liczbami naturalnymi Prostokatn a tablice a 11 a 12 a 1n
Karta (sylabus) modułu/przedmiotu ELEKTROTECHNIKA (Nazwa kierunku studiów)
Przedmiot: Matematyka I Karta (sylabus) modułu/przedmiotu ELEKTROTECHNIKA (Nazwa kierunku studiów) Kod przedmiotu: E05_1_D Typ przedmiotu/modułu: obowiązkowy X obieralny Rok: pierwszy Semestr: pierwszy
, A T = A + B = [a ij + b ij ].
1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba a ij, to mówimy, że jest określona macierz prostokątna A = a ij typu m
Matematyka liczby zespolone. Wykład 1
Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.
Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji
Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie
Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć
Nazwa modułu: Matematyka I Rok akademicki: 2014/2015 Kod: MME-1-106-s Punkty ECTS: 11 Wydział: Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej Kierunek: Metalurgia Specjalność: Poziom studiów: Studia I stopnia
PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Analiza Matematyczna III Mathematical Analysis III Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyka Poziom przedmiotu: I
dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Koordynator przedmiotu dr Artur Bryk, wykł., Wydział Transportu Politechniki Warszawskiej B. Ogólna charakterystyka przedmiotu
Kod przedmiotu TR.NIK102 Nazwa przedmiotu Matematyka I Wersja przedmiotu 2015/16 A. Usytuowanie przedmiotu w systemie studiów Poziom kształcenia Studia I stopnia Forma i tryb prowadzenia studiów Niestacjonarne
AiRZ-0531 Analiza matematyczna Mathematical analysis
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod Nazwa Nazwa w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014 AiRZ-0531 Analiza matematyczna Mathematical analysis A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE STUDIÓW
Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni ,5 1
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ B Nazwa w języku angielskim Algebra and Analytic Geometry B Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność
Własności wyznacznika
Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy
MACIERZE I WYZNACZNIKI
Wykłady z matematyki inżynierskiej IMiF UTP 07 MACIERZ DEFINICJA. Macierza o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporza dkowanie każdej uporza dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie 1 i m, 1
Opis poszczególnych przedmiotów (Sylabus)
Opis poszczególnych przedmiotów (Sylabus) Nazwa Przedmiotu: Analiza matematyczna Kod przedmiotu: Typ przedmiotu: obowiązkowy Poziom przedmiotu: podstawowy Rok studiów, semestr: rok pierwszy, semestr I
Analiza matematyczna
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Analiza matematyczna Nazwa modułu w języku angielskim Mathematical analysis
a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =
11 Algebra macierzy Definicja 11.1 Dla danego ciała F i dla danych m, n N funkcję A : {1,..., m} {1,..., n} F nazywamy macierzą m n (macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)
Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15
Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 201/15 (1) Nazwa Rachunek różniczkowy i całkowy I (2) Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno - Przyrodniczy przedmiot (3)
Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja
Macierze 1 Podstawowe denicje Macierz wymiaru m n, gdzie m, n N nazywamy tablic liczb rzeczywistych (lub zespolonych) postaci a 11 a 1j a 1n A = A m n = [a ij ] m n = a i1 a ij a in a m1 a mj a mn W macierzy
20 zorganizowanych w Uczelni (ZZU) Liczba godzin całkowitego 150 nakładu pracy studenta (CNPS)
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ELEKTRONIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA.3 A Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli
Algebra liniowa z geometria
Algebra liniowa z geometria Materiały do ćwiczeń Zespół matematyków przy WEEiA Spis treści 1 Macierze i wyznaczniki 5 11 Macierze i ich rodzaje 5 12 Operacje na macierzach 6 13 Wyznacznik macierzy 8 14
WYDZIAŁ MECHANICZNY KARTA PRZEDMIOTU
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ MECHANICZNY KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Nazwa w języku angielskim ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Automatyka
Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 30 30
Zał. nr do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ B Nazwa w języku angielskim Algebra and Analytic Geometry Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)
Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium 45 30
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA. A Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis. A Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy):
AiRZ-0531 Analiza matematyczna Mathematical analysis
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod Nazwa Nazwa w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014 AiRZ-0531 Analiza matematyczna Mathematical analysis A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE STUDIÓW
Analiza matematyczna. Mechanika i Budowa Maszyn I stopień ogólnoakademicki studia stacjonarne wszystkie Katedra Matematyki dr Beata Maciejewska
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Calculus Obowiązuje od roku akademickiego
PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: ALGEBRA LINIOWA I GEOMETRIA ANALITYCZNA Kierunek: Inżynieria biomedyczna Linear algebra and analytical geometry forma studiów: studia stacjonarne Kod przedmiotu: IB_mp_ Rodzaj przedmiotu:
Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Linear algebra and analytical geometry Kierunek: Informatyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy w ramach treści wspólnych z kierunkiem Matematyka,