Spis treści. 1 Macierze Macierze. Działania na macierzach Wyznacznik Macierz odwrotna Rząd macierzy...

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Spis treści. 1 Macierze Macierze. Działania na macierzach Wyznacznik Macierz odwrotna Rząd macierzy..."

Transkrypt

1 Spis treści 1 Macierze Macierze. Działania na macierzach Wyznacznik Macierz odwrotna Rząd macierzy Układy równań liniowych Układ równań liniowych i jego rozwiązanie Układ Cramera Układ Kroneckera-Capelliego Ciągi liczbowe Zasada indukcji matematycznej Podstawowe definicje Ciąg arytmetyczny i geometryczny Granica ciągu liczbowego Własności ciągów zbieżnych Granice niewłaściwe ciągów Funkcje Definicje i własności Funkcje elementarne Funkcja liniowa Funkcja kwadratowa Własności działań na potęgach Funkcje potęgowe i pierwiastkowe Funkcja wielomianowa Funkcja wykładnicza Logarytmy i własności działań na logarytmach Funkcja logarytmiczna Funkcje trygonometryczne Własności funkcji trygonometrycznych Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji w punkcie Granice niewłaściwe funkcji Własności granic funkcji Granice jednostronne Granice funkcji w nieskończoności Ciągłość funkcji

2 Spis treści 2 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej Pochodna funkcji w punkcie Pochodne jednostronne Wzory na pochodne Zastosowanie pochodnych Ekstremum funkcji Wklęsłość i wypukłość funkcji. Punkt przegięcia Asymptoty Badanie przebiegu zmienności funkcji Całka nieoznaczona Podstawowe wzory rachunku całkowego Całkowanie przez podstawienie Całkowanie przez części

3 ROZDZIAŁ 1 Macierze 1.1 Macierze. Działania na macierzach. Definicja Niech m i n będą ustalonymi liczbami naturalnymi. Macierzą prostokątną wymiaru m n nazywamy układ mn liczb zapisanych w postaci tablicy o m wierszach i n kolumnach a 11 a a 1n a A = 21 a a 2n a m1 a m2... a mn Liczby a ik, gdzie i {1, 2,..., m}, k {1, 2,..., n}, nazywamy elementami macierzy A. Macierze postaci ] ] w 1 = [a 11 a a 1n,..., w m = [a m1 a m2... a mn nazywamy wierszami macierzy A, natomiast macierze postaci k 1 = a 11. a m1,..., k n = a 1n. nazywamy kolumnami macierzy A. Wobec tego macierz A można zapisać następująco A = w 1. w m lub A = a mn [k 1... k n ]. Macierz A będziemy również zapisywać w postaci A = [a ik ] m n, gdzie pierwszy indeks i oznacza numer wiersza, drugi indeks k oznacza numer kolumny. Definicja Macierzą kwadratową stopnia n nazywamy macierz, która posiada n wierszy i n kolumn, to znaczy jest macierzą postaci a 11 a a 1n ] A = [a ik = a 21 a a 2n n n a n1 a n2... a nn Mówimy wtedy, że elementy a 11, a 22,..., a nn tworzą główną przekątną macierzy kwadratowej A. Definicja Macierzą diagonalną nazywamy macierz kwadratową, której wszystkie elementy położone poza główną przekątną są zerami. Definicja Macierzą jednostkową stopnia n nazywamy macierz diagonalną stopnia n, której główna przekątna składa sie z samych jedynek. Oznaczamy ją symbolem I n.

4 Macierze 4 Przykład I 1 = [ ] 1, I 2 = [ ] 1 0, I = , I 4 = , Definicja Macierzą zerową nazywamy macierz, której wszystkie elementy są równe zero. ] Definicja Macierzą transponowaną do macierzy A = [a ik nazywamy macierz m n AT = ] [b ik, która powstaje z macierzy A przez zamianę wierszy na kolumny, to znaczy n m Przykład b ik = a ki dla i = 1, 2,..., n, k = 1, 2,..., m. 0 1 A = 2 3, A T = 2 5 ] Definicja Dwie macierze A = [a ik [b ]m n i B = ik tzn. m = p i n = q oraz [ ] p q są równe, gdy mają takie same wymiary, a ik = b ik dla i = 1, 2,..., m, k = 1, 2,..., n. ] Definicja Niech A = [a ik [b ]m n i B = ik oraz niech λ będzie liczbą rzeczywistą. Wprowadzamy następujące działania na macierzach: 1. Dodawanie macierzy 2. Odejmowanie macierzy 3. Mnożenie macierzy przez liczbę Przykład [ ] [ ] m n ] A + B = [a ik + b ik ] A B = [a ik b ik ] λ A = [λ a ik [ ] = m n. m n. m n. [ ] [ ] [ ] = Uwaga Powyższe działania dodawania i odejmowania macierzy wykonalne są jedynie dla macierzy tego samego wymiaru. ] Definicja Niech A = [a ik [b ]m n i B = kj. Iloczynem A B macierzy A przez macierz B ] n p nazywamy macierz C = [c ij o elementach c ij określonych wzorami m p c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j a in b nj, i = 1,..., m, j = 1,..., p. Przykład Niech A i B będa następującymi macierzami 3 1 [ ] A = 2 0 i B = Obliczymy iloczyn A B za pomocą tabelki mnożąc wiersze macierzy A przez kolumny macierzy B

5 Macierze ( 1) 1 3 ( 1) + ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) W wyniku otrzymujemy, że A B = Uwaga Mnożenie macierzy jest wykonalne jedynie wtedy, gdy ilość kolumn pierwszej macierzy jest równa ilości wierszy drugiej macierzy. W wyniku otrzymujemy macierz o ilości wierszy pierwszej macierzy i ilości kolumn drugiej macierzy. Mamy następujące własności dodawania i mnożenia macierzy: Stwierdzenie Niech A, B, C będą macierzami odpowiednich wymiarów (tzn. takimi, na których można wykonać działania dodawania i mnożenia). Wówczas 1. Macierz zerowa jest neutralna względem dodawania, tzn. 0 + A = A + 0 = A 2. Macierz jednostkowa jest neutralna względem mnożenia, tzn. IA = A oraz AI = A 3. Dodawanie macierzy jest przemienne natomiast mnożenie nie musi być przemienne, tzn. 4. Dodawanie i mnożenie macierzy jest łączne A + B = B + A oraz AB BA (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C oraz (AB)C = A(BC) = ABC 5. Mnożenie macierzy jest rozdzielne względem dodawania, tzn. A(B + C) = AB + AC oraz (B + C)A = BA + CA 6. Iloczyn dowolnej macierzy i macierzy zerowej jest macierzą zerową, tzn. A0 = 0A = 0 7. Iloczyn dwóch macierzy niezerowych może być macierzą zerową. Poniżej przedstawiamy przykład na to, że mnożenie macierzy nie musi być przemienne. Przykład [ ] [ ] 1 1 = 1 0 [ ] [ ] 0 1 = 0 1 [ ] [ ]

6 Macierze Wyznacznik Definicja Każdej macierzy kwadratowej stopnia n można przyporzadkować liczbę rzeczywistą det A zwaną wyznacznikiem macierzy. Postępujemy w następujący sposób: ] 1. Jeśli n = 1, czyli A = [a 11, to przyjmujemy det A = a Jeśli n 2 i wiemy czym jest wyznacznik macierzy stopnia n 1, to przyjmujemy det A = a 11 ( 1) 1+1 det A 11 + a 12 ( 1) 1+2 det A a 1n ( 1) 1+n det A 1n. (L) gdzie A ij oznacza macierz kwadratową stopnia n 1 powstałą z macierzy A przez pominięcie i-tego wiersza i j-tej kolumny. Wzór (L) nosi nazwę rozwinięcia Laplace a (tu względem pierwszego wiersza). Wyznacznik macierzy kwadratowej oznaczamy również w postaci a 11 a a 1n a det A = 21 a a 2n a n1 a n2... a nn Przykład a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11( 1) 1+1 a22 + a12 ( 1) 1+2 a21 = a11 a 22 a 12 a 21, Uwaga W podobny sposób możemy otrzymać wzór na wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia trzy. Wygodniej stosuje się jednak tak zwany schemat Sarrusa: a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 21 a 22 = a 31 a 32 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 31 a 22 a 13 a 32 a 23 a 11 a 33 a 21 a 12. Uwaga Do obliczania wyznaczników macierzy wyższego stopnia stosujemy zawsze rozwinięcie Laplace a wybierając wiersz lub kolumnę z największą liczbą zer. Własność Mamy następujące własności wyznaczników: 1. Wyznacznik macierzy zerowej równy jest zero. 2. Wyznacznik macierzy, której wszystkie elementy nad lub pod główną przekątna są zerami równy jest iloczynowi wyrazów na głównej przekątnej tej macierzy, tzn. a a 11 a a 1n a 21 a a = a 2n = a a 22 a nn. a n1 a n2... a nn a nn 3. Jeśli macierz posiada chociaż jeden wiersz (kolumnę) składającą się tylko z zer, to wyznacznik macierzy równy jest zero. 4. Jeśli elementy pewnego wiersza (kolumny) są proporcjonalne do innego wiersza (kolumny), to wyznacznik macierzy równy jest zero.

7 Macierze 7 5. Jeśli w macierzy zamienimy wiersze na kolumny, to wyznacznik macierzy nie zmieni się. 6. Jeśli w macierzy przestawimy dwa wiersze (dwie kolumny), to wartość wyznacznika macierzy zmieni się na przeciwną. 7. Jeśli wszystkie elementy pewnego wiersza (kolumny) danej macierzy pomnożymy przez liczbę λ R, to wartość wyznacznika macierzy też zostanie pomnożona przez liczbę λ R. 8. dla dwóch macierzy kwadratowych A, B stopnia n mamy det(ab) = det A det B

8 Macierze Macierz odwrotna Twierdzenie Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n. Jeśli wyznacznik det A 0, to istnieje dokładnie jedna macierz kwadratowa B stopnia n taka, że A B = B A = I n. Definicja Macierz B występującą w powyższym twierdzeniu nazywamy macierzą odwrotną do macierzy A i oznaczamy symbolem A 1. Istnieją dwa sposoby wyznaczania macierzy odwrotnej. Pierwszy z nich nazywamy sposobem wyznacznikowym. Można go podzielić na pięć kroków. 1. Sprawdzamy, czy det A Wyznaczamy dopełnienia algebraiczne elementów macierzy A, to znaczy liczby W ik = ( 1) i+k det A ik, i, k = 1, 2,..., n, gdzie A ik jest macierzą kwadratową stopnia n, która powstaje z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza i k-tej kolumny. ] 3. Budujemy macierz B = [W ik z wyznaczonych w kroku 2 dopełnień algebraicznych. n n 4. Wyznaczamy macierz transponowaną B T. 5. Wyznaczamy macierz odwrotną według wzoru A 1 = 1 det A BT. Drugi sposób to metoda Gaussa, która polega na przekształceniach elementarnych wierszy macierzy. Definicja Elementarnymi przekształceniami macierzy nazywamy: 1. zamianę miejscami dwóch dowolnych wierszy, 2. pomnożenie dowolnego wiersza macierzy przez dowolną liczbę różną od 0, 3. dodanie do dowolnego wiersza dowolnego innego wiersza tej macierzy, pomnożonego przez dowolną liczbę. Niech A będzie ] macierzą kwadratową stopnia n o wyznaczniku det A 0. Tworzymy macierz postaci [A I n, gdzie po wyrazach macierzy A dopisana jest macierz jednostkowa I n stopnia n 2n n (kreska pionowa jest tylko umownym] separatorem). [ Stosując ] przekształcenia elementarne na wierszach przekształcamy macierz [A I n w macierz I n B. Wówczas B jest poszukiwaną macierzą odwrotną A 1. Przykład Wyznaczymy dwoma sposobami macierz odwrotną do macierzy A = Wyznacznik det A = 1 0.

9 Macierze 9 2. Znajdujemy dopełnienia algebraiczne W 11 = ( 1) = 1, W 12 = ( 1) = 0, W 13 = ( 1) = 1, W 21 = ( 1) = 0, W 22 = ( 1) = 1, W 23 = ( 1) = 0, W 31 = ( 1) = 1, W 32 = ( 1) = 1, W 33 = ( 1) = Macierz dopełnień algebraicznych jest równa B = Transponujemy macierz B B T = Macierzą odwrotną do macierzy A jest A 1 = 1 det A BT = Teraz macierz odwrotną A 1 wyznaczymy stosując metodę Gaussa. ] [A I 3 = w 1 = w 1 w 3 w 2 = w 2 w w3 = w w Stąd A 1 = Rząd macierzy Definicja Niech A będzie macierzą wymiaru m n. Wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia r min{m, n} powstałej z macierzy A przez skreślenie m r wierszy i n r kolumn nazywamy minorem macierzy A. Liczbę r nazywamy stopniem minora. Przykład Niech A =

10 Macierze 10 Minorami stopnia 2 tej macierzy są na przykład: = 2, = 0, = 6. Pierwszy z nich jest wyznacznikiem macierzy otrzymanej z macierzy A przez skreślenie trzeciego wiersza oraz trzeciej i czwartej kolumny. Drugi z nich otrzymujemy przez skreślenie trzeciego wiersza oraz drugiej i czwartej kolumny, natomiast trzeci minor otrzymujemy skreślając drugi wiersz oraz pierwszą i trzecią kolumnę macierzy A. Definicja Rzędem macierzy A nazywamy maksymalny ze stopni jej niezerowego minora. Rząd macierzy A oznaczamy symbolem rz A. Przykład Niech A = [ ] Pokażemy, że rz A = 1. Istotnie, wszystkie minory macierzy A stopnia 2 (a jest tylko jeden taki minor) są równe zero, bo = 4 4 = 0. Istnieje jednak minor stopnia 1 macierzy A, który jest różny od zera, gdyż na przykład 4 = 4 0. Twierdzenie Rząd macierzy nie zmieni się, gdy: 1. Zamienimy wiersze na kolumny. 2. Przestawimy dwa wiersze (dwie kolumny). 3. Pomnożymy elementy pewnego wiersza (kolumny) przez tę samą liczbę różną od zera. 4. Do elementów pewnego wiersza (kolumny) dodamy elementy innego wiersza (kolumny) pomnożone przez tę samą liczbę różną od zera. 5. Pominiemy wiersz (kolumnę) złożoną z samych zer. 6. Pominiemy jeden z dwóch wierszy (kolumn) o elementach proporcjonalnych. W poniższych przykładach wyznaczymy rzędy macierzy korzystając z powyższego twierdzenia. Przykład rz = w2 = 1 2 w [ ] = rz = rz, gdyż w 1 = w 2. Jeden z minorów otrzymanej macierzy = 1 0, więc rz =

11 Macierze 11 Przykład rz = k2 = k 2 + k 4 = rz = k 2 = k 5 = = rz = k4 = 2k 4 = rz = k 3 = k 4 = rz Minor stopnia 3 ostatniej macierzy jest równy = = i istnieje niezerowy minor stopnia 2 tej macierzy 8 1 = 40 1 = Zatem rz = rz = Dla macierzy kwadratowej prawdziwe jest następujące Twierdzenie Macierz kwadratowa A stopnia n ma rząd równy n wtedy i tylko wtedy gdy det A 0.

12 ROZDZIAŁ 2 Układy równań liniowych 2.1 Układ równań liniowych i jego rozwiązanie Definicja Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n ma postać a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m gdzie a ij, b i R dla i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n. Liczby a ij nazywamy współczynnikami, liczby b i wyrazami wolnymi układu. Ze współczynników tworzymy tzw. macierz układu a 11 a a 1n a A = 21 a a 2n a m1 a m2... a mn Ze współczynników i wyrazów wolnych tworzymy tzw. macierz uzupełnioną (rozszerzoną) układu a 11 a a 1n b 1 a U = 21 a a 2n b , a m1 a m2... a mn b m gdzie w ostatniej kolumnie stoi kolumna wyrazów wolnych, którą oznaczamy b 2 B =. b 1. b m Przy powyższych oznaczeniach układ równań liniowych możemy zapisać w postaci macierzowej gdzie X oznacza kolumnę zmiennych A X = B, x 1 x 2 X =.. x n Jeżeli B jest macierzą zerową, to układ równań liniowych nazywamy układem jednorodnym. Rozwiązaniem układu równań liniowych nazywamy każdy punkt x = (x 1, x 2,..., x n ), którego współrzędne x 1, x 2,..., x n spełniają wszystkie równania układu. Jest to zatem punkt przestrzeni R n. Układ równań liniowych nazywamy:

13 Układy równań liniowych 13 sprzecznym, gdy nie ma rozwiązań, oznaczonym, gdy posiada dokładnie jedno rozwiązanie, nieoznaczonym, gdy posiada nieskończenie wiele rozwiązań. Uwaga Układ jednorodny posiada co najmniej jedno rozwiązanie (rozwiązanie zerowe). 2.2 Układ Cramera Definicja Układ n równań o n niewiadomych a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n nazywamy układem Cramera, gdy wyznacznik jego macierzy det A 0. Twierdzenie (Cramera) Układ Cramera jest układem oznaczonym, czyli ma dokładnie jedno rozwiązanie x = (x 1, x 2,..., x n ), którego współrzędne określone są wzorem x j = det A j, j = 1, 2,..., n, det A gdzie A j jest macierzą kwadratową stopnia n powstałą z macierzy A przez zastąpienie j-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych, tzn. a 11 a a 1j 1 b 1 a 1j+1... a 1n a A j = 21 a a 2j 1 b 2 a 1j+1... a 2n a n1 a n2... a nj 1 b n a nj+1... a nn Przykład Rozwiążemy układ równań x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 6 4x 1 + x 2 + 4x 3 = 9 3x 1 + 5x 2 + 2x 3 = 5 Macierzą tego układu jest A = Jej wyznacznik jest równy det A = = = Zatem jest to układ Cramera, który na podstawie powyższego twierdzenia ma dokładnie jedno rozwiązanie x = (x 1, x 2, x 3 ), gdzie x 1 = det A 1 det A, x 2 = det A 2 det A, x 3 = det A 3 det A,

14 Układy równań liniowych det A 1 = = 16, det A 2 = = 1, det A 3 = = Zatem jedynym rozwiązaniem tego układu jest punkt x = ( 16 41, 1 41, ). Uwaga Układ Cramera można rozwiązać jako równanie macierzowe mnożąc lewostronnie obie strony równania przez macierz odwrotną do A, tzn. jeśli AX = B, to wówczas i otrzymujemy A 1 AX = A 1 B X = A 1 B.

15 Układy równań liniowych Układ Kroneckera-Capelliego Definicja Układ m równań o n niewiadomych a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m nazywamy układem Kroneckera-Capelliego, gdy rząd macierzy A tego układu równy jest rzędowi macierzy uzupełnionej U tego układu, czyli gdy rz A = rz U. Twierdzenie (Kroneckera-Capelliego) Układ równań liniowych posiada rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy jest układem Kroneckera-Capelliego. Ponadto jeśli rz A = r = n, to układ Kroneckera-Capelliego ma dokładnie jedno rozwiązanie, jeśli rz A = r < n, to układ Kroneckera-Capelliego ma nieskończenie wiele rozwiązań. Rozwiązania te zależą od n r parametrów. Wniosek Jeżeli rz A rz U, to układ równań (2.1) jest sprzeczny. Przykład Zbadamy liczbę rozwiązań układu równań 2x 1 + x 2 x 3 x 4 + x 5 = 1 x 1 x 2 + x 3 + x 4 2x 5 = 0 3x 1 + 3x 2 3x 3 3x 4 + 4x 5 = 2 Macierz A i macierz uzupełniona U tego układu są równe A = , U = rz A = rz = k 3 = k 4 k = k 2 Ponieważ minory = 0, = rz = rz = 3 0, to rz A = 2. Podobnie sprawdzamy, że rz U = 2, a zatem rz A = rz U = 2 < 5. Wobec twierdzenia Kroneckera-Capelliego powyższy układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od 5 2 = 3 parametrów. Przykład Na wykładzie zbadamy liczbę rozwiązań następujących układów równań: (2.1) 1. 2x 1 + 4x 3 = 1 x 2 x 4 = 0 x 1 x 2 + 2x 3 + x 4 = x 1 + x 2 = 1 x 1 + x 2 = 1 x 1 2x 2 = 2 2x 1 x 2 = 1

16 ROZDZIAŁ 3 Ciągi liczbowe 3.1 Zasada indukcji matematycznej Definicja Jeżeli podzbiór A N jest taki, że 1 A oraz dla każdego k N z faktu że k A wynika, że k + 1 A, to A = N. Przykład Korzystając z indukcji matematycznej, udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n prawdziwa jest nierówność 2 n 1 n. Zdefiniujmy zbiór A w następujący sposób: A := {n N : 2 n 1 n}. Zauważmy, że 1 A, gdyż podstawiając n = 1 do badanej nierówności otrzymujemy 1 1. Załóżmy teraz, że n A, tzn. n spełnia nierówność 2 n 1 n (jest to założenie indukcyjne). Pokażemy, że n + 1 A, czyli, że spełniona jest nierówność 2 n n + 1. Istotnie, korzystając z założenia indukcyjnego, mamy 2 n = 2 2 n 1 2n = n + n n + 1. Na mocy zasady indukcji matematycznej stwierdzamy, że A = N, co oznacza, że badana nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej. 3.2 Podstawowe definicje. Definicja Ciągiem nieskończonym nazywamy każdą funkcję f określoną na zbiorze liczb naturalnych. Wartości tej funkcji nazywamy wyrazami ciągu i oznaczamy f(n) = a n, n N, a ciąg o wyrazach a n zapisujemy symbolem (a n ) n N lub a 1, a 2,...Ciągi nieskończone o wyrazach rzeczywistych będziemy nazywać krótko ciągami. Przykład Ponieważ ciąg określiliśmy jako dowolną funkcję na zbiorze liczb naturalnych, więc ciągi mogą być zadawane w różnoraki sposób: 1. Ciągi zadane za pomocą wzoru np. f(n) = 2n, n N, lub inaczej a n = 2n. Zbiorem wartości tego ciągu jest zbiór liczb parzystych. 2. Ciągi zadane przepisem, np. f(n) =(n ta liczba pierwsza), n N lub inaczej a n = (n ta liczba pierwsza). Zbiorem wartości tego ciągu jest zbiór wszystkich liczb pierwszych. 3. Ciągi zadane rekurencyjnie, np. f(1) = 1, f(2) = 1, f(n) = f(n 1) + f(n 2) dla n > 2 (ciąg ten nazywany jest ciągiem Fibonacciego). Definicja Ciąg (a n ) n N liczb rzeczywistych nazywamy rosnącym, jeśli spełniony jest warunek (a n < a n+1 ). n N

17 Ciągi liczbowe 17 a n a 7 a 6 a 5 a n a 3 a 2 a 1 Rysunek 3.1: Przykład ciągu liczbowego a n = n 4. Definicja Ciąg (a n ) n N liczb rzeczywistych nazywamy malejącym, jeśli spełniony jest warunek (a n > a n+1 ). n N Definicja Ciąg (a n ) n N liczb rzeczywistych nazywamy niemalejącym, jeśli spełniony jest warunek n N (a n a n+1 ). Definicja Ciąg (a n ) n N liczb rzeczywistych nazywamy nierosnącym, jeśli spełniony jest warunek n N (a n a n+1 ). Definicja Ciąg (a n ) n N liczb rzeczywistych nazywamy ograniczonym z dołu, jeśli spełniony jest warunek a n m. m R n N Definicja Ciąg (a n ) n N liczb rzeczywistych nazywamy ograniczonym z góry, jeśli spełniony jest warunek a n M. M R n N Definicja Ciąg (a n ) n N liczb rzeczywistych nazywamy ograniczonym, jeśli jest ograniczony z dołu i z góry, tzn. jeśli spełniony jest warunek m a n M. m, M R n N 3.3 Ciąg arytmetyczny i geometryczny W teorii ciągów liczbowych istotną rolę odgrywają dwa typy ciągów, mianowicie ciąg arytmetyczny i geometryczny.

18 Ciągi liczbowe 18 Definicja Ciąg (a n ) n N liczb rzeczywistych nazywamy arytmetycznym, jeżeli wyrazy tego ciągu spełniają warunek r R n N a n+1 = a n + r. Stała liczba r R w powyższym równaniu zwana jest różnicą ciągu arytmetycznego. Na podstawie definicji ciągu arytmetycznego istnieje zależność między wyrazami taka, iż każdy następny wyraz ciągu powstaje poprzez dodanie do bezpośrednio go poprzedzającego stałej wartości r, oznacza to, że istnieje również zależność między pierwszym, a dowolnym wyrazem ciągu wyrażająca się wzorem a n = a 1 + (n 1)r. Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi: S n = a 1 + a a n = n a1 + a n. 2 Definicja Ciąg (a n ) n N liczb rzeczywistych nazywamy geometrycznym, jeżeli wyrazy tego ciągu spełniają warunek q R n N a n+1 = a n q. Stała liczba q R w powyższym równaniu zwana jest ilorazem ciągu geometrycznego. Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego wynosi: a S n = 1 1 qn dla q 1, 1 q na 1 dla q = Granica ciągu liczbowego. Definicja Mówimy, że ciąg (a n ) n N ma granicę a (inaczej: dąży do a lub jest zbieżny do liczby a R), gdy dla dowolnej liczby rzeczywistej ε > 0 istnieje taka liczba N N, że dla wszystkich n N prawdziwa jest nierówność a n a < ε. Aby zapisać, że ciąg (a n ) n N dąży do granicy a, piszemy zwykle a n a gdy n, lub a = n a n. Stosując kwantyfikatory powyższą definicję możemy zapisać następująco: a n = a ε>0 N N n N a n a < ε. n Ponieważ nierówność występująca w definicji jest równoważna nierówności a ε < a n < a + ε, więc równoważnie możemy powyższą definicję wypowiedzieć następująco: ciąg (a n ) ma granicę a, gdy dla dowolnego ε > 0 prawie wszystkie wyrazy tego ciągu, leżą w przedziale (a ε, a + ε). Przykład Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnimy, że Wykażemy, że 1 n n = 0. 1 ε>0 N N n N n 0 < ε.

19 Ciągi liczbowe 19 a n a + ε a a ε n Rysunek 3.2: Granica ciągu liczbowego. Niech ε > 0 będzie dowolne ustalone. Szukamy takiego N N, aby dla wszystkich n N zachodziła nierówność 1 n 0 = 1 n = 1 n < ε Należy tak przekształcić powyższą nierówność, aby można było oszacować n. Otrzymujemy więc 1 n < ε 1 < nε n > 1 ε. [ ] Wystarczy zatem położyć N = 1 ε. Pokazaliśmy więc, że przy dowolnym wyborze ε istnieje takie N, dla którego spełniona jest nierówność 1 n 0 < ε. Stąd 1 n n = 0. a n n Rysunek 3.3: Ciąg liczbowy a n = 1 n Symbole nieoznaczone,, 0, 0 0, 00, 0, Własności ciągów zbieżnych. Twierdzenie Jeżeli ciąg liczbowy jest zbieżny, to ma dokładnie jedną granicę. Twierdzenie Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.

20 Ciągi liczbowe 20 a n n Rysunek 3.4: Ciąg monotoniczny i ograniczony a n = 1 1 n. Twierdzenie Każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny. Twierdzenie Jeśli ciąg (a n ) jest zbieżny do zera, zaś ciąg (b n ) jest ograniczony, to ciąg (a n b n ) jest zbieżny do zera. sin n Przykład Obliczyć granicę ciągu n + n. Połóżmy a n = 1 n oraz b 1 n = sin n dla n N. Zauważmy, że n a n = n n = 0 oraz ciąg {b n } jest ograniczony, gdyż n N sin n 1. Zatem z twierdzenia otrzymujemy, że sin n n n = a nb n = 0. n Twierdzenie Niech (a n ) i (b n ) będą ciągami zbieżnymi i niech a n a i b n b. Niech c R. Wówczas (1) n (a n + b n ) = a + b, (2) n (a n b n ) = a b, (3) n (c a n) = c a, (4) n (a nb n ) = ab, a n (5) = a n b n b, przy założeniu, że b n, b 0 dla każdego n, (6) n + a n = a = (7) n + a n = 0 a n = a, n + a n = 0. n + Uwaga Założenie, że istnieją granice n a n i n b n jest istotne w powyższym twierdzeniu, gdyż np. dla ciągów rozbieżnych a n = n i b n = n istnieje granica ich sumy i podobnie dla ciągów a n = 1/n 2 i b n = n w przypadku iloczynu i ilorazu. 2. Założenie w punkcie 5, że b n 0 dla każdego n nie jest istotne. Jeśli tylko b 0, to począwszy od pewnego wskaźnika zawsze jest b n 0. Zatem zmieniając (lub pomijając) pewne wyrazy początkowe (wiemy, że to nie wpływa na wartość granicy) możemy stosować punkt 5 również do ciągów o skończonej ilości wyrazów. Twierdzenie (1) n 1/n α = 0, gdy α R, α > 0,

21 Ciągi liczbowe 21 (2) n n a = 1, dla dowolnego a > 0, (3) n n n = 1, (4) n n α /x n = 0, gdy α R, x R, x > 1, (5) n x n = 0, gdy x R, x < 1, (6) n sin(1/n) = 0, n cos(1/n) = 1, (7) n sin 1 n / 1 n = 1. ( Przykład Znaleźć granicę ciągu o wyrazie ogólnym: a n = 3 n + 5 n ( n ) 3 2 3). 2 Na podstawie twierdzeń oraz mamy ( 3 a n = n n n ( 2 n ) ( ) 3 3 = 3) n n n ( ) 2 n 3 = n n 3 ( ) = 3 1 n n n 1 n n + 5 n 2 n 3 = n n 3 = = 5. Przykład Znaleźć granicę ciągu o wyrazie ogólnym: a n = 4n2 3n n 3n 2. Dzieląc licznik i mianownik przez najwyższą potęgę zmiennej n występującą w mianowniku ułamka, tj. przez n 2, otrzymujemy 4n 2 a n = n 2 3n n n n 2 + 2n = n + 4 n 2 n 2 3n2 2 n 2 n n 3 Zauważmy, że przy n mamy 3/n 0, 4/n 2 0, 2/n 2 0, 2/n 0, więc = 4n2 3n n 2 + 2n 3n 2 = n + 4 n n 2 n = n = 4 3. Twierdzenie (o trzech ciągach.) Przypuśćmy, że dane są trzy ciągi liczbowe (a n ), (b n ) i (c n ) takie, że dla prawie wszystkich n N a n b n c n. Załóżmy, że Wtedy ciąg (b n ) jest zbieżny oraz n b n = g. a n = g = c n. n n Przykład Znaleźć granicę ciągu o wyrazie ogólnym Rozwiązanie. Z założenia Ponieważ więc a n = n 10 n + 9 n + 8 n. a n = n 10 n + 9 n + 8 n. 10 n 10 n, 9 n < 10 n, 8 n < 10 n, 10 n + 9 n + 8 n < 10 n + 10 n + 10 n = 3 10 n.

22 Ciągi liczbowe 22 Stąd Oczywiste jest, że: stąd n 10 n + 9 n + 8 n < n 3 10 n = 10 n n < 10 n + 9 n + 8 n, n 10 n < n 10 n + 9 n + 8 n. Biorąc pod uwagę powyższe nierówności dostajemy Ponieważ 10 < n 10 n + 9 n + 8 n < 10 n = 10 oraz 10 n 3 = 10 n n zatem na mocy twierdzenia o trzech ciągach dostajemy, że n n 10 n + 9 n + 8 n = 10. Twierdzenie (Liczba e) (1) Ciąg {e n } R o wyrazach e n = granicę oznaczamy przez e, przy czym e 2, ( n) n jest zbieżny. Jego (2) Jeśli {a n } R jest ciągiem o wyrazach dodatnich takim, że n + a n = +, to ( ) an = e. (3.1) n + a n ( ) Przykład Obliczymy granicę ciągu a n = n+5 n. n W tym celu musimy dokonać takich przekształceń, aby móc skorzystać z punktu 2 ostatniego twierdzenia. Mamy więc ( ) n + 5 n ( = ( n = 1 + n n) 1 ) n 5 5 n. 5 Z równości (3.1) wynika, że Ostatecznie więc n + n + ( n 5 ) n 5 = e. ( ) n + 5 n = e 5. Na wykładzie obliczymy granice następujuących ciągów liczbowych: 1. a n = e 2n 5 n+1 2. a n = 9n 2 5n + 4 3n 3. a n = 2 5n n 2 4. a n = 3n +7 4 n 5 4 n 2 n 5. a n = n 5n 3 7n 2 + n a n = ( n 2 +5 n 2 ) n 2 +3 n

23 Ciągi liczbowe Granice niewłaściwe ciągów. Definicja Ciąg (a n ) ma granicę niewłaściwą + (lub dąży do + lub jest zbieżny do + ), gdy dla dowolnego R > 0 istnieje liczba naturalna N, taka, że a n > R. W symbolicznym zapisie R>0 N N n>n a n > R. Podobnie określamy granicę niewłaściwą ciągu (a n ). W symbolicznym zapisie R>0 N N n>n a n < R. Fakt, że ciąg (a n ) ma granicę + zapisujemy n = + lub a n. Podobnie w przypadku granicy. Dla odróżnienia granice ciągu w poprzednim sensie nazywamy granicami właściwymi lub skończonymi. Twierdzenie Ciąg ma co najwyżej jedną granicę (właściwą lub niewłaściwą). Twierdzenie Ciąg (a n ) rosnący (malejący) i nieograniczony z góry (z dołu) jest zbieżny do +, ( ). Twierdzenie Jeśli n a n = ±, to n 1/a n = 0. Twierdzenie (1) n a n = 0 jeśli 1 < a < 1. (2) n a n = 1 jeśli a = 1. (3) n a n = + jeśli a > 1. (4) n a n nie istnieje, jeśli a 1. Twierdzenie Jeżeli n a n = a i n b n =, to (1) n (a n + b n ) = +, (2) n (a n b n ) =, (3) n (a n b n ) = + jeżeli a > 0, (4) n (a n b n ) = jeżeli a < 0, (5) n a n /b n = 0, jeżeli b n 0, dla n N. Twierdzenie Jeżeli n a n = + i n b n = +, to (1) n (a n + b n ) = +, (2) n (a n b n ) = +. Twierdzenie Jeśli {a n } R jest ciągiem liczbowym o wyrazach dodatnich (to znaczy n N : a n > 0), to (1) jeśli n + a n+1 a n = a < 1, to n + a n = 0; (2) jeśli n + a n+1 a n = a > 1, to n + a n = +.

24 ROZDZIAŁ 4 Funkcje 4.1 Definicje i własności Niech X, Y będą zbiorami niepustymi. Definicja Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y (co zapisujemy f : X Y ) nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x ze zbioru X dokładnie jednego elementu y ze zbioru Y. Zamiast funkcja mówimy też odwzorowanie lub przekształcenie i zapisujemy: x y = f(x) gdzie x X i y Y Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji lub zbiorem argumentów, zaś zbiór Y przeciwdziedziną funkcji lub zbiorem wartości. Definicja Funkcję f nazywamy różnowartościową w zbiorze A, gdy (x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 )). x 1,x 2 A Definicja Funkcja f odwzorowuje zbiór X na zbiór Y, gdy y Y y = f (x). x X Definicja Funkcję f nazywamy wzajemnie jednoznaczną, gdy jest różnowartościowa i na. Definicja Niech f : X Y będzie funkcją różnowartościową i na. Funkcją odwrotną do funkcji f nazywamy funkcję f 1 : Y X taką, że y = f (x) x = f 1 (y) x,y X Definicja Niech X, Y, Z będą dowolnymi zbiorami niepustymi. Superpozycją (złożeniem) funkcji f : X Y i g : Y Z nazywamy funkcję g f : X Z określoną wzorem (g f) (x) = g (f (x)) dla x X. Niech teraz f : X Y będzie dowolną funkcją rzeczywistą, A X niepustym zbiorem. Definicja Funkcję f nazywamy rosnącą w zbiorze A, gdy (x 1 < x 2 f (x 1 ) < f (x 2 )). x 1,x 2 A Definicja Funkcję f nazywamy malejącą w zbiorze A, gdy (x 1 < x 2 f (x 1 ) > f (x 2 )). x 1,x 2 A

25 Funkcje 25 Definicja Funkcję f nazywamy niemalejącą, gdy (x 1 < x 2 f (x 1 ) f (x 2 )). x 1,x 2 A Definicja Funkcję f nazywamy nierosnącą w zbiorze A, gdy (x 1 < x 2 f (x 1 ) f (x 2 )). x 1,x 2 A Definicja Funkcję f nazywamy ograniczoną z dołu jeśli f (x) m m R Definicja Funkcję f nazywamy ograniczoną z góry jeśli f (x) M M R Definicja Funkcję f nazywamy ograniczoną, jeśli jest ograniczona z dołu i z góry. Definicja Funkcję f nazywamy parzystą, jeśli f ( x) = f (x). x, x X Definicja Funkcję f nazywamy nazywamy nieparzystą, jeśli f ( x) = f (x). x, x X Definicja Funkcję f nazywamy okresową o okresie T > 0 jeśli f (x + T ) = f (x). x,x+t X Najmniejszą liczbę T > 0 nazywamy okresem podstawowym funkcji f. Definicja Miejscem zerowym funkcji f nazywamy taki argument x 0 X, dla którego f (x 0 ) = Funkcje elementarne Funkcja liniowa Definicja Funkcją liniową nazywamy funkcję f : R R postaci f (x) = ax + b, gdzie a, b R. Dziedziną funkcji liniowej jest R. Wykresem funkcji liniowej jest prosta. Twierdzenie Funkcja liniowa f (x) = ax + b jest: rosnąca wtedy i tylko wtedy, gdy a > 0, malejąca wtedy i tylko wtedy, gdy a < 0, stała wtedy i tylko wtedy, gdy a = 0, Funckja liniowa f (x) = ax + b posiada miejsce zerowe x 0 = b a jeśli a 0.

26 Funkcje 26 y 0 x Rysunek 4.1: Funkcja f(x) = x + 1, x R. y 0 x Rysunek 4.2: Funkcja f(x) = x + 1, x R Funkcja kwadratowa Definicja Funkcją kwadratową (trójmianem kwadratowym) nazywamy funkcję f : R R postaci f (x) = ax 2 + bx + c, (4.1)

27 Funkcje 27 y 0 x Rysunek 4.3: Funkcja f(x) = 1, x R. gdzie a, b, c R oraz a 0. Dziedziną funkcji kwadratowej jest R. Twierdzenie Dla funkcji kwadratowej f(x) = ax 2 + bx + c znajdujemy = b 2 4ac. Wówczas jeśli: > 0, to f posiada dwa miejsca zerowe postaci x 1 = b 2a = 0, to f posiada jedno miejsce zerowe postaci < 0, to f nie posiada miejsc zerowych., x 2 = b +, 2a x 0 = b 2a, Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku o współrzędnych x w = b 2a y w = 4a Własności działań na potęgach Niech n, m N, a, b > 0 1. a n a m = a n+m 2. a n a m = a n m 3. a n b n = (ab) n

28 Funkcje 28 y 0 x Rysunek 4.4: Funkcja f(x) = x 2 + 2x + 1, x R. y 0 x Rysunek 4.5: Funkcja f(x) = x 2 + 2x + 2, x R. 4. a n b n = ( a b )n 5. (a n ) m = a nm 6. a 1 n = n a 7. a m n = n a m = ( n a) m 8. a n = ( 1 a )n = 1 a n

29 Funkcje Funkcje potęgowe i pierwiastkowe Definicja Niech α R będzie ustaloną liczbą rzeczywistą. Funkcją potęgową o wykładniku α nazywamy funkcję określoną wzorem f(x) = x α. Celowo nie podajemy dziedziny tej funkcji, ponieważ zależy to od wykładnika α. 1. gdy α N to dziedziną tej funkcji jest cały zbiór liczb R. 2. gdy α Z \ N to dziedziną tej funkcji jest R \ {0}. 3. dla pozostałych liczb α R dziedziną tej funkcji jest R +. Dodatkowo dla α > 0 dookreślamy funkcję potęgową w punkcie 0 wzorem 0 α = 0. Definicja Niech n N. Funkcję pierwiastkową n tego stopnia nazywamy funkcję: f(x) = n x, { R 0 x + gdy n jest liczbą parzystą, R gdy n jest liczbą nieparzystą. Uwaga Z przyjętych definicji wynika, że dla n parzystych funkcja pierwiastkowa n x jest identyczna z funkcją potęgową x 1 n, zaś dla n nieparzystego są to funkcje różne (bo mają różne dziedziny). Są one identyczne tylko w zbiorze liczb nieujemnych. Nie możemy zdefiniować np. funkcji x 1 3 dla x < 0 z powodów podanych w poprzedniej uwadze. Twierdzenie Funkcja potęgowa x α dla x > 0 jest 1) ściśle rosnąca dla α > 0, 2) ścićle malejąca dla α < 0, 3) stała dla α = Funkcja wielomianowa Definicja Wielomianem stopnia n N {0} nazywamy każdą funkcję W postaci W (x) = a 0 x n + a 1 x n a n, x R, gdzie a 0,..., a n są ustalonymi liczbami rzeczywistymi i a 0 0. Dodatkowo funkcję tożsamościową równą zero, tzn. W (x) = 0 dla x R nazywamy wielomianem zerowym. Wielomian stopnia pierwszego a 0 x + a 1 nazywamy funkcją liniową, zaś stopnia drugiego a 0 x 2 + a 1 x + a 2 funkcją kwadratową. Zerem lub pierwiastkiem wielomianu W nazywamy każdą liczbę rzeczywstą x 0 taką, że W (x 0 ) = 0. Definicja Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów tzn. każdą funkcję R postaci R(x) = P (x) Q(x), gdzie P, Q są wielomianami i wielomian Q nie jest wielomianem zerowym. Dziedziną funkcji wymiernej R jest zbiór liczb rzeczywistych minus zbiór zer wielomianu Q.

30 Funkcje 30 y 0 x Rysunek 4.6: Funkcja f(x) = (x + 3)(x 3)(x + 2), x R. 4.3 Funkcja wykładnicza Definicja Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję f : R R postaci gdzie a > 0. Dziedziną funkcji wykładniczej f(x) = a x gdzie a > 0 jest R. jeśli a > 1, to f jest różnowartościową funkcją rosnącą. jeśli a (0, 1), to f jest różnowartościową funkcją malejącą. jeśli a = 1, to f jest funkcją stałą. f (x) = a x (4.2) Uwaga Funkcja wykładnicza przyjmuje tylko wartości dodatnie, czyli x R ax > 0 Uwaga Będziemy często rozważć funkcję wykładniczą f (x) = e x o podstawie równej liczbie Eulera e Można dowieść, że e jest liczbą niewymierną. 4.4 Logarytmy i własności działań na logarytmach Definicja Niech a > 0 i a 1 oraz b > 0. Logarytmem z liczby b przy podstawie a nazywamy wykładnik potęgi do jakiej trzeba podnieść podstawę a aby otrzymać liczbę logarytmowaną b. Logarytm z liczby b przy podstawie a oznaczamy symbolem log a b. Mamy zatem, że log a b = c a c = b.

31 Funkcje 31 y 0 x Rysunek 4.7: Funkcja f(x) = 2 x, x R. y 0 x ( ) 1 x Rysunek 4.8: Funkcja f(x) =, x R. 2 Niech a, b > 0, a 1, b 1, x, y > 0, wówczas: 1. log a x + log a y = log a (x y), ( ) x 2. log a x log a y = log a, y 3. log a x p = p log a x, dla p R, 4. log a x = log b x log b a, 4.5 Funkcja logarytmiczna Definicja Funkcją logarytmiczną nazywamy funkcję f : (0, ) R postaci f (x) = log a x, (4.3)

32 Funkcje 32 gdzie a > 0 i a 1. Dziedziną funkcji logarytmicznej jest (0, ). Miejsce zerowe dowolnej funkcji logarytmicznej wynosi x = 1. Funkcja logarytmiczna log a x jest funkcą różnowartościową rosnącą jeśli a > 1 malejącą jeśli a (0, 1) Uwaga Będziemy często rozważać logarytmy przy podstawie równej liczbie Eulera e. Takie logarytmy nazywamy naturalnymi i oznaczamy log e x = ln x Logarytmy o podstawie równej 10 nazywamy dziesiętnymi i oznaczamy log 10 x = log x y 0 x Rysunek 4.9: Funkcja f(x) = log 2 x, x > Funkcje trygonometryczne Funkcja f (x) = sin x jest określona dla x R. Jest funkcją okresową o okresie podstawowym T = 2π. Funkcja f (x) = cos x jest określona dla x R. Jest funkcją okresową o okresie podstawowym T = 2π. Funkcja f (x) = tg x jest określona dla x (2k 1) π, (k Z). Jest funkcją okresową o okresie 2 podstawowym T = π. Funkcja f (x) = ctg x jest określona dla x kπ, (k Z). Jest funkcją okresową o okresie podstawowym T = π.

33 Funkcje 33 y 0 x Rysunek 4.10: Funkcja f(x) = log 1 x, x > Własności funkcji trygonometrycznych 1. sin 2 x + cos 2 x = 1, dla x R, 2. tg x = sin x, dla x kπ, (k Z), cos x 3. ctg x = cos x sin x dla x π + kπ, (k Z), 2 4. tg x ctg x = 1 dla x k π, (k Z), 2 5. sin 2x = 2 sin x cos x, dla x R, 6. cos 2x = cos 2 x sin 2 x, dla x R.

34 ROZDZIAŁ 5 Granica i ciągłość funkcji 5.1 Granica funkcji w punkcie Definicja (Heinego) Niech funkcja f określona będzie w otoczeniu pewnego punktu x 0, z wyjątkiem może samego punktu x 0. Funkcja f ma granicę g w punkcie x 0, co zapisujemy w postaci f(x) = g lub f(x) g, gdy x x 0, x x 0 jeżeli dla każdego ciągu wartości argumentu (x n ), zbieżnego do x 0 o wyrazach różnych od x 0 odpowiadający ciąg wartości funkcji (f(x n )) jest zbieżny do granicy g, tzn., że jeżeli x n = x 0, to f(x n) = g. n n W symbolicznym zapisie powyższą definicję możemy zapisać następująco x x 0 f(x) = g (xn),x n x 0 ( n x n = x 0 n f(x n) = g ). Przykład Weźmy pod uwagę funkcję f(x) = 4x 1. Pokażemy, że funkcja ta posiada w punkcje x = 2 granicę równą 7. Niech (x n ) będzie zatem dowolnym ciągiem takim, że n x n = 2. Wówczas dla odpowiadającego ciągu wartości funkcji mamy f(x n) = (4x n 1) = 4 x n 1 = 8 1 = 7, n n n zatem funkcja f(x) = 4x 1 posiada w punkcje x = 2 granicę równą 7, tzn. (4x 1) = 7. x Granice niewłaściwe funkcji. Definicja Mówimy, że funkcja f dąży do +, gdy x x 0, jeżeli dla każdego ciągu (x n ) zbieżnego do x 0, o wyrazach różnych od x 0, odpowiedni ciąg wartości funkcji (f(x n )) jest zbieżny do +. W symbolicznym zapisie powyższą definicję możemy zapisać następująco x x 0 f(x) = + (xn),x n x 0 ( n x n = x 0 n f(x n) = + ). Analogicznie definiujemy granicę niewłaściwą funkcji f. Przykład Wyznaczymy granicę funkcji f(x) = 1/x 2, x > 0 w punkcje x = 0. Weźmy dowolny ciąg (x n ) taki, że n x n = 0. Wówczas n x2 n = n x n n x n = 0,

35 Granica i ciągłość funkcji 35 stąd zatem Przykład x = 0, f(x n) = n n 1 x 2 n 1 x x 0 x 2 = +. = +, (1) Funkcja f(x) = 1/ x, x R {0} ma granicę niewłaściwą + w punkcie y 0 x Rysunek 5.1: Funkcja f(x) = 1 x, x 0. (2) Funkcja f(x) = 1/x, x R {0} ma granicę prawostronną niewłaściwą + w punkcie x = 0, zaś lewostronną w tym samym punkcie. y 0 x Rysunek 5.2: Funkcja f(x) = 1 x, x 0.

36 Granica i ciągłość funkcji Własności granic funkcji Twierdzenie Jeżeli x x0 f(x) = a i x x0 g(x) = b, to (1) x x0 ( f(x) + g(x) ) = a + b, (2) x x0 ( f(x) g(x) ) = a b, (3) x x0 ( f(x) g(x) ) = a b, (4) x x0 ( f(x)/g(x) ) = a/b, przy założeniu, że b 0. Twierdzenie Jeżeli x x0 f(x) = a i x x0 g(x) = (lub ), to (1) x x0 ( f(x) + g(x) ) =, (lub ), (2) x x0 ( f(x) g(x) ) =, (lub ), gdy a > 0, (3) x x0 ( f(x) g(x) ) =, (lub ), gdy a < 0, (4) x x0 ( f(x)/g(x) ) = 0. Twierdzenie Jeżeli x x0 f(x) = a 0 i x x0 g(x) = 0 oraz g(x) 0 dla x x 0, to f(x) x x 0 g(x) = +, gdy g(x) > 0 i a > 0,, gdy g(x) > 0 i a < 0,, gdy g(x) < 0 i a > 0, +, gdy g(x) < 0 i a < 0. Twierdzenie (o trzech funkcjach) Jeżeli x x0 f(x) = x x0 h(x) oraz zachodzi nierówność f(x) g(x) h(x), to x x 0 g(x) = a. Twierdzenie Zachodzą następujące równości: (1) x 1 p x = 1, p N, (2) x 0 a x = 1, a > 0, (3) x 0 sin x x = 1, (4) x 0 (1 + x) 1/x = e, 5.4 Granice jednostronne Niekiedy przy badaniu funkcji w otoczeniu punktu x 0 ograniczamy się jedynie do wartości argumentu x > x 0 lub do wartości x < x 0, tzn. badamy zachowanie się funkcji tylko w prawej, ewentualnie w 9lewej połowie otoczenia punktu x 0. Definicja Sumę przedziałów (x 0 ε, x 0 ) (x 0, x 0 +ε) nazywamy sąsiedztwem punktu x 0 o promieniu ε. Przedział(x 0 ε, x 0 ) nazywamy lewostronnym sąsiedztwem punktu x 0 o promieniu ε i oznaczamy S, natomiast przedział (x 0, x 0 + ε) nazywamy prawostronnym sąsiedztwem punktu x 0 o promieniu ε i oznaczamy S +.

37 Granica i ciągłość funkcji 37 Definicja Mówimy, że funkcja f ma granicę prawostronną g w punkcie x 0, co zapisujemy f(x) = g, x x + 0 jeżeli dla każdego ciągu wartości argumentu (x n ), zbieżnego do x 0 z prawej strony, tzn. o wyrazach x n > x 0, odpowiedni ciąg f(x n ) wartości funkcji jest zbieżny do g. W symbolicznym zapisie powyższą definicję możemy zapisać następująco f(x) = g (xn),xn S x x ( n x n = x 0 n f(x n) = g ). Analogicznie definiujemy granicę lewostronną g w punkcie x 0 funkcji f. Definicja Funkcja f posiada granicę w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy granice jednostronne w punkcie x 0 istnieją i są sobie równe. Przykład Funkcja f(x) = x /x, x 0 nie posiada granicy w punkcie x 0 = 0. y 1 0 x 1 Rysunek 5.3: Funkcja f(x) = x x, x Granice funkcji w nieskończoności Definicja Mówimy, że funkcja f ma granicę g, gdy x dąży do +, co zapisujemy f(x) = g, x jeżeli dla każdego ciągu (x n ), zbieżnego do +, ciąg (f(x n )) wartości funkcji jest zbieżny do g. W symbolicznym zapisie powyższą definicję możemy zapisać następująco f(x) = g ( x (x n) x n = f(x n) = g ). n n Analogicznie definiujemy granicę w funkcji f. Twierdzenie Zachodzą równości:

38 Granica i ciągłość funkcji 38 (1) x + xn = +, n N, (2) x xn = (3) x + { +, gdy n parzyste,, gdy n nieparzyste. n x = +, n N, (4) x + xα = +, α R, α > 0, (5) x 0 + xα = 0, α R, α > 0, (6) x + ax = +, (7) x + ax = 0, (8) x + log a x = +, (9) x + log a x =, (10) x π 2 x ax = 0, a R, a > 1, x ax = +, a R, 0 < a < 1, tg x = +, tg x =. x π + 2 log x 0 + a x =, a R, a > 1, log x 0 + a x = +, a R, 0 < a < 1, Przykład Funkcja f(x) = x 3, x R ma granicę + w + i w. y 0 x Rysunek 5.4: Funkcja f(x) = x 3, x R.

39 Granica i ciągłość funkcji Ciągłość funkcji Definicja (Heinego) Funkcję f określoną w otoczeniu punktu x 0 nazywamy ciągłą w punkcie x 0, jeżeli funkcja ta posiada granicę w punkcie x 0 równą wartości f(x 0 ) funkcji w tym punkcie, tzn. gdy x x 0 f(x) = f(x 0 ). Uwaga W określeniu ciągłości funkcji występują trzy warunki: 1. f(x) jest określona w punkcie x 0, tzn. istnieje f(x 0 ); 2. f(x) posiada granicę w punkcje x 0 ; 3. granica f(x) w punkcie x 0 jest równa wartości funkcji w tym punkcie f(x 0 ). Jeżeli w jakimś punkcje x 0 jeden z powyższych warunków nie jest spełniony, to funkcja nie jest ciągła w tym punkcie. Przykład (1) Funkcja stała f(x) = c, x R, c R jest ciągła; (2) Funkcja liniowa f(x) = ax + b, x, a, b R jest ciągła; (3) f(x) = x 2, x R jest ciągła; (4) Funkcja f(x) = 1/x jest ciągła w R \ {0}. (7) Funkcja nie jest ciągła tylko w punkcie 0. f(x) = { 0 x (, 0), 1 x [0, ), Uwaga Zauważmy, że o ciągłości danej funkcji możemy tylko mówić w punktach, w których funkcja ta jest określona. W punktach poza dziedziną funkcji nie mają sensu stwierdzenia, że funkcja jest lub nie ciągła w takim punkcie, np. f(x) = 1 x, x R \ {0} nie jest ani ciągła ani nieciągła w zerze. Twierdzenie Jeżeli funkcje f oraz g są ciągłe w punkcie x 0, to wtedy funkcje f + g, f g, f g, f g, g(x 0) 0 są ciągłe w punkcie x 0. Definicja Funkcja f jest prawostronnie ciągła w punkcie x 0, jeśli f(x) = f(x 0). x x + 0 Definicja Funkcja f jest lewostronnie ciągła w punkcie x 0, jeśli f(x) = f(x 0). x x 0 Definicja Funkcja f jest ciągła w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła lewostronnie i prawostronnie w punkcie x 0. Funkcję, która nie jest ciągła nazywamy funkcją nieciągłą. Wyróżniamy trzy rodzaje nieciągłości: 1. nieciągłość usuwalną, która ma miejsce, jeżeli granica funkcji w punkcie x 0 istnieje, ale nie jest równa wartości funkcji w tym punkcie;

40 Granica i ciągłość funkcji nieciągłość pierwszego rodzaju, która występuje, gdy nie istnieje granica funkcji w punkcje x 0, ale istnieją właściwe granice jednostronne; 3. nieciągłość drugiego rodzaju, która występuje, gdy jedna z granic jednostronnych funkcji w punkcie x 0 jest niewłaściwa lub nie istnieje. Twierdzenie Funkcja złożona z dwóch funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą. Przykład Weźmy funkcje f(x) = sin x i g(x) = 2x. Wówczas funkcja (f g)(x) = sin 2x jest ciągła. Twierdzenie Funkcja odwrotna względem funkcji ciągłej i monotonicznej jest funkcją ciągłą i monotoniczną.ciągłą. Twierdzenie Funkcja f ciągła w przedziale domkniętym [a, b] przyjmuje w tym przedziale wartość najmniejszą m i największą M, tzn. istnieją takie punkty x 1 i x 2, że f(x 1 ) = m i f(x 2 ) = M, a dla wszystkich x [a, b] mamy m f(x) M. Twierdzenie Funkcja f ciągła w przedziale domkniętym [a, b] przyjmuje każdą wartość zawartą między wartościami f(a) i f(b). W szczególności, jeżeli f(a) i f(b) mają różne znaki, to istnieje taki punkt x 0 [a, b], że f(x 0 ) = 0. Przykład Zbadać, czy równanie posiada pierwiastki w przedziale [0, π/2]. x cos x = 0 Funkcja f(x) = x cos x jest funkcją ciągłą w przedziale [0, π/2] i na krańcach tego przedziału przybiera wartości ( ) π f(0) = 1 i f = π 2 2 różnych znaków, a zatem jest równa zeru przynajmniej w jednym punkcie tego przedziału.

41 ROZDZIAŁ 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej 6.1 Pochodna funkcji w punkcie Definicja Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x 0 dla przyrostu h nazywamy iloraz: f(x 0 + h) f(x 0 ). h Definicja Granicę właściwą powyższego ilorazu różnicowego nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x 0 i oznaczamy symbolem f (x 0 ). Mamy więc f (x 0 ) = h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h Jeżeli granica powyższa nie istnieje lub jest niewłaściwa to mówimy, że funkcja f nie ma pochodnej w punkcie x 0 lub, że nie jest różniczkowalna w punkcie x Pochodne jednostronne. Definicja Pochodną lewostronną w punkcie x 0 oznaczamy f (x 0 ) i definiujemy: f (x 0 ) = h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h Definicja Pochodną prawostronną w punkcie x 0 oznaczamy f (x 0 + ) i definiujemy: f (x 0 + ) = h 0 + f(x 0 + h) f(x 0 ) h Przykład Funkcja f(x) = x nie jest różniczkowalna w punkcie x 0 = 0 ponieważ i f (0 0 + h 0 h ) = = h 0 h h 0 h = h h 0 h = 1 f ( h 0 h ) = = h 0 + h h 0 + h = h h 0 + h = 1 Jeżeli funkcja f ma pochodną w każdym punkcie pewnego zbioru X to każdemu punktowi x 0 X przyporządkowana jest dokładnie jedna liczba f (x 0 ). Więc na zbiorze X jest określona nowa funkcja, którą będziemy oznaczać f i będziemy mówić, że f jest różniczkowalna na tym zbiorze. Jeżeli funkcja f ma pochodną w każdym punkcie pewnego przedziału (a, b) oraz istnieją pochodne jednostronne f (a + ) oraz f (b ) to funkcja ma pochodną na przedziale domkniętym [a, b].

42 Pochodna funkcji jednej zmiennej Wzory na pochodne 1. (x a ) = ax a 1, x > 0, a R. 2. (sin x) = cos x, x R. 3. (cos x) = sin x, x R. 4. (tg x) = 1 cos 2 x = 1 + tg2 x, cos x (ctg x) = 1 sin 2 x = (1 + ctg2 x), sin x (log a x ) = log a e x 7. (ln x ) = 1 x, x (a x ) = a x ln a, a > (e x ) = e x. = 1, x 0, a 1, a > 0. x ln a Twierdzenie Jeżeli funkcja jest różniczkowalna to jest ciągła. Twierdzenie (o działaniach arytmetycznych na pochodnych) Jeżeli funkcje f i h są różniczkowalne na zbiorze X to (1)(f(x) + h(x)) = f (x) + h (x) (2)(f(x) h(x)) = f (x) h (x) (3)(f(x) h(x)) = f (x) h(x) + f(x) h (x) ( ) f(x) (4) = f (x) h(x) f(x) h (x) h(x) h 2 (x) Zadanie 1 Obliczyć następujące pochodne funkcji: (1) f(x) = x 7 4x x 4 x + 19 (2) f(x) = 2x3 4x 2 x + 1 (3) f(x) = x 3 cos x Rozwiązanie. (1) f (x) = 7x 6 20x x 3 1 (2) f (x) = (2x3 4x 2 ) (x + 1) (2x 3 4x 2 ) (x + 1) (x + 1) 2 = = (6x2 8x) (x + 1) 2x 3 + 4x 2 ) (x + 1) 2 = 6x3 + 6x 2 8x 2 8x 2x 3 + 4x 2 (x + 1) 2 = = 4x3 + 2x 2 8x (x + 1) 2 (3) f (x) = (x 3 ) cos x + x 3 (cos x) = 3x 2 cos x x 3 sin x

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)

Bardziej szczegółowo

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x). 6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

Funkcje elementarne. Matematyka 1

Funkcje elementarne. Matematyka 1 Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje

Bardziej szczegółowo

Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.

Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji. Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.. Ciągi Ciąg jest to funkcja określona na zbiorze N lub jego podzbiorze. Z tego względu ciągi dziey na

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

Własności wyznacznika

Własności wyznacznika Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy

Bardziej szczegółowo

, A T = A + B = [a ij + b ij ].

, A T = A + B = [a ij + b ij ]. 1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba a ij, to mówimy, że jest określona macierz prostokątna A = a ij typu m

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018

DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo

Bardziej szczegółowo

Granice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21

Granice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granice funkcji XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granica funkcji Definicje Granica właściwa funkcji w punkcie wg Heinego Liczbę g nazywamy granicą właściwą funkcji f w punkcie

Bardziej szczegółowo

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej 15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne. Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz

Bardziej szczegółowo

1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.

1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. I. Wyrażenia potęgowe (wykładnik całkowity). Dla a R, n N mamy a = a, a n = a n a. Zatem a n = } a a {{... a}. n razy Przyjmujemy ponadto, że a =, a. Dla a R \{}, n

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory i działania na zbiorach.

1 Zbiory i działania na zbiorach. Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Macierze. Rozdział Działania na macierzach

Macierze. Rozdział Działania na macierzach Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy

Bardziej szczegółowo

Ciągłość funkcji f : R R

Ciągłość funkcji f : R R Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +

Bardziej szczegółowo

O funkcjach : mówimy również, że są określone na zbiorze o wartościach w zbiorze.

O funkcjach : mówimy również, że są określone na zbiorze o wartościach w zbiorze. 1. Definicja funkcji f:x->y. Definicja dziedziny, przeciwdziedziny, zbioru wartości. Przykłady. I definicja: Funkcją nazywamy relację, jeśli spełnia następujące warunki: 1) 2) 1,2 [(1 2)=> 1=2] Inaczej

Bardziej szczegółowo

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania. 10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych

Bardziej szczegółowo

MACIERZE I WYZNACZNIKI

MACIERZE I WYZNACZNIKI Wykłady z matematyki inżynierskiej IMiF UTP 07 MACIERZ DEFINICJA. Macierza o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporza dkowanie każdej uporza dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie 1 i m, 1

Bardziej szczegółowo

Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 3. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 3. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 3 ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Deinicja (unkcja) Niech zbiory XY, będą niepuste Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

Rozdział 3. Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej

Rozdział 3. Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej Rozdział Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej Definicja i własności granicy funkcji W rozdziale omówiono granicę ciągu liczbowego przy n, natomiast w rozdziale opisano funkcje elementarne i ich własności

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje elementarne

1 Funkcje elementarne 1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N

Bardziej szczegółowo

Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska

Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska 2018 Spis treści Definicja ciągłości funkcji. Przykłady Funkcja nieciągła. Typy nieciągłości funkcji Własności funkcji

Bardziej szczegółowo

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.

PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach. WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.

Bardziej szczegółowo

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie

Bardziej szczegółowo

II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty.

II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. Definicja 1.1. Funkcją określoną na zbiorze X R o wartościach w zbiorze Y R nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie

Bardziej szczegółowo

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

Bardziej szczegółowo

W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów:

W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów: dr Urszula Konieczna-Spychała Instytut Matematyki i Fizyki UTP imif.utp.edu.pl Literatura: M. Lassak, Matematyka dla studiów technicznych. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1. M. Gewert, Z.

Bardziej szczegółowo

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Karolina Kalińska MATEMATYKA: PRZYKŁADY I ZADANIA Włocławek 2011 REDAKCJA WYDAWNICTWA PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Matematyka:

Bardziej szczegółowo

Macierze i Wyznaczniki

Macierze i Wyznaczniki dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.

Bardziej szczegółowo

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ). Ciągi liczbowe.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony) liczbom naturalnym.

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +

Bardziej szczegółowo

Matematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji

Matematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji . Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja

Bardziej szczegółowo

7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :

7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady : WYKŁAD 5 1 7. CIĄGI. CIĄGIEM NIESKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych, dodatnich, a wyrazami ciągu są wartości tej funkcji. CIĄGIEM SKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,

Bardziej szczegółowo

1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej

1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej . Pierwsza pochodna - definicja i własności.. Definicja pochodnej Definicja Niech f : a, b) R oraz niech 0 a, b). Mówimy, że funkcja f ma pochodna w punkcie 0, którą oznaczamy f 0 ), jeśli istnieje granica

Bardziej szczegółowo

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Elementy algebry liniowej. Macierze i wyznaczniki. Ciągi liczbowe, granica ciągu i granica funkcji, rachunek granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale

Bardziej szczegółowo

Definicja macierzy Typy i właściwości macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy RACHUNEK MACIERZOWY

Definicja macierzy Typy i właściwości macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy RACHUNEK MACIERZOWY Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

S n = a 1 1 qn,gdyq 1

S n = a 1 1 qn,gdyq 1 Spis treści Powtórzenie wiadomości... 9 Zadania i zbiory... 10 Obliczenia... 18 Ciągi... 27 Własności funkcji... 31 Funkcje liniowe i kwadratowe... 39 Wielomiany i wyrażenia wymierne... 45 Funkcje wykładnicze

Bardziej szczegółowo

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Wykłady z matematyki inżynierskiej JJ, 08 DEFINICJA Układ m równań liniowych z n niewiadomymi to: ( ) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 +

Bardziej szczegółowo

1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych

1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz

Bardziej szczegółowo

Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z 21 grudnia 2014)

Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z 21 grudnia 2014) dr inż. Ryszard Rębowski DEFINICJA CIĄGU LICZBOWEGO Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z grudnia 04) Definicja ciągu liczbowego Spośród

Bardziej szczegółowo

Przykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:

Przykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny: Podstawowe definicje Definicja ciągu Ciągiem nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. (Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach

Bardziej szczegółowo

Wykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.

Wykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach. Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej

Bardziej szczegółowo

Funkcje i ich własności. Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 1 / 43

Funkcje i ich własności. Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 1 / 43 Funkcje i ich własności Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 1 / 43 Zbiory liczbowe Zbiory Zbiór Iloczyn (część wspólna zbiorów) A B = {x : x A x B} Suma Różnica Zawieranie się A B = {x

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub

2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub WYKŁAD 2 1 2. FUNKCJE. 2.1.PODSTAWOWE DEFINICJE. Niech będą dane zbiory i. Jeżeli każdemu elementowi x ze zbioru,, przyporządkujemy jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy

Bardziej szczegółowo

13 Układy równań liniowych

13 Układy równań liniowych 13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Funkcja f jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona z

Funkcja f jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona z FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ. PODSTAWOWE POJĘCIA. PODSTAWOWE FUNKCJE ELEMENTARNE R - zbiór liczb rzeczywistych, D R, P R Definicja. Jeżeli każdemu elementowi ze zbioru D jest przyporządkowany dokładnie jeden

Bardziej szczegółowo

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę

Bardziej szczegółowo

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki 3 semestr LO dla dorosłych I. Sumy algebraiczne 1. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych 2. Mnożenie sum algebraicznych 3. Wzory skróconego mnożenia - zastosowanie

Bardziej szczegółowo

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A = Macierze 1 Macierz o wymiarach m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Mat m n (R) zbiór macierzy m n o współczynnikach rzeczywistych Analogicznie określamy Mat m n (Z), Mat m n (Q) itp 2

Bardziej szczegółowo

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie

Bardziej szczegółowo

Wyznaczniki 3.1 Wyznaczniki stopni 2 i 3

Wyznaczniki 3.1 Wyznaczniki stopni 2 i 3 3 Wyznaczniki 31 Wyznaczniki stopni 2 i 3 Wyznacznik macierzy 2 2 Dana jest macierz [ ] a b A Mat c d 2 2 (R) Wyznacznikiem macierzy A nazywamy liczbę mamy a A c b ad bc d Wyznacznik macierzy A oznaczamy

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych

Bardziej szczegółowo

Ciągi liczbowe wykład 3

Ciągi liczbowe wykład 3 Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel 3 kwietnia 203 Definicja (ciągu liczbowego). Ciagiem liczbowym nazywamy funkcję odwzorowuja- ca zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych. Wartość

Bardziej szczegółowo

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same 1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zajęcia 1 Pewne funkcje - funkcja liniowa dla gdzie -funkcja kwadratowa dla gdzie postać kanoniczna postać iloczynowa gdzie równanie kwadratowe pierwiastki równania kwadratowego: dla dla wzory Viete a

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska

RACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska RACHUNEK MACIERZOWY METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Informatyka Stosowana. 7 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada / 28

Wykład 5. Informatyka Stosowana. 7 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada / 28 Wykład 5 Informatyka Stosowana 7 listopada 2016 Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada 2016 1 / 28 Definicja (Złożenie funkcji) Niech X, Y, Z, W - podzbiory R. Niech f : X Y, g : Z W, Y Z. Złożeniem

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

a 1, a 2, a 3,..., a n,... III. Ciągi liczbowe. 1. Definicja ciągu liczbowego. Definicja 1.1. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R i oznaczamy przez {a

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

Funkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń

Funkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja

Bardziej szczegółowo

1. Równania i nierówności liniowe

1. Równania i nierówności liniowe Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x

Bardziej szczegółowo

det[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...

det[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,... Wykład 14 Wyznacznik macierzy cd Twierdzenie 1 Niech A będzie macierzą kwadratową i niech A i, A j będą dwiema różnymi jej kolumnami, wtedy dla dowolnego k K: det[a 1,, A i,, A j,, A n ] det[a 1,, A i

Bardziej szczegółowo

Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje

Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje Funkcje Andrzej Musielak 1 Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa jest postaci f(x) = a x + b, gdzie a, b R Wartość a to tangens nachylenia wykresu do osi Ox, natomiast b to wartość funkcji w punkcie

Bardziej szczegółowo

Literatura podstawowa

Literatura podstawowa 1 Wstęp Literatura podstawowa 1. Grażyna Kwiecińska: Matematyka : kurs akademicki dla studentów nauk stosowanych. Cz. 1, Wybrane zagadnienia algebry liniowej, Wydaw. Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk, 2003.

Bardziej szczegółowo

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2. 2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange

Bardziej szczegółowo