Matematyka ZLic - 2. Granica ciągu, granica funkcji. Ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych.

Transkrypt

1 Matematyka ZLic -. Granica ciągu, granica funkcji. Ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych. Granica ciągu Ciąg a n ma granicę właściwą g R i piszemy jeśli lim n a n g lub a n g gdy n NN n N a n g nn a n g g a n g Jeśli garnica właściwa g lim n a n istnieje, ciąg nazywamy zbieżnym. Przykłady ) Ciąg a n zdefiniowany wzorem: ma granicę właściwą a n n n dla n N lim n a n, gdyż dla dowolnego, biorąc N (gdzie dla dowolnej liczby rzeczywistej r symbol r oznacza liczbę całkowitą taką,że r r r), mamy n N nn n n n

2 n n. 5, N 4., N Prawie wszystkie (tzn. wszystkie poza skończenie wieloma) wyrazy ciągu leżą w otoczeniug,g punktu g. Jeśli ciąg nie ma granicy właściwej nazywamy go rozbieżnym. Mówimy,że ciąg a n ma granicę niewłaściwą i piszemy lim n a n jeśli n N a n M. M NN nn Analogicznie lim n a n jeśli m NN n N a n m. nn Z definicji wynika,że dla dowolnego ciągu a n zachodzi dokładnie jedna z następujących możliwości: ) istnieje dokładnie jedna granica właściwa lim n a n g R ) lim n a n 3) lim n a n 4) nie istnieje granica właściwa ani niewłaściwa. Przykład Ciąg a n r n, gdzie r R jest ustaloną liczbą. lim n a n gdy r, gdy r, gdy r, nie istnieje gdy r.

3 Własności granic ciągów W rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych R R, określamy pewne działania na symbolach, przyjmując: a dla a R a dla a R a dla a a dla a a a dla a R, dla a a dla a, a dla a Natomiast poniższe symbole to symbole nieoznaczone:,, n n, n n n, n n3 n Jeśli ciągi a n i b n mają granice właściwe lub niewłaściwe, c R, to - o ile symbole po prawych stronach nie są nieoznaczone - mamy:. lim n a n b n lim n a n lim n b n. lim n a n b n lim n a n lim n b n 3. lim n ca n c lim n a n 4. lim n a n b n lim n a n lim n b n a 5. lim n n b n 6. lim n c c n lim an lim n bn o ile lim n b n b 7. lim n a n n lim n a n n lim bn Twierdzenie Ciąg a n jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy spełnia następujący warunek Cauchy ego: NN m,nn n m N a n a m Twierdzenie (o porównywaniu granic) Jeśli a n b n (a n b n ) dla n n oraz lim n a n a, lim n b n b, to a b. Twierdzenie (o trzech ciągach) 3

4 Jeśli a n b n c n dla n n oraz lim n a n lim n c n g, to lim n b n g. Szkic dowodu: Wniosek: lim n a n wtedy i tylko wtedy gdy lim n a n. Szkic dowodu: Na mocy twierdzenia o trzech ciągach: g a n b n c n g dla n N a n a n dla n N a n a n a n n Twierdzenie Jeśli ciąg a n jest zbieżny, to jest ograniczony, tzn. Szkic dowodu: M,mR m a n M. nn g a n g dla n N mina,., a N a n maxa,.,a N dla n N zatem dla wszystkich n N. m ming,a,.,a N a n maxg,a,.,a N M Monotoniczność ciągów można równoważnie (ponieważ pomiędzy dowolnymi dwiema liczbami naturalnymi jest skończenie wiele liczb naturalnych) zdefiniować warunkami: a n jest ciągiem rosnącym (odp.: niemalejącym, nierosnącym, malejącym), gdy a n a n (odp.:,, ) nn Twierdzenie Jeśli ciąg a n jest ograniczony z góry i niemalejący (odp.: ograniczony z dołu i nierosnący), to jest zbieżny oraz 4

5 Szkic dowodu: u a N a n u u lim n a n u supa n : n N odp. : lim n a n l infa n : n N. dla n N Podciągiem ciągu a n nazwiemy każdy taki ciąg x k,że x k a nk kn gdzie n k jest pewnym rosnącym ciągiem liczb naturalnych Przykład a n n n n, ; 3 ; 3 4 ; 4 5 ; 5 6 ; 6 7 ;... lim n a n nie istnieje x k a k k k k k k, 3 ; 4 5 ; 6 7 ;... lim x k lim a k. k k Fakt Jeśli lim n a n A, to dla dowolnego podciągu a nk ciągu a n zachodzi lim a nk A. k Twierdzenie (Bolzano-Weierstrassa) Jeśli ciąg a n jest ograniczony (z góry i z dołu), to istnieje jego podciąg a nk, który jest zbieżny. Granice niektórych ważnych ciągów ) lim n n p gdy p gdy p gdy p a ) lim n n n p gdy a gdy a 5

6 3) lim n n p gdy p wskaz.: dla p ; p c n a n 4) lim n n n 5) Zadanie Ile da zł po roku przy lokacie na % rocznie i dopisywaniu odsetek: a) co kwartał b) co miesiąc c) co tydzień d) co sekunda? Twierdzenie Ciąg o wyrazie ogólnym a n n n jest ograniczony z góry (np. przez 3 i rosnący, a zatem jest zbieżny n Liczba e (Eulera): a n n n ; n,..., 5 e lim n n n sup n n : n N e

7 Twierdzenie e!!!... n! nn! (gdzie! ). Wniosek Liczba e jest niewymierna. Uwaga Co więcej - liczba e jest przestępna, tzn. nie jest rozwiązaniemżadnego równania z współczynnikami a,a,...,a n wymiernymi. Twierdzenie Jeśli lim n x n lub lim n x n, to a n x n...a x a lim n x n xn e. Granice funkcji Niech f : D f R, przy czym a; x x ; b D f. (granicy właściwej w punkcie) - Cauchy ego ( ) Mówimy,że g R jest granicą fx, przy x dążącym do x, i piszemy gdy lim fx g xx x x fx g. xd f [wartości fx funkcji f są dowolnie blisko liczby g dla wszystkich x x oraz x x, odpowiednio bliskich x (ale różnych od x )]. Twierdzenie (równoważność definicji Cauchy ego z definicją Heine go) g lim xx fx wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciągu x n takiego,że x n x przy wszystkich n, mamy lim n x n x lim n fx n g Wniosek Zasady liczenia granic i własności granic ciągów przenoszą się na granice funkcji. (granic właściwych jednostronnych w punkcie) Mówimy,że g R jest granicą fx, przy x dążącym do x z prawej strony, i piszemy 7

8 gdy fx xx lim fx g, x x x fx g. xd [wartości fx funkcji f są dowolnie blisko liczby g dla wszystkich x x, odpowiednio bliskich x (ale różnych od x )]. Analogicznie: Mówimy,że g jest granicą fx, przy x dążącym do x z lewej strony, i piszemy gdy Twierdzenie g lim xx fx wtedy i tylko wtedy, gdy Przykłady ) Granica lim x x nie istnieje, gdyż: x x x lim x, natomiast lim x x x fx xx lim fx g, x x x fx g. xd lim fx g lim fx xx xx x y x x ) Funkcja może mieć granicę właściwą w punkcie, który nie należy do jej dziedziny. 8

9 x.6.8 lim x sinx x 3) Funkcja może nie miećżadnej z granic jednostronnych w punkcie (który należy do jej dziedziny) x fx sin x gdy x gdy x lim x sin x nie istnieje Niech ; a b; D f. granicy właściwej w Mówimy,że g R jest granicą fx, przy x dążącym do, i piszemy gdy lim fx g x 9

10 L x L fx g. xd [wartości fx funkcji f są dowolnie blisko g dla wszystkich odpowiednio dużych x ]. granicy właściwej w lim fx g gdy x x l fx g. l xd [wartości fx funkcji f są dowolnie blisko g dla wszystkich odpowiednio małych x ] x fx x x dla x lim fx lim fx x x Asymptoty poziome Prosta y g jest poziomą asymptotą wykresu funkcji y fx jeśli zachodzi przynajmniej jedna z równości: lim fx g x lim fx g x Granice niewłaściwe Definicje granic niewłaściwych (;) w punkcie lub w ; ) lim xx fx gdy

11 M x x fx M. xd [wartości fx funkcji f są dowolnie duże dla wszystkich x x oraz x x, odpowiednio bliskich x ] x 3 4 ) lim xx fx gdy m fx x dla x x x fx m. xd [wartości fx funkcji f są dowolnie małe dla wszystkich x x oraz x x, odpowiednio bliskich x ]. - - x fx dla x x 4 Asymptoty pionowe Prosta x a jest pionową asymptotą wykresu funkcji y fx jeśli zachodzi przynajmniej jedna z równości:

12 lim fx xa lim fx xa lim fx xa lim fx xa x fx tgx 8 6 y 4 - x fx x lim x x lim x x 3) lim x fx gdy

13 m L x L fx m. xd 4 x ) lim x fx gdy M l fx x x l fx M. xd x Pewne granice funkcji sinx ) lim x x ) lim x x x lim n n n e a 3) lim x x x lna log e a fx x 3

14 a x y lim a x x x lim y y log a y lim y log a y y log a e log ea lna lnx log e x x fx lnx a 4) lim x x gdy a x p Ciągłość funkcji Niech f : D R, oraz x a; b D. Mówimy,że funkcja f jest ciągła w punkcie x gdy tzn gdy Przykłady fx lim xx fx x x fx fx xd 4

15 x.6.8 fx sinx x gdy x gdy x x 4 fx x Niech f : a; b R, Mówimy,że: ) funkcja f jest ciągła w punkcie a gdy 5

16 fa lim xa fx ) funkcja f jest ciągła w punkcie b gdy fb lim xb fx Niech f : D R. Mówimy,że funkcja f jest ciągła w zbiorze D gdy jest ciągła w każdym punkcie x D, tzn.: x D x x fx fx. xd Niech f : D R. Mówimy,że funkcja f jest jednostajnie ciągła w zbiorze D gdy x D xd x x fx fx Twierdzenie Jeśli funkcja jest jednostajnie ciągła w zbiorze D, to jest ciągła w zbiorze D (ale nie na odwrót). Przykład x fx x dla x Niech f : D R. Mówimy,że funkcja f spełnia warunek Lipschitza gdy L x D xd fx fx L x x 6

17 Przykład x fx sinx Twierdzenie Jeśli funkcja spełnia warunek Lipschitza w zbiorze D, to jest jednostajnie ciągła w zbiorze D (ale nie na odwrót). Przykład f jest jednostajnie ciągła ale nie spełnia warunku Lipschitza x Własności funkcji ciągłych Twierdzenie fx x dla x Jeśli funkcje f oraz g są ciągłe w punkcie x, to funkcje f g, f g, cf, f g, oraz f g (przy założeniu,że gx ) są ciągłe w punkcie x. Jeśli ponadto funkcja h jest ciągła w punkcie y fx, to funkcja hf jest ciągła w punkcie x 7

18 lim hfx hy xx h lim xx fx h flim xx x. Twierdzenie (o zachowaniu znaku) Jeśli f jest funkcją ciągłą w punkcie x oraz fx, to istnieje takie,że fx dla x x, x. Twierdzenie (własność Darboux) Jeśli f jest funkcją ciągłą na przedziale domkniętym a, b i jeśli fa c fb lub fb c fa, to istnieje x c a,b, takie,że fx c c. Wniosek Jeśli f jest funkcją ciągłą na przedziale domkniętym a, b i fafb, to istnieje x a, b, takie,że fx. Przykład zastosowania - metoda bisekcji Podać przybliżenie rozwiązania równania x x z dokładnością do x Funkcja f : D R ma w punkcie x D maximum (odp.:ścisłe maximum; minimum; ścisłe minimum) globalne, gdy xd xx fx fx (odp.: ; ; ) Funkcja f : D R ma w punkcie x D maximum (odp.:ścisłe maximum; minimum; 8

19 ścisłe minimum) lokalne, gdy x x fx fx (odp.: ; ; ) xd Uwaga ) Maxima i minima nazywamy ekstremami ) Każde globalne ekstremum jest ekstremum lokalnym Twierdzenie (Weierstrassa o osiąganiu kresów) Jeśli funkcja f jest ciągła na przedziale domkniętym a; b, to jest ograniczona, tj. M supfx : x a; b m inffx : x a; b oraz osiąga swoje kresy, tj. istnieją punkty x M, x m a; b, w których f ma maximum i minimum lokalne: fx M M; fx m m 9