Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje

Transkrypt

1 Funkcje Andrzej Musielak 1 Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa jest postaci f(x) = a x + b, gdzie a, b R Wartość a to tangens nachylenia wykresu do osi Ox, natomiast b to wartość funkcji w punkcie x=0. Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkty A(-1,4) i B(,-). Szukane równanie to y = a x + b. Ponieważ punkty A i B spełniają to równanie więc po podstawieniu mamy: 4 = a ( 1) + b oraz = a + b i po rozwiązaniu tego układu równań otrzymujemy a=- i b=. Szukana prosta to y = x +. Wielomiany Wielomian to funkcja postaci f(x) = a 0 x n + a 1 x n a n x + a n 1 x + a n Stopień wielomianu to najwyższa potęga x, dla której współczynnik przed nią stojący jest różny od zera. Przykładowo wielomian stopnia to trójmian kwadratowy f(x) = ax + bx + c: lub też wielomian trzeciego stopnia:

2 Funkcje Andrzej Musielak Miejsca zerowe funkcji wielomianowej - schemat Hörnera f(x) = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x + a n Dla jakich x spełniona jest nierówność x 3 9x + 3x 15 > 0 Najpierw rozkładamy wielomian na czynniki. Jeżeli miejsca zerowe są całkowite to są podzielnikami wyrazu wolnego. Sprawdzamy, że np x 0 = 1 jest miejscem zerowym i dzielimy wielomian przez x-1 a 0 a 1 a a x 0 b 0 b 1 b reszta Otrzymaliśmy, że x 3 9x + 3x 15 = (x 1)(x 8x + 15) Rozkładamy teraz wielomian x 8x + 15 na czynniki zauważając, że x 0 = 3 jest miejscem zerowym i dzielimy wielomian przez x-3 a 0 a 1 a x 0 b 0 b 1 reszta Otrzymaliśmy, że x 3 9x + 3x 15 = (x 1)(x 8x + 15) = (x 1)(x 3)(x 5) > 0 Zatem wielomian ten przyjmuje wartości dodatnie dla x (1, 3) (5, ) [Jest to tzw. metoda wężykowa ] Postać kanoniczna trójmianu kwadratowego to: ax + bx + c = a(x p) + q, gdzie p = b a, q = 4a. Znaleźć postać kanoniczną funkcji f(x) = 4x 3x + 7. Korzystając z podanych wzorów: f(x) = 4(x 3 8 ) Podać wzór funkcji kwadratowej o wierzchołku w punkcie (-3,) i przechodzącej przez punkt (0,5). Wierzchołek to oczywiście punkt o współrzędnych (p,q) zatem p = b = 3 b = 6a, a q = 4a = 36a +4ac = 9a + c = c = + 9a 4a. Czyli nasza funkcja to f(x) = ax + 6ax + + 9a. Ale skoro f(0) = 5 to + 9a = 5 a = 1 3. Zatem f(x) = 1 3 x + x + 5. Wzory skróconego mnożenia (a + b) = a + ab + b (a b) = a ab + b (a + b) 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3 (a b) 3 = a 3 3a b + 3ab b 3 a b = (a + b)(a b) a 3 b 3 = (a b)(a + ab + b ) a 3 + b 3 = (a + b)(a ab + b ) Obliczyć wartość wyrażenia (x 1) (x +x+1)(x+1) (x 3 1)(x 1). Korzystając z wzorów mamy: (x 1)(x 1)(x +x+1)(x+1) ((x 1)(x +x+1))(x 1)(x+1) = 1 Wartość bezwzględna i funkcja sgn() x, dla x 0 Wartość bezwzględna to: x = { x, dla x < 0 Natomiast funkcja sgn (czyli znak liczby) to: sgn(x) = Rozwiązać nierówność x 5 < 3 Należy rozpatrzeć dwa przypadki 1 0 gdy x 5 0 oraz 0 gdy x 5 < 0 1, dla x 0 0, dla x = 0 1, dla x < 0

3 Funkcje Andrzej Musielak Wtedy x 5 = x 5 czyli nasza nierówność to x 5 < 3 czyli x < 8 ale x 5 czyli x < 5, 8) 0 Wtedy x 5 = (x 5) czyli nasza nierówność to x + 5 < 3 czyli x < czyli x > ale x < 5 czyli x (, 5) Ponieważ całkowite rozwiązanie jest sumą obu rozwiązań więc x (, 8) Funkcja potęgowa f(x) = x k, k R Prawa potęg: Prawa pierwiastków: x n x m = x n+m n x y = n x n y (x 0, y 0) x n = x n m (x 0) x m n x y = n x n (x 0, y > 0) y (x n ) m = x n m n x m = ( n x) m (x 0) (x y) n = x n y n n m x = n m x (x 0) ( x y )n = xn (y 0) x m y n n = n x m (x 0) x = x Obliczyć wartość (( 1 9 ) ) 1,8 (( 1 9 ) ) 1,8 = ( ) = (3 9 ) = 3. Obliczyć wartość ( 3 8)

4 Funkcje Andrzej Musielak 4 ( 3 8) = ((( 3 ) 1 ) 1 3 ) 3 5 (3 3 ) 5 ( 3) 15 = =. Funkcja homograficzna: Jest to funkcja postaci f(x) = ax+b cx+d gdzie a, b, c, d R c 0, ad bc 0 Funkcja wykładnicza f(x) = a x, a R + Gdy a > 1 funkcja jest rosnąca a przy a < 1 funkcja jest malejąca. Zawsze a x jest dodatnie. Rozwiązać równanie 8 x+1 4 x 1 = 0. ( 3 ) x+1 = ( ) x 1 3(x+1) = (x 1) 3x+3 = 4x 3x + 3 = 4x x = 5 Rozwiązać równanie: 5 x x = 0 Korzystamy z własności potęg i otrzymujemy: 5 (5 x ) 30 5 x + 5 = 0 Dzielimy równanie przez 5 i podstawiamy t = 5 x. t 6t + 5 = 0 = 36 0 = 16 t 1 = 5, t = 1 Należy podstawić t 1 = 5 x 5 x = 5 1 x = 1 oraz t = 5 x 5 x = 5 0 x = 0. Rozwiązać nierówność: 5 ( 5 )x ( 4 5 )x Korzystając z własności potęg mamy ( 5 )x 1 ( 5 )x Ponieważ przy a < 1 funkcja a x jest malejąca to powyższa nierówność równoważna jest x 1 x x 1

5 Funkcje Andrzej Musielak 5 Funkcja logarytmiczna Jeżeli y = a x to x = log a (y) albo inaczej y = log a (x), a R +, a 1 Funkcja log a (x) jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej Wartość y = log a (x) obliczamy w ten sposób: do jakiej potęgi trzeba podnieść a aby otrzymać x? Prawa logarytmów: log p x + log p y = log p (x y) log p x log p y = log p ( x y ) log p x n = n log p x log p x = log q x log q p log p p = 1 Wiedząc, że log 5, 3 obliczyć log 10 oraz log 0, 4. log 10 = log ( 5) = log + log 5 = 1 +, 3 = 3, 3 log 0, 4 = log 5 = log log 5 = 1, 3 = 1, 3 Rozwiązać nierówność log 1 3 x log 7 8 Korzystamy z wzoru na zmianę podstawy logarytmu. log 7 8 = log 1 3 Stąd 3 log 1 3 x log (zmiana znaku bo mnożyliśmy przez liczbę ujemną!) log 1 3 x 3 log x 3 3 x 3 ( 1 ) 3 (zmiana znaku bo przy a < 1 log jest funkcją malejącą!) x 3 ( 1 )3 x 1. Funkcje trygonometryczne y = f(x) = sin(x), f(x) = cos(x), f(x) = tg(x), f(x) = ctg(x) Przykładowe wzory trygonometryczne: sin x + cos x = 1 dla każdego x R sin x = sin x cos x cos x = cos x sin x sin 1 cos x x = 1+cos x cos x = Obliczyć sin 10 0, cos 10 0, tan 585 0, sin( ). sin 10 0 = sin 60 0 = 3 cos 10 0 = cos = cos 30 0 = 3 tan = tan( π) = tan 45 0 = 1 sin( ) = sin( π) = sin 45 0 =. Rozwiązać równanie sin x cos x = 8 log 13 7 = log

6 Funkcje Andrzej Musielak 6 sin x cos x = sin x (1 sin x) = sin x + sin x 1 = sin x + sin x 1 = sin x + sin x + 1 = 0 (podstawienie sin x = t) t + t + 1 = 0 (t + 1) = 0 t = 1 czyli sin x = 1 a to jest spełnione gdy x = 3 π + kπ, k C Funkcje cyklometryczne y = f(x) = arcsin(x), f(x) = arccos(x), f(x) = arctan(x), f(x) = arcctg(x) Jeżeli y = sin(x) to x = arcsin(y) albo inaczej y = f(x) = arcsin(x), x < 1, 1 >

7 Funkcje Andrzej Musielak 7 Funkcja arcsin(x) jest funkcją odwrotną do funkcji sin(x) Analogicznie y = f(x) = arccos(x), x < 1, 1 > jest funkcją odwrotną do funkcji cos(x) Dziedziną funkcji arcsin(x) oraz arccos(x) jest zbiór < 1, 1 > Jeżeli y = tan(x) to x = arctan(y) jest funkcją odwrotną do funkcji tan(x) Analogicznie jeżeli y = ctg(x) to x = arcctg(y) jest funkcją odwrotną do funkcji ctg(x) Obliczyć arcsin 1 3 arctan 3 3 Oznaczmy sobie arcsin 1 = t. Z definicji funkcji wynika, że to jest równoważne sin t = 1 czyli t = π 6. Analogicznie oznaczmy arctan 3 3 = t. Z definicji funkcji wynika, że to jest równoważne tan t = 3 3 czyli t = π 6. Zatem arcsin 1 3 arctan 3 3 = π 6 3 π 6 = π 6 Ćwiczenia 1.Narysuj wykres funkcji: a) f(x) = (x ) + 3 b) f(x) = x 1 1 c) f(x) = log 3 (x 3) d) f(x) = 3 4x x+1 e) f(x) = x f) f(x) = 1 + sin(x + π ).Oblicz wartość: a) ( ) b) 6 3 (6 ) 5 ( 1 36 )6 c) 5 3 (0, 5) 6 d) sin x, gdy cos x = 7 3.Rozwiąż równania i nierówności: a) x + = 3 x b) x + x + 4 < 0) c) 5x x + 6x + 1 > 0 d) 3x 3 x x 1 < 0 e) 3x 4x 7 1 3x 5 4x f) x 3 x > 6 4.Rozwiąż równania i nierówności: a) 5x x + 6x + 1 = 0 b) 7 x+3 = 3 81 x c) 5 x 3 5 x 10 > 0 d) log 5 x log 5 36 e) log(x + 1) + log(x ) = log(x + ) f) log g) cos x = cos x + 1 h) 3 cos(5x + π ) =