1 Relacje i odwzorowania

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "1 Relacje i odwzorowania"

Transkrypt

1 Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X jest zwrotna, przeciwzwrotna, symetryczna, przeciwsymetryczna, przechodnia, antysymetryczna, spójna, jeśli: a) X = N, kρn n k, b) X = R, xρy x = y, c) X = R, xρy x < y, d) X = R, xρy x y =, e) X = R, xρy sgnx = sgny, f) X = R, xρy x + y = 3 Sprawdzić, czy określona w zbiorze R, relacja AρB A B jest: a) częściowym porządkiem, b) liniowym porządkiem 4 W zbiorze R określamy relację x x ρ y czy ρ jest: a) częściowym porządkiem, b) liniowym porządkiem 5 W zbiorze R określamy relację x x ρ y y y x + x y + y Sprawdzić, x < y (x = y x < y ) (x = y x = y ) Sprawdzić, czy ρ jest: a) częściowym porządkiem, b) liniowym porządkiem 6 Niech f : R R będzie dowolną funkcją Sprawdzić, czy określona w zbiorze R relacja xρy f (x) f (y) jest: a) częściowym porządkiem, b) liniowym porządkiem 7 W zbiorze X = {a, b, c, d} określona jest relacja ρ = {(a, a), (b, b), (b, c), (c, c), (c, b), (d, d), (d, e), (e, d)} Wykazać, że ρ jest relacją równoważności i podać podział na klasy abstrakcji Zapis n k oznacza, że liczba n jest dzielnikiem liczby k

2 8 Sprawdzić, czy ρ X X jest relacją równoważności, jeśli: a) X = N, kρn k n = 3p p C b) X = N, kρn k + n = 3p, p N c) X = R, xρy x = y, d) X = R, xρy sin x = sin y, e) X = R, xρy x + x = y + y Jeśli ρ jest relacją równoważności, to podać podział na klasy abstrakcji 9 Niech f : R R będzie dowolną funkcją Sprawdzić, czy określona w zbiorze R relacja xρy f (x) = f (y) jest relacją równoważności W zbiorze R określamy relację x y ρ x y = k x y = k x y k C a) Wykazać, że ρ jest relacją równoważności b) Wyznaczyć klasę abstrakcji W zbiorze R określamy relację x x ρ y y x x = y y a) Wykazać, że ρ jest relacją równoważności b) Podać ilustrację graficzną klasy abstrakcji W zbiorze X = R {} określamy relację xρy (x y) ( x y ) = a) Wykazać, że ρ jest relacją równoważności b) Wyznaczyć klasę abstrakcji 3 W zbiorze R określamy relację xρy x y = k k C a) Wykazać, że ρ jest relacją równoważności b) Wyznaczyć klasę abstrakcji 4 W zbiorze W określamy relację xρy x y = k k C a) Wykazać, że ρ jest relacją równoważności b) Wyznaczyć klasę abstrakcji

3 5 W zbiorze R określamy relację xρy w W a) Wykazać, że ρ jest relacją równoważności b) Wyznaczyć klasę abstrakcji x y = w 6 W zbiorze N określamy relację x x ρ y y x y = x y a) Wykazać, że ρ jest relacją równoważności b) Wyznaczyć klasę abstrakcji 7 W zbiorze R określamy relację x x ρ y a) Wykazać, że ρ jest relacją równoważności b) Wyznaczyć klasę abstrakcji 3 y 8 W zbiorze R określamy relację x x ρ y a) Wykazać, że ρ jest relacją równoważności b) Wyznaczyć klasę abstrakcji π π y 9 W zbiorze R określamy relację x x ρ y a) Wykazać, że ρ jest relacją równoważności 4 b) Wyznaczyć klasę abstrakcji π π 4 Odwzorowania Sprawdzić, czy relacja f jest odwzorowaniem: a) f = {(n, y) N W : n + y 3 = }, b) f = {(n, k) N N : n + k = }, b) f = {(x, y) R : x = y}, c) f = {(x, y) R : x = y }, d) f = {(x, y) R : sin x = sin y} y (x + x ) = (y + y ) sin (x x ) = sin (y y ) cos (x x ) = cos (y y ) 3

4 Niech f : R R, f (x) = x + x Wyznaczyć f (, ), f (R), f (, ), f ({}), f (, + )) Niech f : R R, f (x) = x + x Wyznaczyć f (, ), f (R), f (, ), f ({}), f (R) 3 Niech f : R R, f (x) = sin x Wyznaczyć f ( π, π ), f (R), f ({}), f (, ), f (R) 4 Wyznaczyć złożenie g f funkcji: a) f : R R, f (x) = x, g : R R, g (x) = x b) f : R + R, f (x) = x, g : R R +, g (x) = x 5 Wyznaczyć złożenie g f i f g funkcji f : R + {} R, f (x) = log x, g : R R + {}, g (x) = x 6 Zbadać różnowartościowość funkcji: a) f : R { } R, f (x) = x, x+ b) f : (, + ) R, f (x) = ln x, c) f : R {} R, f(x) = arc tg( ), x d) f :, R, f (x) = arc sin x + arc cos x 7 Niech f : R R, f(x) = arc tg(3x ) a) Wykazać, że f jest bijekcją b) Wyznaczyć f ( ) 8 Niech f : R R x x + x, f = x x x a) Wykazać, że f jest bijekcją b) Wyznaczyć f b) Wyznaczyć f ( R+), f ({y R : y y }) 9 Niech f : R R, f ( x x a) Sprawdzić, czy f jest bijekcją ) b) Wyznaczyć f (B), gdzie B = 3 Niech f : R R, f ( x x a) Sprawdzić, czy f jest bijekcją ) b) Wyznaczyć f (B), gdzie B = R n + = {x R n : x j dla j =,,, n} = { y = x x y { y x x x x y R : y y x + x R : y y } } 4

5 3 Zbiory równoliczne 3 Wykazać, że przedział, jest równoliczny z dowolnym przedziałem a, b, gdzie a < b 3 Udowodnić, że suma dwóch zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym 33 Udowodnić, że zbiór N N jest przeliczalny 34 Udowodnić, że zbiór W jest przeliczalny 35 Niech (A n ) n N będzie rodziną zbiorów przeliczalnych Udowodnić, że zbiór A = jest przeliczalny 36 Udowodnić, że przedziały, + ) i (, + ) są równoliczne 37 Udowodnić, że przedziały (, i (, ) są równoliczne 38 Niech X W zbiorze X określamy relację Wykazać, że ρ jest relacją równoważności AρB zbiory A i B są równoliczne A n n N Elementy topologii Przestrzenie metryczne Wykazać, że kula otwarta jest zbiorem otwartym Wykazać, że funkcja d : R R R jest metryką, jeśli: a) d (x, y) = x y + x y, b) d (x, y) = max { x y, x y } 3 Narysować kule otwarte K (, ) R w metrykach: a) d (x, y) = (x y ) + (x y ) b) d (x, y) = x y + x y c) d (x, y) = max { x y, x y } 4 Wykazać, że funkcja d : X X R, d (x, y) = { dla x = y, dla x y, jest metryką 5 Sprawdzić, czy funkcja d : R R R, d (x, y) = x y jest metryką 6 Sprawdzić, czy funkcja d : R + R + R, d (x, y) = x y jest metryką 7 Sprawdzić, czy funkcja d : N N R, d (k, n) = jest metryką n k 5

6 8 Wyznaczyć punkty wewnętrzne, punkty skupienia i punkty izolowane zbioru A R n (w metryce pitagorejskiej) oraz sprawdzić, czy A jest zbiorem ograniczonym, otwartym, domkniętym jeśli: a) A = {} { : n n N}, b) A = {x R : sin x = }, c) A = {x R : nx = nx} 3, d) A = {x R : x (x + ) }, n= e) A = { ( ) n n n+ : n N } f) A = {x R : x = x x }, g) A = {( n, n) : n N }, h) A = {x R : x + x 4 x }, i) A = {x R : x sgnx = }, j) A = {x R : sin x sin x = } Ciągi w przestrzeniach metrycznych 9 Udowodnić, że jeśli ciąg (x n ) jest zbieżny to jest ograniczony (tzn istnieje taka kula K (x, r), że x n K (x, r) dla każdego n N Wyznaczyć ciągi zbieżne w dyskretnej przestrzeni metrycznej Wykazać domkniętość zbiorów: a) A = {x R : x + x 3}, b) A = {x R : x 3 + x 3 3}, c) A = {x R 4 : x + x + x 3 x 4 = 9} Czy zbiory te są zwarte? Wykazać, że każdy domknięty podzbiór zbioru zwartego jest zwarty 3 Wykazać, że każdy ciąg Cauchy ego jest ograniczony 3 Odwzorowania ciągłe 4 Korzystając z definicji Cauchy ego wykazać ciągłość funkcji: a) f (x) = sin x x, b) f (x) = sin x (wsk skorzystać ze wzoru lim = ) x x 5 Wykazać, że równanie ma rozwiązanie: a) x + sin x =, x (, π) b) xe x =, x (, ) c) x = ( ) x, 3 x (, ) d) x 3 x + 3 =, x (, ) e) e x = x, x (, ) f) log 3 x log 3 (x + ) + 3 x =, x (, ) g) 3 log 3 x log 3 (x + ) + x =, x (, ) 6 Wykazać, że równanie x = e x ma rozwiązanie w przedziale (, ) Czy to rozwiązanie jest wyznaczone jednoznacznie? Odpowiedź uzasadnić 7 Mówimy, że zbiór A X jest łukowo spójny wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych punktów x, y A istnieje ciągłe odwzorowanie f :, A takie, że f () = x, f () = y Udowodnić, że jeśli zbiór A X jest łukowo spójny, to jest spójny 8 Udowodnić, że każdy zbiór wypukły A R n jest spójny 3 x oznacza część całkowitą liczby x 6

7 4 Przestrzenie liniowe unormowane 9 Wykazać, że podana funkcja jest normą: a) x = x + x + x 3, x R 3 b) x = max { x, x, x 3 }, x R 3 c) f = sup { f (x) : x a, b }, f C ( a, b, R) d) f = b a f (x) dx, f C ( a, b, R) W przestrzeni C (,, R) z normą f = sup { f (x) : x, } obliczyć normy funkcji: a) f (x) = x, b) f (x) = xe x, c) f (x) = x 4 x W przestrzeni C (,, R) z normą f = f (x) dx obliczyć normy funkcji: a) f (x) =, b) f (x) = x x, c) f (x) = xe x +x W przestrzeni C (,, R) z normą f = f (x) dx obliczyć lim f n, gdzie (f n ) n C (,, R), jeśli: a) f n (x) = ( + n x) n dla n N, b) f n (x) = ( n x) n dla n N n 3 Obliczyć normę macierzy A (por przykład??) przy założeniu, że x = x i i= x R n, jeśli: 3 a) A =, b) A =, c) A =, d) A =, 3 e) A =, f) A =, g) A = dla 4 Mówimy, że określone w przestrzeni liniowej X normy, są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy ( x a x x b x ) a> b> x X a) Wykazać, że relacja równoważności norm jest zwrotna, symetryczna i przechodnia b) Udowodnić, że w przestrzeni R n wszystkie normy są równoważne 5 Ciągi i szeregi funkcyjne 5 Zbadać zbieżność punktową i jednostajną ciągu funkcyjnego: a) f n :, R, fn (x) = x n b) f n : R R, f n (x) = n +x c) f n : R R, f n (x) = sin x n d) f n : R R, f n (x) = sin ( ) x n) e) f n : R R, f n (x) = cos ( x n f) f n :, ) R, f n (x) = nxe nx g) f n : R R, f n (x) = h) f n : R R, f n (x) = nx i) f n : R R, f n (x) = nx+ j) f n : R R, f n (x) = x nx +5 n x +3 n x +3 nx + 7

8 k) f n : R R, f n (x) = nx n x +8 l) f n : R R, f n (x) = x exp ( x n ) ł) f n : R R, f n (x) = nx exp ( x n ) m) f n : R R, f n (x) = nx exp ( 8 x n ) 6 Wyznaczyć promień zbieżności szeregu potęgowego: a) n!x n, b) x n, c) n x n, d) n!x n n! n n= n= n= n n= n 7 Obliczyć sumę szeregu: a) n ( ) n, 3 b) n ( ) n, c) n ( ) n, d) n ( ) n 3 4 n= n= n= n= 3 Rachunek różniczkowy funkcji i odwzorowań wielu zmiennych 3 Funkcje i odwzorowania wielu zmiennych 3 Wyznaczyć składowe odwzorowania liniowego F : R 3 R określonego wzorem Wykazać, że F jest ciągłe F (x) = x x + x 3 x + 3x 3 Zbadać ciągłość funkcji: x x dla x, a) f : R R, f (x) = x + x dla x = x x b) f : R dla x, R, f (x) = x + x dla x = x c) f : R x, jeśli x R, f (x) = + x, x + x, jeśli x + x = d) f : R R, f (x) = sin (x x ), x jeśli x, x, jeśli x = 33 Zbadać ciągłość odwzorowania: a) F : R 3 R x sin (x x 3 ) 3x e x +x 3 x ln ( + x b) F : R 3 R ) x x 3 +(x +x +x 3 ) 4 x c) F : R R x x cos x d) F : R R x cos x x sin x 8

9 3 Pochodna odwzorowania 34 Obliczyć pochodną kierunkową funkcji f w punkcie x w kierunku wektora h, jeśli: a) f : R R, f (x) = e x sin x, x = π, h = b) f : R R, f (x) = e x +x, x =, h = c) f : R R, f (x) = (x + x ), x =, h = d) f : R 3 R, f (x) = x =, h = sin (x + x + x 3) x + x + x 3 dla x + x + x 3, dla x + x + x 3 =, 35 Obliczyć pochodną kierunkową odwzorowania F w punkcie x w kierunku wektora h, jeśli: a) F : R R x + x, x x sin x =, h = π b) F : R 3 R x x x 3 x + (x + x 3 ), x =, h = 36 Zbadać różniczkowalność funkcji f, jeśli f jest różniczkowalna, to wyznaczyć jej pochodne cząstkowe: a) f : R x x R, f (x) = + (x + x ) b) f : R 3 R, f (x) = x + x + x 4 sin (x x ) c) f : R dla x R, f (x) =, x x dla x = x 3 37 Niech f : R dla x, R, f (x) = x + x dla x = a) Wykazać, że dla każdego h R istnieje h f () b) Wykazać, że f nie jest różniczkowalna w punkcie 38 Niech f : R x R, f (x) = + x + x3 x dla x, x 4 + x dla x = a) Wykazać, że h f () = h + h dla każdego h R b) Wykazać, że f nie jest różniczkowalna w punkcie Wskazówka Założyć, że f jest różniczkowalna w, wówczas r (, h) = h3 h h n = n T n, pokazać, że warunek lim r(,h) = nie jest spełniony h h h 4 +h Przyjmując 39 Wykazać, że jeśli istnieje h f (x ), to αh f (x ) = α h f (x ) dla każdego α R 9

10 3 Wyznaczyć macierz Jacobiego odwzorowania F w dowolnym punkcie x, jeśli: a) F : R 3 R x (x x 3 ) x (x + x 3 ) b) F : R R x cos x x sin x x e x c) F : R R 3 x ln ( + x ) x arc tg x 3 Niech F : R 3 R będzie odwzorowaniem określonym wzorem F (x) = x + x e x 3 x x arc tg x 3 a) Wykazać, że odwzorowanie F jest różniczkowalne w każdym punkcie x R 3 b) Obliczyć h F (x ), gdzie h =, x = 3 Niech F : R 3 R będzie odwzorowaniem określonym wzorem F (x) = x x 3 ln ( + x ) x + x 3 x 3 a) Wykazać, że odwzorowanie F jest różniczkowalne w każdym punkcie x R 3 b) Obliczyć h F (x ), gdzie x =, h = 33 Niech F : R 3 R będzie odwzorowaniem określonym wzorem F (x) = x e x 3 x x + x sin x 3 a) Wykazać, że odwzorowanie F jest różniczkowalne w każdym punkcie x R 3 b) Obliczyć h F (x ), gdzie h =, x = 34 Niech f : R R będzie funkcją określoną wzorem a) Obliczyć h f (), gdzie h = b) Sprawdzić, czy istnieje f () x x dla x, f (x) = x + x dla x =

11 35 Niech f : R R będzie funkcją określoną wzorem a) Obliczyć h f (), gdzie h = b) Sprawdzić, czy istnieje f () x 3 x dla x, f (x) = x + x dla x = 36 Niech f : R R będzie funkcją określoną wzorem a) Obliczyć h f (), gdzie h = b) Sprawdzić, czy istnieje f () x + 3x dla x, f (x) = x + x dla x = 37 Wyznaczyć równanie hiperpłaszczyzny stycznej w punkcie x do wykresu funkcji f, jeśli: a) f (x) = 3x + x x, x = b) f (x) = x sin x x x, x = π c) f (x) = x x + x 3, x = T d) f (x) = x e x +x 3, x = T e) f (x) = x arc tg ( x x 3 ), x = T 38 Wyznaczyć równanie stycznej do elipsy x a +x b = w dowolnym punkcie x() należącym do tej elipsy 39 Wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni x = T x + x = x 3 w punkcie 3 Sprawdzić, czy h jest wektorem wzrostu (spadku) wartości funkcji f w punkcie x, jeśli: a) f (x) = x 3 x, x =, h () =, h () = b) f (x) = x x, x =, h () =, h () = c) f (x) = ln ( + x + x ), x =, h () =, h () = d) f (x) = e x x, x =, h () =, h () =

12 33 Lokalna odwracalność odwzorowań 3 Niech F : R R x x x + x Wykazać, że F jest lokalnie odwracalne w punkcie x = Wyznaczyć pochodną odwzorowania odwrotnego w punkcie y = F (x ) Sprawdzić, czy F jest globalnie odwracalne x 3 Niech F : R R 4 x 3 x 5x Wykazać, że F jest lokalnie odwracalne w punkcie x = Wyznaczyć pochodną odwzorowania odwrotnego w punkcie y = F (x ) Sprawdzić, czy F jest globalnie odwracalne x x + x x 3 33 Niech F : R 3 R 3 x x Wykazać, że F jest lokalnie odwracalne x + x + x 3 w punkcie x = T Wyznaczyć pochodną odwzorowania odwrotnego w punkcie y = F (x ) Sprawdzić, czy F jest globalnie odwracalne e 34 Wykazać, że odwzorowanie F : R R x cos x e x jest lokalnie odwracalne sin x w każdym punkcie x R Sprawdzić, czy F jest globalnie odracalne 35 Niech F : D R, gdzie D = {x R : x + x > }, będzie odwzorowaniem określonym wzorem ln (x + x F (x) = ) x x a) Sprawdzić, czy odwzorowanie F jest lokalnie odwracalne w każdym punkcie x D b) Sprawdzić, czy F : D F (D) jest bijekcją 36 Niech F : R R będzie odwzorowaniem określonym wzorem F (x) = exp (x + x ) x x a) Wykazać, że odwzorowanie F jest lokalnie odwracalne w każdym punkcie x R b) Sprawdzić, czy F : R F (R ) jest bijekcją 37 Niech F : R R będzie odwzorowaniem określonym wzorem F (x) = x sin x x x a) Wykazać, że odwzorowanie F jest lokalnie odwracalne w punkcie x = b) Wyznaczyć ( (F U ) (y ) ), gdzie y = F (x ), a U jest takim otoczeniem punktu x, że F U : U F (U) jest bijekcją π

13 38 Niech F : R R będzie odwzorowaniem określonym wzorem F (x) = x + x x cos x a) Wykazać, że odwzorowanie F jest lokalnie odwracalne w punkcie x = π b) Wyznaczyć ( (F U ) (y ) ), gdzie y = F (x ), a U jest takim otoczeniem punktu x, że F U : U F (U) jest bijekcją 39 Zbadać lokalną i globalną odwracalność odwzorowań: a) F : R R 3x x x + 4x x b) F : R R + x x + x c) F : R R x + x x + x d) F : R R x sin (x x ) x cos x exp e) F : R R (3x x ) x x f) F : R R x + 3x exp (x x ) 33 Współrzędnymi biegunowymi punktu x = x x R nazywamy liczby ϕ, π), r, + ) takie, że x = r cos ϕ, x = r sin ϕ Wyznaczyć jakobian (w punktach, w których ( ) istnieje) odwzorowania odwrotnego do odwzorowania F :, π), + ) R, r r cos ϕ F = ϕ r sin ϕ 33 Korzystając ze wzoru (f (y )) = f (x wykazać, że: ) a) (arc sin x) = x, b) (arc cos x) = x, c) (arcctgx) = +x 34 Odwzorowania uwikłane 33 Wyznaczyć pochodną funkcji uwikłanej y = g (x) w punkcie x określonej warunkami: a) x 3 xy + 3y x =, x = b) x 3 + y 3 + y =, x = c) x y = y x, g () = 333 Obliczyć pochodną w punkcie x = funkcji uwikłanej y = g (x) określonej równaniem arc tg (xy) + x + y = 334 Obliczyć pochodną w punkcie x = funkcji uwikłanych y = g (x) określonych równaniem arc tg (xy) + x + + y = 3

14 335 Obliczyć pochodne cząstkowe funkcji uwikłanej y = g (x, x ) określonej warunkami: a) e y + y x x =, g (, ) = b) x + x + y + 6y =, g (, ) = 6 c) y ln (x + y) x x y =, g (, ) = 336 Wyznaczyć wszystkie takie wartości y, że równanie y y + x + x = gdzie x =, x =, generuje różniczkowalne funkcje uwikłane y = g (x, x ) określone w pewnym otoczeniu punktu (, ) Wyznaczyć g (, ) 337 Wyznaczyć wszystkie takie wartości y, że równanie y y + e x + x y 3 = gdzie x =, x =, generuje różniczkowalną funkcję uwikłaną y = g (x, x ) określoną w pewnym otoczeniu punktu (, ) Wyznaczyć g (, ) 338 Wyznaczyć wszystkie takie wartości y, że równanie x 3 cos (x + x ) + tg (y + x ) =, gdzie x =, x =, generuje różniczkowalne funkcje uwikłane y = g (x, x ) określone w pewnym otoczeniu punktu (, ) Wyznaczyć g (, ) 339 Wyznaczyć wszystkie takie wartości y, że równanie 3x 3 + sin (x ) + tg (y + x ) =, gdzie x =, x =, generuje różniczkowalne funkcje uwikłane y = g (x, x ) Wyznaczyć g (, ) 34 Wyznaczyć wszystkie takie wartości y, że równanie 3 (x + x ) 3 + x y + y + x =, gdzie x =, x =, generuje różniczkowalną funkcję uwikłaną y = g (x, x ) Wyznaczyć g (, ) 34 Obliczyć pochodne cząstkowe różniczkowalnych funkcji uwikłanych y = g (x, x ) określonych równaniem 3x 3 + e x + ln y + =, gdzie x =, x = 34 Obliczyć pochodne cząstkowe różniczkowalnych funkcji uwikłanych y = g (x, x ) określonych równaniem e 3x + 4x + ln y 6 =, gdzie x =, x = 4

15 343 Obliczyć pochodne cząstkowe różniczkowalnych funkcji uwikłanych y = g (x, x ) określonych równaniem x 3 + sin (x y) + tg (y + x ) =, gdzie x =, x = 344 Wykazać, że w pewnym otoczeniu punktu x istnieje odwzorowanie uwikłane y = G (x) wyznaczone przez układ równań F (x, y) = i spełniające warunek y = G (x ) oraz obliczyć G (x ), jeśli: a) F (x, y) = b) F (x, y) = c) F (x, y) = F (x, y ) = x + y + y x + y 3 + y 4, x =, y = x y x y, x x y + x y = x cos y + x sin y x y x y, y = 4 Elementy teorii miary i całki 4 Elementy teorii miary, a y należy wyznaczyć z układu F (x, y ) = π 4 Udowodnić, że jeśli B X jest algebrą, to: a) B, b) A, A,, A k B A A A k B dla każdego k N, c) A, B B A B B, d) A, B B A B B 4 Udowodnić, że jeśli A X jest σ-algebrą, to: a) A jest algebrą, b) A n A A n A n N n= π, a x należy wyznaczyć z układu 43 Sprawdzić, czy rodzina B X jest algebrą, σ-algebrą, jeśli: a) X = {x, x, x 3, x 4 }, B = {, X, {x }, {x, x 3 } {x, x 3, x 4 }} b) X = R, B składa się ze zbiorów postaci (k n, l n, gdzie k n, l n C, i ich dopełnień (jeśli k n l n, to (k n, l n = ) 4 c) X = R, B składa się ze zbiorów postaci (jeśli a m b m, to (a m, b m = ) 5 d) X = R, a B jest określona warunkiem m= n= (a m, b m, gdzie a m, b m W, i ich dopełnień A B A jest zbiorem otwartym lub A jest zbiorem otwartym e) X = R, a B jest określona warunkiem A B A jest zbiorem ograniczonym lub A jest zbiorem ograniczonym 4 C oznacza zbiór wszystkich liczb całkowitych 5 W oznacza zbiór wszystkich liczb wymiernych 5

16 f) X = N, a B jest określona warunkami, N B oraz jeśli A B i A, A N, to A składa się z liczb parzystych lub A składa się z liczb parzystych g) X = R, a B jest określona warunkiem h) X = R, a B jest określona warunkiem A B (, A) (, A ) A B (, A ) (, A ) i) X = R, a B jest określona warunkiem j) X = R, a B jest określona warunkiem A B (5 A) (5 A ), A B (A N) (A N) 44 Niech ν : N R będzie funkcją numeryczną określoną wzorem ( ) k, jeśli A jest zbiorem skończonym, ν (A) = k A, jeśli A jest zbiorem nieskończonym a) Obliczyć ν (A), gdzie A jest zbiorem wszystkich liczb parzystych mniejszych od b) Obliczyć ν (B), gdzie B jest zbiorem wszystkich liczb podzielnych przez przez 3 c) Wykazać, że ν (A A ) = ν (A ) + ν (A ) jeśli A A = d) Wykazać, że ν nie jest miarą 45 Niech µ : N R będzie miarą liczącą Wykazać, że µ jest półskończona 46 Niech µ : R R będzie miarą liczącą Wykazać, że µ nie jest półskończona 47 Wykazać, że jeśli X jest zbiorem skończonym, µ : X R jest miarą liczącą, to funkcja ν : X R określona wzorem ν (A) = µ(a) jest miarą probabilistyczną µ(x) 48 Niech µ : R R będzie funkcją określoną wzorem, jeśli / A / A,, jeśli A / A, 3 µ (A) =, jeśli / A A, 3, jeśli A A Wykazać, że µ jest miarą probabilistyczną 49 Wykazać, że jeśli µ : A R, µ : A R są miarami (odpowiednio skończonymi lub półskończonymi), to funkcja µ : A R określona wzorem µ (A) = α µ (A) + µ (A), gdzie α >, α >, jest miarą (odpowiednio skończoną, lub półskończoną) 4 Niech B będzie algebrą podzbiorów zbioru R generowaną przez przedziały (k, k +, gdzie k C, a η : B R taką premiarą, że η ((k, k + ) = ( 5 ) a) Obliczyć η ((3, 5 (4, 7 ), η (k, k + b) Obliczyć miarę zewnętrzną η ((, )), η ((, 3 ), 3 ) k= 6

17 4 Niech B będzie algebrą podzbiorów zbioru R generowaną przez przedziały ( k, (k + ), gdzie k C, a η : B R taką premiarą, że η (( k, (k + ) ) = a) Obliczyć η (( ( ) ( 5 ( ) 3,, 5, η k, k + 3 k= b) Obliczyć miarę zewnętrzną η ((, )), η (( ), ) 3, 3 4 Wykazać, że przedziały (a, b, a, b, a, b), (a, b), gdzie a, b R, są zbiorami mierzalnymi w sensie Lebesgue a Wskazówka Wykazać, że podane przedziały należą do σ-algebry zbiorów borelowskich 43 Wykazać, że każdy zbiór przeliczalny A R k jest mierzalny w sensie Lebesgue a Obliczyć λ k (A) 44 Niech A = {(x, x ) R : x = x } Wykazać, że λ (A) = Wskazówka Przedstawić zbiór A w postaci A = A n, gdzie n= A n = { (x, x ) R : n < x n x = x } Pokazać, że (η ) (A n ) < ε dla każdego ε >, gdzie n N 4 Całka Lebesgue a 45 Niech A A, f : A R Wykazać, że następujące warunki są równoważne: a) {x A : f (x) b} A b R b) {x A : f (x) < b} A b R c) {x A : f (x) a} A a R d) {x A : f (x) > a} A a R e) {x A : a f (x) b} A a,b R 46 Niech (X, A, µ) będzie przestrzenią mierzalną Wykazać, że relacja f g µ ({x X : f (x) g (x)}) = jest relacją równoważności w zbiorze wszystkich funkcji mierzalnych f : X R 47 Wykazać, że dµ (x) = µ (A) A 48 Obliczyć całkę funkcji prostej s (x) na przedziale a, b względem miary Lebesgue a λ, jeśli: a) a, b =, 3, s (x) = χ, + 3χ,3 b) a, b =, 3, s (x) = 4χ, + 3χ (,) + 5χ, c) a, b =, 3, s (x) = s (x)+s (x), gdzie s (x) = χ, +3χ,3, s (x) = 4χ, + 3χ (,) + 5χ, 7

18 49 Niech A = N, µ : A R będzie miarą liczącą Wykazać, że: a) każda funkcja f : N R jest mierzalna, b) funkcja f : N R jest całkowalna w sensie Lebesgue a względem miary µ wtedy i tylko wtedy, gdy szereg f (n) jest zbieżny bezwzględnie n= c) f (n) dµ (n) = f (n) N n= 4 Niech ( X, X, δ x ) będzie przestrzenią mierzalną, gdzie δx jest deltą Diraca Wykazać, że: a) każda funkcja f : X R jest mierzalna, b) δ x f (x) dδ x (x) = f (x ) 4 Niech f :, R, f (x) = x 3 a) Wykazać, że f jest funkcją mierzalną b) Skonstruować taki ciąg (s n ) funkcji prostych, że s n f c) Obliczyć z definicji całkę Lebesgue a f (x) dλ (x) Wskazówka Skorzystać ze wzoru n j= j 3 = ( n (n + )), 4 Korzystając z twierdzeń o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki, obliczyć: x arc tg(nx) a) n lim dx, b) lim nx+x 3 n dx, c) lim +x n x e nx dx, d) dx ln(nx)+x 43 Całka Lebesgue a względem miary k-wymiarowej Lebesgue a 43 Obliczyć całki: a) x x dx dx, gdzie K = {(x, x ) : x + x } K b) exp ( x x ) dx dx R c) ( + x + x ) dx dx R d) (x + x ) exp ( x x ) dx dx, gdzie A =, ), ) A e) exp ( x x x 3 ) dx dx dx 3, wsk zastosować współrzędne sferyczne R 3 x = r cos α cos β, x = r sin α cos β, x 3 = r sin β 44 Korzystając z podpunku b) zadania 43 wykazać, że: a) e x dx = π, b) e x dx = π, c) e x dx = π 45 Obliczyć miary Lebesgue a zbiorów: a) K = {(x, x, x 3 ) : x + x + x 3 } b) A = {(x, x, x 3 ) : x + x x 3 3}, wsk zastosować współrzędne walcowe x = r cos ϕ, x = r sin ϕ, x 3 = x 3 c) A = {(x, x, x 3 ) : x x x 3 x + x + x 3 } 8

Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.

Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3

Bardziej szczegółowo

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie

Bardziej szczegółowo

Robert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki

Robert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki Robert Kowalczyk Zbiór zadań z teorii miary i całki 2 Zadanie 1 Pokazać, że poniższe dwie definicje σ-ciała M są równoważne: (i) Rodzinę M podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ-ciałem jeżeli zachodzą następujące

Bardziej szczegółowo

Zadania do Rozdziału X

Zadania do Rozdziału X Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych

Bardziej szczegółowo

1 Przestrzenie metryczne

1 Przestrzenie metryczne 1 Przestrzenie metryczne Definicja 1.1 (metryka) Niech będzie niepustym zbiorem. Funkcję d: R + nazywamy metryką, jeśli spełnia warunki: 1 o d(x, y) = d(y, x) (symetria) 2 o d(x, y) + d(y, z) d(x, z) (nierówność

Bardziej szczegółowo

Rodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.

Rodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X. 1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X

Bardziej szczegółowo

1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista.

1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista. Literatura P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN, Warszawa 1997, P. R. Halmos, Measure theory, Springer-Verlag, 1994, W, Kołodziej, naliza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, S. Łojasiewicz, Wstęp

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą

Bardziej szczegółowo

Wykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,

Wykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P, Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych

Bardziej szczegółowo

7 Twierdzenie Fubiniego

7 Twierdzenie Fubiniego M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz

Bardziej szczegółowo

Analiza Funkcjonalna - Zadania

Analiza Funkcjonalna - Zadania Analiza Funkcjonalna - Zadania 1 Wprowadzamy następujące oznaczenia. K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jeżeli T jest dowolnym zbiorem niepustym, to l (T ) = {x : E K : x funkcja ograniczona}.

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN PISEMNY Z ANALIZY I R. R n

EGZAMIN PISEMNY Z ANALIZY I R. R n EGZAMIN PISEMNY Z ANALIZY I R Instrukcja obsługi. Za każde zadanie można dostać 4 punkty. Rozwiązanie każdego zadania należy napisać na osobnej kartce starannie i czytelnie. W nagłówku rozwiązania należy

Bardziej szczegółowo

G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28

G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie

Bardziej szczegółowo

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R) Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

Lista zadań nr 2 z Matematyki II

Lista zadań nr 2 z Matematyki II Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2

Bardziej szczegółowo

1 Elementy analizy funkcjonalnej

1 Elementy analizy funkcjonalnej M. Beśka, Dodatek 1 1 Elementy analizy funkcjonalnej 1.1 Twierdzenia o reprezentacji Zaczniemy od znanego twierdzenia Riesza Twierdzenie 1.1 (Riesz) Niech będzie zwartą przestrzenią metryczną i załóżmy,

Bardziej szczegółowo

Pytania i polecenia podstawowe

Pytania i polecenia podstawowe Pytania i polecenia podstawowe Liczby zespolone a) 2 i 1 + 2i 1 + 2i 3 + 4i, c) 1 i 2 + i a) 4 + 3i (2 i) 2, c) 1 3i a) i 111 (1 + i) 100, c) ( 3 i) 100 Czy dla dowolnych liczb z 1, z 2 C zachodzi równość:

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)

Bardziej szczegółowo

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? a) X = R, d(x, y) = arctg x y ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach

Bardziej szczegółowo

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE WÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH efinicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą d

Bardziej szczegółowo

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = : 4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,

Bardziej szczegółowo

Teoria miary i całki

Teoria miary i całki Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5 Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................

Bardziej szczegółowo

W. Krysicki, L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II

W. Krysicki, L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II Zalecane podręczniki W. Krysicki, L. Włodarski naliza matematyczna w zadaniach, część I i II c Ł. Pawelec G. M. Fichtenholz Rachunek różniczkowy i całkowy, tom I i II S. Dorosiewicz, J. Kłopotowski, D.

Bardziej szczegółowo

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,

Bardziej szczegółowo

W. Krysicki, L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II

W. Krysicki, L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II Zalecane podręczniki W. Krysicki, L. Włodarski naliza matematyczna w zadaniach, część I i II c Ł. Pawelec G. M. Fichtenholz Rachunek różniczkowy i całkowy, tom I i II S. Dorosiewicz, J. Kłopotowski, D.

Bardziej szczegółowo

Całka podwójna po prostokącie

Całka podwójna po prostokącie Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i

Bardziej szczegółowo

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki WYKŁA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2005 Spis treści 1. Przestrzenie metryczne. 4 2. Granica i ciągłość funkcji

Bardziej szczegółowo

Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/

Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro

Bardziej szczegółowo

Informacja o przestrzeniach Hilberta

Informacja o przestrzeniach Hilberta Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba

Bardziej szczegółowo

Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.

Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój. Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej

Bardziej szczegółowo

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

F t+ := s>t. F s = F t.

F t+ := s>t. F s = F t. M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną

Bardziej szczegółowo

Strona główna. Strona tytułowa. Spis treści. Strona 1 z 403. Powrót. Full Screen. Zamknij. Koniec

Strona główna. Strona tytułowa. Spis treści. Strona 1 z 403. Powrót. Full Screen. Zamknij. Koniec Strona z 403 Przedmowa Do wydania pierwszego Podręcznik przeznaczony jest dla studentów pierwszego roku studiów w Szkole Głównej Handlowej. Składa się dziesięciu rozdziałów zawierających teorię (definicje,

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)

1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5) . Liczby zespolone Zadanie.. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone () i +i, () 3i, (3) ( + i 3) 6, (4) (5) ( +i ( i) 5, +i 3 i ) 4. Zadanie.. Znaleźć moduł i argument główny

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji: 4 x 2 y 2 ; (b) g(x, y) = e y x 2 1 ; (c) u(x, y) = arc sin xy; (d) v(x, y) = sin(x 2 + y 2 ); (e) w(x, y) = x sin

Bardziej szczegółowo

Definicja punktu wewnętrznego zbioru Punkt p jest punktem wewnętrznym zbioru, gdy należy do niego wraz z pewnym swoim otoczeniem

Definicja punktu wewnętrznego zbioru Punkt p jest punktem wewnętrznym zbioru, gdy należy do niego wraz z pewnym swoim otoczeniem Definicja kuli w R n ulą o promieniu r>0 r R i o środku w punkcie p R n nazywamy zbiór {x R n : ρ(xp)

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n

Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1

Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Zadania rozwiązywane na wykładzie Zadania rozwiązywane na ćwiczeniach Przy rozwiązywaniu zadań najistotniejsze jest wykazanie się rozumieniem

Bardziej szczegółowo

Analiza I.2*, lato 2018

Analiza I.2*, lato 2018 Analiza I.2*, lato 218 Marcin Kotowski 14 czerwca 218 Zadanie 1. Niech x (, 1) ma rozwinięcie binarne.x 1 x 2.... Niech dla x, 1: oraz f() = f(1) =. Pokaż, że f: f(x) = lim sup n (a) przyjmuje wszystkie

Bardziej szczegółowo

Matematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji

Matematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji . Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Funkcje, ich granice i ciągłość

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Funkcje, ich granice i ciągłość Zadania z analizy matematycznej - sem II Funkcje ich granice i ciągłość Zadanie 1 Wyznaczyć i naszkicować dziedziny naturalne podanych funkcji: a f y = 2 y 3 25 2 +y 2 16 b g y = ln1 2 y 2 c h y = ln 2

Bardziej szczegółowo

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. 3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X

Bardziej szczegółowo

1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.

1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009. Szeregi potęgowe Definicja.. Szeregiem potęgowym o środku w punkcie R nazywamy szereg postaci: gdzie x R oraz c n R dla n = 0,, 2,... c n (x ) n, Przyjmujemy, że 0 0 def =. Liczby c n nazywamy współczynnikami

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki Krzysztof Frączek Analiza Matematyczna II Wykład dla studentów II roku kierunku informatyka Toruń 2009 Spis treści 1 Przestrzenie

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Funkcją tworzącą momenty (transformatą Laplace a) zmiennej losowej X nazywamy funkcję M X (t) := Ee tx, t R. 1. Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennych o

Bardziej szczegółowo

Funkcje analityczne. Wykład 3. Funkcje holomorficzne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) z = x + iy A

Funkcje analityczne. Wykład 3. Funkcje holomorficzne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) z = x + iy A Funkcje analityczne Wykład 3. Funkcje holomorficzne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 206/207) Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Niech A C. Funkcja

Bardziej szczegółowo

granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N W symbolicznym zapicie fakt, że f jest granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N możemy wyrazić następująco: ε>0 N N

granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N W symbolicznym zapicie fakt, że f jest granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N możemy wyrazić następująco: ε>0 N N 14. Określenie ciągu i szeregu funkcyjnego, zbieżność punktowa i jednostajna. Własności zbieżności jednostajnej. Kryterium zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego. 1 Definicja Ciąg funkcyjny Niech

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I

Analiza Matematyczna I Analiza Matematyczna I Informatyka, WPPT, Politechnika Wrocławska Wprowadzenie (2 godziny ćwiczeń) Pokaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzą nierówności:. a b = a b, 2. a + b a + b, 3.

Bardziej szczegółowo

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)

Bardziej szczegółowo

Zdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013

Zdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013 Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej

Bardziej szczegółowo

AM1.2 zadania 14. Zadania z numerami opatrzonymi gwiazdka

AM1.2 zadania 14. Zadania z numerami opatrzonymi gwiazdka AM.2 zadania 4 Tekst poprawiony 24 kwietnia 206 r. Zadania 26, 28, 29, 3, 33, 34, 35, 36, 40, 42, 62 i inne z wykrzyknikiem obok numeru sa obowiazkowe! Zadania z numerami opatrzonymi gwiazdka można napisać

Bardziej szczegółowo

Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n

Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n V. Napisz 4 początkowe wyrazy ciągu: Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie a) a n = n b) a n = n + 3 n! c) a n = n! n(n + ) V. Oblicz (lub zapisz) c, c 3, c k, c n k dla: a) c n = 3 n b) c n = 3n

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

Rachunek Różniczkowy

Rachunek Różniczkowy Rachunek Różniczkowy Sąsiedztwo punktu Liczby rzeczywiste będziemy teraz nazywać również punktami. Dla ustalonego punktu x 0 i promienia r > 0 zbiór S(x 0, r) = (x 0 r, x 0 ) (x 0, x 0 + r) nazywamy sąsiedztwem

Bardziej szczegółowo

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B 1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Statystyka i eksploracja

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna / Witold Kołodziej. wyd Warszawa, Spis treści

Analiza matematyczna / Witold Kołodziej. wyd Warszawa, Spis treści Analiza matematyczna / Witold Kołodziej. wyd. 5. - Warszawa, 2010 Spis treści Wstęp 1. Podstawowe pojęcia mnogościowe 13 1. Zbiory 13 2. Działania na zbiorach 14 3. Produkty kartezjańskie 15 4. Relacje

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19

Zestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19 Zestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19 Zad 1. Znaleźć rozwiązania ogólne u = u(x, y) następujących równań u x = 1, u y = 2xy, u yy = 6y, u xy = 1, u x + y = 0, u xxyy = 0. Zad 2. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

2. Definicja pochodnej w R n

2. Definicja pochodnej w R n 2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

Teoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5

Teoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5 Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F

Bardziej szczegółowo

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X

Bardziej szczegółowo

3. Funkcje wielu zmiennych

3. Funkcje wielu zmiennych 3 Funkcje wielu zmiennych 31 Ciagłość Zanim podamy definicję ciagłości dla funkcji wielu zmiennych wprowadzimy bardzo ogólne i abstrakcyjne pojęcie przestrzeni metrycznej Przestrzeń metryczna Metryka w

Bardziej szczegółowo

Wykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej

Wykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej Wykład 2 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej czȩść II (opracował: Piotr Nayar) Definicja 2.. Niech (E, E) bȩdzie przestrzenia mierzalna i niech λ : E

Bardziej szczegółowo

O pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych)

O pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych) (niekoniecznie ograniczonych) Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza, Poznań Będlewo, 25-30 maja 2015 Funkcje prawie okresowe w sensie Bohra Definicja Zbiór E R nazywamy względnie

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (I)

Równanie przewodnictwa cieplnego (I) Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Rozdział I. Wstęp do matematyki Rozdział II. Ciągi i szeregi... 44

Spis treści. Rozdział I. Wstęp do matematyki Rozdział II. Ciągi i szeregi... 44 Księgarnia PWN: Ryszard Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej Spis treści Rozdział I. Wstęp do matematyki... 13 1.1. Elementy logiki i teorii zbiorów... 13 1.1.1. Rachunek zdań... 13 1.1.2. Reguły

Bardziej szczegółowo

II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową

Bardziej szczegółowo

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej

Bardziej szczegółowo

7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne.

7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne. 7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne. Funkcję rzeczywistą µ nieujemną określoną na ciele zbiorów S będziemy nazywali miarą, gdy dla dowolnego ciągu A 0, A 1,... zbiorów rozłącznych należących

Bardziej szczegółowo

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o

Bardziej szczegółowo

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania. 10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych

Bardziej szczegółowo

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2. 2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange

Bardziej szczegółowo

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na

Bardziej szczegółowo

Funkcje. Oznaczenia i pojęcia wstępne. Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016

Funkcje. Oznaczenia i pojęcia wstępne. Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016 Funkcje Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016 Oznaczenia i pojęcia wstępne Niech f X Y będzie relacją. Relację f nazywamy funkcją, o ile dla dowolnego x X istnieje y Y taki, że (x, y) f oraz dla

Bardziej szczegółowo

2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.

2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ. Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA DO EGZAMINU MAGISTERSKIEGO

ZAGADNIENIA DO EGZAMINU MAGISTERSKIEGO ZAGADNIENIA DO EGZAMINU MAGISTERSKIEGO Na egzaminie magisterskim student powinien: 1) omówić wyniki zawarte w pracy magisterskiej posługując się swobodnie pojęciami i twierdzeniami zamieszczonymi w pracy

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres

Bardziej szczegółowo

1 + iϕ n. = cos ϕ + i sin ϕ. e n z n n n. c M n z n, c n z Mn.

1 + iϕ n. = cos ϕ + i sin ϕ. e n z n n n. c M n z n, c n z Mn. WRAiT 2 #1 1. Dla jakich a C ciągi o wyrazach na n, a n 1 + a n, an /n, są zbieżne? 2. Wykaż zbieżność i znajdź granice ciągów n a k, a n 1 + a 2n ( a < 1), a n 1 + a 2n ( a > 1), 1 n 3. Dla danego ϕ R

Bardziej szczegółowo

O pewnym twierdzeniu S. Łojasiewicza, J. Wloki, Z. Zieleżnego

O pewnym twierdzeniu S. Łojasiewicza, J. Wloki, Z. Zieleżnego O pewnym twierdzeniu S. Łojasiewicza, J. Wloki, Z. Zieleżnego Jan Ligęza Instytut Matematyki Wisła Letnia Szkoła Instytutu Matematyki wrzesień 2010 r. [1] S. Łojasiewicz, J. Wloka, Z. Zieleżny; Über eine

Bardziej szczegółowo

Wykład VI. Badanie przebiegu funkcji. 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) 3. Ekstrema lokalne: 4. Punkty przegięcia. Uwaga!

Wykład VI. Badanie przebiegu funkcji. 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) 3. Ekstrema lokalne: 4. Punkty przegięcia. Uwaga! Wykład VI Badanie przebiegu funkcji 1. A - przedział otwarty, f D A x A f x > 0 f na A x A f x < 0 f na A 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) x A f x > 0 fwypukła ku górze na A x A f x < 0 fwypukła ku

Bardziej szczegółowo