Drgania układu o jedny sopniu swobody Rozparzy układ składający się z ciała o asie połączonego z nierucoy podłoże za poocą eleenu sprężysego o współczynniku szywności k oraz eleenu łuiącego o współczynniku łuienia c. Układ aki nazyway oscylaore aroniczny. Na ciało o działa siła aroniczna P( ) P sin gdzie: apliuda siły częsość kołowa (częsość) siły wyuszającej. Poijay siłę arcia oraz zakładay że k oraz c są sałe. P k S T P c Oscylaor aroniczny Rozważany układ a jeden sopień swobody a jego równanie dynaiki a posać P S T (4.8) gdzie: S k siła z jaką eleen sprężysy działa na rozparywane ciało T c siła z jaką eleen łuiący działa na o ciało. Prof. Edund Wibrod
Przykłady układów drgającyc o sopniu swobody Rys. Rys. Prof. Edund Wibrod
Rys. 3 Rys. 4 Rys. 5 Prof. Edund Wibrod
Równanie (4.8) ożna zapisać w posaci c k P sin (4.9) lub po obusronny podzieleniu przez w posaci P sin (4.) gdzie: c k. c Sałą nazyway współczynnikie łuienia względnego zaś własnyc niełuionyc układu. k częsością kołową (częsością) drgań Rozwiązanie równania (4.) jes sua dwóc całek całki ogólnej j. rozwiązania równania jednorodnego oraz całki szczególnej zależnej od ypu funkcji wyuszenia. Prof. Edund Wibrod
Równanie jednorodne na podsawie po przyjęciu prawej srony równej zero a posać. (4.) Opisuje ono zacowanie się układu gdy na ciało nie działa siła P() j. P() =. Takie drgania nazyway drganiai własnyi łuionyi (swobodnyi) układu. Rozwiązanie równania (4.) zakłada się w posaci funkcji wykładniczej podsawieniu przyjęej funkcji do (4.) orzyujey r e gdzie: r sała czas. Po r ( r r )e. (4.) Równanie o jes spełnione wedy i ylko wedy gdy wyrażenie w nawiasie jes równe zero r r. (4.3) Równanie (4.3) nazyway równanie carakerysyczny równania różniczkowego (4.). Jego rozwiązaniai są dwa pierwiaski r i (4.4) / gdzie: częsość kołowa (częsość) drgań własnyc łuionyc (na ogół łuienie jes ałe sąd zakładay ) i jednoska urojona. Prof. Edund Wibrod
Osaecznie całkę ogólną ożey zapisać w posaci C e r C e r C e ( i ) C e ( i ) C e sin( ) (4.5) gdzie C φ sałe całkowania. Sałe całkowania określay z warunków począkowyc. Dla przyjujey: v skąd orzyujey układ równań: v C sin C sin cos (4.6) a po jego rozwiązaniu: C v arcg. v (4.7) Zae całka ogólna (4.5) a posać sinusoidy o alejącej wykładniczo w czasie apliudzie co zapisujey sin A (4.8) gdzie: A( ) v e apliuda drgań swobodnyc. Prof. Edund Wibrod
Wykres funkcji (4.8) przedsawiono na rysunku poniżej. Przedsawia on przebieg drgań swobodnyc układu o jedny sopniu swobody wyuszonyc niezerowyi warunkai począkowyi. Mają one caraker pseudookresowy a ic pseudookres wynosi T. (4.9) Przebieg przeieszczeń oscylaora podczas drgań własnyc łuionyc Prof. Edund Wibrod
Apliuda yc drgań aleje y szybciej i większy jes współczynnik łuienia. Sosunek dwóc kolejnyc aksyalnyc wycyleń obliczay A( ) A( T ) e e ( T ) e T e. (4.) Logary nauralny ego sosunku nosi nazwę logaryicznego dekreenu łuienia i jes on równy ln cons. (4.) Logaryiczny dekreen łuienia a warość sałą niezależną od czasu. Maksyalne wycylenia aleją więc według posępu geoerycznego y szybciej i większy jes współczynnik łuienia. Prof. Edund Wibrod
W przypadku braku łuienia j. gdy c = a y say = ay do czynienia z drganiai własnyi niełuionyi. Ic przebieg na podsawie (4.8) opisuje funkcja Asin( ) (4.) gdzie: A v cons arcg v. Przebieg drgań własnyc niełuionyc wywołanyc niezerowyi warunkai począkowyi przedsawiono na poniższy rysunku. T A Przebieg przeieszczeń oscylaora podczas drgań własnyc niełuionyc Prof. Edund Wibrod
Przykład: = = 773 = 495 = 5 sąd obliczony okres drgań wynosi Podczas badań (poiarów) zaobserwowano około 35 cykli drgań w czasie s czyli częsoliwość Zae zierzony okres drgań wynosi Prof. Edund Wibrod
P Całkę szczególną równania (4.) przy wyuszeniu układu siłą w posaci funkcji aronicznej P( ) sin dla rozparywanego układu liniowego zakładay również w posaci funkcji aronicznej o ej saej częsości kołowej (a y say i okresie) a różniącej się apliudą i przesunięą w fazie Bsin( ) (4.3) gdzie: B apliuda drgań wyuszonyc faza. Po dwukrony zróżniczkowaniu względe czasu (4.3) i podsawieniu do (4.) orzyujey P B( ) sin( ) B cos( ) sin. (4.4) Uwzględniając zależności rygonoeryczne sin( ) sin cos cos sin orzyujey cos( ) cos cos sin sin P cos sin sin sin cos cos sin Prof. Edund Wibrod
Prof. Edund Wibrod Sałe B oraz ψ orzyujey z rozwiązania układu równań: sin cos P B. cos sin B Z drugiego równania określay g (4.5) naoias podnosząc obydwa równania do kwadrau i dodając sronai orzyujey 4 P B skąd. 4 P B (4.6) Zae osaecznie całka szczególna równania (4.) a posać ). sin( 4 P (4.7)
Biorąc pod uwagę zarówno całkę ogólną jak i całkę szczególną orzyujey Ae sin( ) Bsin( ) (4.8) gdzie: B P 4 arcg naoias sałe A i φ obliczay z warunków począkowyc. Dla przyjujey: v skąd orzyujey układ równań: v A Asin Bsin sin cos B cos (4.9) a po jego rozwiązaniu: A arcg v v B sin B cos Bsin Bsin. Bsin B cos (4.3) Prof. Edund Wibrod
Rozwiązanie (4.8) sanowi suę dwóc ruców. Pierwszy odbywający się z częsością sanowią drgania swobodne wynikające z niezerowyc warunków począkowyc. Ruc en po sosunkowo króki czasie zanika i ożna go poinąć. Drugi ruc odbywający się z częsością sanowi odpowiedź układu na aroniczną siłę wyuszającą. Są o drgania wyuszone usalone. Przebieg przeieszczeń oscylaora podczas drgań wyuszonyc aronicznie Prof. Edund Wibrod
Prof. Edund Wibrod W prakyce najczęściej poija się fragen związany z drganiai nieusalonyi i pod uwagę bierze się ylko drgania usalone układu. Drgania usalone opisują równania: ) ( sin ) ( ) ( sin 4 P s (4.3) arcg arcg (4.3) gdzie: P s. Jak widać z powyższyc równań zarówno apliuda drgań usalonyc jak i ic faza zależą od częsości wyuszenia oraz od warości współczynnika łuienia przedsawiono na poniższy rysunku.
Krzywe przedsawione na poniższy rysunku noszą nazwę krzywyc rezonansowyc (apliudowa i fazowa). Apliuda drgań rośnie do bardzo dużyc warości (nawe do nieskończoności przy braku łuienia) wraz ze wzrose częsości wyuszenia do częsości drgań własnyc a poe aleje do zera. Zjawisko wzrosu apliudy drgań w pobliżu częsości drgań własnyc nosi nazwę rezonansu ecanicznego. Krzywe rezonansowe najczęściej noruje się w en sposób że na osi odcięej znajduje się prędkość względna zaś na osi rzędnyc apliuda względna B s ( ) Krzywe rezonansowe: apliudowa i fazowa Prof. Edund Wibrod
Jeżeli apliuda siły działającej na asę zienia się z kwadrae prędkości częsości kołowej (a caraker siły odśrodkowej) P r o r sin ( ) sin ( ( ) ( ) ) (4.33) ( ) r Carakerysyka apliudowa układu o sopniu swobody wyuszanego siłą o apliudzie proporcjonalnej do kwadrau częsości kołowej wyuszenia Prof. Edund Wibrod