3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
|
|
- Arkadiusz Sobczyk
- 9 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora {,,y } (3.1) Za dodatnie składowe uznajemy te, których zwroty są ze składowymi jak pokazano na rysunku: x y y x x Rys Znakowanie składowych naprężeń Wartości składowych wektora naprężenia w stosunku do układu obróconego o kąt apisujemy:, cos sin y sin cos (3.), sin cos y sin cos (3.3) ' y ' sin cos y cos sin (3.4) lub krócej w postaci macierzowej 'T (3.5) gdzie wektory ' i opisują stan naprężenia odniesiony odpowiednio do układu współrzędnych obróconych i wyjściowych. Macierz transformacji zapisujemy w postaci:
2 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA [ c T s sc ] s c sc (3.6) sc sc c s Wygodnie jest przedstawić te zależności wykorzystując wzory na kąty podwójne. Otrzymamy wówczas, cos sin (3.7), cos sin (3.8) ' y ' sin y cos (3.9) Muszą być oczywiście spełnione warunki, które nazywamy warunkami niezmienniczości lub krócej niezmiennikami, które zapiszemy następująco: ' ' const. (3.10) ' ' ' y ' const. (3.11) Aby znaleźć kierunki osi głównych naprężeń i ekstremalne naprężenia główne należy obliczyć ekstremum równania (3.7) względem kąta. Po zróżniczkowaniu i przyrównaniu do zera otrzymamy: tg gł y (3.1) I, II ± x (3.13) Maksymalne naprężenia ścinające odniesione są do układu współrzędnych obróconego o kąt /4 w stosunku do układu osi głównych. Te wartości wynoszą: ' MAX x y (3.14) Jeśli będziemy mówić o stanie odkształcenia, będziemy posługiwać się wektorem opisującym składowe odniesione do układu (x0y) w postaci:
3 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 3 { y } (3.15) Zależności geometryczne nazywane związkami Cauchy'ego przy użyciu opisu przemieszczeń u i v, odpowiednio w kierunkach osi x i y, wyrażone będą w postaci: u v y y u y v (3.16) Związki pomiędzy przemieszczeniami a odkształceniami pokazano na rysunku poniżej: y,v v v y dy dy v u y u u y dy dx v v u u dx dx x,u Rys. 3.. Przemieszczenia i odkształcenia dla elementu płaskiego W zapisie macierzowym związki (3.16) można przedstawić następująco Lu (3.17) gdzie wektor u[u, v] T, natomiast macierz L jest operatorem różniczkowym, który dla problemu dwuwymiarowego przyjmuje postać: 0 L[ y ] 0 (3.18) y W płaskim stanie naprężenia (płaszczyzna x0y) niektóre składowe tego stanu są równe zeru:
4 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 4 z (3.19) z Co pociąga również za sobą fakt, że niektóre składowe odkształceń są równe zeru: z z (3.0) a wartość 0 Odpowiednie zależności przedstawiają się następująco 1 1 y 1 G y 1 (3.1) (3.) lub w postaci relacji odwrotnej 1 x 1 y (3.3) y 1 1 (3.4) gdzie 1 Powyższe zależności można zapisać macierzowo w postaci C (3.5)
5 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 5 gdzie C 1 [ (3.6) ] lub odwrotnie D (3.7) gdzie DC 1 [1 ] (3.8) W płaskim stanie odkształcenia następujące składowe są równe zeru: z z z z (3.9) natomiast Odpowiednie zależności fizyczne przedstawiają się następująco 0 (3.30) 1 1 (3.31) y 1 (3.3) oraz
6 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 6 1 (3.33) skąd (3.34) Podstawiając powyższy rezultat do wzorów (3.31) i (3.3) otrzymamy ostatecznie lub odwracając zależności: W zapisie macierzowym zapiszemy: 1 [ 1 ] (3.35) 1 [ 1 ] (3.36) y 1 (3.37) 1 1 [ 1 ] (3.38) 1 1 [ 1 ] (3.39) y 1 (3.40) oraz C 1 [1 0 ] 1 0 (3.41) DC [1 ] (3.4) 1 0 0
WIADOMOŚCI OGÓLNE O NAPRĘŻENIACH. Stan naprężenia w punkcie ciała
WIADOMOŚCI OGÓLN O NAPRĘŻNIACH Stan naprężenia w punkcie ciała Załóżmy, że pewne ciało (rys. 1.1), obciążone układem sił zewnętrznych czynnych i biernych, znajduje się w równowadze. Poprowadzimy myślowo
Bardziej szczegółowoNOWA PODSTAWA PROGRAMOWA Z MATEMATYKI liceum zakres podstawowy
1 NOWA PODSTAWA PROGRAMOWA Z MATEMATYKI liceum zakres podstawowy 1. Cele kształcenia wymagania ogólne. NOWA ZAKRES PODSTAWOWY w postawie programowej obowiązującej począwszy od 01.09.2012 r. w klasach pierwszych
Bardziej szczegółowoRuch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof.
Ruch płaski Ruchem płaskim nazywamy ruch, podczas kórego wszyskie punky ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej nieruchomej płaszczyzny, zwanej płaszczyzną kierującą. Punky bryły o jednakowych
Bardziej szczegółowoNowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.)
IV etap edukacyjny Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.01 r.) Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń
Bardziej szczegółowoFFT, FILTRACJA, MOC SYGNAŁU
SYSTEMY TELEINFORMATYCZNE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR LAB TEMAT: FFT, FILTRACJA, MOC SYGNAŁU SYSTEMY TELEINFORMATYCZNE I. CEL ĆWICZENIA: Celem ćwiczenia jest wprowadzenie studentów w zagadnienie szybkiej
Bardziej szczegółowoWykorzystywanie teorii błędów do opracowywania pomiarów geodezyjnych 311[10].Z1.07
MINISTERSTWO EDUKACJI NARODOWEJ Leszek Wiatr Wykorzystywanie teorii błędów do opracowywania pomiarów geodezyjnych 3[].Z.7 Poradnik dla ucznia Wydawca Instytut Technologii Eksploatacji Państwowy Instytut
Bardziej szczegółowo( m) Przykładowe zadania z matematyki na poziomie rozszerzonym wraz z rozwiązaniami. Zadanie 1. (0-1)
Przykładowe zadania z matematyki na poziomie rozszerzonym wraz z rozwiązaniami Zadanie. (0-) Funkcja określona wzorem f ( x) = x dla wszystkich liczb rzeczywistych A. nie ma miejsc zerowych. B. ma dokładnie
Bardziej szczegółowoPRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO
ĆWICZENIE 53 PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO Cel ćwiczenia: wyznaczenie wartości indukcyjności cewek i pojemności kondensatorów przy wykorzystaniu prawa Ohma dla prądu przemiennego; sprawdzenie prawa
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA
entralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 010 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 010 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od 1. do 5. podane
Bardziej szczegółowoSystemy. Krzysztof Patan
Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.
FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA
Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie (0 ) Obszar standardów i tworzenie informacji
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)
MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Omawiając dane zagadnienie programowe lub rozwiązując zadanie, nauczyciel określa, do jakiego zakresu
Bardziej szczegółowoCzas dyskretny. 1 Modele o jednym okresie. 1.1 Model dwumianowy
Część I Czas dyskretny Kursy otwarcia czy zamknięcia pojawiaja się w kolejnych ustalonych momentach czasu. Jeśli pominiemy dni wolne od handlu otrzymamy ciag kolejnych momentów pojawiania się notowań (0,
Bardziej szczegółowoBrunon R. Górecki. Podstawowy kurs nowoczesnej ekonometrii
Brunon R. Górecki Podstawowy kurs nowoczesnej ekonometrii SPIS TREŚCI Wstęp CZĘŚĆ I. KLASYCZNY MODEL REGRESJI LINIOWEJ.Wprowadzenie.. Czym jest ekonometria?.. Pojęcie modelu ekonometrycznego.3. Dane statystyczne.4.
Bardziej szczegółowoKONSTRUKCJE STALOWE W EUROPIE
KONSTRUKCJE STALOWE W EUROPIE Wielokondygnacyjne konstrukcje stalowe Część 10: Wskazówki dla twórców oprogramowania do projektowania Wielokondygnacyjne konstrukcje stalowe Część 10: Wskazówki dla twórców
Bardziej szczegółowoPOMIAR WSPÓŁCZYNNIKA ROZSZERZALNOŚCI LINIOWEJ CIAŁ STAŁYCH. Kraków, 2004 21.03.2013
Anna Linscheid Katedra Chemii i Fizyki, Uniwersytet Rolniczy Do użytku wewnętrznego ĆWICZENIE 11 POMIAR WSPÓŁCZYNNIKA ROZSZERZALNOŚCI LINIOWEJ CIAŁ STAŁYCH Kraków, 24 21.3.213 SPIS TREŚCI I. CZĘŚĆ TEORETYCZNA...
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do środowiska R
Łukasz Komsta 21 sierpnia 2004 Spis treści 1 Wstęp 3 2 Pierwsze kroki 3 2.1 Najprostsze obliczenia.................................. 4 2.2 Przykłady operacji na wektorach............................ 4
Bardziej szczegółowoASYMETRIA CZASU 1. Jerzy Gołosz ABSTRACT
Jerzy Gołosz ASYMETRIA CZASU 1 ABSTRACT W artykule analizowane jest rozróżnienie pomiędzy asymetrią w czasie procesów fizycznych i asymetrią samego czasu. Opierając się na założeniu, że każde rozwiązanie
Bardziej szczegółowoKONSTRUKCJE STALOWE W EUROPIE. Jednokondygnacyjne konstrukcje stalowe Część 11: Połączenia zginane
KONSTRUKCJE STALOWE W EUROPIE Jednokondygnacyjne konstrukcje stalowe Część 11: Połączenia zginane Jednokondygnacyjne konstrukcje stalowe Część 11: Połączenia zginane 11 - ii PRZEDMOWA Niniejsza publikacja
Bardziej szczegółowoCzas i przestrzeń w teorii względności
Czas i przestrzeń w teorii względności Żeby zrozumieć czas trzeba zrozumieć fizykę. Jak się dalej okaże nie ma innej drogi do fizyki, jak królewskiej drogi matematyki. Zastanowimy się w tym referacie czy
Bardziej szczegółowoRóżne reprezentacje mapy feromonowej w problemie plecakowym
Wydział Informatyki i Nauki o Materiałach Jarosław Dąbrowski 193207 Praca magisterska Różne reprezentacje mapy feromonowej w problemie plecakowym Promotor: dr inż. Mariusz Boryczka Sosnowiec, 2008 Spis
Bardziej szczegółowoUmieszczanie zbiorów częściowo uporządkowanych w książce o minimalnej liczbie stron
Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Anna Beata Kwiatkowska Umieszczanie zbiorów częściowo uporządkowanych w książce o minimalnej liczbie stron rozprawa doktorska napisana
Bardziej szczegółowoMoc (praca w jednostce czasu) pobierana przez urządzenie elektryczne wynosi:
Ćwiczenie POMIARY MOCY. Wprowadzenie Moc (praca w jednostce czasu) pobierana przez urządzenie elektryczne wynosi: P = U I (.) Jest to po prostu (praca/ładunek)*(ładunek/czas). Dla napięcia mierzonego w
Bardziej szczegółowoOdpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych
Odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 Odpowiedź A C C B C A B C A D B C D B D C A B A A A C B A A Schemat oceniania zadań otwartych Zadanie 6. ( pkt) Rozwiąż
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-P1_1P-092 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 2009 Czas pracy 120 minut Instrukcja
Bardziej szczegółowoProwadzenie prac mierniczych 311[04].O1.05
MINISTERSTWO EDUKACJI i NAUKI Władysława Maria Francuz Prowadzenie prac mierniczych 311[04].O1.05 Poradnik dla ucznia Wydawca Instytut Technologii Eksploatacji Państwowy Instytut Badawczy Radom 2005 0
Bardziej szczegółowoMożliwość dokonywania zgłoszeń wynalazków na rozwiązania zawierające programy komputerowe i środki przetwarzania danych
Możliwość dokonywania zgłoszeń wynalazków na rozwiązania zawierające programy komputerowe i środki przetwarzania danych Jerzy J. Włodek, Ekspert w Urzędzie Patentowym RP Naturalny postęp techniczny doprowadził
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do programu
Wprowadzenie do programu Wersja 4.2 www.geogebra.org Wprowadzenie do programu GeoGebra Data ostatniej modyfikacji: 6 Listopada, 2012. Aktualizacja dotyczy najnowszej wersji programu: GeoGebra 4.2. Podręcznik
Bardziej szczegółowo12 PODSTAWY MIKROSKOPII ELEKTRONOWEJ I JEJ WYBRANE ZASTOSOWANIA W CHARAKTERYSTYCE KATALIZATORÓW NOŚNIKOWYCH
GRZEGORZ SŁOWIK Zakład Technologii Chemicznej, Wydział Chemii, Uniwersytet Marii Curie-Skłodowsiej, Pl. M. Curie-Skłodowskiej, 20-031 Lublin grzesiek.slowik@gmail.com Rozdział 12 PODSTAWY MIKROSKOPII ELEKTRONOWEJ
Bardziej szczegółowo