WYKŁAD 3. Rozdział 2: Drgania układu liniowego o jednym stopniu swobody. Część 2 Drgania z wymuszeniem harmonicznym

Transkrypt

1 WYKŁAD 3 Rozdział : Drgania układu liniowego o jednym stopniu swobody Część Drgania z wymuszeniem harmonicznym.5. Istota i przykłady drgań wymuszonych Drgania wymuszone to drgania, których energia wynika z pracy wykonywanej przez oddziaływanie mechaniczne (siłę lub moment) o charakterze oscylacyjnym, działające w sposób ciągły w pewnym przedziale czasu. Pewna początkowa porcja energii może być dostarczona do układu drgającego poprzez warunki początkowe, jak w przypadku drgań swobodnych, ale energia ta jest szybko rozpraszana przez opory ruchu i odgrywa niewielką rolę w długotrwałych drganiach wymuszonych. Bilans energii dostarczanej przez wymuszenie i rozpraszanej przez opory może być zrównoważony w skali każdego cyklu drgań. Mamy wówczas do czynienia z ustalonymi drganiami wymuszonymi. Taki charakter mają np. drgania zawieszonego elastycznie bębna pralki podczas cyklu wirowania, a także silnika (który ma niewyrównoważone elementy wirujące), zamocowanego do płyty nośnej lub ramy pojazdu za pomocą elementów sprężysto-tłumiących. Innym przykładem mogą być drgania płyt (np. szyb okiennych) wywołane przez źródła akustyczne. Do tej kategorii drgań należą również drgania wymuszone kinematycznie, które są spowodowane zadanym ruchem podłoża lub obudowy, do której ciało drgające jest zamocowane za pośrednictwem elementów sprężystych i tłumiących. Np. drgania pionowe bryły nadwozia pojazdu są drganiami wymuszanymi kinematycznie ruchem pojazdu po nierównościach drogi. Podobnie jak w przypadku drgań swobodnych, istnieje bardzo wiele układów mechanicznych, których modelem fizycznym jest układ drgający o jednym stopniu swobody z wymuszeniem. Kilka przykładów pokazano na Rys..7. Rys..7. Przykłady układów drgających o jednym stopniu swobody z wymuszeniem 4

2 Siły (lub momenty) wymuszające można podzielić na następujące kategorie: harmoniczne: F ( t) F sin( t ), jest częstością kołową wymuszenia, n poliharmoniczne: F( t) F i sin( it i ), częstości i i mogą być niewspółmierne, okresowe nieharmoniczne:, F( t) F( t T ) F sin( nt ), n n n /T nieokresowe. Uwaga Drgania oscylatora (np. ciała zawieszonego na elemencie sprężysto-tłumiącym) mogą być wywołane także przez siłę skokową lub impulsową, które zostały scharakteryzowane w rozdziale Wiadomości wstępne. Efekt tych sił sprowadza się tylko do pewnych niezerowych warunków początkowych, a skutkiem są drgania swobodne. Pokażemy to w następnym wykładzie.,.6. Model matematyczny oscylatora liniowego z wymuszeniem harmonicznym Drgania wymuszone układu o jednym stopniu swobody będziemy badać i interpretować na podstawie modelu matematycznego, którym jest liniowe niejednorodne równanie różniczkowe II rzędu o stałych współczynnikach, z warunkami początkowymi - niezależnie od tego, jakiemu modelowi fizycznemu układu drgającego odpowiada. Uwaga Liniowe równanie ruchu może być wynikiem linearyzacji równania wyjściowo nieliniowego, ze względu na charakter siły restytucyjnej lub siły oporów ruchu. Należy jednak pamiętać, że równanie zlinearyzowane poprzez pominięcie wyrazów nieliniowych obowiązuje tylko dla małych drgań w otoczeniu położenia równowagi. Zatem jego stosowanie bez ograniczenia przemieszczeń i prędkości może prowadzić do znacznych błędów. Badanie oscylatora liniowego z wymuszeniem rozpoczniemy od wymuszenia harmonicznego. Ogólna postać równania ruchu w tym przypadku jest następująca: m x cx kx F sin( t ), (.45) parametry m, c, k, F mogą mieć różny sens fizyczny, ale reprezentują odpowiednio bezwładność oscylatora, tłumienie, sprężystość i amplitudę wymuszenia. Do równania (.45) należy dołączyć warunki początkowe: 4

3 Uwaga x( ) x, x ( v. (.46) ) Bez zmniejszenia ogólności rozważań możemy przyjąć zerową fazę początkową wymuszenia,. Uprości to analizę drgań wymuszonych, a w razie potrzeby można uwzględnić tę fazę w wyniku końcowym..7. Rozwiązanie równania ruchu oscylatora liniowego z wymuszeniem harmonicznym h i Najpierw dzielimy równanie (.45) stronami przez masę, wprowadzając parametry charakteryzujące oscylator, znane już z drgań swobodnych. Otrzymujemy równanie: x hx o x qsint, (.47) q F / m oznacza amplitudę siły wymuszającej na jednostkę masy. Z teorii równań różniczkowych wiadomo, że rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego (.47) można przedstawić w postaci sumy rozwiązania ogólnego równania jednorodnego oraz pewnego rozwiązania szczególnego, które spełnia równanie niejednorodne (.47): x( t) x ( t) x ( t). (.48) ogj Rozwiązanie x ogj (t) jest znane z drgań swobodnych i może mieć jedną z czterech postaci, zależnie od wartości bezwymiarowego współczynnika tłumienia: drgania nietłumione (.3), drgania podkrytyczne (.), drgania krytyczne (.3) i drgania nadkrytyczne (.37). Uwagi. W dalszej analizie rozwiązania równania drgań wymuszonych (.47) rozpatrzymy przypadek drgań słabo tłumionych (podkrytycznych), z którymi najczęściej mamy do czynienia w praktyce. Uwzględnienie drgań swobodnych silniej tłumionych wymaga przyjęcia odpowiedniej postaci drgań swobodnych i nie nastręcza trudności.. W układach z tłumieniem drgania swobodne odpowiadające rozwiązaniu x ogj (t) zanikają, dlatego w badaniach długotrwałych drgań wymuszonych są często pomijane. W przypadku drgań swobodnych podkrytycznych, rozwiązanie (.48) przyjmuje postać: ht szn C cos t C sin t x ( ), (.49) x( t) e szn t h. Teraz problem sprowadza się do określenia funkcji x szn (t) właściwej dla harmonicznej prawej strony równania (.47). Pokażemy, że taką funkcja jest funkcja harmoniczna o częstości wymuszenia : 4

4 A oznacza amplitudę drgań wymuszonych, a x szn ( t) Asin( t ), (.5) jest katem przesunięcia fazowego między drganiami wymuszonymi a wymuszeniem. Liczby te wyznaczymy postulując tożsamościowe spełnienie równania ruchu (.47) przez rozwiązanie (.5). Po podstawieniu otrzymujemy: A( )sin( t ) Ah cos( t ) qsint. `(.5) Korzystając z wzorów trygonometrycznych: sin( t ) sint cos cost sin, cos( t ) cost cos sint sin, przekształcamy lewą stronę równania (.5), otrzymując najpierw: A( ) sin t cos cost sin Ah cos t cos sint sin qsint a następnie, porównując wyrazy zawierające (.5): sint oraz cost A( )cos Ah sin q, A( )sin Ah cos. Z równań (.53) wyznaczamy niewiadome wielkości A i :,.5) po obu stronach tożsamości (.53) q A, (.54) 4h h tg. (.55) Przy zadanych parametrach oscylatora, zarówno amplituda drgań wymuszonych, jak i przesunięcie fazowe drgań względem wymuszenia, są funkcjami częstości wymuszenia. Funkcje te nazywamy charakterystykami dynamicznymi układu o jednym stopniu swobody przy wymuszeniu harmonicznym. Kluczowe znaczenie ma charakterystyka amplitudowoczęstościowa A A( ) określona wzorem (.54), opisująca właściwości rezonansowe rozpatrywanego układu. Decyduje o tym jej ekstremum, które w układach słabo tłumionych może osiągać znaczne wartości. Zjawisko wzrostu amplitudy drgań wymuszonych ustalonych w pewnym przedziale częstości wymuszenia nazywamy rezonansem. Przebieg funkcji A ( ) pokazano na Rys..8 dla kilku wartości współczynnika tłumienia. 43

5 Rys..8. Amplituda drgań wymuszonych ustalonych jako funkcja częstości wymuszenia Interpretacja fizyczna amplitudy drgań wymuszonych przy Wielkość x st A() q F / m F k m k / x st jest następująca:. (.56) oznacza przemieszczenie statyczne oscylatora pod działaniem stałej siły równej amplitudzie F harmonicznej siły wymuszającej. Położenie rezonansu na osi częstości, czyli częstość rezonansową r oraz maksymalną wartość amplitudy A max można wyznaczyć badając ekstremum funkcji A ( ) : Z warunku koniecznego ekstremum otrzymujemy: 4h da ( )( ) 8h q. (.57) d da lub h d. (.58) Rozwiązanie oznacza, że wszystkie krzywe rezonansowe przy różnych tłumieniach mają poziomą styczną dla Maksymalna amplituda drgań w rezonansie wynosi:. Drugie rozwiązanie odpowiada położeniu rezonansu: r h. (.59) A max q q A( r ). (.6) h h h Punkty ekstremalne krzywych rezonansowych dla różnych tłumień leżą na krzywej A ( ), której równaniami parametrycznymi są równania (.59) i (.6), a współczynnik h jest parametrem. Wyznaczając h z równania (.59) i wstawiając do (.6), otrzymujemy: max r h 44

6 A ( max r ) q. (.6) Wykres tej funkcji jest linią przerywaną na Rys..8. Uwaga Z wzoru (.59) wynika, że rezonans występuje tylko dla słabych tłumień, gdy h /. W 4 4 r przypadku h / krzywa A( ) jest krzywą malejącą. Zwróćmy jeszcze uwagę na możliwość zapisu krzywej rezonansowej (.54) w postaci bezwymiarowej. Korzystając z bezwymiarowego współczynnika tłumienia wprowadzając zmienne bezwymiarowe: A/ x oraz Wielkości, częstości wymuszenia. st 4 / h/, otrzymujemy z (.54): oraz. (.6) noszą odpowiednio nazwy współczynnika wzmocnienia i bezwymiarowej Charakterystyka fazowo-częstościowa wynikająca z wzoru (.55) pokazana jest na Rys..9. dla kilku wartości współczynnika tłumienia h. Uwagi Rys..9. Kąt przesunięcia fazowego między drganiami i wymuszeniem, jako funkcja częstości wymuszenia. Drgania wymuszone ustalone są zawsze opóźnione w fazie względem siły wymuszającej, przy czym opóźnienie to jest bliskie dla dużych częstości wymuszenia.. Dla h, niezależnie od tłumienia, dla, mamy /. 3. Dla h krzywa ( ) jest przedziałami stała: dla, dla. 45

7 Powróćmy teraz do rozwiązania niejednorodnego równania ruchu (.47), które po określeniu rozwiązania szczególnego przyjmuje postać: Stałe C cost C sin t Asin( t ) ( ) ht x t e. (.63) A, są już znane, a stałe C,C należy wyznaczyć z warunków początkowych: x() x x () v x v C Asin C Asin, C h C A cos C x xh v A cos hsin. Widać, że obie stałe całkowania zależą zarówno od położenia i prędkości początkowej (.64) x,v, jak i od parametrów drgań wymuszonych A,. Pełne rozwiązanie równania ruchu (.47) można zatem przedstawić jako sumę trzech składników: poszczególne składniki mają postać: x ( t) e x ( t) Asin( t ). 3 ht x ( t) e x ht x t) x ( t) x ( t) x ( ) (.65) ( 3 t xh v cost sin t, A Asin cost cos hsin sin t, Interpretacja fizyczna poszczególnych składników jest następująca: x ( t ) - drgania swobodne tłumione spowodowane przez warunki początkowe, (.66) x ( t ) x 3( t ) - drgania swobodne tłumione spowodowane przez zadziałanie wymuszenia w - drgania wymuszone ustalone (harmoniczne). t, Nawet przy zerowych warunkach początkowych, drganiom wymuszonym o częstości h towarzyszą przez pewien czas drgania swobodne o częstości (Rys..). Rys... Nakładanie się drgań swobodnych i drgań wymuszonych ustalonych 46

8 Rozwiązanie równania drgań oscylatora liniowego z wymuszeniem harmonicznym o postaci (.65) i (.66), x 3( t ) jest drganiem harmonicznym, jest ważne z wyjątkiem jednego przypadku szczególnego braku tłumienia i pokrywania się częstości wymuszenia z częstością własną drgań swobodnych h,. W tym przypadku, na podstawie (.54) wiemy, że amplituda drgań wymuszonych jest nieograniczona, ale nie możemy wyznaczyć przebiegu drgań przejściowych. Rozpatrzmy zatem bliżej równanie ruchu o postaci: x x qsin t. (.67) Interesuje nas teraz tylko rozwiązanie szczególne równania pełnego. Założymy, że ma ono postać: a,b x sz ( t) atsin t btcos t, (.68) są pewnymi stałymi. Po podstawieniu postulowanego rozwiązania (.68), równanie ruchu (.67) powinno być spełnione tożsamościowo, to jest dla każdej chwili daje następujący wynik: a cos t at sin t b sin t bt cos t at sin t bt cos t qsin t. Porównując wyrazy podobne po obu stronach tożsamości (.69), otrzymujemy stałe Rozwiązanie szczególne (.68) wyraża się następująco: t. Podstawienie a,b (.69) q a, b. (.7) q t) t cost x ( t) x sz ( 3 : (.7) i odpowiada poszukiwanemu rozwiązaniu x 3( t ) we wzorze (.66). Amplituda tego rozwiązania rośnie liniowo, nieograniczenie. Wykres funkcji (.7) pokazano na Rys... 47

9 Rys... Przebieg drgań wymuszonych nietłumionych w ostrym rezonansie ( ).8. Drgania oscylatora liniowego przy wymuszeniu bezwładnościowym Rozpatrzmy oscylator liniowy o masie sprężyny o sztywności k m m, zamocowany do podłoża za pomocą i tłumika o stałej c, w sposób pokazany na Rys... Rys... Układ drgający o jednym stopniu swobody z wymuszeniem bezwładnościowym Jest to model maszyny o masie korpusu m z wirnikiem o masie m, niewyrównoważonym statycznie [], obracającym się ze stałą prędkością kątową. Środek masy wirnika znajduje się w odległości e od jego osi obrotu. Wirująca odśrodkowa siła bezwładności F b me jest źródłem wymuszenia harmonicznego całego układu drgającego, w kierunku pionowym F( t) m e sint. (.7) Jeśli x oznacza odchylenie oscylatora od położenia równowagi statycznej pod ciężarem własnym, to równanie drgań układu można zapisać w postaci: m m x cx kx m e sint. (.73) Dzieląc stronami (.73) prze całkowitą masę, otrzymujemy równanie analogiczne do (.47): q m m m x hx o x qsint, (.74) e jest amplitudą wymuszenia zależną od kwadratu częstości. Drgania wymuszone ustalone są harmoniczne: x ( t) Asin( t ), (.75) amplituda A jest następującą funkcją częstości wymuszenia: 48

10 Funkcja A( ) A( ) m m m e. (.76) 4h ma podwójne miejsce zerowe w punkcie, a jej granica przy wynosi me /( m m). Ekstremum (maksimum amplitudy) występuje przy częstości: da v r. (.77) d h Rezonans występuje tylko dla małych tłumień h /, a maksymalna amplituda wynosi: A max m e m m h h. (.78) Krzywa rezonansową A( ) pokazano na Rys..3 dla kilku wartości współczynnika h. Rys..3. Krzywe rezonansowe układu liniowego z wymuszeniem bezwładnościowym Miejscem geometrycznym punktów ekstremalnych krzywych rezonansowych dla różnych współczynników h jest krzywa o równaniu: m r A max e. (.79) m 4 4 m r Krzywa ta ma dwie asymptoty pionową dla r oraz poziomą na wysokości A max m e/( m m ). Jest pokazana jest na Rys..3. jako linia przerywana. W przypadku dużych tłumień h / ekstremum amplitudy drgań nie występuje i krzywa A ( ) jest monotonicznie rosnąca..9. Drgania oscylatora liniowego przy wymuszeniu kinematycznym 49

11 Wymuszenie kinematyczne polega na wprowadzeniu w zadany ruch s(t) punktu zamocowania elementu sprężystego, tłumiącego lub obu razem, jeśli stanowią jeden element sprężysto-tłumiący (Rys..4). Zajmiemy się teraz tym ostatnim przypadkiem, zakładając że zadany ruch jest ruchem harmonicznym. Na oscylator nie działa żadna jawnie zależna od czasu siła wymuszająca. Przyjmiemy współrzędną pod ciężarem własnym, przy Rys..4. Oscylator liniowy z wymuszeniem kinematycznym x, stanowiącą przemieszczenie oscylatora od położenia równowagi s( t). W czasie ruchu oscylator jest pod działaniem siły w sprężynie i siły w tłumiku, które zależą odpowiednio od przemieszczenia względnego końców sprężyny i prędkości względnej końców tłumika. Równanie ruchu oscylatora jest następujące: mx k( x s) c( x s ). (.8) Przenosząc niewiadome na lewa stronę równania, dzieląc stronami przez masę i zakładając s t) s sint, otrzymujemy równanie ruchu w postaci: ( x hx x s sint hs cost, (.8) h c/ m oraz k / m, jak w podrozdziale.7. Prawa strona równania (.8) jest funkcją harmoniczną, którą można przedstawić w postaci z amplitudą i fazą początkową: s sint hs cos t Bsin( t ), (.8) B 4 s 4h, tg h. Równanie ruchu przyjmuje wówczas postać: 4 x hx x s 4h sin( t ). (.83) Jak widać, założone wymuszenie kinematyczne udało się sprowadzić do pewnego harmonicznego wymuszenia siłowego, o amplitudzie zależnej od częstości wymuszenia. Drgania wymuszone ustalone mają postać: x ( t) Asin( t ), (.84) przesunięcie fazowe określa wzór (.55), a amplituda A wyraża się wzorem: 5

12 4h 4 4h A( ) s. (.85) Widać, że A( ) s oraz A( ) przy, niezależnie od wartości tłumienia h. Maksimum krzywej rezonansowej występuje dla częstości r spełniającej równanie: d d którego rozwiązanie jest następujące: 4 4h 4h, (.86) h/ 8( h/ ) 8 r, (.87) 4( h/ ) jest bezwymiarowym współczynnikiem tłumienia. Można pokazać, że dla każdego przy czym r istnieje ekstremum w przedziale gdy r oraz że r. Krzywe rezonansowe pokazano na Rys..5. jest malejącą funkcją, Rys..5. Krzywe rezonansowe oscylatora liniowego z wymuszeniem kinematycznym.. Amortyzacja drgań Amortyzacja drgań polega na działaniu zmierzającym do zmniejszenia maksymalnych wartości procesów drganiowych, które pojawiają się w układach drgających i mają niekorzystny wpływ na pracę tych układów. Amortyzacja może dotyczyć przemieszczeń pewnych elementów lub punktów układu drgającego, prędkości, przyspieszeń, naprężeń, odkształceń, a także sił, którymi układ drgający działa na podłoże lub inne układy. Z codziennego doświadczenia wiemy, jak ważną rolę odgrywa układ amortyzacji drgań pojazdu 5

13 poruszającego się po nierównościach drogi. Zapewnia on nie tylko komfort jazdy pasażerom, ale też stabilność pojazdu i przyczepność kół przy znacznych prędkościach jazdy po łukach drogi i nierównościach nawierzchni. W pojeździe można znaleźć wiele układów amortyzacji drgań, np. elementy elastyczne w układzie napędowym, w układzie kierowniczym, czy dynamiczne eliminatory drgań skrętnych w układzie korbowym. Współczesne układy amortyzacji drgań są już bardzo często układami mechatronicznymi, zawierającymi elementy aktywne, np. tłumiki z cieczą magnetorelogiczną, o właściwościach sterowanych polem magnetycznym, a także elementy wykonawcze sterowane przez komputer pokładowy. Tego typu układy są przedmiotem badań w laboratoriach naukowych i ośrodkach rozwojowych koncernów. W niniejszym wykładzie skupimy się na podstawach amortyzacji drgań, bazujących na zdobytej wiedzy dotyczącej drgań układów o jednym stopniu swobody przy wymuszeniu harmonicznym. Przedmiotem zainteresowania będą dwa następujące problemy: a) siła dynamiczna przenoszona z układu drgającego na podłoże, b) drgania przenoszone z podłoża do układu drgającego. Przypadek a) występuje np. w hamowniach silnikowych, w halach elektrowni, na pkladach statków i samolotów. Przypadek b) jest typowy dla pojazdów poruszających się po nierównościach drogi oraz dla budynków i urządzeń znajdujących się w pobliżu kolei podziemnej. Rozpatrzymy te przypadki oddzielnie i pokażemy ich główne właściwości. Siła dynamiczna przenoszona z układu drgającego na podłoże Rozpatrzmy oscylator harmoniczny o masie m m m, m jest masą obudowy, a m masą wirnika łożyskowanego w obudowie i obracającego się z prędkością kątową. Środek masy wirnika znajduje się w odległości podłożu na elemencie sprężysto-tłumiącym o sztywności k e od jego osi obrotu. Oscylator jest osadzony na i stałej tłumienia c. Wyznaczymy amplitudę siły przenoszonej na podłoże za pośrednictwem elementu sprężysto-tłumiącego. Jeśli x oznacza odchylenie oscylatora od położenia równowagi statycznej pod ciężarem własnym), to równanie drgań wymuszonych tego oscylatora ma postać: ( m m ) x cx kx m e sint. (.88) Nie określamy warunków początkowych, ponieważ interesuje nas siła przenoszona na podłoże w warunkach drgań wymuszonych ustalonych, które mają postać (.5): x ( t) Asin( t ). (.89) 5

14 Siła przenoszona na podłoże jest sumą sił w sprężynie i w tłumiku: P( t) kx( t) cx ( t) kasin( t ) ca cos( t ). (.9) Jak widać, siła ta jest funkcją harmoniczną, którą można przekształcić do postaci: P( t) AP sin( t ), (.9) A P oznacza amplitudę siły P(t) i wynosi: A P A k c. (.9) Po uwzględnieniu wzoru (.54) na amplitudę drgań wymuszonych otrzymujemy: A P q 4h m e. (.93) h 4h 4 4 Widzimy, amplituda AP A P ( ) jest funkcją, która ma podwójne miejsce zerowe przy oraz dla każdej wartości współczynnika tłumienia A P przy. Przebieg tej funkcji przy różnych intensywnościach tłumienia pokazano na Rys..6. Rys..6. Amplituda siły przenoszonej na podłoże w funkcji częstości wymuszenia w przypadku oscylatora z wymuszeniem bezwładnościowym Cechą charakterystyczną wszystkich krzywych rezonansowych A P( ) odpowiadających różnym tłumieniom jest to, że przechodzą one przez ten sam punkt, A P m e. 53

15 Oznacza to, że dla zwiększenie tłumienia powoduje redukcję amplitudy siły przenoszonej na podłoże, podczas gdy przy Drgania przenoszone z podłoża na układ drgający jest odwrotnie. Ten przypadek odpowiada bezpośrednio zagadnieniu drgań oscylatora harmonicznego przy wymuszeniu kinematycznym, które zostało zbadane w podrozdziale.9. Obowiązują wzory (.8)-(.87). W następnym wykładzie pokażemy przykład zastosowania tych wzorów w amortyzacji drgań pojazdu poruszającego się ze stałą prędkością po nierównościach drogi o profilu sinusoidalnym. Pytania sprawdzające do wykładu 3. Jakie jest źródło energii drgań wymuszonych?. Jakich składniki tworzą rozwiązanie równania oscylatora liniowego z wymuszeniem harmonicznym i jaka jest ich interpretacja fizyczna? 3. Krzywa rezonansowa układu liniowego przy wymuszeniu siłą harmoniczną o stałej amplitudzie. 4. Przesunięcie fazowe między wymuszeniem harmonicznym i drganiami wymuszonymi ustalonymi. 5. Kiedy drgania wymuszone ustalone są w fazie z wymuszeniem, a kiedy w przeciwfazie? 6. Co rozumiemy przez wymuszenie bezwładnościowe? 7. Co to jest wymuszenie kinematyczne? 8. Krzywa rezonansowa układu liniowego przy wymuszeniu bezwładnościowym. 9. Krzywa rezonansowa układu liniowego przy wymuszeniu kinematycznym.. Jaką postać mają drgania wymuszone harmonicznie w tzw. ostrym rezonansie? 54