V.4 Ruch w polach sił zachowawczych

Transkrypt

1 r. akad. 5/ 6 V.4 Ruch w polach sił zachowawczych. Ruch cząstki w potencjale jednowyiarowy. Ruch w polu siły centralnej. Wzór Bineta 3. Przykład: całkowanie wzoru Bineta dla siły /r Dodatek: całkowanie wzoru Bineta przez kwadratury Jan Królikowski Fizyka IBC

2 . Ruch w potencjale jednowyiarowy Zasada zachowania energii w przypadku jednowyiarowy: x V(x) E + = r. akad. 5/ 6 Możey odwikłać wyrażenie na prędkość i scałkować po czasie: x x x(t) x = = ( ) E V ( ) E V dx ( ) E V x t t = dt = t t Jest to prostsze niż całkowanie r. ruchu Jan Królikowski Fizyka IBC

3 r. akad. 5/ 6. Ruch w polu siły centralnej Będziey korzystali z dwóch praw zachowania: energii i oentu pędu. Ruch jest płaski; wprowadziy współrzędne biegunowe r, φ w płaszczyźnie ruchu. Prawa zachowania: ( r + r φ ) + V ( r ) = E = r φ Prawo zachowania oentu pędu pozwoli na wyeliinowanie prędkości kątowej: φ = r 4 Jan Królikowski Fizyka IBC 3

4 r. akad. 5/ 6 Ruch w polu siły centralnej cd. Wyrażenie na energię ożey przekształcić do postaci: r + = ( E V( r) ) r r = E V( r) r dr = t t E V( r) r Znalezienie ruchu r=r(t) sprowadza się w ty przypadku do policzenia całki i odwikłania zależności od czasu. Zależność φ=φ( t) Jan Królikowski Fizyka IBC 4

5 r. akad. 5/ 6 Ruch w polu siły centralnej cd. Zależność kąta od czasu dostajey całkując prawo zachowania oentu pędu: dφ r dt = φ φ dφ dφ dr = dt dr dt Dostajey równanie toru r = r ( φ) φ φ = dφ= = dt r r ( φ) r r E V r dr r Jan Królikowski Fizyka IBC 5

6 Potencjał efektywny. Bariera odśrodkowa Prawo zachowania energii oże być zapisane w postaci: r + V( r) + = E r Człon zależny od nosi nazwę bariery odśrodkowej, bo F φ = = = dr r r dt d o r d 3 skierowana jest od centru siły. r. akad. 5/ 6 Sua energii potencjalnej i członu odśrodkowego to efektywna energia potencjalna: E = V( r) + r p,ef Jan Królikowski Fizyka IBC 6

7 Potencjał efektywny. Bariera odśrodkowa cd. r. akad. 5/ 6 Punkty zwrotne: E E r = p,ef E Spadanie, zderzenia /r Dozwolony obszar ruchu r E p,ef V(r) Układy związane Jan Królikowski Fizyka IBC 7

8 r. akad. 5/ 6 Wzór Bineta: równanie toru w polu sił centralnych Równania ruchu w płaszczyźnie ruchu siła a tylko składową radialną: ( ) φ ( ) a = r rφ = F r a = rφ+ rφ = r Drugie z tych równań to zasada zachowania oentu pędu: d ( ) φ = φ d a r = = rdt rdt Równanie toru otrzyay zaieniając różniczkowanie po czasie na różniczkowanie po fi: d dφ d d = = φ dt dt dφ r d Stosując dwukrotnie dostajey: d r = r dφ r Podstawiając do r. Radialnego dostajey wzór Bineta: d r + = Fr dφ r r Jan Królikowski Fizyka IBC 8

9 r. akad. 5/ 6 Kiedy tor wyraża się przez funkcje trygonoetryczne? Przyjijy, że F(r)=Fr n. Wtedy ay: du φ φ = E F n + u u n+ Całka daje na arcsin gdy pod pierwiastkie ay wieloian drugiego stopnia bo: ( u) d ξ arcsin ξ A ξ A φ=φ = = Zachodzi to dla n=, 3 i - oscylator Siła grawitacji i kulobowska Jan Królikowski Fizyka IBC 9

10 May: Wzór Bineta: Przykład: całkowanie wzoru Bineta dla siły grawitacyjnej α = = GM r r Fr d α + = = φ d r r p Ma rozwiązanie w postaci krzywej stożkowej ogniskie w centru siły: ε = + cos φ φ r p p p r = +ε cos φ φ Charakter stożkowej zależy od wartości iośrodu ε:. ε < elipsa r. akad. 5/ 6. ε = parabola krzywa zierza do nieskończoności dla φ = φ +π 3. ε > hiperbola krzywa zierza do nieskończoności dla φ = φ +arccos(/ ε) Jan Królikowski Fizyka IBC

11 r. akad. 5/ 6 Wartość iośrodu ε Miośród wyznaczay wstawiając wyrażenie na u=/r do całki energii otrzyanej ze wzoru Bineta (tr. 3): ε du ε α u = = + cos ( φ φ ) ; = sin ( φ φ ) ; = r p p dφ p p du + E u = + u dφ p ε ε E ε sin cos cos ( φ φ ) + + ( φ φ ) = + + ( φ φ ) p p p pα p p p pe p E p p p α p α ε + = ; ; = + ε = + ε + E = + α pe α Jan Królikowski Fizyka IBC

12 r. akad. 5/ 6 Miośród jako funkcja energii pe ε = + E = + ; p>, α> α α Widać, że iośród jest: niejszy od rozwiązanie eliptyczne dla ujenych energii, większy od rozwiązanie hiperboliczne dla dodatnich energii, równy rozwiązanie paraboliczne dla energii zerowych Jan Królikowski Fizyka IBC

13 r. akad. 5/ 6 Dodatek: Całkowanie wzoru Bineta dla sił centralnych przez kwadratury Widać, że w polu sił centralnych naturalną zienną jest u=/r. W ziennej u F(r)=F(/u)=f(u) i ze wzoru Bineta dochodziy do r.r. z rozdzielonyi ziennyi:: du du d u d φ + u = f u d du du + u = f u dφ dφ u dφ dφ u φ du fu + u = du+ C =+ F( r) dr+ C (*) Jan Królikowski Fizyka IBC 3

14 r. akad. 5/ 6 Ostatni wzór jest tożsay z całką (prawe zachowania) energii: Jeżeli paiętay, że praca siły radialnej jest równa (energii potencjalnej): Stąd stała C jest proporcjonalna do energii całkowitej E: Dodatek cd. Przekształcay dalej (*) z tr. 9, tak, żeby rozdzielić zienne: + φ r r + V r = C ( ) C = Vr Frdr = E du = Frdr+ C u dφ du + C =φ Frdr + C u dr + φ =φ r F( r) dr+ C ( / r) Jan Królikowski Fizyka IBC 4 r E V r dr r =φ φ

15 r. akad. 5/ 6 Ostatnie równanie jest takie sae jak otrzyane już r. toru na tr. 5. Jest to sprawdzenie, że z równania Bineta ożey znaleźć ruch i tor dla sił centralnych. Dodatek cd. Jan Królikowski Fizyka IBC 5