ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI

Transkrypt

1 ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. =1+cos a) = =2cos( sin) = = sin2 = ln += =sin2 = ln 1+cos +. b) sin(+3)= =+3 = 3 =( 3) = sin= =( 6+9) sin= sin 6 sin+9sin. Obliczamy teraz pierwszą całkę: sin= ()= ()=sin ()=2 ()= cos = cos+2cos = = ()= ()=cos ()=1 ()=sin = cos+2sin sin= a następnie drugą całkę: A więc: = cos+2(sin+cos)+ ; sin= ()= ()=sin = cos+cos = ()=1 ()= cos = cos+sin+. sin(+3)= cos+2(sin+cos) 6( cos+sin) 9cos+= = cos+2sin+6cos 7cos 6sin+= = (+3) cos(+3)+2(+3)sin(+3)+6(+3)cos(+3) 7cos(+3)+ 6sin(+3)+=(2 )cos(+3)+2sin(+3)+. Zadanie A2. a) ( 1 ) = ( 1 ) + ( 1 ) = = ( +1) + ( 1) = Strona 1

2 = (2 1) + = + =1. =3 1 =6 b) 2 = = =0 = 1 =1 =2 =. Zadanie A3. Przechodzimy do układu YOX: = 2 = 2 = 4 = = 4( 1) = 4+4 =, 2++2=0 =, a następnie robimy rysunek: x y Rozwiązujemy układ równań: = = skąd otrzymujemy: = 2 lub =4. Obliczamy pole obszaru: Zadanie A4. = +, skąd = 2+ =, czyli 2 8=0, =2+ =9. ( ) = ( ) + ( ). Obliczmy najpierw całkę nieoznaczoną: Strona 2

3 =1+ (1+ ) = =4 1 = = =1 4 = = = ( ) +. a) Badamy zbieżność pierwszej z całek po prawej stronie: (1+ ) = lim (1+ ) = lim 1 20(1+ ) = =lim + ( ) =, a więc ( ) = (całka jest zbieżna). b) Badamy zbieżność drugiej z całek po prawej stronie: (1+ ) = lim =lim ( ) + =, (1+ ) = lim 1 20(1+ ) = a więc c) Zatem: ( ) = (całka jest zbieżna). ( ) = + =0 (całka jest zbieżna). Zadanie A5. Zauważmy najpierw, że jeżeli ()= ctg mamy:, to ()= ctg, zatem ()=(tg ) ctg +tg ctg = =2tg ctg +tg ( ctg )= ctg 1. Zadanie A6. Wykorzystamy funkcję: (,)= Mamy: = ( ) / 2= =( ) /. =3, Δ=0,02, =1, Δ= 0,01,, = ( ) / ( 3 )= ( ), ( ) Strona 3

4 Obliczamy: (,)= (, )=(3,1)= 3 1 =2, (2Δ 3 Δ). ( ) (, )=(3,1)= (2 3 0, ,01)=0,015. Zatem: (3,02) (0,99) 2+0,015=2,015. Zadanie A7. Ponieważ =, więc tezę możemy zapisać w postaci: co uprości rachunki. Dla funkcji = ln( ) mamy: 2 =, = ln( ) = ln( ) = 2= = = 2=, = =2 =2. = Obliczamy obie strony tezy:,. = 2 = 2, =.= = =. Ponieważ. =., więc badana równość zachodzi. Zadanie A8. Przekształćmy dane równanie: (2 +2 1)=2 : (2 +2 1) =2. Obliczamy pochodną funkcji uwikłanej, danej równaniem ln( +)=. Przyjmijmy w tym celu =(). Otrzymujemy: Zapisujemy ostatnią równość krócej: (() ln +()) =() 2() () () 2+ ()= =0 Strona 4

5 i obliczamy z niej : Wróćmy do równania różniczkowego: =0 2 + = = =. = 2 +. =(2 +2 1) =(2 +2 1) a więc dana rodzina krzywych spełnia dane równanie różniczkowe. Zadanie A9. Po podzieleniu obu stron równania przez mamy: =2=., + 1 =(+1) /( ) i, jak widać, otrzymaliśmy równanie różniczkowe liniowe. Rozwiązujemy je. Etap 1: Tworzymy równanie uproszczone: i rozwiązujemy je: + 1 =0 = 1 = 1 = 1 = 1 Strona 5

6 1 = 1 ln + = ln = +. Otrzymaliśmy rozwiązanie w postaci uwikłanej, przekształcimy ją do postaci funkcyjnej: = = = =. Otrzymaliśmy rozwiązanie ogólne równania uproszczonego w postaci funkcyjnej. Etap 2. Skąd =(), = () +() = () (). Po podstawieniu do równania liniowego otrzymujemy: () () + () =(+1) skąd otrzymujemy: () =(+1), a więc ()=+1. Po scałkowaniu mamy: ()=(+1)= ++. Zatem rozwiązanie ogólne równania liniowego ma postać: = Strona Zadanie A10. Dane równanie różniczkowe ( z uwagi np. na obecność ) nie jest równaniem liniowym. Aby rozpoznać jego typ, przekształcamy je: ( +2) =3+2, =,

7 = =. Otrzymaliśmy równanie jednorodne. Podstawiamy =, dokładniej, ()=(), skąd ()= (), a więc ()=()+ () lub, krócej, =+. Po wstawieniu do równania jednorodnego otrzymujemy: + = = = = = = = = = ln + =ln + + ln =ln +. Ponieważ =, więc mamy rozwiązanie ogólne równania jednorodnego postaci (uwikłanej): + ln =ln +. Strona 7

8 Z uwagi na warunek początkowy (1)=1 wstawiamy do niego =1 oraz =1, otrzymując: 1+ ln 1 =ln 1 +, skąd =1. Zatem rozwiązanie szczególne, spełniające warunek (1)=1 ma postać (uwikłaną): Zadanie B1. a) Zadanie B2. a), b). Zadanie B3. =9. + ln =ln +1. cos(2+3ln)+, b) +. x y Zadanie B4. jest rozbieżna. jest rozbieżna (podobnie jak i całka ), a więc Zadanie B5. Jeżeli ()= cos(sin), to ()=2cos(sin2) cos(sin), zatem: ()=(cos) cos(sin) Zadanie B6. = +, (,)= (2,02) +(0,97) 3,03. +(sin) 2cos(sin2) cos(sin). (3 Δ+2 Δ), Zadanie B7. = sin( ), =2cos( ), równość zachodzi., dana rodzina krzywych spełnia dane równanie różniczko- Zadanie B8. = ( ) we. Zadanie B9. Dane równanie można zapisać w postaci: + sin= cos( ), a więc jest to równanie różniczkowe liniowe. Rozwiązanie ogólne równania uproszczonego: Strona 8

9 ln =cos+ (postać uwikłana) lub = (postać funkcyjna). Po uzmiennieniu stałej mamy: ()= cos( ), skąd ()= sin( )+. Zatem rozwiązanie ogólne równania liniowego ma postać: = sin( )+. Zadanie B10. Dane równanie można doprowadzić do postaci: = równanie o zmiennych rozdzielonych. Jego rozwiązaniem ogólnym jest: =, a więc jest to 2+4ln +2 + (postać uwikłana), zaś rozwiązaniem szczególnym, spełniającym podany warunek początkowy jest: = 2+4ln +2. Zadanie C1. a) + +, b) ln( 1) ln 1 +. Zadanie C2. a) 2, b) (). Zadanie C3. = ln10 y x Zadanie C4. ( ) = (całka jest zbieżna). Zadanie C5. a) ()=3tg(9 ), b) =. Zadanie C6. = sin, = sin, = cos, = = sin + cos, = 2sin + cos. Zadanie C7. Przyjmując =ln( +), =0, Δ=0,02, =1, Δ= 0,01 mamy: (,)= (2 Δ+Δ), skąd ln(0,02) +0,99 0,01. Zadanie C8. Tak. Strona 9

10 Zadanie C9. Dane równanie można przekształcić do postaci: =, więc jest to równanie o zmiennych rozdzielonych, którego rozwiązanie ogólne ma postać (uwikłaną): ln( +1)=2 ln1+ +. Zadanie C10. Po przekształceniu danego równania do postaci + = stwierdzamy, że jest to równanie liniowe. Rozwiązanie ogólne równania uproszczonego jest postaci: ln = 2ln + (postać uwikłana) lub = (postać funkcyjna). Po uzmiennieniu stałej otrzymujemy ()= sin, skąd ()=sin cos+. Tak więc rozwiązanie ogólne równania liniowego ma postać: =. Rozwiązanie szczególne, spełniające podany warunek początkowy ma postać: =. Strona 10