1.5. ZWIĄZKI KONSTYTUTYWNE STRONA FIZYCZNA

Transkrypt

1 J. Wyrwał, Wykłady z echaniki ateriałów.5. ZWIĄZKI KONSTYTUTYWN STRONA FIZYCZNA.5.. Wprowadzenie Wyprowadzone w rozdziałach.3 (strona statyczna) i.4 (strona geoetryczna) równania (.3.36) i (.4.) są niezależne od rodzaju ciała aterialnego, które oże być stałe, ciekłe czy też gazowe, oraz od rodzaju substancji (ateriału), z której jest ono zbudowane. Z eksperyentu wynika jednak, że eleenty konstrukcyjne wykonane z różnych ateriałów odkształcają się różnie przy taki say obciążeniu. Zate odkształcenia i naprężenia uszą być ze sobą związane, zaś postać tych związków zwanych równaniai (związkai) konstytutywnyi, fizycznyi lub ateriałowyi, jest zależna od rodzaju ateriału ciała. Jeśli spojrzeć na to zagadnienie z ateatycznego punktu widzenia, to w 3 równaniach równowagi (.3.36) występuje 6 współrzędnych tensora naprężeń. Z kolei 6 równań geoetrycznych (.4.) zawiera 3 współrzędne wektora przeieszczeń u i oraz 6 współrzędnych tensora odkształceń. Zate do wyznaczenia 5 niewiadoych ay tylko 9 równań. Musiy więc uzupełnić brakującą liczbę równań o dodatkowe równania, zwane, jak już wsponiano wyżej, związkai konstytutywnyi. Równania te są ateatyczny odele rzeczywistego ateriału i ujują one na ogół jego najważniejsze cechy, przy czy ich postać jest ściśle powiązana z badaniai doświadczalnyi. Związki konstytutywne opisują zachowanie się ateriałów stosowanych w eleentach konstrukcyjnych pod wpływe różnego rodzaju czynników zewnętrznych, np. obciążeń, teperatury, wilgoci, czasu itd. Z uwagi na różnorodność ateriałów i ich zachowania pod wpływe obciążenia liczba takich związków jest duża. W naszych rozważaniach ograniczyy się do najprostszych, często występujących w praktyce inżynierskiej Równania HOOK A Rozważy zate ateriał anizotropowy (o właściwościach zależnych od kierunku), jednorodny (o właściwościach jednakowych w każdy punkcie) i sprężysty (w który odkształcenie znika po usunięciu obciążenia). Przy uiarkowanych wartościach obciążenia ożna przyjąć, że zależność naprężeń od odkształceń w taki ateriale dana jest następującyi związkai konstytutywnyi: () kl kl lub C (2) kl kl

2 zwanyi równaniai HOOK A, gdzie kl jest tensore sprężystości, natoiast C kl tensore podatności, przy czy C n kl δ δ k nl. Materiał opisany powyższyi równaniai nazyway liniowo-sprężysty. Ponieważ tensor stałych sprężystości jest tensore czwartego rzędu, zate liczba jego współrzędnych wynosi Z uwagi na syetrię tensora naprężeń liczba jego niezależnych współrzędnych aleje do 36. Syetria tensora odkształceń powoduje zniejszenie liczby niezależnych współrzędnych do 2. W przypadku ateriału ortotropowego (o trzech wzajenie prostopadłych osiach syetrii) liczba niezależnych stałych ateriałowych aleje do 9. Najczęściej spotykane w praktyce inżynierskiej są jednak ateriały izotropowe (o właściwościach niezależnych od kierunku). W przypadku takich ateriałów występujący w związku () tensor sprężystości przyjuje postać kl kl ( δ δ δ δ ) λδ δ + µ + (3) gdzie µ, λ nazywane są stałyi LAM (stałe sprężystości). Podstawiając (3) do () dostajey po prostych przekształceniach i wykorzystaniu właściwości delty KRONCKRA następujące związki konstytutywne: ik jl il jk 2 µ + λ δ (4) które wyrażają naprężenia przez odkształcenia w przypadku ateriału izotropowego. Równania powyższe po rozpisaniu względe wskaźników przyjują postać 2 ( + λ) + λ( + ) ( + λ) + λ( + ) ( + λ) + λ( + ), 2 3, 3 (4 ) Należy zauważyć, że do określenia właściwości echanicznych takiego ateriału wystarczają tyko dwie stałe sprężystości. W celu otrzyania związku ujującego zależność odkształceń od naprężeń ponożyy najpierw obie strony zależności (3) przez δ. Dostaniey wtedy Z powyższego wynika, że ( 2 µ + λ) 3 (5) (6) Podstawiając (5) do (4) otrzyujey, po prostych przekształceniach, kolejną postać związku konstytutywnego 2

3 λ δ (7) zaś po rozpisaniu względe wskaźników [ 2( µ + λ) λ( + )] ( ) [ 2( µ + λ) λ( + )] ( ) [ 2( µ + λ) λ( + )] ( ) 2 2, 3 3, (7 ) Równania (4) i (7) noszą nazwę pierwszej postaci prawa HOOK A. Warto zauważyć, że relacja (6) pozwala przedstawić względną zianę objętości eleentarnego sześcianu (.4.37), zwaną dylatacją, w następującej postaci: V V V (8) W zagadnieniach inżynierskich wykorzystujey zazwyczaj inne stałe ateriałowe liniowej sprężystości, a ianowicie: oduł sprężystości podłużnej (odułu YOUNGA) [N/ 2 ], oduł sprężystości poprzecznej (odułu KIRCHOFFA) G [N/ 2 ] oraz współczynnik POISSONA ν [ ]. Między tyi stałyi a stałyi LAM` istnieją następujące relacje: µ G 2 λ ( + ν ) ν ( + ν )( ) (9) skąd wynika, że + ν λ ν + ν (0) Wykorzystując relacje (9) w związkach (4) otrzyujey 3

4 ν + + ν δ () Równania te po rozpisaniu względe wskaźników przyjują postać [ ] ν + ν + + ν 2 ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) [( ν ) ( )] + ν + + ν ( )( ) [( ν ) ( )] + ν + + ν, 2 3, 3 ( ) Uwzględniając z kolei (0),2 w (7) dostajey [( ν ) ν δ ] + (2) a po rozpisaniu względe wskaźników 2 2, 3 [ ν ( + )] [ ν ( + )] [ ν ( + )] 3, (2 ) Związki () i (2) noszą nazwę drugiej postaci prawa HOOK A. Z kolei zależność (0) 3 pozwala zapisać (8) w postaci V V V (3) Jeśli > 0, to V V 0, a więc 0. Wynika stąd, że 0 ν 2. Z relacji (3) wynika, że największy przyrost objętości eleentarnego sześcianu przy dany obciążeniu będzie iał iejsce wtedy, gdy ν 0, natoiast najniejszy, gdy ν 2. Materiałe o współczynniku POISSONA ν 0 jest korek, natoiast ateriałe, którego współczynnik ν 2 jest gua Prawo ziany objętości i prawo ziany postaci Zależność (5) z uwagi na (0) 3 ożna przedstawić w postaci 4

5 (4) gdzie 3 jest naprężenie średni, zaś 3 odkształcenie średni. Wprowadzając nową stałą ateriałową zdefiniowaną jako zapisujey (4) w następującej postaci 3K (5) 3K (6) zwanej prawe ziany objętości, gdzie K jest odułe sprężystości objętościowej (odułe ściśliwości). Nazwa ta jest konsekwencją wzoru (3), zgodnie z który, naprężenia średnie powodują tylko zianę objętości eleentarnego sześcianu, nie zieniając jego kształtu. Mnożąc z kolei zależność (4) przez δ i odejując wynik stronai od związków (4), przy wykorzystaniu relacji 3, otrzyujey ( ) δ ( δ ) δ δ (7) Uwzględniając w powyższy wzorze zależności (.3.40) i (.4.4) oraz kładąc otrzyujey następujący związek fizyczny: µ G d d (8) zwany prawe ziany postaci. Nazwa ta jest konsekwencją zerowania się pierwszego d nieziennika dewiatora naprężeń I 3 0, co wyklucza zianę objętości eleentarnego sześcianu. Natoiast naprężenia styczne, będące współrzędnyi dewiatora naprężeń, powodują zianę jego postaci (kształtu). Wartości liczbowe odułu sprężystości podłużnej (odułu YOUNGA), odułu sprężystości poprzecznej (odułu KIRCHOFFA) G, odułu sprężystości objętościowej (odułu ściśliwości) K oraz współczynnika POISSONA ν wybranych ateriałów budowlanych zawiera tabela. Materiał Tabela. Właściwości echaniczne ateriałów budowlanych Gęstość ρ [kg/ 3 ] Moduł Younga [GPa] Moduł Kirchoffa G [GPa] Moduł ściśliwości K [GPa] Współczynnik Poissona ν [-] Stal ięa Żeliwo Aluiniu Beton B Szkło

6 Zagadnienia na egzain. Zdefiniować i oówić równania konstytutywne (fizyczne) HOOK A w przypadku anizotropowego i izotropowego ateriału liniowo-sprężystego. 2. Podać i oówić związki iędzy stałyi ateriałowyi liniowej sprężystości (stałyi LAM ) µ, λ a odułe sprężystości podłużnej (odułe YOUNGA), odułe sprężystości poprzecznej (odułe KIRCHOFFA) G oraz współczynnikie POISSONA ν. 6