WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE

Transkrypt

1 Wnioskowanie saysyczne w ekonomerycznej analizie procesu produkcyjnego / WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W EKONOMETRYCZNEJ ANAIZIE PROCESU PRODUKCYJNEGO Maeriał pomocniczy: proszę przejrzeć srony Rozważmy nasępujące formy funkcyjne echnologii: Funkcja ranslogarymiczna: ln Q α ln ( ) 4 ( ln ) ln () Funkcja Cobba i Douglasa (poęgowa): ln Q α ln () Funkcja o sałej elasyczności subsyucji (CES): ν [ δ K + ( δ ) ] Q γ () (Uwaga! powyżej podajemy deerminisyczną posać echnologii, z pominięciem składników losowych, dane są przykładowe posacie funkcji dwuczynnikowych z wielkościami nakładów oznaczonymi jako K oraz ) W zasosowaniach ekonomerycznych możemy zbudować nasępujące równania obserwacji (po uwzględnieniu specyfikacji sochasycznej oraz dodakowo z dynamizacją [ylko dla danych w posaci szeregów czasowych]): Dla funkcji ranslogarymicznej: ln Q α ln ( ) 4 ( ln ) ln + τ + ε (4) Dla funkcji Cobba i Douglasa (poęgowej): ln Q α ln + τ + ε () Funkcja o sałej elasyczności subsyucji (CES): ν ln Q lnγ + ln[ δk + ( δ ) ] + τ + ε. (6) Jeśli możemy założyć, iż ε ~ iin (, σ ), o równania (4) oraz () spełniają założenia Klasycznego Modelu Normalnej Regresji iniowej, zaś równanie (6) spełnia założenia Modelu Normalnej Regresji Nieliniowej. Gdy mamy do czynienia z danymi przekrojowymi (lub nie chcemy rozważać funkcji zdynamizowanej), pomijamy...+τ Załóżmy, że przyjęo nasępującą kolejność w wekorze paramerów [i co za ym idzie, odpowiednio w x dla równania (4) oraz () oraz w A (β ) dla równania (6)]: -dla funkcji ranslogarymicznej (4): [ α α α α α α τ ] β 4 ' (7)

2 Wnioskowanie saysyczne w ekonomerycznej analizie procesu produkcyjnego / -dla funkcji Cobba i Douglasa (): β [ α α α τ ] -dla funkcji CES (6): [ γ δ ν τ ] ' (8) β ' (9) Po dokonaniu esymacji dysponujemy ocenami paramerów MNK: βˆ [dla f. CES (6) są o oceny nieliniowej MNK] oraz oszacowaną macierzą kowariancji esymaora: V ˆ ( βˆ ) [dla f. CES (6) V βˆ ]. mamy oszacowaną asympoyczną macierz kowariancji esymaora nieliniowej MNK: ( ) Rozważmy zasosowania znanych nam możliwości wnioskowania saysycznego w KMNR oraz MNRN. Możliwość redukcji modelu: Możemy się zasanawiać, czy dane dopuszczają możliwość zasąpienia wykorzysywanej formy funkcyjnej przez formę prosszą. W szczególności: Dla funkcji CES (6) zauważamy, że przy funkcja CES ma własności funkcji Cobba i Douglasa. W związku z ym hipoezę o zerowaniu się parameru możemy inerpreować w przybliżeniu jako es redukcji funkcji CES do funkcji Cobba i Douglasa. Parę hipoez: (H : ; H : ) esujemy esem -Sudena. Dla funkcji ranslogarymicznej (6) zauważamy, że gdy równocześnie wyzerujemy paramery α, α 4, α, o orzymamy funkcję Cobba i Douglasa. Parę hipoez: (H : α α 4 α ; H : α α 4 α ) esujemy esem F. W powyższych przypadkach modelowi prosszemu (funkcji Cobba i Douglasa) odpowiada hipoeza zerowa. Pamięajmy, że wynik esu brak podsaw do odrzucenia H nie oznacza, iż musimy ją przyjąć nie można auomaycznie wyniku esu przenosić na decyzję o redukcji modelu, jednakże wynik esu może być isoną przesłanką akiej decyzji. Wobec ego w przypadku braku podsaw do odrzucenia H możemy zredukować formę CES lub funkcję ranslogarymiczną do formy Cobba i Douglasa. Wnioskowanie o współczynniku posępu echniczno-organizacyjnego: Możemy każdorazowo esować zasadność wprowadzenia dynamizacji (co można inerpreować jako badanie wysępowania isonego posępu/regresu echniczno-organizacyjnego). Odpowiada o oczywiście esowaniu isoności parameru τ, do czego wykorzysamy es ypu -Sudena. Podobnie możemy dokonać esymacji przedziałowej parameru τ, wykorzysując sandardowy sposób posępowania. Wnioskowanie o elasycznościach produkcji względem wielkości nakładów: W przypadku funkcji Cobba i Douglasa () orzymujemy: ElQ / K α. Wobec ego E lˆ Q / K ˆ α, D( Elˆ Q / K ) D( ˆ α ) wyliczamy sandardowo i możemy sandardowymi echnikami prowadzić zarówno esymację przedziałową ej elasyczności, jak i weryfikować parę hipoez ypu: (H : El Q/K x*; H : El Q/K x*) esem - Sudena [x* oznacza pewną usaloną, ineresującą nas warość, np. ] ˆas

3 Wnioskowanie saysyczne w ekonomerycznej analizie procesu produkcyjnego / W przypadku funkcji ranslogarymicznej () orzymujemy: ElQ / K α ln. Wobec ego Elˆ Q ˆ ˆ ˆ / K α * ln * [gdzie K* oraz * o pewne ineresujące nas znane, nielosowe wielkości nakładów], zaś aby wyliczyć D ( El ˆ Q / K ) odwołujemy się do wnioskowania o liniowej funkcji współczynników regresji: przyjmujemy: ψ c β α * ln * ' gdzie (por. (7)): c [ lnk* ln* ]]. Dalej sandardowo wyliczamy D( Elˆ Q / K ) D( ψˆ ) i możemy zwykłymi echnikami prowadzić zarówno esymację przedziałową ej elasyczności, jak i weryfikować parę hipoez ypu: (H : El Q/K x*; H : El Q/K x*) esem - Sudena. W przypadku funkcji CES mamy: Q(.) K νδk ElQ/ K K Q(.) δ K + δ ( ) Co prawda ocenę punkową elasyczności możemy ławo orzymać wsawiając do powyższego wzoru oceny paramerów oraz pewne usalone warości K* oraz *, jednakże dla esymacji przedziałowej lub esowania hipoez ypu (H : El Q/K x*; H : El Q/K x*) nie da się wykorzysać znanych nam doąd echnik. Wymagałoby o bowiem wnioskowania o NIEINIOWYCH funkcjach paramerów, co będziemy rozważać w dalszej kolejności. Wnioskowanie o współczynniku efeku skali: W przypadku funkcji o sałej elasyczności subsyucji (CES) możemy pokazać iż: RTS El + El ν (ylko rzeba o wyprowadzić, zob. zajęcia 9). W związku z ym Q/ K Q/ wnioskowanie o współczynniku efeku skali [esymacja przedziałowa, esowanie sałych korzyści skali j. (H : RTS ; H : RTS ) lub ogólnie (H : RTS x*; H : RTS x*)] prowadzi się sandardowo: esujemy hipoezy lub esymujemy przedziałowo paramer ν, do czego wysarczy nam znajomość jego oceny oraz oszacowana asympoyczna macierz kowariancji V βˆ. esymaora nieliniowej MNK ( ) ˆas W funkcji Cobba i Douglasa można pokazać iż: RTS ElQ / K + ElQ / + α. Wobec ego RTS ˆ ˆ α + ˆ α, zaś dla ln esymacji przedziałowej lub esowania hipoez o współczynniku efeku skali (jak np. hipoezy o wysępowaniu sałych korzyści skali porzebujemy D( RTS ˆ ). Widać jednak iż wysarczy przyjąć: RTS ψ c β, gdzie c [ ] (por. () oraz (8)) i już błąd średni szacunku dla efeku skali możemy wyliczyć jako: D( RTS ˆ ) D( ψˆ ) c' Vˆ( ˆ β ) c co pozwala dokonać esymacji przedziałowej warości współczynnika efeku skali oraz np. esować hipoezę o wysępowaniu sałych korzyści skali.

4 Wnioskowanie saysyczne w ekonomerycznej analizie procesu produkcyjnego 4/ W przypadku funkcji ranslogarymicznej (w przeciwieńswie do funkcji CES oraz funkcji Cobba i Douglasa) współczynnik efeku skali jes zależny od poziomów wszyskich nakładów: RTS El + El α * ln * ( * + ln *) Q/ K Q/ 4 (por. zajęcia oraz zadl4.hml) Możemy posąpić podobnie jak dla funkcji Cobba i Douglasa, przyjmuąc: RTS ψ c β, ylko że c będzie miał bardziej skomplikowaną posać. Na podsawie (4) i (7) możemy swierdzić, iż w naszym przypadku: c [ lnk* lnk* lnk*+ln* ] podobnie: RTS ˆ ψˆ c' ˆ β, D( RTS ˆ ) D( ψˆ ) c' Vˆ( ˆ β ) c co pozwala dokonywać esymacji przedziałowej współczynnika efeku skali lub esować hipoezę mówiącą o ym, iż przyjmuje on pewną konkreną warość x* (dla usalonych warości K* oraz *). Wnioskowanie o echnicznej sopie subsyucji: Techniczna sopa subsyucji R K w żadnym przypadku (ani dla funkcji Cobba i Douglasa, ani dla funkcji CES, ani dla funkcji o ranslogarymicznej) nie jes liniową funkcją paramerów. Ogólnie P El K Q/ K mamy RK P El K R R CiD K α α K * * Q/ CES δ K * K δ * T α * ln * * RK α 4ln * * K* co oznacza, że dla celów esymacji przedziałowej musielibyśmy wykorzysać echniki wnioskowania o nieliniowych funkcjach paramerów. Jednakże w przypadku pary hipoez ypu: (H : R K x*; H : R K x*) możemy (dla funkcji ranslogarymicznej oraz Cobba i Douglasa) dokonać akiej ransformacji esowanej równości, że może być ona przedsawiona jako liniowa funkcja paramerów. Dla funkcji Cobba i Douglasa: H : R K x*; H : R K x* α * ponieważ: x* α* αk* x* α* αk* x* α K * o równoważnie: H : ψ ; H : ψ przyjmujemy więc: ψ c β, gdzie: c [ * -x*k* ], co esujemy sandardowo wykorzysując: ψˆ c' ˆ β oraz D( ψˆ ) cv ' ˆ( ˆ β ) c. To samo równanie można przekszałcić akże w inny sposób, dzieląc jeszcze dodakowo przez * lub K*.

5 Wnioskowanie saysyczne w ekonomerycznej analizie procesu produkcyjnego / Dla funkcji ranslogarymicznej posępujemy podobnie, j. mnożymy przez mianownik w aki sposób, żeby uzyskać linową funkcję paramerów: H : R K x*; H : R K x* ponieważ rozparywaną równość możemy przekszałcić: α * ln * * x * α ln * * K* 4 * ( α * ln * ) x* ( α 4ln * * ) K * * * * α αx* * α4x* ln * ln * x** K* K* K* odpowiednio do ego podsawiamy: H : ψ ; H : ψ gdzie: ψ c β oraz c [ */K* -x* (*/K*) * -x* ( ln *) (*/K*)ln*-x* (*) ], dalej posępujemy jak wyżej. Wnioskowanie o elasyczności subsyucji: Elasyczność subsyucji w funkcji Cobba i Douglasa wynosi i nie podlega wnioskowaniu saysycznemu, zaś dla funkcji ranslogarymicznej ej charakerysyki nie rozparujemy, bo wymaga o pewnych dodakowych komplikacji. Jednak w przypadku funkcji CES: CES ES jak widać, elasyczność subsyucji jes nieliniową funkcją, więc nie możemy poznanymi doąd echnikami prowadzić esymacji przedziałowej. Jednak w przypadku pary hipoez: H : ES x*; H : ES x* możemy dokonać serii przekszałceń: CES ES x* x * x * x * x* x* x * x * i sprowadzić przedsawiony problem do esowania hipoezy o współczynniku.