, gdzie b 4c 0 oraz n, m ( 2). 2 2 b b b b b c b x bx c x x c x x

Transkrypt

1 Meody aeaycze w echologii aeriałów Uwaga: Proszę paięać, że a zajęciach obowiązuje akże zajoość oówioych w aeriałach przykładów!!! CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH Fukcją wyierą azyway fukcję posaci P ( ) f( ), gdzie P ( ) i Q ( ) są wieloiaai Q ( ) Ieresować as będą ylko fukcje wyiere rzeczywise, ak więc oraz współczyiki wieloiaów P ( ) i Q ( ) są rzeczywise Oczywiście fukcja wyiera określoa jes dla wszyskich z wyjąkie iejsc zerowych wieloiau Q ( ) Przykłady fukcji wyierych o ,,,,, 4 Zauważy, że fukcja wieloiaowa jes szczególy przypadkie fukcji wyierej (ay wedy po prosu Q ( ), czyli w licziku jes wieloia sopia zerowego) Obliczeie całki P ( ) z fukcji wyierej jes w zasadzie ożliwe pod warukie, że Q ( ) porafiy wyzaczyć pierwiaski wieloiau Q ( ) Iaczej ówiąc całka a wyraża się poprzez fukcje eleeare oraz pierwiaski rówaia Q ( ) 0 Aby obliczyć całkę fukcji wyierej, rozkładay ją a zw ułaki prose, kóre oża już całkować w sposób eleeary Ułaki prose są o fukcje wyiere asępującej szczególej posaci A B C ( ) ( b c), gdzie b 4c 0 oraz, () Pierwszy yp ułaków prosych całkuje się bardzo proso: A A ( ) C, dla, ( ) l C, dla Na przykład ( ) 4 ( ) 4 C ( ) C Całkowaie ułaków prosych drugiego ypu jes bardziej złożoe Po pierwsze waruek 0 ozacza, że wyrażeie b c ie a iejsc zerowych rzeczywisych (pierwiasków), czyli ie oże być rozłożoe a czyiki prossze: ( )( ) Aby dalej uprościć rachuki związae z obliczaie całki, zapisujey wieloia z iaowika asępująco ( bc) b b b b b c b b c c, 4 4 ()

2 Meody aeaycze w echologii aeriałów gdzie składik 4 jes dodai Zae ożey dalej przekszałcić b b 4 4 b c () Sosując eraz prose liiowe podsawieie wersji, w kórej wyeliioway będzie składik b : B C sprowadzay całkę do ( b c) b b B C B C 4 B C d ( b c) b ( ) 4 / 4 4 b d ( C B ) d ( ) ( ) D E Jak widać jedyą rudością, kórą eraz ay, jes obliczaie całki ypu d Jes oa ( ) suą dwóch całek ( ) ( ) ( ) D E d D d E d, przy czy jedą z ich oblicza się bezpośredio, dla, ( ) ( ) d (5) ( ) l( ), dla (4) Drugą całkę ( ) d oża całkując przez części sprowadzić do pewej zależości rekurecyjej (wzór redukcyjy):

3 Meody aeaycze w echologii aeriałów I d d d d d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I d I d ( )( ) ( )( ) ( )( ) I d I ( )( ) ( ) I ( ) ( )( ) ( ) I ( )( ) ( ) Poado ay I d arc g C Podsuowując ay I I, dla, ( )( ) ( ) arc g C, dla (6) Tak więc całkowaie fukcji wyierych sprowadza się w dużej ierze do rozkładu daej fukcji wyierej a suę ułaków prosych Wedy każdy ułaek oże scałkować wg scheau pisaego powyżej W przypadku poszukiwaia rozkładu a ułaki prose kierujey się zasadą: (I) Każdy czyiki iaowika, posaci ( ), geeruje asępującą suę: A A A ( ) ( ) (7) (II) Każdy czyiki iaowika, posaci suę: ( b c), gdy b 4c 0, geeruje asępującą B C B C B C b c ( b c) ( b c) (8) Jak wyzaczyć współczyiki Ai, Bi, C i będzie pokazae w przykładach PRZYKŁADY ) Możey ę całkę obliczyć ak jak się wyprowadza zależość (6) lub po prosu ( ) skorzysać z ych wzorów

4 Meody aeaycze w echologii aeriałów ) ( ) ( ) ( ) ( ) arcg arcg =arcg arcg arcg arcg Dokoujey rozkładu iaowika a czyiki ierozkładale ( )( ), a asępie szukay rozkładu fukcji wyierej a ułaki prose posaci (): A B C ( )( ) Sąd ay A( ) ( B C)( ) ( A B) ( A B C) ( A C), ( )( ) co po porówaiu współczyików wieloiaów z liczika daje AB0, A B C 0, A C Rozwiązaie ego układu jes A, B, C, zae, skąd l I Dalej

5 Meody aeaycze w echologii aeriałów I ( ) ( ) ( ) Teraz sosujey podsawieie, więc d, d Zae 4 8 d 4 4 d 4 d I d d d d l( ) arcg Wracając do sarej zieej orzyujey Osaeczie ay 4 4 I l( ) arcg l( ) arcg C ) Obliczyć całkę si 4 4 l l( ) arcg C 6 Oczywiście oża zasosować ogóle podsawieie g, kóre sprowadzi ę całkę do posaci wyierej, ale prościej będzie użyć podsawieia cos May więc d si d / si, d d si si ( ) 4 May więc do obliczeia całkę ( ) d Musiy więc dokoać rozkładu fukcji podcałkowej a ułaki prose Fukcja całkowaa a posać ( ) ( ) ( ), A B ak więc rozkład a ułaki prose będzie zawierał składiki, ( ) C D oraz, : ( ) A B C D ( ) ( ) ( ) ( ) (9)

6 Meody aeaycze w echologii aeriałów Sąd ay dla każdego A( )( ) B( ) C( ) ( ) D( ) Podsawiając kolejo,, 0 uzyskujey B, D, AC Jeżeli poożyy eraz 4 4 rówość (9) przez, a asępie obliczyy graicę obu sro przy, o orzyay dodakowe rówaie: 0 A C Zae A C Możey eraz wsawić obliczoe współczyiki A, B, C, D do (9) 4 więc ( ) ( ) 4 ( ) ( ), d d ( ) 4 ( ) ( ) l l l 4 4 Osaeczie czyli si si l l, si 4 4 si si si si l C si cos 4 si ZADANIA A) Obliczyć całki ieozaczoe ) si ) I a e, a (Wyprowadzić wzór rekurecyjy) 5 ) si 4) I si (Wyprowadzić wzór rekurecyjy) 5) 6) 5 a 7) 8) e, a si 4 Wskazówki: ) Podsawieie cos oraz ożsaość si (si ) ( cos )

7 Meody aeaycze w echologii aeriałów a 8) Podsawieie e B) Obliczyć podae całki z fukcji wyierych ) ) ) 4 4) 4 6)* 4 4 5) Wskazówki W zadaiach ych usiy dokoać rozkładu wieloiaów (wysępujących w iaowikach) a czyiki ierozkładale, czyli posaci ( ), ( b c), gdzie b 4c 0 W zadaiu ) wysarczy skorzysać ze wzoru skrócoego ożeia a b ( a b)( a ab b ) W zadaiu ) rozkład jes prawie aychiasowy dalej 4 ( 4) i ( 4) ( )( ) W zadaiu 4) ożey spróbować zaieić rówaie czwarego sopia a kwadraowe: ozaczay wzory Uzyskay wedy rozkład:, co daje i zasosować zae ( )( )( ) W zadaiu 5) proszę wykorzysać fak, że jede z pierwiasków iaowika o Aby dokoać dalszego rozkładu wysarczy wieloia podzielić przez dwuia