Równania różniczkowe zwyczajne

Transkrypt

1 Równania różniczkowe zwyczajne zadań dla sudenów kierunku Auomayka i roboyka WEAIiIB AGH Michał Góra Wydział Maemayki Sosowanej AGH

2 I. Równania o zmiennych rozdzielonych: y = f (y)f () Zadanie. Rozwiąż podane równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych: a) y = y ( + ) b) = ( + + y + y) y c) y = y d) y = y+ e) ( + e y ) yy = e f) y sin = y ln y g) (ye y + ) y = h) y + 4y = y ( e + 4 ) i) y = sin y sin j) y + y sin = 3 (y) k) y = e y++ l) dy d = ey. a) y sin = y ln y, y( π ) = e b) (y + ) y = y, y (e) = c) y = y ( + ), y (0) = d) e y ( y ) =, y (0) = 0 e) y d + y dy = 0, y (0) = f) y + dx = xydy, y (0) = e g) ( x ) y + xy = 0, y (0) = h) y cg x + y =, y ( π 3 ) = 4. II. Równania różniczkowe jednorodne: y = f ( y Zadanie. Rozwiąż podane równania różniczkowe jednorodne: a) y = + y b) y = y + y c) y d + dy = ydy d) y = 3y y ) e) y = y y f) ((y) 4 y = (y) y 4 g) yy = y h) y = y +y i) dy = ( y y + ) d j) dy d = y (ln y ln ). a) ( y) d + dy = 0, y( ) = 0 b) y = y + e y, y () = 0 c) y = y + y, y () = 0 d) x = x +x, x () = e) x = x x, x () = 0 f) ( + x + 3x )d + ( +x)dx = 0, x () =. )

3 III. Równania liniowe pierwszego rzędu: y = a()y + b() Zadanie. Wyznacz całki podanych równań różniczkowych liniowych: a) y + y g x = cos x b) xy y = x 4 c) (xy + e x ) dx xdy = 0 d) x ( x + y ) dx = dy e) ( x + y ) dy = ydx f) (x + y) dy = ydx + 4 ln ydy g) y + + y = y h) y cos y sin = i) y + y = cos j) y = + y + y + k) ( + 4 ) y + 3y = l) y + y g = sin. a) y = y + e, y(0) = /4 b) y + y = cos, y (π/) = 0 c) y + y =, y () = d) x = x + 3 e, x (0) = e) y = y + e, y () = f) y = y + e sin cos, y (0) =. IV. Równania różniczkowe Bernoulliego: y = a()y r + b()y Zadanie. Wyznacz całki podanych równań różniczkowych Bernoulliego: a) y + y = y b) y y = y c) ( + ) y y = 4 y ( + ) arcg d) dy = ( y e y ) d e) 3 y y = y 3 f) y = ( + 6y ) y g) y + 8y = y h) z = z z i) y = y j) y = 4y y k) ( x + x ) = x l) dx d + x = x. a) ( x + x ) = x, x() = b) y + y = y, y () = c) y y cos = y cos, y (0) = d) y y + y 3 =, y () = e) y y 3 + y = 0, y (0) = f) ( y ) ( y + y ) = 0, y ( ) = 0. 3

4 V. Równania różniczkowe liniowe rzędu n a n y (n) a y +a 0 y = f () Zadanie. Wyznacz całki podanych równań różniczkowych liniowych: a) y 5y + 4y = e x b) y V y + y = 0 c) y 4y + 4y = x d) y + y + 5y = e x e) y + y + y = 8e x + x f) y + y = cos x + e x g) y y = e h) y + 4y = 0 i) y + y = 0 j) y 4y + 3y = 0 k) y + y y = g l) y y = e +e. a) y 4y + 3y = 0, y(0) = 7, y (0) = 6 b) y + y 3y = 0, y (0) = 4, y (0) = 0 c) 4y y = 0, y (0) = y 0, y (0) = 0 d) y = 0, y (0) =, y (0) = e) y + 00y = 0, y (0) =, y (0) = 0 f) y + 3y + y = sin e, y (0) = sin, y (0) = cos. VI. Układy równań różniczkowych liniowych: x () = Ax() Zadanie. Rozwiąż podane układy równań: ẋ = x + y ẋ = x + z y a) ẏ = 3x + 4y b) ẏ = x + y z ż = x y ẋ = x + z y ẋ = x z y c) ẏ = x + z d) ẏ = x + y ż = y x z ż = 3x + z ẋ = x y z ẋ = 3x y z e) ẏ = 3x y 3z f) ẏ = 3x 4y 3z ż = z x + y ż = x 4y ( ) ( ) g) x = x h) x = x ( ) ẋ 0 0 ẋ x i) = j) ẏ 0 3 y ẏ 0 0 ż 0 0 x y z. 4

5 0 a) x = x, x (0) = b) x = x, x (0) = 0 ẋ 0 0 x x () c) ẏ 0 0 y, y () ż 0 0 z z () e e d) ẋ = x + y ẏ = x y, x (0) = y (0) = 0. VII. Układy równań różniczkowych liniowych: x () = Ax() + b() Zadanie. Rozwiąż podane układy równań: ẋ = y x ẋ = 4x y + e a) b) ẏ = 4y 3x + e3 ẏ = 6x + 3y 3 e + e ẋ = x y + ẋ = y + c) d) ẏ = 3x y + e ẏ = 8x ẋ = x + y + sin e e) f) x = x + ẏ = 8x y sin g) x = x + h) x = x + 0 cos ẋ x ẋ = x y + e i) j) ẏ = e ẏ 0 0 y + ż z +. ( ) e.5 a) x = x +, x (0) = e 0.5 ( ) 0 sin b) x = x +, x (0) = 0 cos 0 c) ẋ = x + y + sin 3 ẏ = 8x y, x() = y () =. 5

6 VIII. Poszukiwanie rozwiązań w posaci szeregów poęgowych Zadanie. Znajdź rozwiązania szczególne poniższych problemów począkowych w posaci szeregów poęgowych unormowanych w punkcie 0 = 0: a) x x = 0, x (0) =, x (0) = 0 b) x x = 0, x (0) = 0, x (0) = c) x + ( + ) x = 0, x (0) = x (0) = d) x + x x = 0, x (0) =, x (0) = e) x + x = x +, x (0) =, x (0) =. Zadanie. Meodą szeregów poęgowych wyznacz całkę szczególną poniższych równań różniczkowych spełniającą podane warunki począkowe (wyznacz czery pierwsze niezerowe wyrazy szeregu): a) x + x + = 0, x (0) =, x (0) = b) x + x + = 0, x (0) = x (0) = c) x x + = 0, x (0) = 0, x (0) = d) x + x x + = 0, x (0) =, x (0) = e) x + x = 0, x (0) =, x (0) =. IX. Równania różniczkowe zupełne Zadanie. Rozwiąż podane równania różniczkowe meodą różniczki zupełnej: a) (x y) dx + (y x) dy = 0 b) ( 3x y ) dx + ( 3y x ) dy = 0 c) 3x + y + y (x ) dy dx = 0 d) ey (y xe y ) y = 0 e) e x ( + e y ) + e y ( + e x ) dy dx = 0 f) y + x = x dy y dx g) xdy ydx = 0 h) xdx + ydy + ydx xdy = 0 x +y x +y ) i) (ln y x) dx + x y y dy = 0 j) + e x/y + e ( x/y x dy y dx = 0. Zadanie. Rozwiąż podane równania różniczkowe zupełne meodą czynnika całkującego: a) ( x y ) + x (y x) dy dx = 0 b) x + y = xy c) ( e x y ) dx xdy = 0 d) x sin y + y + ( x cos y + x ln x ) dy dx = 0 e) sin x + e y + cos x dy dx = 0 f) y + (xy ) dy dx = 0 g) ( + 3x sin y ) dx = x cg ydy h) x g y + ( x sin y ) dy dx = 0. 6