WYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład VII Przekształcenie Fouriera.
|
|
- Bożena Świderska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 7. Całka Fouriera w posaci rzeczywisej. Wykład VII Przekszałcenie Fouriera. Doychczas rozparywaliśmy szeregi Fouriera funkcji w ograniczonym przedziale [ l, l] lub [ ] Teraz pokażemy analogicznie przedsawienie funkcji w przedziale (, ) lub ( ) załóżmy, że funkcja f ( x ) określona w przedziale (, ) jes w ym przedziale bezwzględnie całkowalna: ( ),l.,. W ym celu f x dx < (7.) Dalej, że w każdym skończonym przedziale spełnia pierwszy i drugi warunek Dirichlea. Oznaczmy I przedsawimy funkcję f ( x ) w przedziale [ l, l] l = (7.) za pomocą jej szeregu Fouriera: a nx nx f ( x) = + an sin + bn cos ( x ( l, l) ) n= λ λ (7.3) O współczynnikach danych wzorami Eulera-Fouriera, kóre przybiorą posać: a b n n ( ) cos n = f * ( n,,... ) = (7.4) sin λ Wsawmy prawe srony związków (7.4) do równości (7.3). Orzymamy: nx n nx n f ( x) = f ( ) f ( ) cos cos sin sin + n= + = λ λ λ λ ( ) n x = f ( ) f ( ) cos + π n= λ λ (7.5) i przejdźmy do granicy, gdy l lub, co jes równoważne, gdy λ. Z założenia bezwzględnej całkowalności wynika, że pierwsza z całek po prawej sronie w powyższej równości jes zbieżna, a ponieważ mianownik rośnie nieograniczenie, więc: Oznaczmy Wobec czego lim f ( ) = λ (7.6) n ωn = ( n =,,3,... ) (7.7) λ
2 Wprowadzając nową funkcję: n n ωn = ωn ωn = = λ λ λ φ ( ω, x, λ ) = f ( ) cos( ω ( x )) (7.8) Możemy szereg w równości (7.5) napisać w posaci I uznać za sumę przybliżona całki Co nie jes ścisłe, bo (, x, ) n= (, x, ) φ ω λ ω n (, x, ) n φ ω λ d ω (7.9) φ ω λ n zależy od ω n =, poza ym nie jes o suma lecz szereg. λ Przejście graniczne przy λ daje całkę: Łącząc zależności (7.9) I (7.) orzymujemy wierdzenie: Twierdzenie Funkcję f ( x ) bezwzględnie całkowalną w przedziale (, ) φ ( ω, x) = f ( ) cos( ω ( x )) (7.) spełniajaca w nim pierwszy i drugi warunek Dirichlea można przedsawić za pomocą zw. wzoru całkowego Fouriera: f ( x) = dω f ( ) cos ( ω ( x ) ) π (7.) Isnieje ścisły dowód równości (7.), ale znacznie bardziej skomplikowany i dłuższy od powyżej podanego... Prawa srona wzoru (7.) nazywa się całką Fouriera funkcji f ( x ). Przekszałcając ja dosajemy: Co zapiszemy w posaci f ( x) = dω f ( ) cosω cosωx + f ( ) sinω sinωx π (7.) f ( x) = a cosωx + b sinωx dω (7.3)
3 Przy czym oznaczamy a b = f ω π (7.4) sin ( ) cos Wzór (7.3) będący analogiem szeregu Fouriera dla funkcji w przedziale ograniczonym, mówi, że, rozłożyć na drgania harmoniczne o f ( x ) można w nieograniczony przedziale ( ) częsoliwości zmieniającej się w sposób ciągły od zera do nieskończoności. Funkcje a( ω ) i b( ω ) nazywają się współczynnikami widma ciągłego funkcji f ( ) nasępujące własności, x. Funkcje e mają a = a b = b (7.5) Funkcję, kórej warość w każdym punkcie jes równa warości jej całki Fouriera, nazywamy rozwijalną na całkę Fouriera. Dla akiej funkcji zachodzi wedy analagon równości Parsevala f ( ) = a + b dω 7. Całka Fouriera funkcji parzysej lub nieparzysej. (7.6) Niech funkcja f ( x ) rozwijalna na całkę Fouriera, będzie funkcją parzysą. Wedy b funkcja podcałkowa we wzorach (7.4) będzie nieparzysa. Naomias Wzór całkowy dla funkcji parzysej przybiera posać, bo a = f ( ) cos( ω) π (7.7) f x = a ω ωx dω (7.8) ( ) ( ) cos( ) Analogicznie w przypadku funkcji nieparzysej orzymujemy 7.3 Całka Fouriera funkcji w przedziale (, ). b( ω ) = f ( ) sin ( ω) π ( ) = ( ) sin ( ) f x b ω ωx dω (7.9) Rozparzmy funkcję f ( x) zadana w przedziale [, ) i w nim bezwzględnie całkowalną oraz spełniająca pierwszy i drugi warunek Dirichlea. Uwórzmy funkcję pomocniczą określoną w sposób nasępujący
4 φ ( x) f ( x) gdy x (, ) ( ) (,) = f x gdy x (7.) Funkcja φ ( x) jes oczywiście rozwijalna na całkę Fouriera, mianowicie ( x) = a ( ) cos ( x) d x (, ) φ ω ω ω a = f ( ) cos( ω ) π Wobec czego w przedziale (, ) zachodzi równość f ( x ) cos ( ωx ) dω f ( ) cos ( ω ) π = (7.) Analogicznie worząc nieparzysą funkcję pomocniczą orzymujemy f x sin x d f sin x, π ( ) = ( ω ) ω ( ) ( ω ) ( ) (7.) Każdą z równości (7.) i (7.) nazywamy wzorem Fouriera w przedziale (, ), a prawe srony ych wzorów nazywamy całkami Fouriera w przedziale (, ). Funkcję, kóra w przedziale (, ) da się przedsawić równością (7.) lub (7.) nazywamy funkcją rozwijalną na całkę Fouriera w przedziale (, ). 7.4 Sinusowe i cosinusowe przekszałcenie Fouriera. Załóżmy, że funkcja f ( x ) jes rozwijalna na całkę Fouriera w przedziale (, ). Wedy (7.) i (7.): Przyjmijmy oznaczenia: Wobec czego f ( x) = f ( ) sinω sinωxdω π = f xd x π ( ) cosω cosω ω (, ) F = f (7.3) s c ( ω ) ( ) sin ( ω ) F = f (7.4) ( ) cos( ω )
5 Fs sin ( ω ) = f ( ) π (7.5) Oraz Fc cos( ω) = f ( ) π (7.6) Wzór (7.3) nazywamy prosym sinusowym przekszałceniem Fouriera, zaś (7.5) przekszałceniem sinusowym Fouriera odwronym (względem niego). Analogicznie wzory (7.4) i (7.6) nazywają się prosym i odwronym cosinusowym przekszałceniem Fouriera. Związek między funkcją f ( ) a jej sinusową lub cosinusową ransformaą F s lub F c będziemy oznaczać nasępująco: ( ), ( ) ( ), ( ) Fs = s f f = s Fs Fc = c f f = c Fs (7.7) W dalszym ciągu zajmiemy się obliczaniem sinusowego i cosinusowego przekszałcenia pochodnych i całki funkcji f ( ). Oznaczmy przez k i k prawosronne granice w począku układu: ( ), '( ) k = f + k = f + (7.8) Obliczmy ransformay pierwszych pochodnych funkcji f ( ) przy założeniu ( ), f gdy s f ' = sin = f sin f cos = F ( ) ( ω ) ( ) ( ω ) ω ( ) ( ω ) ω c f ' = cos = f cos + f sin = k + Fs ( ) ( ω ) ( ) ( ω ) ω ( ) ( ω ) ω c (7.9) Przy obliczaniu drugich pochodnych załóżmy ponao, że [ k F ] k F ( ) ( ) f ', gdy d f s f ''( ) = sin ( ω) = sin ( ω) ω cos( ω) = = ω + ω = ω ω ω s s d f c f '' = cos = cos + sin = k Fc ( ) ( ω ) ( ω ) ω ( ω ) ω ( ω ) Przy obliczaniu ransforma całki (7.3)
6 f ( τ ) dτ Załóżmy, że ( ) f τ dτ, gdy f ( τ ) dτ = f ( τ ) dτ sinω = s = f d f Fc ω + = ω ω ( τ ) τ cos( ω ) ( ) cos( ω ) f ( τ ) dτ = f ( τ ) dτ cosω = c = f d f Fs ω = ω ω ( τ ) τ sin ( ω ) ( ) sin ( ω ) ( ω ) (7.3) (7.3) Treść zadania Przykład obliczeniowy x Znaleźć ransformaę sinusową funkcji f ( x) = e gdy x [, ) Rozwiązanie Fs 7.5 Całka Fouriera w posaci zespolonej. π ( ω ) = sin ( ω ) ω ω + Niech funkcja f ( x ) będzie rozwijalną na całkę Fouriera. Wedy x dx f ( x) = dω f ( ) cos ( ω ( x ) ) π (7.33) Wewnęrzna całka jes parzysą funkcją zmiennej ω, wobec czego można zewnęrzną całkę rozciągnąć na przedział (, ) dzieląc jednocześnie całą prawą sronę równości (7.33) przez. Wobec ego będzie f ( x) = dω f ( ) cos ω ( x ) π ( ) (7.34) Gdybyśmy eraz w prawej sronie równości (7.33) zasąpili cosinus sinusem, o całka wewnęrzna byłaby nieparzysą zmiennej ω, wobec czego całka zewnęrzna sałaby się równa zeru. Byłoby wedy
7 = sin π dω f ( ) ( ω ( x ) ) (7.35) Dodajmy sronami równość (7.34) do równości (7.35) pomnożonej przez j, pamięając jednocześnie, że wzór Eulera pozwala zapisać: Orzymamy ( ) sinω ( ) j cosω x + j x = e ω ( x ) jω ( x ) f ( x) dω f ( ) e π = (7.36) Wzór (7.36) nazywa się wzorem całkowym Fouriera w posaci zespolonej, zaś jego prawa srona zespoloną całką Fouriera. 7.6 Zespolone przekszałcenie Fouriera. Zapiszmy równość (7.36) korzysając z własności dodawania argumenów funkcji wykładniczej: Oznaczmy całkę wewnęrzną Wedy równość (7.37) przybierze posać: jω jωx f ( x) = f ( ) e e dω π z (7.37) z (7.38) j ( ) ( ) F = f e = f jωx f ( x) = Fz e dω = z Fz π (7.39) Wzór (7.38) nazywamy prosym zespolonym przekszałceniem Fouriera (niekiedy dodajemy dwusronnym), zaś (7.39) nazywamy zespolonym przekszałceniem odwronym. Funkcja f ( ) nazywa się oryginałem albo funkcją oryginalną przekszałcenia, zaś ( ) ansformaą lub przekszałceniem odwronym. F ω - obrazem, Transformaę Fz ( ω ) nazywamy akże zespolonym widmem ciągłym funkcji f ( ). Aby znaleźć związek miedzy zespolonym widmem ciągłym i widmami rzeczywisymi, danymi wzorami (7.4) zauważymy, że: F ω f ω j f ω z ( ) = ( ) cos ( ) ( ) sin ( ) Oznaczając, zgodnie z wzorami (7.4) z
8 A = π a = f ( ) cos( ω) B = πb = f ( ) sin ( ω) (7.4) Możemy widmo zespolone przedsawić w posaci: ( ) ( ) ( ) Fz ω = A ω jb ω = Fz ω e Widmo ampliudy Fz ( ω ) i widmo fazy z ( ) rzeczywisych. Mianowicie: Wobec czego: Oczywiście re( Fz ) jargf z Arg F ω da się obliczyć w zaleznosci od widm A = F Arg F, B = F Arg F z z z z F = A + B z = A jes funkcją parzysą, a im( F ) 7.7 Przekszałcenie Fouriera operacji różniczkowych i całkowych. Załóżmy, że pochodne pierwsza i druga oraz całka f ( τ ) dτ funkcji ( ) z = B jes funkcją nieparzysą argumenu ω. f, mającej ransformaę Fouriera, akże są ransformowalne oraz że spełnione są nasępujące warunki graniczne: Obliczmy: Pierwsza pochodna Druga pochodna Całka ( ) ( ) ( τ ) f, f ', f dτ, gdy (7.4) z f = e = f e + j f e = j F jω jω jω '( ) ( ) ω ( ) ω z [ ω] (7.4) Można orzymane wyniki wysłowić jak nasępuje: ( ) z f '' = j Fz (7.43) z f ( τ ) dτ = Fz (7.44) jω
9 Różniczkowanie oryginału jes równoważne mnożeniu obrazu przez jω, całkowanie (w granicach (, ) ) oryginału jes równoważne dzieleniu obrazu przez jω. 7.8 Funkcja Heaviside a. Pseudofunkcją Heaviside a nazywamy fumkcję określoną w sposób nasępujący:, gdy x > η ( ) =, gdy x =, gdy x < (7.45) Na rys. 7. przedsawiono funkcje Heaviside a η ( ), zaś na rys. 7. ę samą funkcję z opóźnionym argumenem η ( ). Rys. 7. Funkcja Heaviside a η ( ): a) =, b) Operację polegajaca na przemnożeniu funkcji f ( ) przez funkcję Feaviside a η ( ) nazywamy gaszeniem funkcji. Przykłady funkcji zgaszonych zosały przedsawione na rys. 7. ( ) sin η sin i rys. 7.3 [ e η e ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
10 Rys. 7. Zgaszona funkcja sin ( ) Rys. 7.3 Zgaszona funkcja ( ) e Zauważmy, że funkcja Heaviside a spełnia warunki Dirichlea w każdym przedziale skończonym, naomias nie jes rozwijalna na całkę Fouriera, gdyż nie jes bezwzględnie całkowalna na całej osi rzeczywisej. 7.9 Prawosronne zespolone przekszałcenie Laplace a. Zakładając, że funkcję η ( ) f ( ) można poddać przekszałceniu Fouriera, zdefiniujmy nasępujące przekszałcenia:
11 jω ( ) ( ) F = f e = f (7.46) jω η ( ) f ( ) = F e dω = F π (7.47) Wzór (7.46) nosi nazwę prosego prawosronnego przekszałcenia Fouriera, zaś (7.47) odwronego prawosronnego zespolonego przekszałcenia Fouriera. W prawosronnym zespolonym przekszałceniu Fouriera będziemy zapisywać funkcję f, uważając ja od razu za zgaszoną. Wedy w ransformowaną zamias ( ) f ( ) η króko ( ) formule (7.47) można pominąć η ( ). Załozmy eraz, że funkcja f ( ) i jej pochodna f '( ) oryginałami przekszałcenia Fouriera i przyjmijmy założenia: ( ) ( ) ( τ ) są f, f ', f dτ, gdy (7.48) Oraz ( ), '( ) f + = k f + = k (7.49) Wedy (7.5) jω jω jω ( ) ( ) ω ( ) ω f ' = e = f e + j f e = k + j F ( ) ω f '' = k j k + j F Przy odpowiednich założeniach doyczących całek f ( ). 7. Splo. (7.5) f ( τ ) dτ = F (7.5) ω Zauważmy, że wszyskie doychczas przez nas poznane przekszałcenia są liniowe. Zapiszmy en fak, np. dla dwusronnego zespolonego przekszałcenia Fouriera, oznaczając: = ( ), [ ω] = ( ) Fz z f Gz z g I zakładając isnienie wprowadzonych wyżej funkcji i odwronych ransforma Fouriera. Zachodzą mianowicie nasępujące równości: ( ) ( ) [ ] ( ) z α f + β g = α Fz ω + βgz ω (7.53) ( ) + ( ) = ( ) + [ ] α f β g z α Fz ω βgz ω (7.54) Dowód ych własności opiera się na liniowości całki oznaczonej.
12 Równość (7.53) można wysłowić: Obrazem kombinacji liniowej oryginałów jes aka sama kombinacja liniowa obrazów. Równość (7.54) : Oryginałem kombinacji liniowej oryginałów jes aka sama kombinacja liniowa oryginałów. Zakładając eraz, że obie funkcje f ( ) i g ( ) są całkowalne z kwadraem, poszukujemy związku między oryginałami, odpowiadającego iloczynowi obrazów ych funkcji. W ym celu wyraźmy iloczyn obrazów za pomocą całki podwójnej jωτ jωτ Fz Gz = f ( τ ) e dτ g ( τ ) e dτ = = jω( τ+ τ ) ( ) ( ) f τ g τ e dτ dτ (7.55) A nasępnie zasosujmy zamianę zmiennych τ i τ na zmienne, τ. τ + τ =, τ = τ, czyli τ = τ (7.56) Jakobian ej zmiany jes równy : ( τ, τ ) ( τ, ) = = Jes przekszałcenie płaszczyzny τ, τ w płaszczyznę,τ.
13 Rys. 7.3 Przekszałcenie płaszczyzny τ, τ w płaszczyznę, τ Zauważymy, że przy ym przekszałceniu pierwsza ćwiarka opisująca się nierównościami (rys. 7.3) : τ >, τ > Zosaje odwzorowana na obszar opisujący się nierównościami < τ <, > Wyraźmy całkę, wysępującą w iloczynie obrazów (7.55), za pomocą całki ierowanej w nowym układzie współrzędnych. Będzie wedy jω Fz Gz = f ( τ ) g ( τ ) dτ e Całkę wewnęrzną w prawej sronie zależności (7.57) oznaczymy: (7.57) ( ) ( ) I nazywamy sploem lub konwolucją funkcji f ( ) i f ( ). f * f = f τ f τ dτ (7.58) Symbol nazywamy symbolem splaania lub mnożenia sploowego. Wobec definicji (7.58) możemy zależność (7.57) zapisać
14 Co jes reścią wierdzenia Borela: Twierdzenie Borela jω Fz Gz ( ω ) z ( f * g ) ( f * g ) e = = (7.59) W zespolonym przekszałceniu Fouriera mnożeniu obrazów odpowiada splaanie oryginałów. Posługując się odwronym przekszałceniem Fouriera możemy zależność (7.59) zapisać w posaci zwanej wzorem całkowym Fouriera dla splou funkcji: z z z z z π Podsawowymi własnościami splaania są: przemienność Łączność [ ] ( ) ( ) jω F G = F ω G ω e dω = f * g (7.6) f * f = f * f (7.6) ( f * f )* f f *( f * f ) = (7.6) 3 3 Można wykazać, że jeżeli f ( ) i f ( ) są bezwzględnie całkowalne w przedziale (, ) a) co najmniej jedna z nich jes w przedziale (, + ) ograniczona lub + oraz b) obie funkcje są całkowalne z kwadraem w przedziale (, + ), o splo ych funkcji jes w przedziale (, + ) funkcją ciągłą. W prawosronnym zespolonym przekszałceniu Fouriera wysępuje funkcja zgaszona. Dla akiej funkcji definicja splou podana wzorem (7.58) ma posać: ( ) ( ) f * f f τ f τ dτ (7.63) Gdzie ( τ ) η ( τ ) ( τ ), ( τ ) = η ( τ ) ( τ ) f f f f Oczywiście zachowują się poprzednio wykazane własności splou, a mianowicie przemienność i łączność. Splo zapisany równością (7.63) nazywamy niekiedy prawosronnym sploem funkcji f i f. Robiąc analogiczne założenia co do funkcji oraz ę samą zamianę zmiennych (7.56) i obliczając iloczyn prawosronnych zespolonych ransforma orzymujemy:
15 jωτ jωτ F G = f ( τ) e dτ g ( τ ) e dτ = jω( τ + τ ) = f τ g τ e dτ dτ = ( ) ( ) = f g d e = f g jω ( τ ) ( τ ) τ ( * ) Z czego wynika, że wierdzenie Borela jes prawdziwe akże w przypadku prawosronnego zespolonego przekszałcenia Fouriera.
ψ przedstawia zależność
Ruch falowy 4-4 Ruch falowy Ruch falowy polega na rozchodzeniu się zaburzenia (odkszałcenia) w ośrodku sprężysym Wielkość zaburzenia jes, podobnie jak w przypadku drgań, funkcją czasu () Zaburzenie rozchodzi
Bardziej szczegółowoCałka nieoznaczona Andrzej Musielak Str 1. Całka nieoznaczona
Całka nieoznaczona Andrzej Musielak Sr Całka nieoznaczona Całkowanie o operacja odwrona do liczenia pochodnych, zn.: f()d = F () F () = f() Z definicji oraz z abeli pochodnych funkcji elemenarnych od razu
Bardziej szczegółowo2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego. = f(x, t) dla x R, t > 0, (2.1)
Wykład 2 Sruna nieograniczona 2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego Równanie gań sruny jednowymiarowej zapisać można w posaci 1 2 u c 2 2 u = f(x, ) dla x R, >, (2.1) 2 x2 gdzie u(x, ) oznacza
Bardziej szczegółowoTRANSFORMATA FOURIERA
TRANSFORMATA FOURIERA. Wzór całkowy Fouriera Wzór ten wykorzystujemy do analizy funkcji nieokresowych; funkcje te mogą opisywać np.przebiegi eleektryczne. Najpierw sformułujmy tzw. warunki Dirichleta.
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (I)
Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca
Bardziej szczegółowoCałki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej
Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.
Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać
Bardziej szczegółowoSzeregi Fouriera. Powyższe współczynniki można wyznaczyć analitycznie z następujących zależności:
Trygonomeryczny szereg Fouriera Szeregi Fouriera Każdy okresowy sygnał x() o pulsacji podsawowej ω, spełniający warunki Dirichlea:. całkowalny w okresie: gdzie T jes okresem funkcji x(), 2. posiadający
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoCałka podwójna po prostokącie
Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoWykład 2: Szeregi Fouriera
Rachunek prawdopodobieństwa MAP64 Wydział Elektroniki, rok akad. 8/9, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wykład : Szeregi Fouriera Definicja. Niech f(t) będzie funkcją określoną na R, okresową
Bardziej szczegółowoC d u. Po podstawieniu prądu z pierwszego równania do równania drugiego i uporządkowaniu składników lewej strony uzyskuje się:
Zadanie. Obliczyć przebieg napięcia na pojemności C w sanie przejściowym przebiegającym przy nasępującej sekwencji działania łączników: ) łączniki Si S są oware dla < 0, ) łącznik S zamyka się w chwili
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1
Bardziej szczegółowoTeoria sygna³ów. Wstêp. Wydanie II poprawione i uzupe³nione
IDZ DO PRZYK ADOWY ROZDZIA KATALOG KSI EK ZAMÓW DRUKOWANY KATALOG Wydawnicwo Helion ul Chopina 6 44- Gliwice el (32)23-98-63 e-mail: helion@helionpl TWÓJ KOSZYK CENNIK I INFORMACJE ZAMÓW INFORMACJE ONOWOŒCIACH
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowoFUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006
FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)
Bardziej szczegółowoMatematyczne Metody Fizyki II
Matematyczne Metody Fizyki II Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 7 M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 7 1 / 11 Reprezentacja
Bardziej szczegółowoDystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5
Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoWykład 5 Elementy teorii układów liniowych stacjonarnych odpowiedź na dowolne wymuszenie
Wykład 5 Elemeny eorii układów liniowych sacjonarnych odpowiedź na dowolne wymuszenie Prowadzący: dr inż. Tomasz Sikorski Insyu Podsaw Elekroechniki i Elekroechnologii Wydział Elekryczny Poliechnika Wrocławska
Bardziej szczegółowoDYNAMIKA KONSTRUKCJI
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 1 10. 10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 10.1. Wprowadzenie Ogólne równanie dynamiki zapisujemy w posaci: M d C d Kd =P (10.1) Zapis powyższy oznacza, że równanie musi być spełnione w każdej
Bardziej szczegółowoPrzekształcenie całkowe Fouriera
Przekształcenie całkowe Fouriera Postać zespolona szeregu Fouriera Niech ana bęzie funkcja f spełniająca w przeziale [, ] warunki Dirichleta. Wtey szereg Fouriera tej funkcji jest o niej zbieżny, tj. przy
Bardziej szczegółowoWojciech Grąziewicz. Skrypt dla studentów politechnik. Centrum Nauczania Matematyki i Kształcenia na Odległość
Wojciech Grąziewicz Skryp dla sudenów poliechnik Cenrum Nauczania Maemayki i Kszałcenia na Odległość Poliechnika Gdańska 26 SPIS TREŚCI Skryp przeznaczony jes głównie dla sudenów kierunków elekrycznych,
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 3. Funkcje holomorficzne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) z = x + iy A
Funkcje analityczne Wykład 3. Funkcje holomorficzne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 206/207) Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Niech A C. Funkcja
Bardziej szczegółowoKurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych
Kurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych wykład 1 Gniewomir Sarbicki 15 lutego 2011 Struktura ciała Zbiór par liczb rzeczywistych wyposażamy w działania: { + : (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
Bardziej szczegółowoPrzekształcenie Laplace a. Definicja i własności, transformaty podstawowych sygnałów
Przekzałcenie Laplace a Deinicja i właności, ranormay podawowych ygnałów Tranormaą Laplace a unkcji je unkcja S zmiennej zepolonej, kórą oznacza ię naępująco: L[ ] unkcja S nazywana bywa również unkcją
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoPodstawowe wyidealizowane elementy obwodu elektrycznego Rezystor ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( τ ) i t i t u ( ) u t u t i ( ) i t. dowolny.
Tema. Opracował: esław Dereń Kaedra Teorii Sygnałów Insyu Telekomunikacji Teleinformayki i Akusyki Poliechnika Wrocławska Prawa auorskie zasrzeżone Podsawowe wyidealizowane elemeny obwodu elekrycznego
Bardziej szczegółowoSZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE
Mając dowolny ciąg można z niego utworzyć nowy ciąg sum częściowych: Ten nowy rodzaj ciągu nazywamy szeregiem liczbowym, a jeśli to mamy do czynienia z nieskończonym szeregiem liczbowym, który oznaczany
Bardziej szczegółowoZasada pędu i popędu, krętu i pokrętu, energii i pracy oraz d Alemberta bryły w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim
Zasada pędu i popędu, kręu i pokręu, energii i pracy oraz d Alembera bryły w ruchu posępowym, obroowym i płaskim Ruch posępowy bryły Pęd ciała w ruchu posępowym obliczamy, jak dla punku maerialnego, skupiając
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy - całka oznaczona
SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej
Bardziej szczegółowoVII. ZAGADNIENIA DYNAMIKI
Konderla P. Meoda Elemenów Skończonych, eoria i zasosowania 47 VII. ZAGADNIENIA DYNAMIKI. Równanie ruchu dla zagadnienia dynamicznego Q, (7.) gdzie M NxN macierz mas, C NxN macierz łumienia, K NxN macierz
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem..1. Całka podwójna po prostokącie.. CAŁKA POWÓJNA.. Całka podwójna po obszarach normalnych..3. Całka podwójna po obszarach regularnych..4.
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowoMETODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 6 Transformata Laplace a Funkcje specjalne Przekształcenia całkowe W wielu zastosowaniach dużą rolę odgrywają tzw. przekształcenia całkowe
Bardziej szczegółowoSZEREG TRYGONOMETRYCZNY FOURIERA
SZEREG TRYGONOMETRYCZNY FOURIERA Rozważmy ciag funkcji: 1, cos πx πx 2πx, sin, cos, sin 2πx,..., cos nπx, sin nπx,...}, gdzie jest pewną iczbą dodatnią. Zauważmy, że na przedziae , da dowonych dwóch
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Bardziej szczegółowoWykład 7: Szeregi liczbowe i potęgowe. S 1 = a 1 S 2 = a 1 + a 2 S 3 = a 1 + a 2 + a 3. a k
Wykład 7: Szeregi liczbowe i potęgowe. Definicja 1. Niech (a n ) - ustalony ciąg liczbowy. Określamy nowy ciąg: S 1 = a 1 S 2 = a 1 + a 2 S 3 = a 1 + a 2 + a 3. S n =. Ciąg sum częściowych (S n ) nazywamy
Bardziej szczegółowoPraca domowa nr 1. Metodologia Fizyki. Grupa 1. Szacowanie wartości wielkości fizycznych Zad Stoisz na brzegu oceanu, pogoda jest idealna,
Praca domowa nr. Meodologia Fizyki. Grupa. Szacowanie warości wielkości fizycznych Zad... Soisz na brzegu oceanu, pogoda jes idealna, powierze przeźroczyse; proszę oszacować jak daleko od Ciebie znajduje
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (II)
Wykład 5 Równanie przewodnictwa cieplnego (II) 5.1 Metoda Fouriera dla pręta ograniczonego 5.1.1 Pierwsze zagadnienie brzegowe dla pręta ograniczonego Poszukujemy rozwiązania równania przewodnictwa spełniającego
Bardziej szczegółowoSzeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoRACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzysano: M A T E M A T Y K A Wykład dla sudenów Część Krzyszo KOŁOWROCKI, ZBIÓR ZADAŃ Z RACHUNKU CAŁKOWEGO Krzyszo PISKÓRZ Deinicja CAŁKA NIEOZNACZONA Funkcję
Bardziej szczegółowo8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =
Bardziej szczegółowo5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Bardziej szczegółowoCałki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych
Całki niewłaściwe Całki w granicach nieskończonych Wiemy, co to jest w przypadku skończonego przedziału i funkcji ograniczonej. Okazuje się potrzebne uogólnienie tego pojęcia w różnych kierunkach (przedział
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 7 WYZNACZANIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA. Wprowadzenie
ĆWICZENIE 7 WYZNACZIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA Wprowadzenie Ciało drgające w rzeczywisym ośrodku z upływem czasu zmniejsza ampliudę drgań maleje energia mechaniczna
Bardziej szczegółowoDefinicja punktu wewnętrznego zbioru Punkt p jest punktem wewnętrznym zbioru, gdy należy do niego wraz z pewnym swoim otoczeniem
Definicja kuli w R n ulą o promieniu r>0 r R i o środku w punkcie p R n nazywamy zbiór {x R n : ρ(xp)
Bardziej szczegółowoy 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =
Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 2. Płaszczyzna zespolona. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)
Funkcje analityczne Wykład 2. Płaszczyzna zespolona Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018) Plan wykładu W czasie wykładu omawiać będziemy różne reprezentacje płaszczyzny zespolonej
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowooznacza przyrost argumentu (zmiennej niezależnej) x 3A82 (Definicja). Granicę (właściwą) ilorazu różnicowego funkcji f w punkcie x x x e x lim x lim
WYKŁAD 9 34 Pochodna nkcji w pnkcie Inerpreacja geomerczna pochodnej Własności pochodnch Twierdzenia Rolle a Lagrange a Cach ego Regla de lhôspiala Niech ( ) O( ) będzie nkcją określoną w pewnm ooczeni
Bardziej szczegółowoLista nr Znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań różniczkowych: a) y = y t,
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE B Lisa nr 1 1. Napisać równanie różniczkowe, jakie spełnia napięcie u = u() na okładkach kondensaora w obwodzie zawierającym połączone szeregowo oporność R i pojemność C,
Bardziej szczegółowoWYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład II
Wykład II I. Algebra wektorów 2.1 Iloczyn wektorowy pary wektorów. 2.1.1 Orientacja przestrzeni Załóżmy, że trójka wektorów a, b i c jest niekomplanarna. Wynika z tego, że żaden z tych wektorów nie jest
Bardziej szczegółowoWYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład VIII Przekształcenie Laplace a
8. Geneza przekzałcenia Laplace a. Wykład VIII Przekzałcenie Laplace a Warunek bezwzględnej całkowalności w przedziale niekończonym, nakładany na oryginały przekzałceń Fouriera, bardzo ogranicza ich klaę.
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowoCałka nieoznaczona, podstawowe wiadomości
Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Funkcją pierwotną funkcji w przedziale nazywamy funkcję taką, że dla każdego punktu z tego przedziału zachodzi Różnica dwóch funkcji pierwotnych w przedziale danej
Bardziej szczegółowoWykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie
Wykład 14 i 15 Równania różniczkowe Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (1) gdzie: y = y(x) niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej
Bardziej szczegółowoWykład X. ε, ε, ε = ε oznaczają współrzędne tensora odkształcenia, u i w są współrzędnymi wektora WYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ
Wykład X ROZWIĄZANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYC Z WYKORZYSTANIEM TRANSFORMACJI LAPLACE A i FOURIERA CIĄG DALSZY. Konsolidacja półprzesrzeni konsolidujące pod działaniem ruchomego obciążenia skupionego. Rozważmy
Bardziej szczegółowoWykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf
Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem
Bardziej szczegółowoWykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej
Wykład 2 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej czȩść II (opracował: Piotr Nayar) Definicja 2.. Niech (E, E) bȩdzie przestrzenia mierzalna i niech λ : E
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podsta Automatyki Transmitancja operatorowa i widmowa systemu, znajdowanie odpowiedzi w dziedzinie s i w
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)
. Liczby zespolone Zadanie.. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone () i +i, () 3i, (3) ( + i 3) 6, (4) (5) ( +i ( i) 5, +i 3 i ) 4. Zadanie.. Znaleźć moduł i argument główny
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowoTemat 6. ( ) ( ) ( ) k. Szeregi Fouriera. Własności szeregów Fouriera. θ możemy traktować jako funkcje ω, których dziedziną jest dyskretny zbiór
ema 6 Opracował: Lesław Dereń Kaedra eorii Sygnałów Insyu eleomuniacji, eleinformayi i Ausyi Poliechnia Wrocławsa Prawa auorsie zasrzeżone Szeregi ouriera Jeżeli f ( ) jes funcją oresową o oresie, czyli
Bardziej szczegółowoMatematyka liczby zespolone. Wykład 1
Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.
Bardziej szczegółowoCAŁKI NIEOZNACZONE C R}.
CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia całkowe. Wykład 1
Przekształcenia całkowe Wykład 1 Przekształcenia całkowe Tematyka wykładów: 1. Liczby zespolone -wprowadzenie, - funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej, - funkcja zespolona zmiennej zespolonej. 2. Przekształcenie
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowoAnalityczne reprezentacje sygnałów ciągłych
Analiyczne reprezenacje sygnałów ciągłych Przedsawienie sygnału w posaci analiycznej: umożliwia uproszczenie i unifiację meod analizy, pozwala na prosszą inerpreację nieórych jego cech fizycznych. W eorii
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Meody Lagrange a i Hamilona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informayki Sosowanej Akademia Górniczo-Hunicza Wykład 7 M. Przybycień (WFiIS AGH) Meody Lagrange a i Hamilona... Wykład 7 1 /
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowo( ) ( ) ( τ) ( t) = 0
Obliczanie wraŝliwości w dziedzinie czasu... 1 OBLICZANIE WRAśLIWOŚCI W DZIEDZINIE CZASU Meoda układu dołączonego do obliczenia wraŝliwości układu dynamicznego w dziedzinie czasu. Wyznaczane będą zmiany
Bardziej szczegółowoWykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,
Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowoWykład 15. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011
Wykład 5 Matematyka 3, semestr zimowy / 9 listopada W trakcie tego i następnych kilku wykładów zajmować się będziemy analizą zespoloną, czyli różniczkowaniem i całkowaniem funkcji argumentu zespolonego
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 12
Funkcje analityczne. Wykład 2 Szeregi Laurenta. Osobliwości funkcji zespolonych. Twierdzenie o residuach Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 206/207) Plan wykładu W czasie wykładu omawiać
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne? Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017)
Funkcje analityczne Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne? Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) Paweł Mleczko Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu 1. Sprawy organizacyjne
Bardziej szczegółowoFunkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory. Autorzy: Konrad Nosek
Funkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory Autorzy: Konrad Nosek 09 Funkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory Autor: Konrad Nosek DEFINICJA Definicja : Funkcja pierwotna Rozważmy
Bardziej szczegółowo13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.
Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu
Bardziej szczegółowoSformułowanie Schrödingera mechaniki kwantowej. Fizyka II, lato
Sformułowanie Schrödingera mechaniki kwanowej Fizyka II, lao 018 1 Wprowadzenie Posać funkcji falowej dla fali de Broglie a, sin sin k 1 Jes o przypadek jednowymiarowy Posać a zosała określona meodą zgadywania.
Bardziej szczegółowo"Potęga matematyki polega na pomijaniu wszystkich myśli zbędnych i cudownej oszczędności operacji myślowych. Ernst Mach. IV. Funkcja wykładnicza
"Poęga maemayki polega na pomijaniu wszyskich myśli zbędnych i cudownej oszczędności operacji myślowych. Erns Mach IV. Funkcja wykładnicza Def. Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję posaci f = a, gdzie
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowomacierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
Bardziej szczegółowoRozdział XV CAŁKI KRZYWOLINIOWE. CAŁKA STIELTJESA
Księgarnia PWN: Grigorij M. Fichtenholz Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 3 Rozdział XV CAŁKI KRZYWOLINIOWE. CAŁKA STIELTJESA 1. Całki krzywoliniowe pierwszego rodzaju 543. Definicja całki krzywoliniowej
Bardziej szczegółowo5. Całka nieoznaczona
5. Całka nieoznaczona Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 1 / 31 Całka nieoznaczona
Bardziej szczegółowo2. P (E) = 1. β B. TSIM W3: Sygnały stochastyczne 1/27
SYGNAŁY STOCHASTYCZNE Przestrzeń probabilistyczna i zmienna losowa Definicja Przestrzenią probabilistyczną (doświadczeniem) nazywamy trójkę uporządkowaną (E, B, P ), gdzie: E przestrzeń zdarzeń elementarnych;
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe wiadomości wstępne
Całki krzywoliniowe wiadomości wstępne Łuk na płaszczyźnie to zbiór punktów (x, y o współrzędnych x = x(t, y = y(t, gdzie (x(t, y(t są funkcjami ciągłymi określonymi na przedziale bez punktów wielokrotnych.
Bardziej szczegółowoWykład 2. Transformata Fouriera
Wykład 2. Transformata Fouriera Transformata Fouriera jest podstawowym narzędziem analizy harmonicznej i teorii analizy i przetwarzania sygnału. Z punktu widzenia teorii matematycznej transformata Fouriera
Bardziej szczegółowoRuch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof.
Ruch płaski Ruchem płaskim nazywamy ruch, podczas kórego wszyskie punky ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej nieruchomej płaszczyzny, zwanej płaszczyzną kierującą. Punky bryły o jednakowych
Bardziej szczegółowo6. Całka nieoznaczona
6. Całka nieoznaczona Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 1 / 35 Całka nieoznaczona - motywacja Wiemy
Bardziej szczegółowoLista 6. Kamil Matuszewski 13 kwietnia D n =
Lista 6 Kamil Matuszewski 3 kwietnia 6 3 4 5 6 7 8 9 Zadanie Mamy Pokaż, że det(d n ) = n.... D n =.... Dowód. Okej. Dla n =, n = trywialne. Załóżmy, że dla n jest ok, sprawdzę dla n. Aby to zrobić skorzystam
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012
1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać
Bardziej szczegółowoWykład 4: Transformata Laplace a
Rachunek prawdopodobieńwa MAP164 Wydział Elekroniki, rok akad. 28/9, em. leni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wykład 4: Tranformaa Laplace a Definicja. Niech f() będzie funkcją określoną na R, przy czym
Bardziej szczegółowo