Podstawowe wyidealizowane elementy obwodu elektrycznego Rezystor ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( τ ) i t i t u ( ) u t u t i ( ) i t. dowolny.

Transkrypt

1 Tema. Opracował: esław Dereń Kaedra Teorii Sygnałów Insyu Telekomunikacji Teleinformayki i Akusyki Poliechnika Wrocławska Prawa auorskie zasrzeżone Podsawowe wyidealizowane elemeny obwodu elekrycznego Rezysor Indukor = R i R rezysancja i = G G = R kondukancja. d i = d = + ( τ ) i i u d τ indukcyjność i( ) warunek począkowy. Kondensaor i d ( u ) = C d = + C ( τ ) i d τ C pojemność u( ) warunek począkowy. Auonomiczne źródło napięciowe = e( ) i dowolny. e() siła elekromooryczna źródła Auonomiczne źródło prądowe = i i z dowolne. i z () wydajność prądowa źródła (prąd źródłowy) Rezysor indukor i kondensaor są elemenami liniowymi i sacjonarnymi naomias źródła auonomiczne elemenami nieliniowymi i niesacjonarnymi.

2 Tema. sr. Zadania Zad.. W obwodach przedsawionych na rys... wyznaczyć przebieg napięcia u(). Sporządzić wykresy ych napięć. Rys... (a) (b) (c) We wszyskich układach pobudzeniem jes idealne źródło prądowe o wydajności prądowej + < iz ( ) = < < >. Rys.. i z () Wykres ej funkcji przedsawiono na rys... Rozwiązanie: W każdym z obwodów prąd jes wymuszony przez źródło czyli i( ) i ( ) a) Ponieważ napięcie na rezysorze u( ) Ri( ) Ri ( ) jes idenyczna z funkcją i z (). b) di d (i uwzględnieniu = H) orzymujemy: z =. = = zaś R = Ω więc funkcja u() W ym przypadku =. Po zróżniczkowaniu przedziałami funkcji i( ) i ( ) < = < < >. z = z

3 Tema. sr. 3 c) Napięcie na kondensaorze jes równe u ( ) = u ( ) + i ( τ ) d τ gdzie i( ) i ( ) Ponieważ dla i( ) C =. prąd więc nic ciekawego w układzie się nie dzieje rozsądnie będzie przyjąć =. I u zaczyna się kłopo bo warunki zadania nie pozwalają na wyznaczenie warości u( ). Przyjmijmy (na razie!) że u( ) =. Wówczas można wyliczyć napięcie w poszczególnych kolejnych przedziałach czasu. Po uwzględnieniu C = F orzymujemy: < ( τ ) ( τ + ) = + dτ = = + +. przy wyznaczaniu napięcia w kolejnym przedziale czasu. Na końcu przedziału ( = ) orzymujemy u ( ) =. Będzie o nowe u( ) < τ dτ ( τ ) = + = + = +. Na końcu przedziału < u =. ( τ ) u ( ) = + ( ) d τ τ = + = +. Na końcu przedziału u ( ) =. > Ponieważ w ym przedziale i( ) więc u( ) u Osaecznie orzymujemy: + + < = + < + < >. = =. Wykresy wyznaczonych napięć zosały przedsawione na rys..3. z porzebne

4 Tema. sr. 4 u() u() u() Rys..3. (a) (b) (c) Powróćmy eraz do sprawy warunku począkowego na kondensaorze (napięcie u( )) w części (c) zadania kóry dosyć arbiralnie przyjęliśmy równy zero. Jeżeli u( ) = u o warość a zosanie dodana do wyznaczonych napięć we wszyskich przedziałach. Wykres napięcia będzie więc przesunięy o warość u w sosunku do wykresu przedsawionego na rys..3c (w górę lub w dół w zależności od znaku u ). Zad.. Wyznaczyć prądy i i i i i w obwodzie przedsawionym na rys..a. 3 Pobudzeniem jes źródło napięciowe o sile elekromoorycznej e() jak na rys..b. Przyjąć warunek począkowy w indukorze i ( ) =. Sporządzić wykresy wyznaczonych prądów. Rys... (a) Rozwiązanie: > Napięcie na wszyskich elemenach u ( ) = e( ) = < ( ) <. Poszukiwane prądy wyznaczamy bardzo podobnie jak napięcia w zad.. Po uwzględnieniu warości elemenów orzymujemy: > i ( ) = u ( ) = < R ( ) < < = ( ) + d τ τ = + < i i u R = Ω = H C = 5 F. > e() (b)

5 Tema. sr. 5 > du i3 ( ) = C = < d < i () naomias i( ) i ( ) i ( ) i ( ) = + + Przebiegi wyznaczonych 3. prądów zosały przedsawione na rys... Orzymany wynik i wymaga pewnego komenarza. Zwróćmy uwagę że prąd a w konsekwencji również prąd i() jes różny od zera dla czasów > a więc wedy kiedy pobudzenie jes równe zero. Mało ego prąd en nie zanika czyli będzie płynął dowolnie i () długo w nieskończoność. Wynik aki wydaje się być zaskakujący i sprzeczny ze zdrowym rozsądkiem bo raczej nie oczekujemy akiego zachowania od obwodu rzeczywisego. Jes o konsekwencja zaniedbania sra energii nieuchronnie i 3 () połączeń. Sray można by uwzględnić rozbudowując odpowiednio układ ale skomplikowałoby o jednocześnie jego wysępujących w każdym obwodzie fizycznym. Obwód zosał zbudowany z idealnych elemenów i pominęliśmy rezysancje analizę. Podejście akie polegające na zaniedbywaniu pewnych zjawisk i analizie wyidealizowanych modeli nie jes specyfiką elekroechniki. Przeciwnie jes powszechnie sosowane i() w wielu dziedzinach fizyki. W mechanice na przykład bardzo częso zaniedbuje się arcie. Wówczas ciało raz wprawione 3 w ruch porusza się w nieskończoność ruchem jednosajnym a wahadło drga ze sałą ampliudą dowolnie długo. Orzymane wyniki należy więc inerpreować jako poprawne pod warunkiem że ograniczymy się do rozsądnych przedziałów czasu obserwacji. * Kłopoy związane ze sosowaniem w analizie wyidealizowanych modeli elemenów rzeczywisych nie ograniczają się ylko do niedokładności wynikających Rys... z zaniedbania sra energii. Niekiedy mogą powodować znaczną komplikację opisu obwodu wymagającą zasosowania rozbudowanego aparau maemaycznego. W skrajnych przypadkach z idealnych elemenów można zbudować obwód nierozwiązalny zn. aki w kórym wyznaczenie niekórych prądów i napięć będzie niemożliwe. Zad. 3. W obwodzie przedsawionym na rys. 3.. klucz K był rozwary. W chwili = klucz en wysępującego na kondensaorze po zosał zwary. Wyznaczyć przebieg napięcia zwarciu klucza (czyli dla ). Założymy że przed zwarciem klucza kondensaor nie był naładowany czyli dla. * Określenie rozsądne przedziały czasu obserwacji nie jes zby precyzyjne. W mechanice na ogół oznacza czasy mierzone w minuach lub niekiedy w godzinach. W elekroechnice są o zwykle czasy rzędu pojedynczych milisekund a nawe mniej.

6 Tema. sr. 6 E K = R C u() Dane: E = V = cons R = kω C = nf. Rys. 3.. Rozwiązanie: Po zwarciu klucza K czyli dla czasów obwód z rys. 3.. wygląda ak jak pokazano na rys. 3.. Obwód en możemy opisać nasępującymi R i() równaniami: na podsawie II prawa Kirchhoffa u R () E E + ur ( ) + u ( ) = u() C na podsawie prawa Ohma (czyli odpowiednich związków między prądami i napięciami na elemenach Rys. 3.. ): i d u ( ) = C d d u ur ( ) = Ri ( ) =. d Z równań ych po wyeliminowaniu i i orzymujemy: du + u ( ) = E. ( ) d Orzymane równanie jes równaniem różniczkowym pierwszego rzędu liniowym o sałych współczynnikach i niejednorodnym. Funkcję kóra wysępuje po prawej sronie ego równania (a kóra w naszym przypadku jes sała) nazywa się funkcją wymuszającą. Jeżeli funkcja wymuszająca jes ożsamościowo równa zero wówczas równanie różniczkowe nazywa się jednorodnym. W celu rozwiązania równania ( ) zajmijmy się najpierw równaniem jednorodnym kóre orzymamy po przyrównaniu do zera lewej srony ego równania. Orzymujemy więc równanie du + u ( ) = d kóre można przekszałcić do posaci: d u = d. u Wykonaliśmy operację kóra nazywa się rozdzieleniem zmiennych bo w orzymanym równaniu lewa srona zależy od zmiennej u zaś prawa od zmiennej. Równanie akie możemy scałkować (zn. obliczyć całkę nieoznaczoną lewej i prawej srony) w wyniku czego orzymamy: ln u = + ln λ R

7 Tema. sr. 7 gdzie sałą całkowania oznaczono jako ln λ (λ > jes dowolną sałą). Takie na pozór dziwaczne oznaczenie uprości dalsze przekszałcenia. Równanie o można przepisać w posaci: ln λ = czyli u = λ e λ >. Pozosaje jeszcze pozbycie się znaku warości bezwzględnej po lewej sronie. jes funkcją rzeczywisą więc opuszczenie znaku warości Ponieważ funkcja bezwzględnej wymaga jedynie dopisania znaku ± po prawej sronie lub co jes równoważne dopuszczenie ujemnych warości λ. Osaecznie orzymamy: = λ e λ dowolne. Orzymana funkcja jes rozwiązaniem równania jednorodnego dla dowolnej warości λ jes o więc nieskończony zbiór rozwiązań. Takie zależne od parameru rozwiązanie równania różniczkowego nazywa się rozwiązaniem ogólnym lub całką ogólną ego równania. Waro zapamięać Rozwiązaniem ogólnym jednorodnego równania różniczkowego o posaci λ e x d x + x( ) = d τ jes funkcja = τ λ dowolna sała Wyznaczona funkcja u ( ) czyli rozwiązanie ogólne równania jednorodnego nie jes jednak poszukiwanym rozwiązaniem równania ( ). Założymy dosyć arbiralnie że rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego będzie mieć posać λ ( ) = e ( ) czyli posać bardzo podobną do rozwiązania równania jednorodnego z ą różnicą że λ nie jes eraz sałą ylko pewną nieznaną funkcją czasu. Funkcję ę będziemy sarali się wyznaczyć. W ym celu należy policzyć pochodną du dλ = e λ ( ) e d d i podsawić orzymany wynik do równania ( ). Wówczas orzymujemy

8 Tema. sr. 8 dλ λ e λ e + e = E. d Jes o więc kolejne równanie różniczkowe w kórym ym razem niewiadomą jes λ. Po zredukowaniu dwóch wyrazów po lewej sronie równanie o można funkcja przekszałcić do posaci dλ = Ee d. Orzymaliśmy więc prose równanie różniczkowe z rozdzielonymi zmiennymi. Po obusronnym scałkowaniu orzymujemy: ( ) e λ = E + κ gdzie κ jes dowolną sałą. Po podsawieniu wyznaczonej funkcji λ ( ) orzymamy rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego o posaci * u ( ) = E + = E + e κ e κe do równania ( ). ( ) Pozosaje jeszcze wyznaczyć sałą κ kóra jes paramerem w rozwiązaniu ( ). Do jej wyznaczenia wykorzysamy warunek począkowy czyli założenie że kondensaor przed u = czyli zwarciem klucza nie był naładowany. Wobec ego ( ) κ a więc κ u = E + = = E. Osaecznie rozwiązaniem równania ( ) spełniającym warunek począkowy jes funkcja E Ee =. ( ) Wykres przebiegej funkcji przedsawiono na rys W rozwiązaniu ( ) można wyróżnić dwa składniki. Pierwszy z nich nazywać będziemy składową usaloną rozwiązania u() E Rys naomias drugi kóry w miarę upływu czasu zanika do zera nazywać będziemy składową przejściową rozwiązania. San obwodu po odpowiednio długim czasie gdy składowa przejściowa sanie się pomijalnie mała nazywać będziemy sanem usalonym. W rozważanym przykładzie wymuszeniem jes funkcja sała i składowa usalona jes również sała. Nie jes o przypadek. Jeżeli obwód jes obwodem sabilnym w sensie BIBO o można między innymi udowodnić że jeżeli wszyskie pobudzenia w obwodzie są sałe o składowe usalone wszyskich przebiegów w obwodzie (prądów i napięć) są sałe jeżeli wszyskie pobudzenia w obwodzie są przebiegami sinusoidalnymi o akiej samej pulsacji o składowe usalone wszyskich przebiegów w obwodzie są przebiegami sinusoidalnymi o ej samej pulsacji. * Przedsawiona meoda znajdowania rozwiązania ogólnego równania niejednorodnego w eorii równań różniczkowych nosi nazwę meody uzmienniania sałej. Zagadnienie BIBO-sabilności będzie bardziej szczegółowo omówione w dalszej części kursu.

9 Tema. sr. 9 Powróćmy jeszcze do rozwiązania ogólnego równania niejednorodnego. Ławo zauważyć że drugi składnik wyrażenia ( ) jes rozwiązaniem ogólnym równania jednorodnego (inne oznaczenie dowolnej sałej nie ma znaczenia) naomias pierwszy jes składową usaloną rozwiązania czyli pewnym szczególnym rozwiązaniem równania niejednorodnego. Dowodzi się wierdzenia Waro zapamięać Rozwiązanie ogólne Dowolne rozwiązanie Rozwiązanie ogólne równania = szczególne równania + równania niejednorodnego niejednorodnego jednorodnego W wielu przypadkach rozwiązanie szczególne równania jednorodnego porafimy odgadnąć lub przynajmniej przewidzieć jego posać (pamięamy że reprezenuje ono składową usaloną). Znajomość powyższego wierdzenia pozwala wówczas znacznie uprościć znajdowanie rozwiązania ogólnego gdyż omija się żmudną (szczególnie w przypadku równań wyższych rzędów) procedurę uzmienniania sałej. Powróćmy do naszego przykładu. Pobudzenie jes sałe więc należy poszukiwać rozwiązania szczególnego równania ( ) w posaci u ( ) = A = cons. Ponieważ da d = więc po podsawieniu A do równania ( ) orzymujemy: A = E czyli A = E a po dodaniu rozwiązania ogólnego równania jednorodnego rozwiązanie ( ). Na zakończenie spróbujmy oszacować po jakim czasie przy podanych warościach elemenów będzie można uznać że w obwodzie panuje san usalony. Po podsawieniu danych liczbowych orzymujemy: 6 = e. Napięcie o będzie różnić się od warości usalonej (= ) mniej niż o % gdy 6 czyli gdy > 46 s. 6 e < Zad. 4. W obwodzie przedsawionym na rys. 4.. klucz K był rozwary. W chwili = klucz en zosał zwary. Wyznaczyć przebieg napięcia u ( ) po zwarciu klucza (czyli dla ). K = i z () R R u() Dane: rad iz ( ) = Iz sin ω Iz = A ω = s R = Ω R = Ω = H. Rys. 4..

10 Tema. sr. Rozwiązanie: Schema obwodu dla czasów (po zwarciu klucza K) przedsawiono na rys. 4.. Obwód en możemy opisać nasępującymi równaniami: i + i + i = (i) i() z = + = R i = d i d u = = (ii) (iii) (iv) R i R i z i (v) przy czym w równaniu (v) uwzględniono (i). Po podsawieniu (iii) (iv) (v) do (ii) orzymamy R di i z ( ) i ( ) = R i ( ) + d a po uporządkowaniu i podsawieniu zadanego i ( ) di R + R R + i ( ) = Iz sinω. ( ) d Jes o równanie różniczkowe pierwszego rzędu liniowe o sałych współczynnikach i niejednorodne z oczywisym warunkiem począkowym i() =. Rozwiązanie ogólne ego równania ma posać: u gdzie i R + R i = i + λe u z jes nieznanym na razie rozwiązaniem szczególnym zaś drugi składnik jes rozwiązanie ogólnym równania jednorodnego. Ponieważ funkcja wymuszająca w równaniu jes funkcją sinusoidalną o pulsacji ω założymy że rozwiązanie szczególne będzie mieć posać: i = A sinω + B cosω. u Po obliczeniu pochodnej diu d = Aω cosω Bω sinω i podsawieniu do równania ( ) orzymujemy: R + R R Aω cosω Bω sinω + A sinω + B cosω Iz sinω. Po przyrównaniu współczynników przy funkcjach sinus i cosinus po obu sronach ej ożsamości orzymamy układ równań R + R ω A + B = R + R R A ω B = I z R i z () R u() Rys. 4.. z kórych wyznaczymy A i B. W celu uniknięcia zby skomplikowanych wyrażeń dalsze obliczenia przeprowadzimy na zadanych danych liczbowych. Po ich podsawieniu i () u () u () ( )

11 Tema. sr. z równań ( ) orzymujemy A = 5 i B = 5. Tak więc poszukiwane rozwiązanie szczególne ma posać: i = 5 sin 5 cos naomias rozwiązaniem ogólnym równania ( ) jes i ( ) = 5 sin 5 cos + λe. Sałą λ wyznaczymy z warunku począkowego i = 5 + λ = czyli λ = 5 i po jej podsawieniu orzymamy poszukiwane rozwiązanie szczególne równania ( ) o posaci: i = +. 5 sin 5 cos 5 e Nie jes o jednak rozwiązanie zadania! Mieliśmy przecież wyznaczyć u(). Wbrew pozorom jednak nie zapędziliśmy się w ślepą uliczkę bo znając i() z równania (v) bez kłopoów wyznaczymy 5 sin 5 cos 5 e = +. Waro zapamięać Przy układaniu równań różniczkowych opisujących obwód elekryczny jako niewiadome przyjmujemy prądy płynące przez indukory i/lub napięcia na kondensaorach. Na eapie układania równań nie zajmujemy się wielkością kórą mamy wyznaczyć. Powróćmy jeszcze do orzymanego rozwiązania. Składową usaloną napięcia u() można nasępująco przekszałcić: gdzie u ( 5sin 5cos ) = + = 5 5 = sin + cos = ( ψ ψ ) ( ψ ) = U cos sin + sin cos = U sin cos ψ = sin ψ = czyli ψ = arcg naomias U = Zgodnie z oczekiwaniem składowa usalona napięcia u() jes przebiegiem sinusoidalnym o pulsacji ω = warości skuecznej U i fazie począkowej ψ.

12 Tema. sr. Zad. 5. Zapisać analiycznie przebiegi impulsowe przedsawione na rys. 5.. f() f() "ćwiarka" sinusoidy 3 35 Rys. 5.. (a) (b) Rozwiązanie: Sposób poskładania funkcji z rys. 5.a zilusrowano na rys. 5.. f( ) f( ) = ( ) f f3( ) = ( ) ( ) f = ( ) ( ) f3 f4( ) 3 = ( ) f4 3 f5( ) f6( ) 3 35 = ( ) ( ) f = ( ) ( ) f Rys. 5..

13 Tema. sr. 3 a więc f = f + f + f + f + f + f = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = Z kolei przebieg z rys. 5.b można zdekomponować w sposób pokazany na rys f( ) π = sin f f( ) = cos π ( ) ( ) f czyli Rys π π = + = ( ) ( ) f f f sin cos. Poprawność zapisu ławo jes sprawdzić w dowolnym programie maemaycznym umożliwiającym worzenie wykresów. Przykładowo zapisany przebieg (a) można wykreślić w przedsawionym poniżej programie MAPE. > f:=heaviside()+(-)*heaviside(-)-*(-)*heaviside(-)- *Heaviside(-3)+3*(-3)*Heaviside(-3)-*(-3.5)*Heaviside(-3.5); > plo(f=..4); f := Heaviside( ) + ( ) Heaviside ( ) ( ) Heaviside ( ) Heaviside ( 3) + 3 ( 3 ) Heaviside ( 3) ( 3.5 ) Heaviside ( 3.5)