Konderla P. Meoda Elemenów Skończonych, eoria i zasosowania 47 VII. ZAGADNIENIA DYNAMIKI. Równanie ruchu dla zagadnienia dynamicznego Q, (7.) gdzie M NxN macierz mas, C NxN macierz łumienia, K NxN macierz szywności, Nx wekor przemieszczeń uogólnionych-wekor paramerów, Q Nx wekor wymuszających sił uogólnionych, N liczba sopni swobody. Jeżeli układ poddany jes wymuszeniom kinemaycznym o zagadnienie również można sprowadzić do równania wyjściowego. W ym celu rozkładamy wekor paramerów przemieszczeń ~ na: wekor paramerów przemieszczeniowych o poszukiwanych warościach (przemieszczenia nieznane) z wekor paramerów przemieszczeniowych o zadanych przemieszczeniach (wymuszenie kinemayczne). Niech ~ Q oraz Q ~ z R gdzie: R jes reakcje na zadanych wymuszeniach kinemaycznych. Wówczas układ równań wyjściowy: ~.. ~. ~ ~ M ~ + C ~ + K ~ Q, (7.) po dekompozycji Rys. 7.
Kurs na Sudiach Dokoranckich Poliechniki Wrocławskiej (wersja: luy 7) 48 M M M & C + M && z C C K + C z& K K Q, (7.3) K z R po rozpisaniu M& + C + K Q M && z C z& K z R M & + M && z + C + C z& + K + K z (7.4) jeżeli oznaczyć b Q M & z C z& K z (7.5) wówczas b. (7.6) Po wyznaczeniu wyznaczamy R z drugiego z równań powyżej (reakcje w więzach).. Podział zagadnień dynamicznych. Zagadnienie liniowe - drgania liniowe M, C, K są sałe niezależnie od i, b(. (7.7). Zagadnienie liniowe - drgania liniowe parameryczne M(, C(, K( są jawnymi funkcjami czasu, niezależne od i, M ( + C( + K( b(. (7.8) 3. Zagadnienie nieliniowe - drgania nieliniowe M, C, K zależą od czasu, i, M (,, & + C(,, + K(,, b(,,. (7.9) 4. Zagadnienie własne b,, (7.) różne wariany równania dla zagadnienia własnego. 3. Zagadnienie własne - problem maemayczny Sandardowe zagadnienie własne jes o rozwiązanie liniowego jednorodnego układu równań posaci (A I λ) x, (7.) gdzie A, I macierze N N; x wekor o wymiarze N. Mamy nierywialne rozwiązanie, jeżeli de(a I λ), (7.)
Konderla P. Meoda Elemenów Skończonych, eoria i zasosowania 49 co prowadzi do wielomianowego równania N-ego sopnia N N λ + a λ + K + a λ + a. (7.3) N Jeżeli macierz A jes dodanio określona (zn.: x Ax > dla dowolnego x) o wszyskie pierwiaski są rzeczywise i dodanie: λ, λ,... λ N. (7.4) Po wsawieniu do r-nia wyjściowego każdego z λ i, oraz przyjęciu jednej z niewiadomych np. x obliczamy pozosałe x j orzymujemy kolejno wekory własne: x, x,..., x N. Wekory własne obliczane są z dokładnością do sałego mnożnika. 4. Zagadnienie własne liniowego układu dynamicznego bez łumienia Rozważamy drgania swobodne układu liniowego bez łumienia: C, b, wówczas równanie ruchu ma posać M. (7.5) Rozwiązanie przyjmujemy w posaci jω e jes o opis drgań harmonicznych, (7.6) gdzie - wekor ampliud przemieszczeń, ω - częsość drgań własnych, j liczba urojona. Formalnie powyższe równanie można inerpreować jako złożenie dwóch orogonalnych drgań ypu sinω i cosω. Po podsawieniu do równania wyjściowego: ( K Mω ). (7.7) Aby doprowadzić do sandardowego zagadnienia własnego, macierz M rozkładamy na: ML L, (7.8) gdzie L - macierz górno-rójkąna, (K - L L ω ) (7.9) L L L sąd ( L K L I ω ) 443 4 { L 3 (7.) A λ x (A I λ) x. (7.)
Kurs na Sudiach Dokoranckich Poliechniki Wrocławskiej (wersja: luy 7) 5 Powyższe równanie jes sandardowym zagadnieniem własnym. Po rozwiązanie równania de(a I λ), (7.) orzymujemy λ i ω i i,,...,n częsości własne, oraz x i i L - x i i,,...,n wekory własne. Zwykle przyjmujemy macierz mas jako niekonsysenną, zn. masy koncenrujemy w węzłach, wówczas: M diag (M i ) (7.3) sąd L diag ( M i ), oraz x x xn i,, K,. M M M N 5. Normowanie wekora własnego Wekory własne orzymuje się z dokładnością do sałego mnożnika. Częso dokonuje się odpowiedniego skalowania: Sposób - ograniczenie współrzędnych wekora. Przyjmuje się, że max współrzędna wekora α będzie równa, sąd unormowany wekor n. (7.4) α Sposób - oronormalizacja. n Dobiera się mnożnik ak, aby norma, sąd n. (7.5) N ( i ) i Sposób 3 - M-oronormalizacja Jes o normalizacja z wagą macierzy bezwładności n. (7.6) N N N M M M i j ij i j i i ( ) i
Konderla P. Meoda Elemenów Skończonych, eoria i zasosowania 5 gdzie osania prawa srona (6) doyczy niekonsysennej macierzy mas M. 6. Do czego służy analiza zagadnienia własnego?. Opisuje drgania swobodne konsrukcji.. Z widma częsości drgań własnym możemy wyciągnąć szereg wniosków co do zachowania się konsrukcji pod wpływem obciążeń o charakerze harmonicznym. 3. Problem rezonansu. 4. Znajomość form i częsości własnych pozwala na wykonanie analizy modalnej, zn. rozseparowanie zagadnienia względem zw. współrzędnych modalnych (będzie o omówione dalej). Uwaga: wekory własne są względem siebie orogonalne z wagą M M j dla i j. (7.7) i 7. Zagadnienie własne układów dynamicznych łumionych Drgania swobodne układu łumionego. (7.8) Rozwiązanie orzymuje się w dziedzinie liczb zespolonych. Wprowadza się nowe współrzędne: współrzędne sanu ozn y y y. (7.9) Po podsawieniu do równania wyjściowego mamy M y& + C y + K y M lewosronnie (7.3) y& y& + M C y y + M K y (7.3) y& M C M K y sąd +, (7.3) y& I y a korzysając z oznaczenia (9) mamy y & + V y. (7.33) Rozwiązania poszukuje się w posaci y y e λ, (7.34) gdzie: y - wekor zespolony, λ - liczba zespolona. Po podsawieniu mamy (V I λ) y, (7.35)
Kurs na Sudiach Dokoranckich Poliechniki Wrocławskiej (wersja: luy 7) 5 sąd warości własne orzymuje się z równania de (V I λ). (7.36) Sposób en jes bardzo pracochłonny. 8. Zagadnienia dynamiczne nieusalone Analiza zagadnienia dynamicznego przy wymuszeniu siłowym. Problem rozwiązania równania b. (7.37) Pokazane będą dwa sposoby rozwiązania: poprzez całkowanie numeryczne, poprzez analizę modalną. 9. Całkowanie numeryczne krok po kroku Isnieje wiele meod całkowania bezpośredniego równań ruchu. Bazują one na nasępujących założeniach:. Przedział czasu dzielimy na odcinki Δ z reguły odcinki sałe.. Równanie ruchu jes spełnione na granicach ych odcinków, czyli w punkach k Δ (k,,3,...,). 3. Zakłada się arbiralnie określoną zmienność: przemieszczenia, prędkości i przyśpieszenia na odcinku czasu < ( k ) Δ, k Δ >.. Całkowanie meodą różnic skończonych Punkem saru wielu meod jes uogólniona meoda różnic skończonych (na osi czasu) Rys. 7. Macierzowe równanie ruchu zasępujemy równaniem różnicowym: Δ + M Δ +Δ + C Δ Δ ( γ γ ) b + γ b + γ b Δ +Δ +Δ + K [( β β ) + β + β ] Δ +Δ (7.38) gdzie β,β, γ, γ sałe dodanie, β >, β >, β +β <, γ >, γ >, γ + γ <.
Konderla P. Meoda Elemenów Skończonych, eoria i zasosowania 53 Komenarz: pochodne po czasie & i wysępujące przy macierzach M i C są sandardowymi schemaami różnicowymi, naomias i b są przedsawione za pomocą warości cenralnej i warości w punkach sąsiednich, schemay e zawierają sałe kóre maja na celu sabilizację procesu ieracyjnego wprowadzając szuczne łumienie, dla β β ˆ ( β) + β Δ + β + Δ ponieważ β < wówczas dla zadanych, - Δ, + Δ warość aproksymowana ˆ < ˆ, ( + Δ + Δ ), Rys. 7.3 Schema różnicowy () aproksymuje równanie ruchu z błędem (Δ dla β β oraz (Δ ) dla β β. Uwaga: błąd (h n ) jes o funkcja dla kórej n ( h ) lim. h n h Analiza sabilności schemaów różnicowych prowadzi do warunków na bezwarunkową sabilność procesu.5 (β + β ).5 i β β. (7.39) W przypadku drgań swobodnych C warunek zapisuje się w posaci [.5( β + β ).5] Δ ω k >, (7.4) wynika sąd, że sabilność limiowana jes częsością ω k, im większa warość częsości ym krok czasowy Δ musi być mniejszy. Algorym całkowania:. określenie paramerów β, β, γ, γ, Δ,. określenie warości sarowych wekor paramerów,, 3. z równania (38) wyznaczamy +Δ dla Δ, Δ,...
Kurs na Sudiach Dokoranckich Poliechniki Wrocławskiej (wersja: luy 7) 54. Meoda Newmarka Jes o meoda najbardziej popularna. Jes meodą niejawną. Równanie ruchu w chwili: + Δ M + C b. (7.4) + Δ +Δ +Δ + Δ Prędkość na końcu kroku + Δ + [( + β) & + β & + Δ ] Δ (7.4) 444 4443 prędkość na pocz. kroku pewne uśrednione przyśpieszenie na odcinku (, + Δ Podobnie szacujemy przem. na końcu kroku dla β.5 średnia arymeyczna zn. liniowy rozkład przyśpieszenia [(.5 α) & + α& ] Δ + Δ + Δ + 444 444 + 3Δ (7.43) przemieszczenie na pocz. kroku pewne uśrednione przyśpieszenie na odcinku (, +Δ prędkość na pocz. kroku Dla α/6 powyższy wzór odpowiada przyjęciu liniowego rozkładu przemieszczenia na kroku czasowym. Z aproksymacji (4) i (43) wyznaczyć można & & jako funkcje na począku kroku: & + Δ + Δ αδ β αδ + Δ i + Δ [ Δ Δ (.5 α) & ] + Δ β ( ) + Δ Δ & α α β (7.44) Wsawiając (5) do () orzymujemy: αδ β + C αδ β M + C + K αδ + β α + Δ b β α + Δ + Δ & + M αδ + αδ + & α + (7.45) sąd znając warości na począku kroku: &,, można wyznaczyć +Δ. Meoda a jes bezwarunkowo sabilna dla β,5 i α,5(β+,5), zwykle przyjmuje się β,5 oraz α,5.
Konderla P. Meoda Elemenów Skończonych, eoria i zasosowania 55. Meoda modalna Wekory własne i (i,,...,n) nie są do siebie orogonalne, a w akim razie nie są wygodną bazą szukanego rozwiązania drgań nieusalonych. Naomias wekory własne M-oronormalizowane są orogonalne i sanowią właściwą bazę. Poszukujemy rozwiązania drgań nieusalonych w posaci ( Φ y( (7.46) gdzie: Φ [ n,, n,,..., n,n] jes macierzą N N M-oronormalnych wekorów własnych. Niech y( y y M y N jes wekorem przemieszczeń we współrzędnych modalnych Rys. 7.4. Przesrzeń wekorów modalnych Macierz łumienia przyjmujemy w posaci C α M + α K model łumienia Rayleigha. Po podsawieniu (46) do równania ruchu oraz pomnożeniu lewosronnym przez Φ, mamy Φ 443 MΦ && y + Φ3 CΦ y& + Φ KΦ 3 y Φ{ b (7.47) I α I+α Ω Ω b * sąd... * y + ( α I + αω) y+ Ωy b, (7.48) ω j gdzie Ω diag( ).
Kurs na Sudiach Dokoranckich Poliechniki Wrocławskiej (wersja: luy 7) 56 Macierzowe równanie () separuje się na N zwyczajnych równań różniczkowych j * ( α + α ω ) y + ω y b & y + & dla j,,...,n. (7.49) j j j j j Warunki brzegowe ( ), ( ) y y& ( ) Φ M( ) ( ) Φ M ( ) we współrzędnych modalnych zapisują się w posaci (7.5) Po rozwiązaniu równań (49) z war. brzegowymi (5) orzymuje się rozwiązanie jako superpozycję rozwiązań cząskowych N () ( ). (7.5) j n,j y j Meoda modalna jes bardzo efekywna, szybka. Jeżeli znamy fizykę badanego zjawiska, o możemy ograniczyć liczbę branych pod uwagę wekorów własnych.